Môđun suy yếu và môđun đối suy yếu

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH _ V VN NGUYấN MễUN SUY BIN V MễUN I SUY BIN LUN VN THC S TON HC NGH AN - 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH _ V VN NGUYấN MễUN SUY BIN V MễUN I SUY BIN CHUYấN NGNH: I S V Lí THUYT S M S: 60.46.01.04 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS TS NGễ S TNG NGH AN - 2015 MC LC Trang M U Trong s phỏt trin chung ca toỏn hc, lý thuyt mụun ó cú s phỏt trin v cú nhiu ng dng quan trng vic nghiờn cu cỏc lnh vc khỏc ca toỏn hc, c bit l lnh vc lý thuyt vnh Nh chỳng ta ó bit vic nghiờn cu lý thuyt vnh cú hai hng nghiờn cu Hng th nht s dng ni ti cỏc tớnh cht ca nú thụng qua lp cỏc iờan v hng th hai l c trng vnh qua tớnh cht ca mt lp xỏc nh no ú cỏc mụun trờn chỳng Mt khỏc ta cng bit rng mt vnh R l R - mụun (phi) trờn chớnh nú, nờn hin nhiờn mt s kt qu trờn mụun cú th chuyn sang vnh Trong cỏc lp mụun, lp mụun suy bin v i suy bin l nhng lp mụun hin c nhiu ngi quan tõm nghiờn cu nghiờn cu cỏc lp mụun v c trng vnh, ngi ta thng xột cỏc lp mụun vi tớnh cht ca nú nh: mụun suy bin, mụun i suy bin Chớnh vỡ vy ti ca lun chỳng tụi chn l Mụun suy bin v i suy bin Mc ớch ca lun trung nghiờn cu mụun suy bin v mụun i suy bin, trỡnh by h thng li v khỏi nim v tớnh cht ca mụun suy bin v i suy bin Lun c chia lm hai chng cựng vi phn m u, kt lun Chng Cỏc khỏi nim c bn Trỡnh by cỏc khỏi nim c bn chun b cho chng Cỏc khỏi nim c bn c cp ch yu chng ny l: Mụun ct yu, Cỏc iu kin ca ( Ci ) ca mụun, mụun bộ, mụun ni x Chng Mt s tớnh cht ca mụun suy bin, mụun i suy bin Lun ny c thc hin ti trng i hc Vinh di s hng dn tn tỡnh ca PGS TS Ngụ S Tựng Tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc n thy giỏo hng dn, thy ó dnh cho tụi s ch bo tn tỡnh, nghiờm khc v y lũng nhõn ỏi Tụi xin by t lũng bit n ti cỏc quý thy cụ giỏo chuyờn ngnh i s v Lý thuyt s - Khoa Toỏn Trng i hc Vinh ó trc tip ging dy, giỳp to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc ti lp Cao hc khoỏ 21 chuyờn ngnh i s v Lý thuyt s Tụi xin gi li cm n ti Ban ch nhim Khoa S phm Toỏn v Phũng Sau i hc trng i hc Vinh v tt c cỏc bn ng nghip, ó giỳp v to iu kin hc tp, nghiờn cu cho tụi thi gian qua Trong sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu mc dự ó c gng, n lc ht mỡnh thi gian v kin thc cũn hn ch nờn lun ny khụng trỏnh nhng thiu sút Kớnh mong nhn c s ch bo gúp ý ca quý thy cụ v cỏc bn ng nghip lun c hon thin hn Ngh An, thỏng 10 nm 2015 CHNG KHI NIM C BN Trong sut lun ny vnh luụn c hiu l vnh cú n v (ký hiu 1) v cỏc mụun l mụun phi unita trờn vnh R no ú 1.1 Mụun ct yu 1.1.1 nh ngha Cho M l R-mụun phi v N l mụun ca M (1) Mụun N c gi l mụun ct yu ca M, Ký hiu N * M nu vi mi mụun khỏc khụng K M ta u cú K N Khi ú ta cng núi M l m rng ct yu ca N (2) Mụun N ca M c gi l úng M nu N khụng cú mt m rng ct yu thc s M Núi cỏch khỏc N c gi l úng M nu vi mi