Đặc trưng vành di truyền qua môđun nội xạ và môđun xạ ảnh

Lời nói Đầu Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh là những lớp môđun rất quan trọng trong đại số hiện đại. Khoá luận này tập trung nghiên cứu tính chất của lớp môđun nội xạ và xạ ảnh, nghiên cứu lớp vành di truyền và cho một đặc trng của vành di truyền thông qua các lớp môđun nội xạ và xạ ảnh. Khoá luận đợc trình bày trong hai chơng: ở chơng I, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và cần thiết nh: môđun, môđun con, môđun thơng, môđun sinh bởi một tập, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp các môđun, môđun tự do, dãy khớp các môđun, môđun xạ ảnh và môđun nội xạ. ở chơng II, chúng tôi đã trình bày khái niệm vành di truyền. Các kết quả chính của khoá luận cũng đợc trình bày trong chơng này, đó là: * Định lý 2.2, nội dung của định lý là chứng minh mọi môđun con của môđun tự do trên vành di truyền đều phân tích đợc thành tổng trực tiếp các môđun mà mỗi một trong các môđun đó đẳng cấu với một iđêan trái nào đó của vành di truyền. * Bổ đề 2.3, ý nghĩa của bổ đề này là: Trong Định nghĩa 2.1 (ChơngI), không cần với mọi môđun A mà chỉ cần A là môđun nội xạ ta vẫn có X là môđun xạ ảnh. * Bổ đề 2.4, ý nghĩa của bổ đề này là: Trong Định nghĩa 2.2 (ChơngI), không cần với mọi môđun B mà chỉ cần B là môđun xạ ảnh ta vẫn có X là môđun nội xạ. * Định lý 2.5, nội dung của định lý là chứng minh ba mệnh đề sau tơng đơng: (a) A là vành di truyền. (b) Mỗi một môđun con của A-môđun xạ ảnh là xạ ảnh. (c) Mỗi một môđun thơng của A-môđun nội xạ là nội xạ. Khoá luận này là sự tìm hiểu bớc đầu về lớp môđun nội xạ và xạ ảnh, lớp vành di truyền. Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Ngô Sĩ Tùng đã hớng dẫn nhiệt tình và chu đáo để tác giả có thể hoàn thành khoá luận này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô giáo trong Khoa Toán đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt bốn năm học tập tại trờng Đại học Vinh. Tác giả mong muốn nhận đợc sự góp ý của các Thầy Cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận này đạt kết quả tốt hơn. Vinh, ngày 23 tháng 4 năm 2004. Tô Thị Hải Hà - 1 - chơng I môđun nội xạ và môđun xạ ảnh I. Khái niệm môđun Trong suốt chơng này R luôn đợc giả sử là một vành giao hoán có đơn vị 1 0. 1.1. Định nghĩa: Ta gọi môđun trên R , hay R -môđun, là một nhóm Aben cộng X , cùng với một hàm XXR ì : à từ tích Đềcác XR ì vào X thoả mãn ba điều kiện sau: ( ) 1 M Hàm à là song cộng tính, tức là: ( ) ( ) ( ) xxx ,,, ààà +=+ ( ) ( ) ( ) yxyx ,,, ààà +=+ XyxR ,;, . ( ) 2 M Với , tuỳ ý trong R và x bất kì trong X , ta có: ( ) [ ] ( ) xx ,,, ààà = ( ) 3 M Với mọi phần tử x trong X , ta có: ( ) xx = ,1 à . Hàm à gọi là phép nhân vô hớng của môđun X . Với mỗi R và mỗi Xx , phần tử ( ) x, à của X gọi là tích vô hớng của x với và đợc kí hiệu là x . Trong cách kí hiệu vắn tắt này các điều kiện ( ) 1 M - ( ) 3 M đợc diễn tả bằng 4 đẳng thức sau: ( ) xxx +=+ ( ) yxyx +=+ ( ) ( ) yy = xx = 1 , XyxR ,;, . 