định lí krein rutman và các mở rộng

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Thỏi Nguyờn Khang NH L KREIN - RUTMAN V CC M RNG LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh 2012 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Thỏi Nguyờn Khang NH L KREIN - RUTMAN V CC M RNG Chuyờn ngnh : Toỏn Gii tớch Mó s : 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS Lấ XUN TRNG Thnh ph H Chớ Minh - 2012 MC LC M U Chng NH L KREIN - RUTMAN CHO NH X DNG MNH 1.1 Khụng gian Banach vi th t sinh bi nún 1.1.1 Nún v th t sinh bi nún .3 1.1.2 Nún chun 1.1.3 Nún chớnh qui 1.1.4 Nún sinh 1.1.5 Nún liờn hp 1.2 nh x tuyn tớnh dng v s tn ti vect riờng dng 1.2.1 Giỏ tr riờng v vect riờng 1.2.2 Ph ca ỏnh x tuyn tớnh 1.2.3 nh x tuyn tớnh dng 10 1.3 nh lớ Krein Rutman 13 Chng NH L KREIN RUTMAN CHO NH X u DNG 18 2.1 nh x u dng 18 2.2 nh lớ KrienRutman cho ỏnh x u dng 19 Chng NH L KREIN-RUTMAN CHO NH X THUN NHT DNG 26 3.1 nh x thun nht dng v Bỏn kớnh ph m rng .26 3.2 M rng ca khỏi nim dng mnh .31 3.3 nh x e - dng 35 KT LUN 38 TI LIU THAM KHO 39 BNG Kí HIU : Tp hp cỏc s t nhiờn khỏc : Tp hp cỏc s thc 1+ : Tp hp cỏc s thc khụng õm : Tp hp cỏc s phc C[a ,b] : Khụng gian cỏc hm liờn tc trờn [ a, b ] vi chun x = sup f (t) a t b X* : Tp cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian X L(X, X) : Khụng gian cỏc hm tuyn tớnh liờn tc L1 () : Khụng gian cỏc hm kh tớch trờn Lp (= ) {f : ; f o c v p : Chun trờn khụng gian Banach X B(a, ) : Hỡnh cu m tõm a bỏn kớnh B(a, ) : Hỡnh cu úng tõm a bỏn kớnh C : Tp tt c cỏc im biờn ca C i j =à à1 ài } f L1 () , vi p < M U Lý thuyt phng trỡnh khụng gian cú th t i t nhng nm 1940 cụng trỡnh m u ca M.Krein v A.Rutman, c phỏt trin v hon thin cho n ngy Nú tỡm c nhng ng dng rng rói v cú giỏ tr nhiu lnh vc ca khoa hc v xó hi nh Lý thuyt phng trỡnh vi phõn, Vt lý, Y - sinh hc, Kinh t hc nh lý Krein - Rutman v giỏ tr riờng, vect riờng ca ỏnh x tuyn tớnh dng mnh l nh lý c tỡm sm nht v mt lý thuyt cng nh v mt ng dng ca lý thuyt ny nh lớ ny l m rng cỏc kt qu riờng quan trng sau õy: - nh lớ Perron, c tỡm nm 1907, khng nh rng Nu A l mt ma trn vuụng cú cỏc s hng l dng thỡ : 1) Bỏn kớnh ph r(A) ca A l s dng 2) r(A) l giỏ tr riờng n ca A 3) Nu r(A) l mt giỏ tr riờng ca A thỡ < r(A) 4) Vect riờng v ca A ng vi giỏ tr riờng r(A) cú cỏc to dng 5) v l vect riờng dng nht ca A ( chớnh xỏc ti mt tha s ) - nh lớ Jentseh, c chng minh nm 1912, m rng cỏc kt qu trờn cho toỏn t tớch phõn a K(t,s) (s)ds vi hch K(t,s) b Vỡ s quan trng ca nú m nh lý Krein - Rutman c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu v tỡm cỏc ng dng mi cho n gn õy Do ú vic tỡm hiu v nh lý ny cựng cỏc m rng ca nú l ti cú ý ngha cho cỏc hc viờn cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch Mc tiờu ca lun l gii thiu nh lớ Krien Rutman ban u vi phộp chng minh da vo phng phỏp