mụun K khỏc khụng ca M m N * M thỡ K = N (3) Mụun K ca M c gi l bao úng ca mụun N M nu K l mụun ti i M cho N * K (4) Nu mi mụun khỏc khụng ca mụun M l mụun ct yu M thỡ M c gi l mụun u (uniform) 1.1.2 Vớ d a) Cho M l R - mụun Ta luụn cú M * M  u ct yu vỡ vi a  , b  khỏc khụng u cú ab a b , hay  l mụun u (trờn vnh  ) b) Ta xột  l  - mụun Mi mụun khỏc khụng ca 1.1.3 Mnh i) Cho A M thỡ A * M x 0, x M thỡ A Rx ii) Cho A K M , ú A * M A * K v K * M iii) Cho f : M N l mt ng cu R-mụun v B M Nu B * M thỡ f ( B ) * M iu ngc li khụng ỳng iv) Gi s Ai , Bi l cỏc mụun ca M v Ai * Bi , i = 1, n Khi ú n n * I Ai I Bi , nu ch s vụ hn thỡ iu ny khụng ỳng i=1 i =1 v) Cho A K M v K / A * M / A Khi ú K * M M vii) Cho Ai M i M v Ai * M i , i I Nu tn ti I i v Ai * M i I I Chng minh i) iu kin cn: Hin nhiờn iu kin : Vi mi mụun B M ta cn chng minh A B Ly x B, x 0, xột < x >= R = { rx / r R} B Theo gi thit ta cú: A Rx nờn vi mi B M ta chng minh A B ii) Gi s A *M , ly mụun X bt k ca K m A X = Do X K nờn X M v A *M nờn X = Vy A *K Ngc li, nu A *K v K *M thỡ vi mụun X bt k ca M, vi A X = t B = K X , ta cú A B = A K X = A X = Do A * K nờn B = v K * M nờn X = , suy K X = Vy A * M iii) Vi C M , C , ta xột hai trng hp: Trng hp 1: f ( C ) M suy f ( C ) B (vỡ B * M ), ú tn ti y f ( C ) B, y Khi ú tn ti x C cho y = f ( x ) , x (vỡ y ) v x f ( B ) , suy C f ( B ) Trng hp 2: f ( C ) M suy C f ( B ) Vỡ vi mi x C nờn ta cú f ( x ) = B suy x f ( B ) W iv) S dng quy np ta ch cn chng minh vi n = Cho A1 * M1, A2 * M , ta chng minh A1 A2 * M1 M Ly X 0, A2 * M nờn B A2 ú X A1 A2 0, suy ( ) X A1 A2 Trng hp giao vụ hn núi chung khụng ỳng Xột  -mụun: n * Â, n Ơ * Ta cú:  * I  i  i =  , i = 1, , i ( ) suy *  iu ny vụ lớ Vy trng hp giao vụ hn khụng ỳng W v) Ly X * M cho K X = Khi ú K ( A X ) = A nờn K / A ( A X ) / A = M K / A * M / A nờn ( A X ) / A = hay A X = A Vy X = hay K * M W vi) Ta chng minh trng hp Trng hp 1: I = n hu hn S dng quy np ta cn chng minh vi n = Cho A1 * M1, A2 * M v tn ti A1 A2 Ta cn chng minh M M = Tht vy, s dng tớnh cht iv) ta cú A A * M M M 2 A A = nờn M M = Bõy gi ta chng minh A A * M M 2 2 Xột cỏc ng cu chiu: f : M M M 1 x +x a x f : M M M 2 x +x a x 2 Do A1 A2 * M1 M nờn theo tớnh cht iii) ( ) ( ) 1 ta cú f A1 * M1 M v f A2 * M1 M ( ) 1 M f A = A M * M M v f A2 = M1 A2 * M1 M nờn ly 1 2 ( ) giao hai v ta c A1 A2 * M1 M M Trng hp 2: Vi I bt kỡ, iu u tiờn ta chng minh I i Ly x M i suy x = x + x + + x , x M , i = 1, k k i I ( *) l hu hn Theo k trng hp suy tn ti M1 M M k = M i , ú biu din ( *) i =1 k Ai = M i l nht nờn tn ti M i = M i Bõy gi ta chng minh I I I i=1 M , Ly X 0, X I i t ú suy x X , x v x = a + a + + an , M i , i = 1, n ( *) Suy x M1 M M n Theo trng hp ta cú A1 A2 An *M1 M M n , A X suy A1 A2 A Rx nờn I i k M i v A * M Vy tn ti i I I i i =1 W 10 1.1.5 Mnh Vi mi mụun ca mụun M luụn tn ti mụun B ca M cho A B ct yu M Chng minh