Đặc trưng vành bởi lớp môđun đối suy biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRỊNH XUÂN MAI ĐẶC TRƯNG VÀNH BỞI LỚP MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRỊNH XUÂN MAI ĐẶC TRƯNG VÀNH BỞI LỚP MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Các quy ước ký hiệu luận văn Mở đầu Khái niệm 1.1 Môđun cốt yếu 1.2 Môđun bé, Môđun bé 12 Đặc trưng vành lớp môđun đối suy biến 2.1 Môđun suy biến 20 20 2.2 Đặc trưng vành môđun đối suy biến 28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 CÁC QUY ƯỚC VÀ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN A∼ =B : Môđun A đẳng cấu với B A⊆M ˚ A →M ∗ A →M E(M ) M/U Z(M ) Z(M ) ⊕ ⊆ : : : : : : : : : : m A môđun môđun M A môđun bé M A môđun cốt yếu M Bao nội xạ M Môđun thương M U Môđun suy biến môđun M Môđun đối suy biến môđun M Tổng trực tiếp môđun Tập hợp tập hợp Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý thuyết môđun có nhiều bước phát triển có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết vành Năm 2002, Talebi.Y and Vanaja.N giới thiệu môđun đối suy biến Cho môđun M, ta ký hiệu Z(M ) = ∩{U ≤ M | M/U bé } Nếu Z(M ) = 0, môđun M gọi môđun đối suy biến; Môđun đối suy biến lớp môđun đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết vành Nếu Z(M ) hạng tử trực tiếp M với M R- môđun vành R gọi có tính chất (P ) Từ làm rõ cấu trúc vành có tính chất (P ) Mục đích Luận văn dựa vào tài liệu [4] để nghiên cứu tìm hiểu lớp môđun đối suy biến từ hệ thống số đặc trưng vành thông qua lớp môđun đối suy biến Vì đề tài Luận văn chọn "Đặc trưng vành lớp môđun đối suy biến" Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Khái niệm 1.1 Môđun cốt yếu 1.2 Môđun bé, môđun bé Chương 2: Đặc trưng vành lớp môđun đối suy biến 2.1 Môđun suy biến 2.2 Đặc trưng vành môđun đối suy biến Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy, người tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy cô giáo Khoa Toán trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 21 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệuTrường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Trường Nghệ An, tháng năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong toàn luận văn, tất vành giả thiết vành có đơn vị kí hiệu môđun môđun phải unita (nếu không nói thêm) 1.1 Môđun cốt yếu m 1.1.1 Định nghĩa Cho môđun M A ⊆ M , A gọi môđun cốt m yếu M ∀ = B ⊆ M A ∩ B = ∗ Ký hiệu: A → M m ∗ 1.1.2 Hệ A → M ⇔ ∀B ⊆ M mà A ∩ B = ⇒ B = ∗ 1.1.3 Ví dụ 1, ∀ môđun M M → M 2, Xét Z - môđun Z, với môđun khác Z cốt yếu Z m Chứng minh Lấy = A ⊆ Z ⇒ A = k Z, (k ∈ N, k = 0) m Lấy = B ⊆ Z (B bất kỳ) ⇒ B = nZ (n ∈ N∗ ) ⇒ kn ∈ k Z ∩ nZ kn = ⇒A∩B ∗ kn = ⇒ A → Z 3, Xét Z - môđun Q (là nhóm cộng số hữu tỷ) Khi đó: Mọi môđun khác Q cốt yếu Q ∗ Chứng minh Lấy A môđun Q Ta cần chứng minh A → Q m Lấy = B ⊆ Q a ∈ A; a, b ∈ Z∗ ∃ b a Ta có: ap = pb ∈ A (vì pb ∈ Z, bp ap = aq ∈ B (vì aq ∈ Z, q ⇒ A ∩ B ap = ⇒∃ 0= p = ∈ B; p, q ∈ Z∗ q a ∈A) bp ∈B ) q ∗ ⇒ A → Q m 1.1.4 Định nghĩa Môđun U gọi ∀A ⊆ U (A = 0) ∗ A → U m 1.1.5 Hệ Môđun U ⇔ ∀A, B ⊆ U (A, B = 0) A ∩ B = Ví dụ Các Z - môđun (tức nhóm cộng) Z Q môđun 1.1.6 Định nghĩa Cho A môđun M ta nói A môđun đóng M A không môđun cốt yếu thực môđun M ∗ m Tức là: A → K ⊆ M ⇒ A = K Ví dụ: Cho A hạng tử trực tiếp môđun M