h ng lc v mt vi m rng ca nh lớ ny, ú cú kt qu mi tỡm gn õy Lun cú chng : Chng1 Trỡnh by nh lý Krein Rutman bng phng phỏp h ng hc Chng2 Trỡnh by m rng nh lý Krein Rutman cho ỏnh x u dng Chng3 Trỡnh by m rng nh lý Krein Rutman cho ỏnh x thun nht dng Lun c hon thnh di s hng dn tn tỡnh ca TS Lờ Xuõn Trng, Khoa Toỏn Thng Kờ - i hc Kinh t TP.HCM Tụi xin by t s kớnh trng v lũng bit n sõu sc n thy Tụi bit n sõu sc PGS.TS Nguyn Bớch Huy, Khoa Toỏn-Tin, trng i hc S Phm TP.HCM, v s giỳp tn tỡnh v s ch bo vụ cựng quý bỏu ca Thy cho tụi nghiờn cu khoa hc Tụi kớnh gi n Ban Giỏm hiu, Ban ch nhim khoa Toỏn - Tin, B mụn Toỏn Gii tớch v Phũng Sau i Hc ca trng i hc S phm TP.HCM ó giỳp tụi rt nhiu quỏ trỡnh hc v thc hin lun vn, nhng li cỏm n chõn thnh v trõn trng Tụi kớnh gi n Ban Giỏm Hiu, Ban chp hnh cụng on trng, t Toỏn - Tin trng THPT Nguyn Hu - Lagi - Bỡnh Thun, ni tụi ang cụng tỏc, ó to iu kin thun li v vt cht cng nh tinh thn tụi hon thnh tt nhim v ca mt hc viờn, nhng li cm n sõu sc v trõn trng Tụi thnh tht cm n cỏc Anh ch ng nghip v ngi thõn ca tụi ó giỳp tụi v mi mt Cm n gia ỡnh ó luụn l ngun ng viờn to ln cho tụi sut quỏ trỡnh hc cng nh thc hin lun ny Thnh ph H Chớ Minh, thỏng nm 2012 Thỏi Nguyờn Khang Chng NH L KREIN - RUTMAN CHO NH X DNG MNH 1.1 Khụng gian Banach vi th t sinh bi nún 1.1.1 Nún v th t sinh bi nún nh ngha 1.1.1 Cho X l khụng gian Banach trờn trng s thc a) Tp K X c gi l nún nu tha cỏc iu kin sau: H : K l úng, K , H : K + K K , K K , 0, H : K ( K) = {} b) Nu K l nún thỡ th t X sinh bi K c nh bi: x y y x K Mi x K \ {} gi l dng Vớ d i) K= [0, + ) l nún = ii) K {(x1 , x ): x1 0, x 0} l nún Mnh 1.1.1 Gi s l th t sinh bi nún Khi ú: a) Nu x y thỡ x + z y + z , x y, vi mi z X , vi mi b) Nu x n y n vi mi n * v= lim x n x= , lim y n y thỡ x y n n c) Nu {x n } l dóy tng, hi t v x thỡ x n x, vi mi n* Chng minh a) Ta cú: ( y + z ) ( x + z ) = y x K , vi z X nờn x + z y + z y x = (y x)K , vụựi neõn x y b) T x n y n , vi mi n * suy rng y n x n K Do ú (y n x n ) (y x) K ( tớnh cht úng ca K ).Vy x y c) Gi s { x n } tng Khi ú x n x n+m (m, n * ), cho m , ta c: x n x, vi mi n * 1.1.2 Nún chun nh ngha 1.1.2 Nún K gi l nún chun nu tn ti N > cho x y thỡ x N y Vớ d: Nún K= {f C[ 0,1] } : f l nún chun C [0,1] Chng minh Ly f, g K tha iu kin f g hay vi t [0 ,1], ta cú f(t) g(t) suy Sup f (t) Sup g(t) hay f g t[ 0,1] t[ 0,1] Vy K l nún chun vi hng s N = Mnh 1.1.2 Cho K l nún chun X Khi ú: a) Nu u v thỡ on u , v := {x X : u x v} b chn theo chun b) Nu x n yn z n , vi mi n * v = lim x n n a, = lim z n n a thỡ lim y n = a n c) Nu {x n } n iu v cú dóy hi t v a thỡ lim x n = a n Chng minh a) Vi mi x u, v ta cú x u v u v K l nún chun nờn x u N u v suy x u + N u v Vy u, v b chn theo chun b) Ta cú: y n x n z n x n , vi mi n * v K l nún chun nờn y n x n N z n x n , vi mi n * M lim z n x n = nờn n lim y n