t S = { X M : X A = 0} Vỡ S nờn S Ta sp th t theo quan h bao hm Ly sp th t tuyn tớnh X X X * C ( ) ca S cho Khi ú U X i l mụun ca n i=1 M v l lõn cn trờn ca ( *) Ly x A C suy cú mt s k no ú cho x X k T õy ta cú x A X Vy X = hay C A = Theo b Zorn S cú phn t ti i k l B Ta cn chng minh A B * M Tht vy, Y M tha A B Y = Ta cú A Y = v B Y = Nu cú a A v b B , y Y cho a = b + y thỡ y = a.b A B Suy y = v a = b = Nh vy A ( B Y ) = suy B Y S Do tớnh ti i ca B nờn Y = Vy A B * M W 1.1.6 B a) Nu mụun M cú cỏc dóy mụun A B C thỡ A * M kộo theo B * C n * b) Nu Ai * M, i = 1, n thỡ I Ai M i =1 c) Nu :M N l ng cu mụun v B *N thỡ ( B ) *M Chng minh a) Gi s E l mụun khỏc khụng ca C, th thỡ E cng l mụun ca M v EI A0 EI B 22 Bi vy E = M , chng t K l ti i M W CHNG MễUN SUY BIN V MễUN I SUY BIN 2.1 Mụun suy bin 2.1.1 B Cho mụun M Ký hiu Z ( M ) = {x M / xI = vi I l iờan phi ct yu no ú ca R} Khi ú Z ( M ) l mụun ca M Chng minh Z ( M ) vỡ 0Z ( M ) Cho x, y Z ( M ) , ú I , J * RR m xI = 0, yI = t A = I J ú A * RR (giao hu hn cỏc mụun ct yu l ct yu) Ta cú ( x + y ) A = ( x + y ) ( I J ) = x ( I J ) + y ( I J ) xI + yJ = Vy x + y Z ( M ) Cho x Z ( M ) xI = vi I * RR v r R ( r bt k) Ta chng minh xr Z ( M ) t K = { a R / I } 23 D kim tra K RR ( K l iờan phi ca R) Xột ng cu: f :RR a r Khi ú f ( I ) = K , vy K * RR (To nh ton phn ca mụun ct yu l mụun ct yu) Mt khỏc xrK = Bi vỡ ly bt k a K ta cú xra = x ( ) xI = Vy xr Z ( M ) Hay Z ( M ) l mụun ca M W 2.1.2 nh ngha : i vi mt mụun M i) Ta gi Z ( M ) l mụun suy bin ca M ii) Nu Z ( M ) = ta gi M l mụun khụng suy bin iii) Nu Z ( M ) = M ta gi M l mụun i suy bin iv) Z ( M ) M ta núi rng M khụng phi l mụun khụng suy bin v khụng phi l mụun suy bin vi) Vnh R gi l vnh khụng suy bin phi (trỏi) nu R - mụun phi (trỏi) khụng suy bin vii) Vnh R gi l suy bin phi (trỏi) nu R - mụun phi (trỏi) suy bin viii) Vnh R gi l suy bin (khụng suy bin) l vnh suy bin (khụng suy bin) phi v suy bin (khụng suy bin) trỏi 2.1.3 Vớ d 1) Xột  - mụun  cú Z (  ) = {x  / xI = vi I * Â} Do ú I = nÂ, n suy xI = xn Vy Z (  ) = hay  l mụun khụng suy bin 2) Xột  - mụun  Ly x  , ú 6 *  m x ( 6 ) = (bng  ) Do ú Z (  ) =  Hay  l mụun suy bin 24 Tng quỏt  - mụun  n thỡ Z (  n ) =  n ngha l  n l mụun suy bin (trờn vnh  ) 3) Xột  - mụun  (mụun  trờn vnh  ) Do  l vnh ch cú  ct yu  nờn Z (  ) = (trong vnh  ) Hay  khụng suy bin trờn vnh  4) Xột  - mụun  Ta thy  ch cú hai mụun ct yu l Z (  ) = { 0;2} Vỡ { 0;2}  , ú { 0;2} v  , nờn  - mụun  khụng phi l mụun suy bin cng khụng phi l mụun i suy bin 2.1.4 Mnh a) M l mụun suy bin v ch M A B vi A l mụun no ú v B l mụun ct yu A b) Nu A l mụun suy bin, A / B l mụun suy bin thỡ B ct yu A Chng minh a) Gi s M l mụun suy bin Ta cú M F A , ú F l { } mụun t v K l mt mụun ca F Gi xi i l c s ca F hay F = xi R Do M suy bin nờn F l suy bin Vỡ th vi mi x + K F , K K i i ( ) tn ti iờan Ii * RR xi + K Ii = 0, hay