A đóng M 1.1.7 Mệnh đề Với môđun A môđun M tồn môđun B M cho A ⊕ B cốt yếu M Chứng minh Đặt S = {X ⊆ M : X ∩ A = 0} Vì ∈ S nên S = ∅ Ta thứ tự S theo quan hệ bao hàm Lấy tập thứ tự tuyến tính m m m m S cho X1 ⊆ X2 ⊆ ⊆ Xn ⊆ (*) ∞ Khi C = ∪ Xi môđun M lân cận (*) i=1 Lấy x ∈ A ∩ C suy có số k cho x ∈ Xk Từ ta có x ∈ A ∩ Xk Vậy X = hay C ∩ A = Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối ∗ đại B Ta cần chứng minh A ⊕ B → M Thât vậy, ∀ Y ⊆ M thỏa mãn A ⊕ B ∩ Y = Ta có A ∩ Y = B ∩ y = Nếu có a ∈ A, b ∈ B y ∈ Y cho a = b + y y = a.b ∈ A ⊕ B Suy y = a = b = Như A ∩ (B ⊕ Y ) = suy B ⊕ Y ∈ S Do tính tối đại B nên Y = ∗ Vậy A ⊕ B → M 1.1.8 Bổ đề Cho ϕ : N → M đẳng cấu môđun R môđun L N cốt yếu N ⇔ ϕ(L) cốt yếu M ∗ (⇒) Cho L → N ∀X ⊆ M cho ϕ(L) ∩ X = 0, Chứng minh ∗ suy L ∩ ϕ−1 (X) = ϕ−1 (X ∩ ϕ(L)) = ϕ−1 (0) = Do L → N nên ϕ−1 (X) = 0, mà ϕ đẳng cấu nên X = ∗ Vậy ϕ(L) → M ∗ (⇐) Cho ϕ(L) → M ∀X ⊆ M cho L ∩ Y = Do ϕ đẳng cấu nên ϕ−1 (ϕ(Y ) ∩ ϕ(L)) = ϕ−1 (ϕ(L) ∩ ϕ−1 (ϕ(Y )) = L ∩ Y = Suy ∗ ϕ(L) ∩ ϕ(X) = Do ϕ(L) → M nên ϕ(Y ) = suy Y = ∗ Vậy L → N 1.1.9 Tính chất Cho môđun M đó: m ∗ (1) A ⊆ M A → M xR ∩ A = 0, ∀ = x ∈ M m m ∗ ∗ ∗ (2) A ⊆ N ⊆ M A → M A → N ; N → M m ∗ ∗ (3) Cho A → M, K ⊆ M A ∩ K → K m m ∗ ∗ (4) Cho A ⊆ N ⊆ M Nếu N/A → M/A N → M m ∗ n ∗ n (5) Cho Ai → Mi ⊆ M với i = 1, n Khi ∩ Ai → ∩ Mi i=1 ∗ i=1 ∗ (6) Cho f : B −→ C đồng cấu môđun A → C Khi đó: f −1 (A) → B m ∗ Mi , A = ⊕ Ai Ai → Mi ⊆ M, ∀i ∈ I (7) Cho M = i∈I i∈I ∗ Nếu ∃ ⊕Ai ∃ ⊕Mi ⊕Ai → ⊕Mi I I I I m ∗ Chứng minh (1) Hiển nhiên A ⊆ M ; A → M ∀ = x ∈ M ta có Rx = Theo định nghĩa ta có xR ∩ A = 10 ∗ Ngược lại, giả sử ∀ = x ∈ M, xR ∩ A = Để chứng minh A → M Ta m cần chứng minh ∀ = B ⊆ M, ⇒ A ∩ B = Thật vậy: m Khi ∃ = x ∈ B ⇒ xR ⊆ B suy A ∩ B ⊇ A ∩ xB = ∗ Vậy A ∩ B = hay A → M (2) Giả sử A cốt yếu M , lấy môđun X N mà m ∗ ∗ ∗ A ∩ X = Do X → N nên X ⊆ M A → M nên X = Vậy A → N m Tương tự, lấy môđun Y M mà N ∩ Y = Do A ⊆ N nên ∗ ∗ A ∩ Y = A → M suy Y = Vậy N → M ∗ ∗ Ngược lại, A → N N → M với môđun X M mà A ∩ X = ∗ Đặt B = N ∩ X , ta có: A ∩ B = A ∩ N ∩ X = A ∩ X = 0, A → N ∗ nên B = suy N ∩ X = N → M suy X = ∗ Vậy A → M (3) Lấy X môđun K cho A ∩ K ∩ X = hay ∗ A ∩ X = 0, A → M suy X = Vậy A ∩ K cốt yếu K m (4) Lấy X ⊆ M cho N ∩ X = Khi đó, N ∩ (A ⊕ X) = A từ ta suy N/A ∩ (A ⊕ X)/A = ∗ Do N/A → M/A nên (A ⊕ X)/A = hay A ⊕ X = A ∗ Vậy X = hay N → M (5) Chứng minh quy nạp Ta cần chứng minh với n = m ∗ m ∗ Cho A1 → M1 ⊆ M , A2 → M2 ⊆ M ∗ Ta cần chứng minh: A1 ∩ A2 → M1 ∩ M2 m m m ∗ Lấy = B ⊆ M1 ∩ M2 suy B ⊆ M1 ; B ⊆ M2 A1 → M1 suy B ∩ A1 = X = m m ∗ Ta có: X ⊆ B ⇒ X ⊆ M2 A2 → M2 ⇒ X ∩ A2 = Y = m m m ⇒ Y ⊆ A1 , Y ⊆ A2 ⇒ Y ⊆ A1 ∩ A2 ⇒ B ∩ (A1 ∩ A2 ) ⊇ Y = ∗ Vậy A1 ∩ A2 → M1 ∩ M2 21 yếu) Mặt khác xrA ⊆ xI = Vậy xr ∈ Z(M ) Nghĩa Z(M ) môđun M 2.1.3 Định nghĩa Cho môđun M , Nếu Z(M ) = M ta nói M môđun suy biến Nếu Z(M ) = ta nói M môđun không suy biến Nếu < Z(M ) < M ta nói M môđun suy biến môđun không suy biến 2.1.4 Ví dụ 1, Ta có Z- môđun Z6 môđun suy biến Thật vậy: Ta thấy môđun khác Z có dạng nZ (n = 0) có Z Do ta có: Z(Z6 ) = {x ∈ Z6 | ∃ n ∈ N∗ : x.nZ6 = 0} = Z6 2, Ta có Z6 - môđun Z6 không suy biến Thật vậy: Xét Z6 - môđun Z6 , ta thấy Z6 có môđun cốt yếu Z6 Do ta có:Z(Z6 ) = {x ∈ Z6 | x.Z6 = 0} = 3, Ta có Z4 - môđun Z4 môđun suy biến môđun không