x n = Do ú lim y n =lim[(y n x n ) + x n ] =0 + a Vy lim y n = a n n n n c) Gi s {x n } tng v lim x n = a Vỡ x n x n (n * c nh, k ln) nờn k k k x n a , vi mi n * Cho > 0, chn k x n a < k0 thỡ ta cú N n n k a x n a x n a x n N a x n < K0 k0 Vy lim x n = a n 1.1.3 Nún chớnh qui nh ngha 1.1.3 Nún K gi l nún chớnh qui nu mi dóy tng v b chn trờn thỡ hi t Vớ d 1) Trong C[a= ,K ,b ] {x: x(t) 0, t [a, b]} khụng l chớnh qui t a Vỡ ta cú dóy x n (t) = gim v b chn di nhng khụng hi t ba n 2) Trong Lp (), (1 p < ) nún K = {x Lp ():x(t) 0, h.k.n} l chớnh qui Chng minh Xột dóy {x n } Lp tho x n x n +1 u Lp Coi x n (t) x n +1 (t) u(t), vi mi t t x (t) lim x n (t), t = n Ta cú: x Lp ( x n (t) o c nờn x o c, x 0p (t)dà u p (t)dà < ) 1/p x n = x (x (t) x n (t)) p dà ( vỡ (x (t) x n (t)) n iu v hi t h.k.n v ) Mnh 1.1.3 Nu K l nún chớnh qui thỡ K l nún chun Chng minh Gi s trỏi li K khụng l nún chun, ta cú: Vi mi n* , tn ti x n , y n : x n y n , x n > n y n t u n = Vỡ xn yn thỡ u n v n ,= u n 1, v n < = , n xn xn n =1 n =1 < nờn tn ti v : = Xột dóy S n : = u + u + + u n , ta cú : Sn v1 + v2 + + v n =1 Sn Sn= n = v (S n ) n b chn trờn u n (do u n K ) (S n ) n tng Vy (S n ) n tng, b chn trờn m K l nún chớnh qui nờn (S n ) n hi t Do ú lim u n = mõu thun vi u n = ( n* ) n 1.1.4 Nún sinh nh ngha 1.1.4 Nún K gi l nún sinh nu X= K K hay vi mi x X , tn ti u , v K cho x= u v Vớ d a) Nún cỏc hm khụng õm C(K), LP l nún sinh b) Nu nún K cú im u thỡ ta cú tn ti r > cho : r x u x r x u , vi mi x X v K l nún sinh Chng minh Ta cú u intK nờn tn ti > : u + B(, ) K Do ú u0 1 x B(u , ) K u x K , x x u x x u x x t r = , ta c r x u x r x u v x = ( x + r x x ) r x x K K Vy K l nún sinh Mnh 1.1.4 Nu K l nún sinh thỡ tn ti M > cho vi mi x X , tn ti u, vK : x= u v, u M x , v M x 25 a1x + b1= y A p (a x + b y) Ta tỡm c rng a12 + b = ( + ) p (a + b ) (do (2.2)) 0 a1 b1 a12 + b12 T (2.6) ta cú : p , p a 02 + b 02 ( + ) p ( 0p c) T p ( c) c c (nu (a , b ) (0,0) ) ( + ) p 2p + hay Ta kim tra (a , b ) (0,0) hay T cha cỏc im (a, b) (0,0) Ta cú : x= x / x / / ; x / , x / / K, x / / ( (2.3) ) * p // c > 0, p : A (x ) cx A p (x) A p (x ,, ) cx A p (x) + x K c Phõn tớch : p A (x)= ax + by thỡ (a, b) T , (a, b) (0,0) c 26 Chng NH L KREIN-RUTMAN CHO NH X THUN NHT DNG 3.1 nh x thun nht dng v Bỏn kớnh ph m rng Cho X l khụng gian Banach thc vi th t sinh bi nún P a) Mt ỏnh x T : X X gi l thun nht dng bc nu T= (tx) t T(x), t > 0, x X b) Mt ỏnh x T : X X tng ( tng ngt) nu x y thỡ Tx Ty ( nu x < y thỡ Tx < Ty ) c) t P = P \ {} , mt cp ( , x ) R 1+ ì P c gi l cp riờng dng nu T (x) = x nh ngha 3.1.1 Cho T l ỏnh x tng , thun nht dng bc 1, compact v liờn tc vi mi x P , ta nh ngha : P* (x)= {x * * P* : x* , x > 0} vi P= {x * X* : x* , x 0, x P} x* ,Tx x* ,Tx , (x) sup = * x*P ( x ) x* , x x*P ( x ) x , x à* (x) = inf * r* (T) = sup à* (x) , xP * * r * (T) = inf à* (x) xP Tớnh cht 3.1.2 1) Vi mi x P , P* (x) l trự mt P 2) Nu int P thỡ vi mi x int P, P* (x) = P 3) Nu tn ti c > v tn ti x P tho cx Tx (cx Tx) thỡ r * (T) à* (x) c (tng ng r* (T) à* (x) c ) 27 4) Mt cp (, x) l cp riờng dng nu v ch nu (, x) R 1+ ì P v à* (x) = = à* (x) (tng ng r* (T) à* (x) c V ú r * (T) r* (T) nu l giỏ tr riờng ca T vi vộct riờng dng Chng minh 1) Tht vy, ta cú : P = {x * X* : x * , x 0, x P} \ {X * } nờn x* P \ P* (x) thỡ x * , x =0 Theo nh lớ m rng cỏc hm s dng ta cú tn ti x *0 P * vi x *0 = tho x* , x > Khi ú x * + x *0 P* (x), vi mi > Vỡ x * + x*0 x * nờn x * P* (x) Do ú P P* (x) hay P* (x) l trự mt P 2) Tht vy, tacú : P* (x) P (do nh ngha P* (x) , P ) Ta chng minh P P* (x) Tht vy , vỡ int P nờn vi mi x int P , ta cú : x * , x > , vi mi x * P (do mnh 1.1.5 (c) ) nờn x P* (x) Vy vi mi x int P, P* (x) = P 3) Tht vy, ta cú vi mi x * P (x) , x* ,Tx x * ,cx * =c Tx cx x ,Tx x ,cx x* , x x , x * = à* (x) sup x*P* ( x ) * x* ,Tx c r * (T) =inf à* (x) c * xP x , x Chng minh tng t ta c r* (T) à* (x) c 4) a) ) Tht vy,ta cú : vi mi (, x) R 1+ ì P : Tx = x , ú ta cú x* ,Tx x* , x = = vi mi x * P* (x) nờn à* (x) = = à* (x) * * x , x x , x ) Tht vy, ta cú: à* (x) = = à* (x) , vi mi (, x) R 1+ ì P 28 x* ,Tx x* ,Tx x* ,Tx = Tx = x x* , x x* , x x* , x (, x) l cp riờng dng b) Ta cú à* (x) = = à* (x) sup à* (x) inf à* (x) r* (T) r * (T) xP xP Vớ d 3.1.3 Nu T L(X, X) l dng v compact vi r(T) > thỡ r* (T) r(T) r * (T) Chnh minh t =r (T) Ta chng minh r * (T) Tht vy, vi mi > nh, + (T) ( (T) cỏc giỏ tr chớnh qui ca ca T) Vỡ [ ( + ) I T ] x= [ ( Tn l dng , u P nờn = n +1 n ( + ) + ) I T ] u P suy ( + )x = Tx + u Tx p dng tớnh cht 3) ta c : r * (T) + ; vỡ > l nh tu ý nờn ta cú r * (T) Ta chng minh r* (T) Tx cx Ch cn chng minh rng : vi mi c < , tn ti x c P: c c (3.1) Gi s (3.1) khụng ỳng Khi ú x t 01 Tx, vi mi (x, t) S+ ì [ 0,1] , ú S+ = P B1 () Vỡ T compact nờn tn ti > tho inf ( x ,t )S+ ì[ 0,1] x t 01 Tx 20 ) , ú Chn u P vi u < Khi ú vi mi (0, 4M = M max { Tx : x 1} , vi mi (x, t) S+ ì [ 0,1] , ta cú : x t( ) (Tx u) > (3.2) 29 Theo tớnh cht bt bin ng luõn ca bc Leray Schauder ta cú: i P ( (I ( ) (T u), P B1 ()=) i P (I, P B1 ())= , ú i P l ch s Leray Schauder i vi nún P Khi ú tn ti x P B1 () tho ( ) = x Tx u Vỡ vy, Tx ( ) x iu ny mõu thun Do ú (3.1) l ỳng p dng mt ln na tớnh cht 3) ta c r* (T) Vy r* (T) r(T) r * (T) nh lớ 3.1.4 Gi s T : P P l ỏnh x tng, thun nht dng bc 1, compact, liờn tc v cú mt cỏc gi thit sau õy : dim X < r * (T) > r* (T) > Khi ú tn ti mt cp riờng dng ( o , x ) tho trng hp 1, r * (T) trng hp 2, =r (T) trng hp * Chng minh Ta ly u P v > tu ý , v xỏc nh mt ỏnh x f : P ì R 1+ P nh bi f (x, à) = (Tx + u) Vỡ f (x,0) = nờn theo nh lớ Leray Schauder nghim ca phng trỡnh x = f (x, à) = (Tx + u) cú mt thnh phn liờn thụng khụng b + chn C = {(x , à) P ì