xi Ii + K K , vi mi i Do Ii * R nờn xi Ii * xi RR vỡ vy xt It * xt RR = F Do xt It K , R t t * vi mi t , nờn xt It K Do ú K * F Ly A = F , B = K , ta cú t B *A Ngc li, gi s M A B vi A l mụun no ú v B l mụun ct yu A Ly bt k a A v gi I = { R / a B} 25 Xột ng cu: f :R A R a a Vỡ f ( B ) = I v B * A nờn I RR Ta cú ( a + b ) I = B = (lp ( ) khụng mụun thng A B ) hay a + B Z A B hay A B = Z ( A B ) Vy A W B suy bin, ngha l M suy bin b) Gi s X l mt mụun khỏc khụng ca A Khi ú tn ti ( ) x X , x Suy x + B A B = Z A B Do ú tn ti I * R cho R ( x + B ) I = hay xI B Do A khụng suy bin nờn xI m xI X cho W nờn B X Vy B ct yu A 2.2 Mụun M-suy bin Cho R l vnh v M, N l cỏc R-mụun phi N c gi l suy bin M hay mụun M- suy bin nu N ; L K vi L M v K * L Khi M = R thỡ khỏi nim M- suy bin trựng vi khỏi nim suy bin thụng thng, cú ngha l N suy bin v ch N l R - suy bin Tht vy, N l mụun R - suy bin v ch N ; L K vi L R , K *L Mt khỏc, ta ó bit R = Mod R hay L l R mụun, ú N l mụun R- suy bin v ch N ; L K vi L l R - mụun, K *L v ch N suy bin Mi mụun M-suy bin u nm [ M ] 26 Gi s N l mụun M- suy bin Ta cú N ; L K vi L M , K * L Ta li cú L K M , vỡ mụun thng ca mụun M l mụun thuc M M N ; L K nờn N M Mi mụun M-suy bin l suy bin Gi N l mụun M-suy bin, ta cú N ; L K vi L M , K * L Ta cú K v L cng l R- mụun, vỡ vy N l mụun suy bin Lp cỏc mụun M- suy bin úng i vi vic ly mụun con, cú ngha l mụun ca mụun M- suy bin l mụun M- suy bin Gi N l mụun M- suy bin, P N Ta cú N ; LK vi L M , K * L , vy tn ti ng cu f : N L K , ú P ; f ( P ) Ta cú f ( P) L f P X L M nờn X M , vỡ K nờn ( ) K vi K X L Vỡ K * L nờn ta cú K * X , m P ; f ( P ) = X K , ú P l mụun M- suy bin Lp cỏc mụun M- suy bin úng i vi vic ly tng trc tip L Gi Ni , i I l cỏc mụun M-suy bin Khi ú Ni ; i K vi i Li M , Ki * Li , i I L T ú ta cú cỏc ng cu fi : Ni i K , vỡ vy i L fi : Ni i K I I I i xi a fi xi I I ( ) l ng cu, hay ( ( )) L Ni ; i K I I i 27 Ta cú Li Li K ; I K I i I i vỡ L L f : i K I i K I I i I ii xi + Ki a xi + Ki I I I ( ) ( ) Li l ng cu, nờn Ni ; I K I I i L M úng i vi vic ly tng trc Ta cú Li M , i I nờn I i Li * L I K L , i I K N ; tip Hn na i nờn Do ú i i i i Ki l I I I I mụun M- suy bin nh ng cu ca mụun M-suy bin l mụun M- suy bin Mi mụun N M cú cha mt mụun M-suy bin v kớ hiu l Z M ( N ) { } Tht vy, gi Ni i I l tt c cỏc mụun M-suy bin ca N Vỡ lp cỏc mụun M- suy bin úng i vi vic ly tng trc tip nờn ta cú Ni l mụun M- suy bin I ( ) Ni Tht vy, x A, ta cú Gi A = xi xi I Ni Ta cú A = I I ( ) x = xi vi x N , ú i I I i 28 N x = x + x + + xn , x Ngc li x I i thỡ c biu din hu hn ú x A N i , l mụun ca N, v Ta cú A = I f : Ni A I xi a xi I ( ) l ton cu, hay f Ni ữ = A Mt khỏc, nh ng cu ca mụun M- suy I Ni l mụun M- suy bin v ú bin l mụun suy bin Vỡ vy A hay I chớnh l mụun M- suy bin ln nht N Vi mi R- mụun N, ta cú Z ( N ) = Z R ( N ) Ta cú Z ( N ) l mụun suy bin ca N nờn Z ( N ) l mụun R- suy