suy biến Thật vậy: Xét Z4 - môđun Z4 Ta thấy Z4 có hai môđun cốt yếu {0; 2} Z4 , nên Z(Z4 ) = {0; 2} Vì = {0; 2} = Z4 2.1.5 Bổ đề - Nếu R miền nguyên R- môđun xoắn R- môđun suy biến R- môđun tự R- môđun không suy biến - Môđun môđun suy biến môđun suy biến - Môđun môđun không suy biến môđun không suy biến - Tổng môđun suy biến môđun suy biến - Tích trực tiếp môđun không suy biến môđun không suy biến - Mở rộng cốt yếu môđun không suy biến môđun không suy biến ∗ - Cho B → A môđun M môđun suy biến M A/B 22 2.1.6 Mệnh đề Cho M R- môđun Khi ta có (i) Nếu A môđun M Z(A) = A ∩ Z(M ) (ii) Với x ∈ M , ta gọi r(x) = {λ | λ ∈ R, xλ = 0} linh hóa tử phải ∗ x Khi x ∈ Z(M ) r(x) → RR Chứng minh (i) Ta có a ∈ Z(A) ⇔ a ∈ A a ∈ Z(M ) ⇔ a ∈ A ∩ Z(M ) Vậy Z(A) = A ∩ Z(M ) ∗ (ii) Giả sử x ∈ Z(M ), nghĩa tồn I → RR mà xI = m ∗ Suy I ⊆ r(x) r(x) → RR ∗ Ngược lại, r(x) → RR lấy xI = Suy x ∈ Z(M ) ∗ Vậy x ∈ Z(M ) ⇔ r(x) → RR 2.1.7 Định nghĩa (i) Cho M R- môđun phải, R- môđun phải N gọi môđun M -sinh tồn toàn cấu từ M (∧) vào N , với ∧ tập số M (∧) tổng trực tiếp M : M (∧) = ⊕ Mi , Mi = M, ∀i ∈ ∧ i∈∧ (ii) Ta gọi σ[M ] phạm trù đầy phạm trù M od − R mà vật môđun môđun M - sinh 2.1.8 Mệnh đề (i) Môđun môđun thuộc phạm trù σ[M ] thuộc phạm trù σ[M ] (ii) Môđun thương môđun thuộc phạm trù σ[M ] môđun thuộc phạm trù σ[M ] m Chứng minh (i) Giả sử K ∈ σ[M ] N ⊆ K ta cần chứng minh N ∈ σ[M ] m m Thật vậy: Do K ∈ σ[M ] N ⊆ K Ta có K ⊆ L với L môđun M - sinh, N môđun môđun M - sinh L, nên N ∈ σ[M ] m m (ii) Giả sử L ∈ σ[M ], K ⊆ L Ta có L ⊆ N với N môđun M - sinh, nên tồn toàn cấu f : M (∧) −→ N với ∧ tập số Từ ta có g : M (∧) −→ N/K x −→ f (x) + K 23 toàn cấu, N/K môđun M -sinh m Nhưng ta lại có L/K ⊆ N/K , L/K ∈ σ[M ] 2.1.9 Định nghĩa Cho M, N R- môđun, N gọi suy biến σ[M ] (hay M - suy biến) N ∗ L/K với L ∈ σ[M ] K → L 2.1.10 Nhận xét Khi M = R khái niệm M - suy biến trùng với khái niệm suy biến thông thường, có nghĩa N suy biến N Rsuy biến Chứng minh Thật vậy, N môđun R- suy biến N L/K ∗ với L ∈ σ[R], K → L Mặt khác, ta biết σ[R] = M od−R hay L R- môđun, N môđun R- suy biến N ∗ L/K với L R- môđun, K → L N suy biến 2.1.11 Mệnh đề (1) Mọi môđun M -suy biến nằm σ[M ] (2) Mọi môđun M suy biến suy biến Tuy nhiên môđun suy biến không thiết phải M - suy biến (3) Lớp môđun M - suy biến đóng việc lấy môđun Có nghĩa là: môđun môđun M - suy biến môđun M - suy biến (4) Lớp môđun M - suy biến đóng với việc lấy tổng trực tiếp (5) Ảnh đồng cấu môđun M - suy biến môđun M - suy biến (6) Mọi môđun N ∈ σ[M ] có chứa môđun M - suy biến lớn nhất, ta kí hiệu ZM (N ) (7) Với R- môđun N , ta có Z(N ) = ZR (N ) Chứng minh (1) Giả sử N môđun M - suy biến, ta có N L/K với ∗ L ∈ σ[M ], K → L Ta có L/K ∈ σ[M ], môđun thương môđun σ[M ] môđun thuộc σ[M ] Mà L L/K nên N ∈ σ[M ] (2) Gọi N môđun M - suy biến, ta có N ∗ L/K với L ∈ σ[M ], K → L Ta có K L R- môđun, N môđun suy biến 24 m (3) Gọi N môđun M - suy biến, P ⊆ N Ta có N L/K với L ∈ σ[M ], ∗ K → L, tồn đẳng cấu f : N −→ L/K , P m m f (P ) m Ta có f (P ) ⊆ L/K nên f (P ) = X/K với K ⊆ X ⊆ L Vì L ∈ σ[M ] nên ∗ ∗ X ∈ σ[M ], K → L nên ta có K → X , mà P f (P ) = X/K , P môđun M - suy biến (4) Gọi Ni , ∀i ∈ I môđun M - suy biến Khi Ni Li /Ki với ∗ Li ∈ σ[M ], Ki → Li , ∀i ∈ I Từ ta có đẳng cấu fi : Ni −→ Li /Ki , ⊕fi : Ni −→ ⊕Li /Ki I I (xi )I −→ (fi (xi ))I đẳng cấu hay ⊕Ni ⊕Li /Ki I I Ta lại có ⊕Li /Ki ⊕Li /⊕Ki I I I f : ⊕Li /Ki −→ ⊕Li /⊕Ki I I I (xi + Ki )I −→ (xi )I + ⊕Ki I đẳng cấu , nên ⊕Ni I ⊕Li /⊕Ki I I Ta có Li ∈ σ[M ], ∀i ∈ I nên ⊕Li ∈ σ[M ], phạm trù σ[M ] đóng I ∗ ∗ việc lấy tổng trực tiếp Hơn Ki → Li , ∀i ∈ I nên ⊕Ki → ⊕Li I Do ⊕Ni I I ⊕Li /⊕Ki môđun M - suy biến I I (6) Thật vậy, gọi {Ni | i ∈ I} tập tất môđun M - suy biến N Vì lớp môđun M - suy biến đóng việc lấy tổng trực tiếp nên ta có ⊕Ni môđun M - suy biến I Gọi A = {Σxi | (xi )I ∈ ⊕Ni } Ta có A = I x = Σxi với (xi )I ∈ ⊕Ni , x ∈ I Ni Thật vậy, ∀x ∈ A, ta có I Ni I 25 Ngược lại, ∀x ∈ x biểu diễn hữu hạn x = x1 + + xn , I x ∈ A Ni môđun N , f : ⊕Ni −→ A Ta có A = I I (xi )I −→ Σxi toàn cấu, hay f (⊕Ni ) = A I Mặt khác, ảnh đồng cấu môđun M - suy biến môđun M - suy biến, A hay Ni môđun M - suy biến, môđun M - suy biến I lớn N (7) Ta có Z(N ) môđun suy biến N nên Z(N ) môđun R- suy biến, mà ZR (N ) môđun R- suy biến lớn N , m Z(N ) ⊆ ZR (N ).(Lớn hiểu theo quan hệ bao hàm, tối đại, hiểu theo nghĩa tối đại theo ta cộng môđun R- suy biến tối đại môđun R- suy biến lớn hơn) ∗ Mặt khác, theo định nghĩa Z(N ) = {x ∈ N | ∃I → R để xI = 0} môđun suy biến N ta thấy Z(N ) môđun suy biến ∗ lớn N , với x ∈ K, ∃I → R để xI = 0, suy x ∈ Z(N ) Vậy Z(N ) môđun R- suy biến lớn N , Z(N ) = ZR (N ) 2.1.12 Mệnh đề Cho M R- môđun phải, ta có điều kiện sau tương đương: (a) M không suy biến σ[M ] (b) Với K ∈ σ[M ] f : K −→ M , ker(f ) đóng K (c) Với K ∈ σ[M ] f : K −→ M , ker(f ) không cốt yếu K Chứng minh (a) ⇒ (b): Giả sử M không suy biến σ[M ] ta cần chứng minh ker(f ) đóng 26 K tức chứng minh ker(f ) không mở rộng côt yếu thực K ∗ m hay với ker(f ) → N ⊆ K ta suy ker(f ) = N m Xét f : K −→ M , gọi g = f /N Ta có ker(f ) = ker(g) ker(f ) ⊆ N Ta lại có g : N −→ L = g(N ) toàn cấu nên m N/ker(g) = N/ker(f ) g(N ) = f (N ) ⊆ M m Vì K ∈ σ[M ], N ⊆ K nên N ∈ σ[M ] (môđun môđun thuộc σ[M ] môđun thuộc σ[M ]) Mà L ∗ N/ker(f ), ker(f ) → N L môđun M - suy biến hay ZM (L) = L Do M không M - suy biến nên ZM (M ) = 0, ZM (L) = m (L = f (N ) ⊆ M ), suy L = hay f (N ) = Ta có: ker(f ) = ker(g) = {x ∈ N | f (x) = 0} = N (vì f (N ) = m ker(f ) ⊆ N ) (b) ⇒ (c): Ta xét f đồng cấu tầm thường, ker(f ) = K Vì ker(f ) đóng K nên mở rộng cốt yếu thực K hay ker(f ) không cốt yếu K (c) ⇒ (a): ∗ Giả sử ZM (M ) = N = 0, tồn K ∈ σ[M ], L → K, L = K mà N K/L, suy tồn toàn cấu f : K −→ N mà ker(f ) = L tức ∗ f = Vì tồn K ∈ σ[M ] = f : K −→ N cho ker(f ) → K , trái với (c) Do M không suy biến σ[M ] 2.1.13 Định nghĩa (1) Một môđun A σ[M ] gọi nội xạ σ[M ] N - nội xạ với N ∈ σ[M ] (2) Nếu N môđun cốt yếu môđun nội xạ E σ[M ], E gọi bao nội xạ N σ[M ] hay bao M - nội xạ N ∧ ký hiệu N 27 2.1.14 Định lí Cho M R- môđun Khi ta có (1) Mọi môđun M - suy biến môđun môđun M - sinh M - suy biến (2) Mọi môđun M - suy biến hữu hạn sinh thuộc σ[M/L] với L môđun cốt yếu M Chứng minh (1) Gọi N môđun M - suy biến, suy N L/K với ∗ L ∈ σ[M ], K → L ∧ Vì bao M - nội xạ L M - sinh nên L/K M - sinh m ∧ m ∧ ∧ ∧ Ta có L ⊆ L nên L/K ⊆ L/K L ∈ σ[M ] L M - sinh, mặt ∗ ∗ ∧ ∗ ∧ ∧ khác K → L, L → L suy K → L nên L/K môđun M - suy biến Vậy ∧ L/K môđun môđun M - sinh, M - suy biến L/K Mà N L/K nên N môđun môđun M - sinh M - suy biến (2) Mọi môđun M - suy biến hữu hạn sinh có dạng N/K với N hữu hạn ∗ sinh thuộc σ[M ] K → N (do định nghĩa) Ta có N môđun cốt yếu ∼ ∼ môđun M - sinh hữu hạn N Do ta có toàn cấu g : M (k) −→ N , k ∈ N ∗ ∼ ∗ Đặt U = g −1 (N ), V = g −1 (K) Vì N → N nên U → M (k) ∗ ∗ ∼ ∗ ∼ ∗ Vì K → N, N → N suy K → N , nên V → M (k) Với phép chiếu tắc εi : M −→ M (k) , i = 1, k , Ta có L := ∩ε−1 i (V ) môđun cốt yếu M i ∗ ∗ Thật vậy, V → M (k) nên ε−1 i (V ) → M, ∀i = 1, k , mà giao hữu hạn ∗ môđun cốt yếu môđun cốt yếu, L → M Ta lại có L(k) nằm hạt nhân ánh xạ hợp thành: g p U −−−→ N −−−→ N/K, Vì f = p ◦ g : U −→ N/K, ker(f ) = {x ∈ U | p ◦ g(x) = K} = {x ∈ U | p(g(x)) = K} = {x ∈ U | g(x) + K} = {x ∈ U | g(x) ∈ K} = g −1 (K) = V 28 m m −1 Vì L = ∩ε−1 i (V ) nên L ⊆ εi (V ), ∀i = 1, k , εi (L) ⊆ V, ∀i = 1, k , i suy với x = (x1 , , xk ) ∈ L(k) , ta có εi (xi ) = (0, , xi , , 0),∀i = 1, k , k k k i=1 i=1 i=1 Vậy L(k) ⊂ V = ker(f ) m ∼ m εi (L) ⊆ V , suy x ∈ V , εi (xi ) ∈ εi (xi ) = x mà m ∼ m Vì N ⊆ N nên N/K ⊆ N /K Để chứng minh N/K ⊆ σ[M/L] ta cần ∼ chứng minh N /K môđun M/L- sinh ∼ Ở ta có toàn cấu g : M (k) −→ N Bây ta xét: ∼ g : M (k) /L(k) −→ N /K x + L(k) −→ g(x) + K h : M (k) /L(k) −→ (M/L)(k) (xi )1,k + L(k) −→ (xi + L)1,k Ta có g toàn cấu h đẳng cấu −1 Do tồn toàn cấu ϕ = g ◦ h ∼ (k) : (M/L) ∼ −→ N /K hay N /K môđun M/L- sinh, suy N/K ∈ σ[M/L] ∗ Vậy N/K ∈ σ[M/L] với L → M 2.2 Đặc trưng vành môđun đối suy biến 2.2.1 Định nghĩa Môđun M gọi môđun bé môđun bé môđun 2.2.2 Bổ đề Một môđun M gọi bé (hay M môđun bé) ⇔ M môđun bé bao nội xạ E(M ) M Chứng minh Giả sử M môđun bé, ta cần chứng minh M môđun bé bao nội xạ E(M ) M , Thật vậy: ˚ • Giả sử M môđun bé môđun X đó, nghĩa M →X 29 ˚ + E(M ) (1) Khi ta có M →X • Mặt khác E(M ) môđun nội xạ nên E(M ) hạng tử trực tiếp X + E(M ) nghĩa X + E(M ) = E(M ) ⊕ N với N môđun X + E(M ) ˚ Thay vào (1) ta có M →E(M ) ⊕ N Mà M ⊆ E(M ) nên ta suy ˚ M →E(M ) 2.2.3 Định nghĩa Cho M R- môđun Đặt Z(M ) = ∩{U ≤ M |M/U bé } i) Ta có Z(M ) môđun M gọi môđun đối suy biến M; ii) Các phần tử Z(M ) gọi phần tử đối suy biến; iii) Môđun M gọi môđun đối suy biến Z(M ) = Môđun M gọi môđun không đối suy biến Z(M ) = M 2.2.4 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương với môđun M : (i) Z(M ) hạng tử trực tiếp M ; (ii) M tổng trực tiếp môđun đối suy biến môđun không đối suy biến Trong trường hợp Z(M ) môđun không đối suy biến lớn M Chứng minh • (i)⇒ (ii) Giả sử Z(M ) hạng tử trực tiếp M ta cần chứng minh M tổng trực tiếp môđun đối suy biến môđun không đối suy biến Thật vậy: Giả sử : Z(M ) hạng tử trực tiếp M , tồn môđun N môđun M cho M = Z(M ) ⊕ N Theo mệnh đề 2.1(7) tài liệu [6] suy môđun N môđun đối suy biến Bây ta cần chứng minh Z(M ) môđun không đối suy biến Thật vậy: Từ M = Z(M ) ⊕ N suy Z(M ) = Z(Z(M ) ⊕ N ) 30 ⇒ Z(M ) = Z(Z(M )) ⊕ Z(N ) Theo mệnh đề 2.1(4) tài liệu [6], có Z(M ) = Z(Z(M )) ⇒ M = Z(M ) Theo định nghĩa môđun đối suy biến (Định nghĩa 2.3.3 luận văn) suy Z(M ) môđun không đối suy biến Vậy môđun M tổng trực tiếp môđun đối suy biến môđun không đối suy biến • (ii) →(i) Giả sử môđun M tổng trực tiếp môđun đối suy biến môđun không đối suy biến, ta cần chứng minh môđun Z(M ) hạng tử trực tiếp M Thật vậy: Giả sử N môđun đối suy biến M K môđun không đối suy biến