R + à) x )} i qua (,0) : f (x, = T phng trỡnh, ta cú x (à) = T(x (à) + u) Tu , (3.4) iu kin T tng v thun nht dng bc Theo nh lớ m rng ca phim hm dng (Hanh Banach) , cú tn ti x* P * vi x* = , v c = x* ,Tu > Khi ú ta cú : x (à) x* , x (à) x* , àTu àc (3.5) 30 Hn na, T l compact nờn tn ti M > cho Tx M x (3.6) C nh > bt k, thnh phn C+ khụng b chn nờn hoc hoc x (à) l khụng b chn Do ú tn ti cho x = , ú x= x (à ) T (3.4) : ta cú : = x = T(x (à ) + u) M x + u M(1 + u ) , ta suy M(1 + u ) tc l b chn di bi s ln hn Trng hp 1: dim X < Khi ú tn ti dóy n cho x n x vi x = ú x n = x n t n =à v n = Khi ú tựy theo n b chn hoc khụng b chn, ta cú mt àn n dóy con, n M hoc n Nhng iu ny cú ngha n o vi v Tx = x Trng hp 2: r * (T) > T phng trỡnh (3.4), chỳng ta cú : x = x (à ) = T(x (à ) + u) Tx p dng tớnh cht 3), ta c r * (T) : = (à ) Do gi thit r * (T) > nờn b chn Vỡ T compact ta cú c dóy {x n } v {à n } , ú xn = x , n v n =à n cho vi Tx n y , n y X, M , * r (T) x n = n T(x n + n u) y o v t x = y o , ú ta cú T phng trỡnh Tx = x v x n x Do ú x = v =à r * (T), M Trng hp 3: r (T) > * Nh ó thy vớ d 3.1.3b) gi thit r (T) > a n vi mi (0, r (T) ), * * tn ti y P cho (r* (T) )y Ty Do ú ta thy rng x n (r* (T) ) n u, vi n = 1, 2, , vi mi (x, à) C+ v ú (r* (T) ) 31 Bng cỏch lp lun tng t c s dng on trc ú cho phn cũn li , chỳng ta cú th chng minh rng tn ti (x o , ) vi x = 1, x P v r (T) * tho Tx = x Vỡ l mt giỏ tr riờng dng vi vect riờng dng, ỏp dng tớnh cht 4) ta c r (T) Vy =r (T) * * 3.2 M rng ca khỏi nim dng mnh nh ngha 3.2.1 v P ta nh ngha : (v) Vi mi u P, u = sup {t R + : u + tv P} Mnh 3.2.2 1) t [ 0, u (v)] u + tv P 2) t > u (v) u + tv P Chng minh 1)Tht vy,: Vi t nh, gi s trỏi li u + tv P u + tv X \ P Khi ú t ta c u X \ P iu ny mõu thun 2) Tht vy, Vi t > , gi s trỏi li u + tv P suy u + v P , cho t + ta t c v P iu ny mõu thun B 3.2.3 Gi s int P v u int P Khi ú vi mi v P thỡ u (v) > Chng minh Ta cú u int P nờn tn ti r > : B(u, r) P Mt khỏc u+ v r rP {t R 1+ / u + tv P} v v u (v) r > (do r > v v > ) v 32 B 3.2.4 Gi s int P v T : P P l ỏnh x tng, thun nht dng bc Nu tn ti Tx x thỡ (, x) R 1+ \ {0} ì int P v (à, y) R 1+ ì P cho Ty ày Chng minh : Ta ỏp dng B 3.2.3 cho cp (x,- y), v t c : x ty P, t [ 0, x ( y)] x ty P, t > x ( y) Ta cú : x Tx x ( y)Ty x ( y)ày x x ( y)y P x x ( y)y P à x ( y) x ( y) nh ngha 3.2.5 or* (T) = sup à* (x) ; xint P or (T) = inf à* (x) * xint P Mnh 3.2.6 Nu (, x) R 1+ ì int P l cp riờng dng thỡ or (T) or (T) * * Chng minh Tht vy , ta cú Tx = x, vi mi x int P , ú < x * ,Tx > < x * , x > (x) = sup = sup = = (x) * * x*P ( x ) < x , x > x*P ( x ) < x , x > * * * * Do ú inf (x) sup (x) hay or (T) or (T) * * xint P xint P * * 33 nh lớ 3.2.7 Gi s int P Nu T : P P l ỏnh x tng, thun nht dng bc , compact, liờn tc thỡ r (T) or (T) * * Chng minh Theo nh ngha r (T) , ta cú vi mi > , tn ti y P cho * à* (y ) r (T) < à* (y ) + x * P* (y ) r (T) < à* (y ) * * x * ,Ty , vi x* , y mi x * P* (y ) Do ú x * ,Ty (r* (T) )y ,vi mi x * P* (y ) Theo tớnh cht 1), bt ng thc trờn ỳng vi mi x* P* Do cỏc nh lớ m rng ca cỏc phim hm dng (Hahn- Banach), ta c Ty (r* (T) )y Mt khỏc , bi lý tng t , ta cú x int P cho (or (T) + )x Tx * Bõy gi, ta ỏp dng B 3.2.4 , ta c r* (T) or * (T) + Vỡ > tu ý nờn cho ta c r* (T) or * (T) nh ngha 3.2.8 Gi s int P T c gi l bỏn dng mnh nu tn ti x * P* cho x * ,Tx > = x * , x , vi mi x P \ int P B 3.2.9 Cho T = (t i j ) nìn l ma trn khụng õm Khi ú xột nh mt toỏn t tuyn tớnh khụng õm , T l bỏn dng mnh v ch ma trn bt kh quy Chng minh Tht vy, x (x1 , x , x n ) P \ int P nu v ch nu tn ti nht mt = tht s I ca {1, 2, n} cho x i = 0, i I, x j > 0, j I t X I = {x n |x i = 0, i I, x j 0, j I} Nu T kh qui tc l tn ti mt khụng gian bt bin thc s X n , ú X P l bt bin theo T Ta chn x P \ int P ,vi X I = X , vi mi 34 = x * (y1 , y , , y n ) P* cho x * , x =0 , ta cú y j = 0, vi mi j I , iu ny cú ngha l x * ,Tx = Khi ú T khụng phi l bỏn dng mnh Ngc li, nu T khụng phi l bỏn dng mnh, tc l tn ti x P \ int P , cho vi mi x * P* , x * , x =0 thỡ x * ,Tx = Khi ú t jI ij Tx X I , ú I l c nh ngha theo x trờn , tc l x j = , vi mi i I iu ú a n t i j = , vi mi (i, j) I ì I / , ú I / l phn bự ca I Vy T l kh qui nh lớ 3.2.10 Gi s T l ỏnh x bỏn dng mnh , thun nht dng bc 1, tng ngt, compact, liờn tc, cho r * (T) > hoc r (T) > Khi ú = r * (T) = r (T) l giỏ * * tr riờng dng nht vi vect riờng dng Hn na, giỏ tr riờng cú bi hỡnh hc l v vect riờng x int P Ngoi l ln nht s tt c cỏc giỏ tr riờng thc ca T Chng minh : Ta chng minh à* (x) = + , vi mi x P \ int P Tht vy, theo nh ngha ỏnh x bỏn dng mnh ta cú : tn ti x * P* cho x * ,Tx > = x * , x , vi mi x P \ int P vi mi y* P* (x) , ta t : x *n =x * + x *n ,Tx x * ,Tx v x *n , x = Do ú à* (x) * y P* (x) Khi ú tacú : n * y , x n x *n ,Tx x * ,Tx * , n x *n , x x n , x Theo nh lớ 3.2.7 ta c r * (T) =inf à* (x) = inf à* (x) =or * (T) r (T) xP xint P * 35 Theo nh lớ 3.1.4 ta cú tn ti cp riờng dng ( , x ) v theo tớnh cht 4) ta r * (T) = r (T) c : = * Hn na, t nh ngha ca bỏn dng mnh v cp riờng dng, vect riờng tng ng x int P Bõy gi chỳng ta chng minh bi hỡnh hc ca l Gi s rng tn ti x1 X tho Tx1 = x1 nhng x1 x Trc tiờn ta gi s x1 P theo B 3.2.3 thỡ s x (x1 ) > Vỡ x + x (x1 )x1 P , v T tng ngt v 0 1- thun nht dng, nu x x (x1 )x1 , ú Tx > T( x (x1 )x1 ) Do ú 0 x > x (x1 )x1 iu ny mõu thun vi nh ngha ca x (x1 ) 0 Tip theo, chỳng ta gi s x1 P , bi cựng mt cỏch thc , mt ln na cú th chng t x1 = t x Vy bi hỡnh hc ca l Cui cựng cho (, x) l mt cp riờng , ta mun chng t Vỡ x int P nờn ta cú x x ( x)x P tc l x x ( x)x Vỡ T tng v thun nht dng 0 bc Ta cú : x = Tx x ( x)Tx = x ( x)x hay x x ( x) 0 x P Do ú 3.3 nh x e- dng nh ngha 3.3.1 Cho e P , mt ỏnh x T :P P l e dng nu vi mi x