bin, m Z R ( N ) l mụun R- suy bin ln nht N Vỡ vy Z ( N ) Z R ( N ) (Ln nht õy c hiu theo quan h bao hm, ch khụng phi l ti i, bi vỡ nu hiu theo ngha ti i s c mụun R-suy * bin ln hn) Mt khỏc, theo nh ngha Z ( N ) = x N I R , xI = l mụun suy bin ca N thỡ ta thy Z ( N ) chớnh l mụun suy bin ln nht ca N, vỡ gi s K l mụun suy bin ln nht ca N, vi x K , I * R xI = , suy xZ ( N ) Vy Z ( N ) cng chớnh l mụun R-suy bin ln nht ca N, ú Z ( N ) = Z R ( N ) 2.2.1 Mnh Cho M l R - mụun phi, ta cú cỏc iu kin sau l tng ng a) M khụng suy bin [ M ] 29 b) Vi K M v mi f : K M , ker ( f ) úng K c) Vi K M v mi f : K M , ker ( f ) khụng ct yu K Chng minh a) b) : Chng minh ker ( f ) úng K tc l chng minh ker ( f ) khụng m rng ct yu thc s K hay vi kerf ( f ) * N K ta suy ker ( f ) = N f : K M , gi g = f Ta cú ker ( f ) = ker ( g ) vỡ ker ( f ) N ta li cú N g : N L = g ( N ) l ton cu nờn N ker ( g ) = N ker ( f ) ; g ( N ) = f ( N ) M Vỡ K [ M ] , N K nờn N [ M ] (mụun ca mụun thuc M l * mụun thuc [ M ] ) M L ; N ker ( f ) , ker ( f ) N cho nờn L l mụun M - suy bin hay Z M ( L ) = L ( L= f ( N) M ) suy Ta cú ker ( f ) = ker ( g ) = { x N f ( x ) = 0} = N (vỡ f ( N ) = v ker ( f ) N ) W Do M khụng M- suy bin nờn Z M ( L ) = L = hay f ( N ) = b) c) : ta xột f khụng phi l ng cu tm thng, vỡ vy ker ( f ) K Vỡ ker ( f ) úng K nờn nú khụng cú m rng ct yu thc s K hay ker ( f ) * K W c) a): Gi s Z M ( M ) = N 0, ú tn ti K M , L * K , K m N ; K L , suy tn ti ton cu f : K N m ker ( f ) = L tc f Vỡ vy tn ti K M v f : K N cho ker ( f ) * K , trỏi vi c) Do ú M khụng suy bin M W 30 ả l bao M- ni x ca nú 2.2.2 nh lý Cho M l R- mụun phi v M Ta cú 1) Mi mụun N ( ) ả =0 M vi Hom N , M l M- suy bin 2) Gi s Z M ( M ) = Khi ú ( a) N ( ) ả =0 M l M- suy bin v ch Hom N , M ( b ) Lp cỏc mụun M- suy bin l úng i vi vic ly m rng ( ) ả =0 Chng minh 1) Gi s tn ti mụun N M vi Hom N , M m cng khụng phi l M- suy bin, tc Z M ( N ) N ú bao M- ni x N l M- suy bin thỡ N cng l mụun khụng phi l M- suy bin, vỡ gi s N M- suy bin (lp cỏc mụun M- suy bin úng i vi vic ly mụun con) l M- sinh, ú tn ti Vỡ mi mụun ni x [ M ] l M- sinh, nờn N suy ker ( f ) * M ( ) , vỡ gi s ker ( f ) * M ( ) , vỡ ton cu f : M ( ) N f l ton cu nờn ả M( ) l M- suy bin, vụ lý ; N m M ( ) M suy N ker ( f ) Ta cú thu hp f = f : f ( N ) N cng l ton cu (vỡ f ton cu) f ( N) ( ) Tng t nh trờn ta cú ker f * f ( N ) , vỡ vy tn ti K f ( N ) cho K ker ( f ) = Ta cú f ker f { K : K N l n cu, vỡ } { ( ) } = { x K ker ( f ) } = ữ = x K f ( x ) = = x K x ker f K 31 Do ú ta cú K ; L = f ( K ) N Vỡ K , K f ( N ) M ( ) nờn tn ti ( ) a = K m o I ả ( xi l thnh phn v trớ io , v trớ m cú ) Gi h : M ( ) M o o ( xi ) I a xi o ú ta cú h l ng cu v h K t ả g: K M x a h( x) ta cú g Vỡ K ; L nờn tn ti ng cu : L K , m K nờn , ú = g o (vỡ g ) ả l bao ca M- ni x [ M ] nờn M ả ni x [ M ] hay M ả l Vỡ M N- ni x (vỡ N [ M ] ), nờn tn