1.2. Môđun con - Môđun thơng - Môđun sinh bởi một tập. 1.2.1. Định nghĩa: - 2 - Giả sử X là một môđun bất kì trên R. Ta gọi môđun con của X là một tập con không rỗng A của X tự bản thân nó là một môđun trên R đối với phép cộng và phép nhân vô hớng của môđun X. Nói cách khác, một tập con không rỗng A của X là một môđun con của X nếu và chỉ nếu A là một nhóm con của nhóm Aben cộng X và là ổn định dới phép nhân vô hớng của X, tức là x A xảy ra với mọi R và mọi x A. 1.2.2. Mệnh đề: Giao của một họ bất kì những môđun con của một môđun X trên R là một môđun con của X. 1.2.3.Định nghĩa: Giả sử S là một tập con tuỳ ý của một môđun X trên R. Môđun con bé nhất A chứa S đợc gọi là môđun con sinh bởi tập S. Trong trờng hợp A = X, ta nói rằng S là tập hợp những phần tử sinh của X và X đợc sinh ra bởi S. 1.2.4.Định nghĩa: Một phần tử x của một môđun X trên R gọi là một tổ hợp tuyến tính của những phần tử trong một tập con S của X nếu và chỉ nếu tồn tại một số hữu hạn những phần tử n xxx , .,, 2,1 trong S sao cho = = n i ii xx 1 với các hệ tử n , .,, 21 trong R. 1.2.5. Mệnh đề: Môđun con của một môđun X trên R sinh ra bởi một tập con S của X gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của những phần tử trong S. Chứng minh: Giả sử A là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của những phần tử trong S. Khi đó, hiển nhiên A là một môđun con của X. Với mỗi Sx , ta có Axx = 1 . Do đó A chứa tập con S. - 3 - Giả sử B là một môđun con bất kì của X chứa S. Khi đó, mọi tổ hợp tuyến tính những phần tử trong S đều bị chứa trong B. Điều này chứng tỏ rằng BA . Do đó A là môđun con nhỏ nhất của X chứa S. 1.2.6. Định nghĩa: Giả sử X là một môđun trên R và A là một môđun con của X. Khi đó nhóm th- ơng A X Q = là môđun thơng của môđun X trên môđun con A của nó. 1.3. Đồng cấu môđun. 1.3.1. Định nghĩa: Ta gọi là đồng cấu (hoặc cấu xạ hoặc ánh xạ tuyến tính) của một môđun X trên R vào một môđun Y trên R, một hàm: ,: YXf là một đồng cấu của nhóm Aben cộng X vào nhóm Aben cộng Y và bảo toàn phép nhân vô hớng. Nói cách khác, f là một đồng cấu của môđun X vào môđun Y nếu và chỉ nếu ( ) ( ) ( ) ,vfufvuf +=+ ( ) ( ) ufuf = với tất cả các phần tử trong R và vu, trong X. 1.3.2. Mệnh đề: Với những môđun tuỳ ý YX , và Z trên R cái hợp thành ZXfg o : của hai đồng cấu bất kì YXf : và ZYg : là một đồng cấu. Chứng minh: Giả sử R và Xvu , là tuỳ ý cho trớc. Vì f và g là những đồng cấu, nên ta có: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( ) vfgufgvfgufgvfufgvufgvufg ooo +=+=+=+=+ )( ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ufgufgufgufgufg oo ==== Vậy fg o là một đồng cấu. 1.3.3. Mệnh đề: - 4 - Với một đồng cấu bất kì YXh : cuả môđun X trên R vào một môđun Y trên R, ảnh ( ) { } AxxhAh = |)( của một môđun con bất kì A của X là một môđun con của Y và ảnh ngợc ( ) { } BxhXxBh = )(| 1 của một môđun con bất kì B của Y là một môđun con của X . Chứng minh: * Chứng minh )( Ah là môđun con của Y . Giả sử R và )(, Ahvu là tuỳ ý cho trớc. Theo định nghĩa của )( Ah , tồn tại những phần tử Adc , với uch = )( và vdh = )( . Vì A là một môđun con của X , suy ra Adc + và Ac . Vì h là một đồng cấu, nên điều này kéo theo )()()()( Ahdchdhchvu +=+=+ , )()()( Ahchchu == . Vậy )( Ah là một môđun con của Y . * Chứng minh )( 1 Bh là môđun con của X . Giả sử R và )(, 1 Bhvu là tuỳ ý cho trớc. Theo định nghĩa của )( 1 Bh , ta có Buh )( và Bvh )( . Vì h là một đồng cấu và B là một môđun con của Y , nên ta có .)