P cú tn ti c ( x ) , d ( x ) > cho c(x) e Tx d(x) e Vớ d : nh x dng mnh l e dng, vi mi e int P B 3.3.2 Nu T l e dng thỡ vi mi x, y P , Tx (Ty) > Chng minh: Do T l e dng v vi mi x, y P ta cú : 36 c ( x ) , d ( x ) > , cho c(x).e Tx d(x).e v c ( y ) , d ( y ) > , cho c(y).e Ty d(y).e Do ú ( c(x) td(y) ) e Tx tTy B 3.3.3 Cho T : P P l ỏnh x tng , thun nht dng bc 1, e dng Nu (, x),(à, y) R 1+ ì P tho Tx x v Ty ày thỡ Chng minh Ta theo phng phỏp chng minh ca B 3.2.4 Vỡ lỳc ny Tx (Ty) > , ta cú Tx Tx (Ty)Ty x Tx (Ty)ày tc l x Tx (Ty) y P Vỡ T tng v thun nht dng bc nờn Tx Tx (Ty) Ty Vy theo nh ngha Tx (Ty) ta c nh lớ 3.3.4 Gi s T : P P l ỏnh x e dng, tng , thun nht dng bc 1, compact, v liờn tc, cho r * (T) > hoc r (T) > Khi ú tn ti nht giỏ tr riờng * = r (T) = r (T) , vi vect riờng dng x P Nu ngoi ra, T l tng ngt thỡ * * x l vect riờng dng nht chớnh xỏc ti tha s Chng minh : Ta theo phng phỏp chng minh ca nh lớ 3.2.10 Vi mi > ta tỡm c x , y P cho Tx ( r * (T) + ) x v Ty ( r (T) ) y * Theo B 3.3.3 ta c r (T) r (T) * * p dng nh lớ 3.1.4 ta cú cp riờng dng ( , x ) 1+ ì P v theo tớnh cht 4), ta cú r (T) r (T) r (T) nờn r (T) = r (T) = * * * * * 37 Tip theo ta chng minh tớnh nht ca vect riờng dng Tx = x theo B 3.3.2 ta cú x ( y) =Tx (Ty) > Gi s x, y P tho Ty = y v ú x x ( y)y P Nu x x ( y)y , vỡ T tng ngt v thun nht dng bc thỡ ta cú Tx x ( y)Ty iu ny mõu thun vi nh ngha ca x ( y) H qu 3.3.5 Gi s T l ỏnh x tng, thun nht dng bc , compact v liờn tc, cho r * (T) > hoc r (T) > Nu T l bỏn dng mnh hoc e dng i vi mt * e P thỡ ta cú r * (T) = r (T) * Chng minh - Nu T l bỏn dng mnh ỏp dng nh lớ 3.2.10 ta c : r * (T) = r (T) = * - Nu T l e dng ỏp dng nh lớ 3.3.4 ta c : r * (T) = r (T) = * 38 KT LUN Trong lun vn, chỳng tụi gii thiu nh lớ KreinRutman cho ỏnh x dng mnh, sau ú m rng cho ỏnh x u dng, ỏnh x thun nht dng i vi lp ỏnh x thun nht, n iu, bỏn dng mnh hoc e dng bng cỏch nh ngha bỏn kớnh ph m rng, chỳng tụi gii thiu cỏc m rng ca nh lớ KreinRutman Cỏc kt qu c trỡnh by lun chỳng tụi cú th phỏt trin theo cỏc hng sau : p dng cho phng trỡnh vi phõn cha toỏn t p Laplace Chng minh cỏc kt qu tng t cho ỏnh x a tr Trong lun chc chn khụng trỏnh nhng thiu sút, kớnh mong quý thy cụ, cỏc bn ch bo v úng gúp ý kin lun t cht lng cao hn Xin chõn thnh cm n ! 39 TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Bớch Huy (2000), Phộp tớnh tớch phõn , NXB i hc quc gia, TP H Chớ Minh [2] Nguyn Bớch Huy ( 2010), Giỏo trỡnh mụn gii tớch phi tuyn 2, Trng i hc S Phm TP H Chớ Minh [3] K.C.Chang (2009), A nonlinear KreinRutman theorem, J Syst Sci & Complexity, 22, pp542 -554 [4] K.Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, Berlin [5] M.A.Krasnoselskii (1964), Positive solution of operator equations, Groningen, Noordhoff [6] M.Krien, M.A Rutman (1962), Linear operators leaving invariant a cone in Banach space Transl AMS, 10, pp 199-325 [...]