ti ng cu * l m rng ca , tc l * oi = ú i l mt n cu nhỳng L i N [ ] * ả M ( ) ả =0 Vỡ = * oi m nờn * hay Hom N , M l M- suy bin ( W ) ả 2) ( a ) N M , Hom N , M = thỡ N l M- suy bin (ó chng mc 1) ( ) ả Vi N M l M- suy bin, ta chng minh Hom N , M = suy ( ) ( ) ( ) ả = 0, ả ả M ả suy Z M M ZM M vỡ gi s Z M M thỡ t M * M Ta cú 32 ả M ả ) ) m lp cỏc mụun M- suy bin úng i vi vic ly ZM( M ZM( M ( ) ả M mụun nờn Z M M cng l mụun M- suy bin T ú ta cú ả M M ZM ( M l mụun M- suy bin ca M, trỏi vi gi thit Z ) M (M) =0 ( ) ả ả l ng cu vy Gi s Hom N , M suy tn ti f : N M f ( N ) Ta cú f ( n ) l nh ng cu f , N l mụun M- suy bin nờn ả (lp cỏc mụun M- suy bin úng i vi f ( N ) cng l M- suy bin ca M ( ) ả =0 vic ly nh ng cu) Mt khỏc f ( N ) 0, Z M M nờn suy vụ lý, vy ) ( ả = Hom N , M W ( b ) Chng minh lp cỏc mụun M- suy bin l úng i vi vic ly m rng cú ngha l chng minh vi mi dóy khp f g O K LN O m K v N l cỏc mụun M- suy bin thỡ L cng l mụun M- suy bin ( ) ( ) ả = Hom N , M ả = T ( a ) ta cú Hom K , M Mt khỏc, nu cho mt M ' M M '' O phc Do ú phc ny l khp v ch vi R- mụun N ta cú dóy * * O Hom ( M '', N ) Hom ( M , N ) Hom ( M ', N ) R R R l khp Vy ta cú dóy O Hom l khp R ( ) g* ả Hom N,M R ( ) f* ả Hom L, M R ( K , Mả ) 33 ( ) ( ) * * ả =0 ả =0 Vỡ Hom N , M nờn Im g ữ = g ( ) = 0; Hom K , M nờn ( ) ( ) * * ả , ả = 0, ker f * ữ = Hom L, M hn na Im g ữ = ker f ữ, ú Hom L, M vỡ vy theo ( a ) ta cú L l mụun M- suy bin W 2.3 Mụun i suy bin 2.3.1 nh ngha mụun Cho mụun B trờn R, B c gi l mụun nu B l mụun mt mụun M no ú 2.3.2 B B l mụun v ch B l mụun bao ni x ca E ( B ) ca B Chng minh Chiu thun Cho mụun B bộ, theo nh ngha tn ti mụun X B o X Ta cn chng minh b O E ( B ) ú E ( B ) l bao ni x ca B Tht vy, B o X B o X + E ( B ) ( *) ta li cú E ( B ) ni x v E ( B ) X + E ( B ) nờn E ( B ) o X + E ( B ) hay X + E ( B ) = E ( B ) A vi A l mụun no ú mụun X + E ( B ) Khi ú ta cú B o E ( B ) A, m B E ( B ) vy B o E ( B ) (Theo tớnh cht ó bit rng nu mụun P M N v P o N , P M thỡ P o M ) Chiu ngc li Hin nhiờn theo nh ngha, vỡ B o E ( B ) thỡ chng t B l mụun mt mụun no ú 2.3.3 nh ngha Cho mụun M, Ký hiu Z ( M ) = {U M M U l mụun } v Z ( M ) ci gi l mụun i suy bin ca mụun M Nu Z ( M ) = ú M c gi l mụun i suy bin Nu Z ( M ) = M ú M c gi l mụun khụng i suy bin 2.3.4 nh lý Cỏc mnh sau õy l tng ng vi mụun M 34 i) Z ( M ) l hng t trc tip ca M ii) M l tng trc tip ca mụun i suy bin v mt mụun khụng i suy bin Trong trng hp ny Z ( M ) l mụun khụng i suy bin ln nht ca M Chng minh i) ii) Gi s N l mt mụun ca M cho M = Z ( M ) N Bi [ 7] , (mnh 2.1 ( ) ), N l i suy bin Khi Z ( M ) = Z ( Z ( M ) ) Z ( N ) Bi [ 7] , (mnh 2.1 ( ) ), chỳng ta cú Z ( M ) = Z ( Z ( M ) ) Do ú, Z ( M ) l khụng i suy bin W ii) i) Gi s N l mt mụun i suy bin ca M v cho K l mt mụun khụng i suy bin ca M cho M = N K c suy t [ 7] , (mnh 2.1 ( ) ), Z ( M ) = Z ( N ) Z ( K ) Nh vy, Z ( M ) = K l mt