M cho M = N ⊕ K Theo mệnh đề 2.1(4) tài liệu [6] ta suy Z(M ) = Z(N ) ⊕ Z(K) Do N môđun đối suy biến M K môđun không đối suy biến M nên suy Z(M ) = K Vậy Z(M ) hạng tử trực tiếp M • Chứng minh Z(M ) môđun không đối suy biến lớn M Thật vậy: Giả sử L môđun không đối suy biến M suy Z(L) = L (Theo định nghĩa môđun đối suy biến) Z(L) ⊆ Z(M ) Suy L = Z(L) ⊆ Z(M ) Vậy Z(M ) môđun không đối suy biến lớn M 2.2.5 Định nghĩa (1) Cho R-môđun M , ký hiệu: Z(M ) = ∩ {N ≤ M | M/N môđun bé bao nội xạ nó} (2) Một vành R gọi có tính chất (P ) Z(M ) hạng tử trực tiếp M với M R- môđun 2.2.6 Định lí Đối với vành R điều kiện sau tương đương: (1) R có tính chất (P ); 31 (2) Mỗi môđun R tổng trực tiếp môđun không đối suy biến môđun đối suy biến; (3) (a) Nếu N môđun không đối suy biến môđun M cho M/N đối suy biến, N hạng tử trực tiếp M , (b) Các Z lũy đẳng Chứng minh • (1) ⇔ (2) Giả sử R có tính chất (P ) Z(M ) hạng tử trực tiếp M với M R- môđun (Theo định nghĩa 2.2.5 luận văn) môđun R tổng trực tiếp môđun không đối suy biến môđun đối suy biến (Theo mệnh đề 2.2.4 luận văn) • (1) ⇒ (3) (a) Giả sử R có tính chất (P ) suy Z(M ) hạng tử trực tiếp M với M R- môđun (Theo định nghĩa 2.2.5 luận văn), tồn môđun L môđun M cho Z(M ) ⊕ L = M Giả sử N môđun không đối suy biến môđun M cho M/N đối suy biến, suy Z(M/N ) = 0, Z(M ) ⊆ N Khi N = Z(M ) ⊕ (L ∩ N ) M = N + L (theo mệnh đề 2.1(7) tài liệu [6]) Ta có M/Z(M ) ∼ = L, suy Z(L) = Do đó, Z(N ∩ L) = hay L ∩ N môđun không đối suy biến Mặt khác, theo chứng minh có N = Z(M ) ⊕ (L ∩ N ) Z(M ) ⊆ N suy L ∩ N hạng tử trực tiếp N Suy Z(N ∩ L) = N ∩ L = 0, mà M = N + L Do đó, M = N ⊕ L mà L môđun M , suy N hạng tử trực tiếp M • (1) ⇒ (3) (b) Giả sử R có tính chất (P ) suy Z(M ) hạng tử trực tiếp M với M R- môđun (Theo định nghĩa 2.2.5 luận văn), suy Z lũy đẳng 32 • (3) ⇒ (1) Giả sử M R môđun bất kỳ, suy Z(M/Z(M )) = (Theo mệnh đề 2.1(3) tài liệu [6]) Suy M/Z(M ) môđun đối suy biến (Theo định nghĩa 2.2.3 luận văn) Mặt khác, ta có Z(M ) = Z (M ) (Do Z lũy đẳng) Suy M = Z(M ) hay Z(M ) môđun không đối suy biến M (theo định nghĩa 2.2.3 luận văn) Vì vậy, Z(M ) hạng tử trực tiếp M (theo mệnh đề 2.2.6(3(a)) luận văn) Vậy vành R có tính chất (P ) (theo định nghĩa 2.2.5 luận văn) 2.2.7 Ví dụ Một số ví dụ vành có tính chất (P ) (1) Giả sử vành R vành đồng nửa đơn, môđun R không đối suy biến (theo mệnh đề 2.5 tài liệu [6]) Do đó, R có tính chất (P ) (2) Nếu R vành mà môđun R đối suy biến xạ ảnh, từ R có tính chất (P ) (theo Định lý 3.8(4) tài liệu [6]) 2.2.8 Hệ Xét điều kiện sau cho vành R (i) R có tính chất (P ); (ii) Giả sử (S, M ) = cho môđun đối suy biến S môđun không đối suy biến M Thì (i) bao hàm (ii) Nếu Z lũy đẳng, (ii) bao hàm (i) 2.2.9 Mệnh đề Giả sử R miền Dedekind Các điều kiện sau tương đương: (i) R có tính chất (P ); (ii) R miền Chứng minh (i) ⇒ (ii) 33 Giả sử M môđun (Theo ([7], ý 1.7 2.10), tồn N R -môđun vậy, mà M ≤ N M = Z (N ) Theo giả thiết, giả sử R có tính chất (P ), suy tồn số môđun K N cho N = Z(N ) ⊕ K Từ đó, Z(N ) = Z (N ) ⊕ Z(K) = M ⊕ Z(K) = M Suy Z(N ) = M Do đó, M môđun không đối suy biến (Theo [5] Bổ đề 4.12), M nội xạ Suy ra, R nửa đơn Do đó, R miền (ii)⇒ (i) Điều hiển nhiên 2.2.10 Mệnh đề Giả sử R = R1 ⊕ R2 vành phân tích Từ R có tính chất (P ) R1 R2 có tính chất (P ) Chứng