Môđun nội xạ, tựa nội xạ và các mở rộng

MỞ ĐẦU Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang được các nhà nghiên cứu về lý thuyết vành và lý thuyết môđun quan tâm. Đặc biệt, môđun nội xạ là một trong hai trụ cột chính của lý thuyết môđun, từ đó ứng dụng để đặc trưng vành. Nhưng điều kiện để một môđun là nội xạ quá mạnh, do đó một số lớp vành khó có thể đặc trưng qua lớp môđun này. Vì vậy người ta đã mở rộng nghiên cứu lớp môđun nội xạ và trong những năm của thập kỷ 80, 90 các nhà toán học đã đạt được nhiều kết quả tốt trong việc nghiên cứu các lớp môđun mở rộng của môđun nội xạ. Môđun giả nội xạ là một mở rộng của môđun nội xạ từ lâu đã được nghiên cứu bởi Bharadwaj and Tiwary (1982), Jain and Singh (1975), Singh (1968), Singh and Jain (1967), Singh and Wasan (1971), Teply (1975), Tiwary and Pandeya (1978), Wakamatsu (1975) và gần đây là Đinh Quang Hải và Lopéz-Permouth. Từ định nghĩa, chúng ta thấy rằng môđun tựa nội xạ là giả nội xạ nhưng điều ngược lại không đúng. Trong [13] đã chỉ ra những ví dụ về môđun giả nội xạ nhưng không phải là môđun tựa nội xạ. Tuy vậy, có rất nhiều tính chất cơ bản của môđun tựa nội xạ và môđun nội xạ thoả mãn cho môđun giả nội xạ. Luận văn nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ và một số điều kiện đủ để môđun giả nội xạ là tựa nội xạ. Chương 1: Môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ. Trong chương này chúng tôi đề cập đến những tính chất đặc trưng của môđun nội xạ, môđun M -nội xạ, môđun tựa nội xạ và mối quan hệ giữa chúng. Chương 2: Môđun giả nội xạ. Trong chương này chúng tôi nghiên cứu những tính chất của môđun giả nội xạ, mối liên hệ giữa môđun giả nội xạ với môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ. 3 Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn NCS Lê Văn An cùng các thành viên trong Xêmina “Môđun và vành” đã đóng góp nhiều ý kiến bổ ích trong quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo trong Khoa Toán, các cán bộ Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh và các anh chị em học viên Cao học 12, chuyên nghành Đại số - Lý thuyết số đã động viên giúp đỡ và có nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn . Tôi rất mong nhận được sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn. Vinh, tháng 11 năm 2006 Tác giả 4 Chương I MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN TỰA NỘI XẠ Trong chương này, chúng tôi đưa ra khái niệm về môđun nội xạ, tựa nội xạ và các mối quan hệ giữa chúng cũng như các tính chất sẽ được sử dụng trong Chương II. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng liệt kê các tính chất cơ bản nhất được biết đến của môđun nội xạ, những tính chất này có thể tìm thấy trong [2] hoặc [11]. Một môđun E là nội xạ nếu nó thoả mãn một trong những điều kiện tương đương sau: (1) Mọi môđun A và mọi môđun con bất kì X nào đó của A, mọi đồng cấu từ EX → đều có thể mở rộng thành đồng cấu từ EA  → . (2) (Tiêu chuẩn Baer) Mọi đồng cấu từ ideal phải R I của R tới E đều mở rộng được thành đồng cấu từ ER  → . (3) Mọi môđun M, mọi đồng cấu ME → đều chẻ ra. (4) E không có mở rộng cốt yếu thực sự. §1. MÔĐUN NỘI XẠ 1.1.