hng t trc tip ca M i vi mnh cui cựng: Nu L l mt mụun khụng i suy bin ca M, t ú L = Z ( L ) Z ( M ) W KT LUN Da vo ti liu chớnh l [3] v [4] lun ó trỡnh by c mt s chớnh nh sau: H thng mt s khỏi nim, tớnh cht v mt s vớ d ca mụun ct yu, trỡnh by cỏc iu kin ca ( Ci ) ca mụun, mụun ni x 35 Trỡnh by khỏi nim v mt s tớnh cht ca mụun suy bin v mụun i suy bin, mt s tớnh cht c trng ca vnh thụng qua khỏi nim mụun suy bin v i suy bin TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Nguyn Tin Quang - Nguyn Duy Thun (2001), C s lý thuyt mụun v vnh, NXB Giỏo dc [2] Dng Quc Vit (2009), Lý thuyt mụun, NXB i hc S phm 36 Ting Anh [3] F Kasch (1982), Modules and Rings, Ludwig-Maximilian University, Munich, Germany [4] D Keskin Tutuncu, N Orhan Ertas, P Smith, R Tribak (2014), Some ring for which the cosingular submodule of every module is a direct, Turk J Math 38: 649-657 [5] Harmanci, A and Smith, P.F (1993), Finite direct sums of CS-modules Houston J Math 19.523-532 [6] S.H Mohamed, B.J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules Cambridge Univ Press [7] Y Talebi, N Vanja (2002), The torsion theory cogenerated by M - small modules, Comm Algebra, 30 (3): 1449 - 1460 [...]... mụun con suy bin ca M ii) Nu Z ( M ) = 0 ta gi M l mụun khụng suy bin iii) Nu Z ( M ) = M ta gi M l mụun i suy bin iv) 0 Z ( M ) M ta núi rng M khụng phi l mụun khụng suy bin v khụng phi l mụun suy bin vi) Vnh R gi l vnh khụng suy bin phi (trỏi) nu R - mụun phi (trỏi) khụng suy bin vii) Vnh R gi l suy bin phi (trỏi) nu R - mụun phi (trỏi) suy bin viii) Vnh R gi l suy bin (khụng suy bin) l vnh suy bin... = R thỡ khỏi nim M- suy bin trựng vi khỏi nim suy bin thụng thng, cú ngha l N suy bin khi v ch khi N l R - suy bin Tht vy, N l mụun R - suy bin khi v ch khi N ; L K vi L R , K *L Mt khỏc, ta ó bit R = Mod R hay L l R mụun, do ú N l mụun R- suy bin khi v ch khi N ; L K vi L l R - mụun, K *L khi v ch khi N suy bin Mi mụun M -suy bin u nm trong [ M ] 26 Gi s N l mụun M- suy bin Ta cú N ; L... , vỡ mụun thng ca mụun M l mụun thuc M M N ; L K nờn N M Mi mụun M -suy bin l suy bin Gi N l mụun M -suy bin, ta cú N ; L K vi L M , K * L Ta cú K v L cng l R- mụun, vỡ vy N l mụun suy bin Lp cỏc mụun M- suy bin úng i vi vic ly mụun con, cú ngha l mụun con ca mụun M- suy bin l mụun M- suy bin Gi N l mụun M- suy bin, P N Ta cú N ; LK vi L M , K * L , vy tn ti ng cu f : N L K , khi... mụun M- suy I Ni l mụun M- suy bin v ú bin l mụun suy bin Vỡ vy A hay I chớnh l mụun M- suy bin ln nht trong N Vi mi R- mụun N, ta cú Z ( N ) = Z R ( N ) Ta cú Z ( N ) l mụun con suy bin ca N nờn Z ( N ) l mụun R- suy bin, m Z R ( N ) l mụun R- suy bin ln nht trong N Vỡ vy Z ( N ) Z R ( N ) (Ln nht õy c hiu theo quan h bao hm, ch khụng phi l ti i, bi vỡ nu hiu theo ngha ti i s c mụun con R -suy ... , M l M- suy bin ( W ) ả 2) ( a ) N M , Hom N , M = 0 thỡ N l M- suy bin (ó