()( ,)()()( Buhuh Bvhuhvuh = +=+ Theo định nghĩa của )( 1 Bh , các điều này chứng tỏ rằng ( ) Bhvu 1 + và ( ) Bhu 1 . Do đó )( 1 Bh là môđun con của X . 1.3.4. Mệnh đề: Một đồng cấu YXh : của một môđun X trên R vào một môđun Y trên R là một đơn cấu nếu và chỉ nếu 0)( = hKer . Chứng minh: * Điều kiện cần: Giả thiết YXh : là một đơn cấu. Vì h là một đồng cấu, nên nó chuyển phần tử không của X vào phần tử không của Y . Do đó phần tử không của X bị chứa trong - 5 - hạt nhân )0()( 1 = hhKer của h . Vì h là đơn ánh, nên ảnh ngợc )0( 1 h không thể chứa nhiều hơn một phần tử của X . Điều này kéo theo 0)( = hKer . * Điều kiện đủ: Giả thiết 0)( = hKer . Giả sử u và v là hai phần tử bất kì của X với )()( vhuh = .Vì h là một đồng cấu, nên ta có 0)()()( == vhuhvuh Theo định nghĩa của )(hKer điều này kéo theo )(hKervu . Vì 0)( = hKer , nên ta phải có 0 = vu . Điều này kéo theo vu = . Điều này chứng tỏ rằng h là đơn ánh, vì vậy h là một đơn cấu. 1.3.5. Mệnh đề: Một đồng cấu YXh : của một môđun X trên R vào một môđun Y trên R là một toàn cấu nếu và chỉ nếu .)Im( Yh = Chứng minh: * Điều kiện cần: Giả thiết YXh : là một toàn cấu. Thế thì h là một toàn ánh và do đó .)Im( Yh = * Điều kiện đủ: Giả thiết Yh = )Im( hay YXh = )( . Điều này kéo theo h là toàn ánh và do đó nó là một toàn cấu. 1.3.6. Định nghĩa: Giả sử X là một môđun trên R và A là một môđun con tuỳ ý của X, A X Q = là môđun thơng của môđun X trên môđun con A. Hàm QXp : xác định bởi ( ) QAxxp += với mọi Xx , gọi là phép chiếu tự nhiên của môđun X lên môđun thơng Q của nó. 1.3.7. Mệnh đề: Với một đồng cấu YXh : của một môđun X trên R vào một môđun Y trên R, ta có - 6 - ( ) h h X Im )ker( 1.4. Tổng trực tiếp các môđun. 1.4.1. Định nghĩa: Cho ( ) Ii i M là một họ các môđun con của một R-môđun M . Khi đó ta nói rằng M phân tích đợc thành tổng trực tiếp của i M , nếu mỗi phần tử Mm đều biểu diễn đợc duy nhất dới dạng ., .1,, . 21 nkMmmmmm kkn iiiii =+++= Các môđun con i M trong trờng hợp này đợc gọi là hạng tử trực tiếp của M . 1.4.2. Định lý: Một môđun X trên R là tổng trực tiếp của hai môđun con A và B nếu và chỉ nếu 0, ==+ BAXBA . Chứng minh: * Điều kiện cần: Giả thiết X là tổng trực tiếp của A và B . Thế thì, theo định nghĩa, đồng cấu XBA : , xác định bởi baba += ),( với mọi BAba ),( , là một đẳng cấu. Để chứng minh XBA =+ , giả sử x là một phần tử bất kì của X . Vì là một toàn cấu, nên tồn tại một phần tử BAba ),( sao cho babax +== ),( Điều này chứng tỏ BAx + . Vì x là một phần tử bất kì của X , nên ta có XBA =+ . Để chứng minh 0 = BA bằng phản chứng, ta hãy giả thiết rằng BA chứa một phần tử khác không x của X . Vì BA là một môđun con của X nên ta có BAx . Khi đó ),( xx là một phần tử khác không của BA . Vì 0),( =+= xxxx , nên từ Mệnh đề 1.3.4 suy ra rằng không phải là một đơn cấu. Mâu thuẫn này chứng minh 0 = BA . - 7 - Điều kiện đủ: Giả thiết XBA =+ và 0 = BA . Ta phải chứng minh là một đẳng cấu. Để chứng minh là một toàn cấu, giả sử x là một phần tử bất kì của X . Vì XBA =+ , nên tồn tại những phần tử Aa và Bb với xba =+ . Điều này kéo theo xbaba =+= ),( và do đó là một toàn cấu. Để chứng minh là một