Định nghĩa Cho NA, là các R -môđun. i) Một môđun N gọi là A - nội xạ (A-injective) nếu với mọi môđun con X của A , với mọi đồng cấu NX → : ϕ đều mở rộng được thành đồng cấu NA → : ψ sao cho i ψϕ = . i X A N (injective module) ϕ ∀ 5 ii) Môđun N được gọi là nội xạ (injective module) nếu N là A -nội xạ với mọi môđun A . 1.2.Định nghĩa Cho NM , là các R-môđun. i) Đơn cấu NMf → : gọi là đơn cấu chẻ ra nếu AfN ⊕= Im trong đó A là một môđun con nào đó của N ii) Toàn cấu NMf → : gọi là toàn cấu chẻ ra nếu BKerfM ⊕= trong đó B là một môđun con nào đó của M . 1.3. Bổ đề Nếu môđun N là A -nội xạ thì mọi đơn cấu ANf → : là chẻ ra. Hơn nữa nếu A không phân tích được thì f là đẳng cấu. Chứng minh. ANf → : là đơn cấu nên ta có thể xem N như là một môđun con của A. Do N là A-nội xạ nên tồn tại đồng cấu NAg → : sao cho N gf 1 = . Ta sẽ chứng minh fA Im = Kerg ⊕ Thật vậy: A ∈∀ a ta có Nag ∈ )( và ta đặt )(agn = )()( nfanfa −+= . Hiển nhiên fnf Im)( ∈ (1) Xét 0)()())(( =−=−=− nnngfagnfag Vậy Kergnfa ∈− )( (2) Từ (1) và (2) suy ra KergfA += Im (3) Giả sử Kergfa ∩∈ Im , khi đó: 6 N f N A g ∃ N 1 fa Im ∈ nên    = = 0)( )( ag nfa với Nn ∈ hay 00)( =⇔= nngf suy ra 0)0()( === fnfa Vậy 0Im =∩ Kergf (4) Từ (3) và (4) suy ra KergfA ⊕= Im . Vậy f là chẻ ra. * Nếu A không phân tích được định nghĩa là 0 = Kerg khi đó fA Im = nên f là toàn cấu. Vậy f là đẳng cấu.  1.4. Mệnh đề Cho N là môđun A - nội xạ. Nếu AB ⊆ thì N là B - nội xạ và B A - nội xạ Chứng minh * N là B - nội xạ Với mọi môđun BX ⊆ ta có AX ⊆ . Mà N là A -nội xạ nên Với mọi đồng cấu NX → : ϕ luôn mở rộng được thành đồng cấu NAh → : sao cho hi = ϕ . Chọn B h | = ψ , khi đó ψ là mở rộng của ϕ nên N là B - nội xạ. * N là B A - nội xạ Giả sử B X là môđun con của B A và N B X  → : ϕ là đồng cấu bất kỳ. Gọi π là đồng cấu tự nhiên từ A vào B A và ' π là thu hẹp của π trên X ( X ππ = ' ) 7 i X B ψ ϕ i N A h ∃ Ta có biểu đồ Vì N là A - nội xạ nên NA →∃ : θ sao cho i θϕπ = ' Ta có AB ⊆ và )()( BiB θθ = (vì XB ⊆ ) )(' B ϕπ = 0)0( == ϕ Vậy θ KerB ⊆ hay θπ KerKer ⊆ . π là toàn cấu nên ta có thể chọn N B A  → : ψ sao cho θψπ = . Xx ∈∀ thì Ax ∈ ta có [ ] )()()()()( xixxxBx θθψππψψ ====+ )()(' Bxx +== ϕϕπ Vậy ψ là mở rộng của ϕ hay N là B A - nội xạ.  1.5. Mệnh đề Môđun N là A -nội xạ khi và chỉ khi N là aR - nội xạ, A ∈∀ a . Chứng minh ) ⇒ A ∈∀ a thì AaR ⊆ nên theo Mệnh đề 1.4, N là aR -nội xạ. ) ⇐ Bây giờ ta giả sử N là aR - nội xạ A ∈∀ a , ta sẽ chứng minh N là A - nội xạ. Gọi X là môđun con của A và NX → : ϕ là đồng cấu bất kỳ. Xét tập S gồm tất cả các cặp ),( ψ B , trong đó ABX ⊆⊆ và NB → : ψ là mở rộng của ϕ quan hệ thứ tự trên S là quan hệ ⊆ . 