minh Giả sử M R -môđun Theo giả thiết, ta có M = M R1 ⊕ M R2 với M Ri Ri - môđun cho i = 1, Ta có: Z Ri (M Ri ) = Z R (M Ri ) cho i = 1, (theo Bổ đề 2.7 [4]) Từ Z R (M ) = Z R (M R1 ) ⊕ Z R (M R2 ) = Z R1 (M R1 ) ⊕ Z R2 (M R2 ) Giả sử Ri có tính chất (P ), từ Z Ri (M Ri ) hạng tử trực tiếp M Ri cho i= 1, Do đó, R có tính chất (P ) Ngược lại, xem xét Ri -môđun Mi Từ đó, Mi coi R -môđun cho phép nhân sau: xi (r1 + r2 ) = xi ri , với rj ∈ Rj (j= 1, 2) xi ∈ Mi môđun Mi giống R Ri (i = 1, 2) Do đó, Z Ri (Mi ) = ZRi (Mi Ri ) = ZR (Mi Ri ) = ZR (Mi ) (Theo Bổ đề 2.7 [4]) Như vậy, R có tính chất (P ) R1 R2 có tính chất (P ) Vậy R có tính chất (P ) R1 R2 có tính chất (P ) 34 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu [4] luận văn trình bày hệ thống số nội dung sau: Môđun cốt yếu, môđun bé (môđun đối cốt yếu) Môđun suy biến, môđun đối suy biến Môđun suy biến không suy biến phạm trù σ[M ] Môđun đối suy biến không đối suy biến Trình bày mệnh đề môđun đối suy biến (mệnh đề 2.2.4) Trình bày định lý đặc trưng vành môđun đối suy biến (định lý 2.2.6) hệ 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục [2] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS- Môđun, Luận án Phó Tiến Sỹ Toán - Lý, Trường Đại Học Vinh Tiếng Anh [3] F Kasch (1982) Modules and rings, Academic Press Inc (London) Ltd [4] D.Keskin T¨ ut¨ unc¨ u, N Orhan Ertas, P F.Smith, R Tribak (2014), Some rings for which the cosingular submodule of every module is a direct summand, Turk J Math, 38: 649- 657 [5] Orhan-Ertas N, Tribak R(2009), Two generalizations of lifting modules International Journal of Algebra; 3(13): 599-612 [6] Y.Talebi and N.Vanaja(2002), The Torsion theory Co-generated by Msmall Modules Comm Algebra, 30(3): 1449- 1460 [7] H Z¨oschinger (2005), Kosingul¨are und Kleine Moduln Comm Algebra,33: 3389-3404 (in German) [...]... môđun xoắn là R- môđun suy biến R- môđun tự do là R- môđun không suy biến - Môđun con của môđun suy biến là môđun suy biến - Môđun con của môđun không suy biến là môđun không suy biến - Tổng các môđun con suy biến là môđun suy biến - Tích trực tiếp của các môđun không suy biến là môđun không suy biến - Mở rộng cốt yếu của môđun không suy biến là môđun không suy biến ∗ - Cho B → A môđun M là môđun suy. .. môđun M suy biến là suy biến Tuy nhiên môđun suy biến không nhất thiết phải M - suy biến (3) Lớp các môđun M - suy biến đóng đối với việc lấy các môđun con Có nghĩa là: môđun con của môđun M - suy biến là môđun M - suy biến (4) Lớp các môđun M - suy biến đóng với việc lấy tổng trực tiếp (5) Ảnh đồng cấu của môđun M - suy biến là môđun M - suy biến (6) Mọi môđun N ∈ σ[M ] có chứa một môđun con M - suy. .. đã trình bày và hệ thống một số nội dung sau: 1 Môđun con cốt yếu, môđun con bé (môđun đối cốt yếu) 2 Môđun suy biến, môđun đối suy biến 3 Môđun suy biến và không suy biến trong phạm trù σ[M ] 4 Môđun đối suy biến và không đối suy biến Trình bày mệnh đề về môđun đối suy biến (mệnh đề 2.2.4) 5 Trình bày định lý về đặc trưng của vành bởi môđun đối suy biến (định lý 2.2.6) và các hệ quả 35 TÀI LIỆU THAM... môđun M là tổng trực tiếp của một môđun con đối suy biến và một môđun con không đối suy biến • (ii) →(i) Giả sử môđun M là tổng trực tiếp của một môđun con đối suy biến và một môđun con không đối