đơn cấu, giả sử ),( ba là một phần tử bất kì trong )( Ker . Thế thì ta có: ( ) 0, ==+ baba . Điều này suy ra Aa và Bba = . Do đó BAa . Vì 0 = BA nên điều này kéo theo 0 = a và 0 == ab . Do đó ),( ba là phần tử không của BA . Điều này kéo theo là một đơn cấu. 1.4.3. Định lý: Nếu cái hợp thành fgh o = của hai đồng cấu YXf : và ZYg : của các môđun ZYX ,, trên R là một đẳng cấu, thì ba phát biểu sau là đúng: (i) f là một đơn cấu. (ii) g là một toàn cấu. (iii) Môđun Y phân tích đợc thành tổng trực tiếp của )Im( f và )(gKer ; bằng kí hiệu )()Im( gKerfY = . Chứng minh: (i) và (ii) là hiển nhiên đúng. Ta còn phải thiết lập (iii). Muốn vậy, giả sử )Im( fA = và )(gKerB = . Để chứng minh YBA =+ , giả sử y là một phần tử tuỳ ý của Y . Đặt Zygz = )( . Vì ZXh : là một đẳng cấu, nên tồn tại một phần tử Xx với zxh = )( . Đặt Axfa = )( và ayb = . Thế thì ta có ( ) [ ] ( ) 0)()()()( ===== xhzxfgzagygaygbg Điều này kéo theo Bb . Do đó ta có BAbay ++= . Vì y là tuỳ ý, nên điều này chứng minh YBA =+ . - 8 - f Để chứng minh 0 = BA , giả sử y là một phần tử bất kì trong BA . Vì Ay , nên tồn tại một phần tử Xx với ( ) yxf = . Vì By , nên ta có 0)( = yg . Thế thì ta đợc ( ) ( ) [ ] ( ) 0 === ygxfgxh . Vì h là một đẳng cấu, nên điều này kéo theo 0 = x . Do đó ta có ( ) ( ) 00 === fxfy . Theo Định lý 1.4.2, Y là tổng trực tiếp của các môđun con A và B của nó. 1.5. Môđun tự do. 1.5.1. Định nghĩa: Ta gọi môđun tự do trên R lên một tập hợp S, là một môđun F trên R cùng với một hàm FSf : sao cho, với mọi hàm XSg : từ tập S vào một môđun X trên R, tồn tại một đồng cấu duy nhất XFh : từ môđun F vào môđun X để cho ta có quan hệ giao hoán gfh o = trong tam giác sau S F g h X 1.5.2.Định lý: Mọi môđun trên R đều đẳng cấu với một môđun thơng của một môđun tự do trên R. Chứng minh: Giả sử X là một môđun trên R tuỳ ý cho trớc. Ta có thể lấy ra một tập con S của X sinh ra X . Chẳng hạn, ta có thể lấy XS = . Xét môđun tự do F trên R sinh ra bởi tập hợp S . Thế thì hàm bao hàm XSg : mở rộng ra thành đồng cấu XFh : của môđun F vào môđun X . - 9 - Vì ( ) ( ) FhSgS = và vì S sinh ra X , nên ta có ( ) XFh = . Do đó h là một toàn cấu. Gọi K là hạt nhân của h . Thế thì, theo mệnh đề 1.3.7, X đẳng cấu với môđun thơng K F của môđun tự do F . 1.5.3. Định nghĩa: Một tập con S của một môđun X trên R gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu, với mọi số hữu hạn những phần tử phân biệt n xx , ., 1 của S, = = n i ii x 1 0 ( ) R i kéo theo 0 = i với mọi ni , .,1 = . Ta gọi cơ sở của một môđun X trên R là một tập con độc lập tuyến tính S của X sinh ra X. 1.5.4. Định lý: Một môđun X trên R có một cơ sở nếu và chỉ nếu X là môđun tự do. 1.6. Dãy khớp. 1.6.1. Định nghĩa: Ta gọi dãy khớp (những môđun) là một dãy hữu hạn hoặc vô hạn ZYX gf những đồng cấu của những môđun trên R sao cho ảnh của đồng cấu vào trùng với hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi môđun khác với hai đầu (nếu có) của dãy. Chẳng hạn, tại môđun Y, ta phải có ( ) ( ) gKerf = Im . 1.6.2. Định nghĩa: Một dãy khớp bất kì có dạng 00 ZYX gf gọi là một dãy khớp ngắn. 1.6.3. Mệnh đề: Nếu 00 ZYX gf là một dãy khớp ngắn thì f là một đơn cấu và g là một toàn cấu. 1.6.4. Định nghĩa: - 10 -