chng mc 1) ( ) ả Vi N M l M- suy bin, ta chng minh Hom N , M = 0 suy ra ( ) ( ) ( ) ả = 0, ả 0 ả M 0 ả suy ra Z M M ZM M vỡ gi s Z M M thỡ t M * M Ta cú 32 ả M ả ) ) m lp cỏc mụun M- suy bin úng i vi vic ly ZM( M ZM( M ( ) ả M mụun con nờn Z M M cng l mụun M- suy bin T ú ta cú ả M M 0 ZM ( M l mụun con M- suy bin ca... , i I K N ; tip Hn na do i nờn Do ú i i i i Ki l I I I I mụun M- suy bin nh ng cu ca mụun M -suy bin l mụun M- suy bin Mi mụun N M cú cha mt mụun con M -suy bin v kớ hiu l Z M ( N ) { } Tht vy, gi Ni i I l tp tt c cỏc mụun con M -suy bin ca N Vỡ lp cỏc mụun M- suy bin úng i vi vic ly tng trc tip nờn ta cú Ni l mụun M- suy bin I ( ) Ni Tht vy, x A, ta cú Gi A = xi xi I Ni Ta cú A =... bin (khụng suy bin) phi v suy bin (khụng suy bin) trỏi 2.1.3 Vớ d 1) Xột  - mụun  cú Z (  ) = {x  / xI = 0 vi I * Â} Do ú I = nÂ, n 0 suy ra xI = xn 0 Vy Z (  ) = 0 hay  l mụun khụng suy bin 2) Xột  - mụun  6 Ly x  6 , khi ú 6 *  m x ( 6 ) = 0 (bng 0 trong  6 ) Do ú Z (  6 ) =  6 Hay  6 l mụun suy bin 24 Tng quỏt  - mụun  n thỡ Z (  n ) =  n ngha l  n l mụun suy bin (trờn... N khi ú bao M- ni x N à l M- suy bin thỡ N cng l mụun khụng phi l M- suy bin, vỡ gi s N M- suy bin (lp cỏc mụun M- suy bin úng i vi vic ly mụun con) à l M- sinh, do ú tn ti Vỡ mi mụun ni x trong [ M ] l M- sinh, nờn N à suy ra ker ( f ) * M ( ) , vỡ gi s ker ( f ) * M ( ) , vỡ ton cu f : M ( ) N do f l ton cu nờn ả M( ) à l M- suy bin, vụ lý ; N m M ( ) M suy ra N ker ( f ) Ta cú thu hp... hay A B = Z ( A B ) Vy A W B suy bin, ngha l M suy bin b) Gi s X l mt mụun con khỏc khụng ca A Khi ú tn ti ( ) x X , x 0 Suy ra x + B A B = Z A B Do ú tn ti I * R sao cho R ( x + B ) I = 0 hay xI B Do A khụng suy bin nờn xI 0 m xI X cho W nờn B X 0 Vy B ct yu trong A 2.2 Mụun M -suy bin Cho R l vnh v M, N l cỏc R-mụun phi N c gi l suy bin trong M hay mụun M- suy bin nu N ; L K vi L M v... Hom N , M suy ra tn ti 0 f : N M f ( N ) 0 Ta cú f ( n ) l nh ng cu f , N l mụun M- suy bin nờn ả (lp cỏc mụun M- suy bin úng i vi f ( N ) cng l M- suy bin ca M ( ) ả =0 vic ly nh ng cu) Mt khỏc f ( N ) 0, Z M M nờn suy ra vụ lý, vy ) ( ả = 0 Hom N , M W ( b ) Chng minh lp cỏc mụun M- suy bin l úng i vi vic ly m rng cú ngha l chng minh vi mi dóy khp f g O K LN O m K v N l cỏc mụun M- suy bin thỡ ... khụng suy bin phi (trỏi) nu R - mụun phi (trỏi) khụng suy bin vii) Vnh R gi l suy bin phi (trỏi) nu R - mụun phi (trỏi) suy bin viii) Vnh R gi l suy bin (khụng suy bin) l vnh suy bin (khụng suy. .. lun chỳng tụi chn l Mụun suy bin v i suy bin Mc ớch ca lun trung nghiờn cu mụun suy bin v mụun i suy bin, trỡnh by h thng li v khỏi nim v tớnh cht ca mụun suy bin v i suy bin Lun c chia lm hai... M- suy bin nh ng cu ca mụun M -suy bin l mụun M- suy bin Mi mụun N M cú cha mt mụun M -suy bin v kớ hiu l Z M ( N ) { } Tht vy, gi Ni i I l tt c cỏc mụun M -suy bin ca N Vỡ lp cỏc mụun M- suy