8 X A i B A B X N π ' π ϕ θ ∃ ∈ ),( ϕ X S nên S φ ≠ , S thoả mãn bổ đề Zorn. Vậy ta có thể tìm được cặp ),( ψ B tối đại theo nghĩa ABX ⊆⊆ và NB → : ψ là đồng cấu mở rộng của ϕ . Ta chứng minh B cốt yếu trong A Giả sử B không cốt yếu trong A , khi đó có môđun 0YA, ≠⊆ Y sao cho 0 =∩ YB . Khi đó AYBX ⊆⊕⊆ Xác định đồng cấu NYB →⊕ : θ như sau )(0)()()()( bbybyb ψψθθθ =+=+=+ Như vậy θ là mở rộng của ψ và là mở rộng của ϕ . Do đó ),(),( θψ YBB ⊕⊆ mâu thuẫn với ),( ψ B tối đại. Giả sử AB ≠ , ta xét phần tử BAa −∈ Đặt { } BarRrK ∈∈= : Do BaR ∩= aK nên 0 ≠ K ( vì AB e ⊆ ) Ta xác định đồng cấu µ như sau: NaK → : µ )()( akak ψµ = Do N là aR -nội xạ nên µ có thể mở rộng được thành Nav → R: Ta xác định NaB →+ R: χ như sau )()()( arvbarb +=+ ψχ χ là ánh xạ vì giả sử có arbarb +=+ '' 0)'()'( =−+−⇔ ararbb Ta có )()()'()'()()''( arvbarvbarbarb −−+=+−+ ψψχχ )'()'( ararvbb −+−= ψ . Vì 0)'()'( =−+− rrabb nên Brra ∈− )'( Suy ra Krr ∈− ' do đó )'()'( ararararv −=− ψ Do đó )'()'()()''( ararbbarbarb −+−=+−+ ψψχχ )''( ararbb −+−= ψ 9 )0( ψ = 0 = . Vậy )()''( arbarb +=+ χχ Dễ dàng kiểm tra χ là đồng cấu và χ là mở rộng của ϕ . Vậy ),(),( χψ aRBB +⊆ điều này trái với ),( ψ B tối đại. Vậy AB = và NA → : ψ là mở rộng của ϕ hay N là A -nội xạ.  1.6. Mệnh đề Môđun N là )( i Ii A ⊕ ∈ - nội xạ nếu và chỉ nếu N là Ai - nội xạ Ii ∈∀ . Chứng minh ) ⇒ N là )( i Ii A ⊕ ∈ - nội xạ mà i Ii AAi ⊕ ∈ ⊆ , Ii ∈∀ nên theo Mệnh đề 1.4, N là Ai - nội xạ, Ii ∈∀ . ) ⇐ Giả sử N là Ai - nội xạ Ii ∈∀ . Đặt AX,AA i Ii ⊆= ⊕ ∈ và NX → : ϕ là đồng cấu. Tương tự chứng minh Mệnh đề 1.5, bằng bổ đề Zorn chúng ta có thể giả sử ϕ không thể mở rộng thành đồng cấu từ 'X vào N với bất kỳ môđun AX ⊆ ' mà X' chứa X . Khi đó A e X ⊆ . Do AX ≠ nên Ij ∈∃ và Aj ∈ a sao cho Xa ∉ . Vì N là Aj - nội xạ nên N là aR -nội xạ (theo Mệnh đề 1.4) Lý luận tương tự Mệnh đề 1.5, ta có thể mở rộng ϕ thành NaRX →+ : ψ , điều này trái với sự tối đại của ϕ . Vậy N là A - nội xạ.  1.7. Mệnh đề [11] ∏ Λ∈ α α M là A - nội xạ nếu và chỉ nếu α M là A - nội xạ Λ∈∀ α . 1.8. Định lý [11] Cho họ các môđun { } ∧∈ α α :M những điều kiện này là tương đương 10 (1) α α M ⊕ Λ∈ là A - nội xạ (2) i Ii M ⊕ ∈ là A -nội xạ với mọi tập con đếm được A ⊆ I . (3) α M là A -nội xạ Λ∈∀ α và mọi cách chọn )( Ν∈∈ iMm i i α với Λ∈ i α sao cho 0 1 0 am i i ≥ ∞ =  với Aa ∈ , dãy tăng  ni o i nm ≥ Ν∈ )( dừng. 1.9. Hệ quả [11] i i M ⊕ ∞ = 1 là A - nội xạ nếu và chỉ nếu i M là A - nội xạ Ν∈∀ i và mọi cách chọn ii Mm ∈ sao cho  ∞ = ≥ 1 0 i o i am với Aa ∈ , dãy tăng  ni o i nm ≥ Ν∈ )( dừng. Cho họ R - môđun { } Λ∈ α α :M . Ta có các điều kiện (A 1 ) Mọi cách chọn )(, Ν∈Λ∈ i i α và i Mm i α ∈ thì dãy tăng )( Ν∈ ≥ nm ni o i  dừng. (A 2 ) Mọi cách chọn )( Λ∈∈ α α Mx và i Mm i α ∈ với )( Ν∈Λ∈ i i α sao cho oo i xm ≥ thì dãy tăng  ni o i nm ≥ Ν∈ )( dừng. (A 3 ) Mọi cách chọn )( Ν∈Λ∈ i i α và i Mm i α ∈ , nếu dãy o i m là dãy tăng thì nó là dãy dừng. Rõ ràng )()()( 321 AAA ⇒⇒ 1.10. Mệnh đề [11] Cho α α MM ⊕ Λ∈ = . Khi đó )( α −Λ M là α M - nội xạ với mọi Λ∈ α nếu và chỉ nếu α M là β M - nội xạ với mọi Λ∈≠ βα và thoả mãn )( 2 A . 1.11. Mệnh đề [11] 11 α α M ⊕ Λ∈ là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi α M là nội xạ và thoả mãn )( 1 A . 1.12. Định lý [11] Tổng trực tiếp của một họ môđun A- nội xạ là A- nội xạ nếu và chỉ nếu mọi môđun con xyclic của A là Noether. Đặc biệt, tổng trực tiếp của mọi họ môđun nội xạ trên R là nội xạ nếu và chỉ nếu R là Noether phải. 12