suy biến, ta cần chứng minh môđun con Z(M ) là một hạng tử trực tiếp của M Thật vậy: Giả sử N là một môđun con đối suy biến của M và để cho K là một môđun con không đối suy biến của M sao cho M = N ⊕ K Theo... liệu [6] ta suy ra Z(M ) = Z(N ) ⊕ Z(K) Do N là môđun con đối suy biến của M và K là một môđun con không đối suy biến của M nên suy ra Z(M ) = K Vậy Z(M ) là một hạng tử trực tiếp của M • Chứng minh Z(M ) là môđun con không đối suy biến lớn nhất của M Thật vậy: Giả sử L là một môđun con không đối suy biến của M suy ra Z(L) = L (Theo định nghĩa của môđun con đối suy biến) và Z(L) ⊆ Z(M ) Suy ra L =... ) là môđun con của M và gọi là môđun con đối suy biến của M; ii) Các phần tử của Z(M ) gọi là các phần tử đối suy biến; iii) Môđun M được gọi là môđun đối suy biến nếu Z(M ) = 0 Môđun M được gọi là môđun không đối suy biến nếu Z(M ) = M 2.2.4 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương với một môđun M : (i) Z(M ) là một hạng tử trực tiếp của M ; (ii) M là tổng trực tiếp của một môđun con đối suy biến. .. , do đó I x ∈ A Ni là môđun con của N , và f : ⊕Ni −→ A Ta có A = I I (xi )I −→ Σxi là toàn cấu, hay f (⊕Ni ) = A I Mặt khác, ảnh đồng cấu của môđun M - suy biến là môđun M - suy biến, vì vậy A hay Ni là môđun M - suy biến, và đó chính là môđun M - suy biến I lớn nhất trong N (7) Ta có Z(N ) là môđun con suy biến của N nên Z(N ) là môđun R- suy biến, mà ZR (N ) là môđun R- suy biến lớn nhất trong N... [6] suy ra môđun N là môđun con đối suy biến Bây giờ ta cần chứng minh Z(M ) là môđun con không đối suy biến Thật vậy: Từ M = Z(M ) ⊕ N suy ra Z(M ) = Z(Z(M ) ⊕ N ) 30 ⇒ Z(M ) = Z(Z(M )) ⊕ Z(N ) Theo mệnh đề 2.1(4) trong tài liệu [6], chúng ta có Z(M ) = Z(Z(M )) ⇒ M = Z(M ) Theo định nghĩa về môđun đối suy biến (Định nghĩa 2.3.3 trong luận văn) suy ra Z(M ) là môđun con không đối suy biến Vậy môđun. .. của một môđun không đối suy biến và một môđun đối suy biến (Theo mệnh đề 2.2.4 của luận văn) • (1) ⇒ (3) (a) Giả sử R có tính chất (P ) suy ra Z(M ) là hạng tử trực tiếp của M với mọi M là R- môđun (Theo định nghĩa 2.2.5 trong luận văn), khi đó tồn tại một môđun con L của môđun M sao cho Z(M ) ⊕ L = M Giả sử N là một môđun con không đối suy biến của một môđun M sao cho M/N là đối suy biến, suy ra Z(M/N... niệm M - suy biến trùng với khái niệm suy biến thông thường, có nghĩa là N suy biến khi và chỉ khi N là Rsuy biến Chứng minh Thật vậy, N là môđun R- suy biến khi và chỉ khi N L/K ∗ với L ∈ σ[R], K → L Mặt khác, ta đã biết σ[R] = M od−R hay L là R- môđun, do đó N là môđun R- suy biến khi và chỉ khi N ∗ L/K với L là R- môđun, K → L khi và chỉ khi N suy biến 2.1.11 Mệnh đề (1) Mọi môđun M -suy biến đều ... biến - Môđun môđun suy biến môđun suy biến - Môđun môđun không suy biến môđun không suy biến - Tổng môđun suy biến môđun suy biến - Tích trực tiếp môđun không suy biến môđun không suy biến -... Môđun cốt yếu, môđun bé (môđun đối cốt yếu) Môđun suy biến, môđun đối suy biến Môđun suy biến không suy biến phạm trù σ[M ] Môđun đối suy biến không đối suy biến Trình bày mệnh đề môđun đối suy. .. "Đặc trưng vành lớp môđun đối suy biến" Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Khái niệm 1.1 Môđun cốt yếu 1.2 Môđun bé, môđun bé Chương 2: Đặc trưng vành lớp môđun đối suy biến 2.1 Môđun suy