... k k z ≥ µ và do đó z z ⇒ ∈ ω(u) z z Vậy ω(u) ≠ ∅ Bổ đề 1.3.5 Cho u ∈∑ + và v ∈ ω (u) Khi đó v là điểm cố định của S và do đó là một vectơ riêng của T Chứng minh Theo cách định nghĩa v ∈ ω (u) ta có tồn tại duy nhất dãy con i k , k = 1, 2, sao cho limSi u = v (1.2) k k →∞ Nếu v ≠ Sv , khi đó u ≠ Su và H 3 dẫn đến là u, Su và v, Sv là các cặp vectơ độc lập tuyến tính Áp dụng (1.2) và   T i... (0,0) hay T chứa các điểm (a, b) ≠ (0,0) Ta có :  x= x / − x / / ; x / , x / / ∈ K, x / / ≠ θ ( do (2.3) )  * p // ∃c > 0, ∃p ∈  : A (x ) ≤ cx 0 1 ⇒ A p (x) ≥ − A p (x ,, ) ≥ −cx 0 ⇒ A p (x) + x 0 ∈ K c Phân tích : 1 p A (x)= ax + by thì (a, b) ∈ T , (a, b) ≠ (0,0) c 26 Chương 3 ĐỊNH LÍ KREIN- RUTMAN CHO ÁNH XẠ THUẦN NHẤT DƯƠNG 3.1 Ánh xạ thuần nhất dương và Bán kính phổ mở rộng Cho X là không... R 1+ → P định bởi f ε (x, µ) = µ (Tx + εu) Vì f ε (x,0) = θ nên theo định lí Leray – Schauder tập nghiệm của phương trình x = f ε (x, µ) = µ (Tx + εu) có một thành phần liên thông không bị + chặn C = ε {(x , µ) ∈ P × R ε 1 + µ) x ε )} đi qua (θ,0) : f ε (x, = Từ phương trình, ta có x ε (µ) = µ T(x ε (µ) + εu) ≥ µε Tu , (3.4) do điều kiện T tăng và thuần nhất dương bậc 1 Theo định lí mở rộng của phiếm... compact nên tồn tại x n k n lim x n , x 0 ∈ K, x= 1 và ta có A(x 0 ) = λx 0 A(x n ) → y Do đó tồn tại x= 0 : 0 k →∞ k (do qua giới hạn đẳng thức A(x n ) + k k v = λ n x n ) nk k k Vậy A có trong K vectơ riêng với giá trị riêng tương ứng λ ≥ α p 13 1.3 Định lí Krein – Rutman Định nghĩa Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón C , với int C ≠ ∅ , và T: X → X là một toán tử tuyến tính T được gọi... ≥ r(T) ≥ r * (T) Định lí 3.1.4 Giả sử T : P → P là ánh xạ tăng, thuần nhất dương bậc 1, compact, liên tục và có một trong các giả thiết sau đây : 1 dim X < ∞ 2 r * (T) > 0 3 r* (T) > 0 Khi đó tồn tại một cặp riêng dương (λ o , x 0 ) thoả λ 0 ≥ 0 trong trường hợp 1, λ 0 ≥ r * (T) trong trường hợp 2, λ 0 =r (T) trong trường hợp 3 * Chứng minh Ta lấy u ∈ P và ε > 0 tuỳ ý , và xác định một ánh xạ f... X vào X Định lí Bán kính phổ của A được tính bởi r(A) = lim n A n n →∞ Định lí (Phổ của ánh xạ compact) Giả sử X là không gian Banach với dim X = ∞ và A là ánh xạ tuyến tính compact Khi đó ta có: 10 1) 0 ∈ σ(A) 2) Mỗi λ ∈ σ(A) \ {0} là một giá trị riêng 3) Chỉ xảy ra một trong cá khả năng sau : - hoặc σ(A) = {0} - hoặc σ(A) \ {0} hữu hạn - hoặc là một dãy tiến về 0 1.2.3 Ánh xạ tuyến tính dương Định. .. của u k >1 i > k Ta có kết quả sau : Nếu v ∈ ω(u) thì ta có tồn tại duy nhất dãy con i k , k = 1, 2, sao cho limSi u = v k k →∞ Định lí 1.3.3 (Krein – Rutman) Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón C , int C ≠ ∅ và cho T : X → X là toán tử tuyến tính compact và dương mạnh Khi đó : i) Bán kính phổ ρ(T) của T là dương ii) ρ(T) là một giá trị riêng đơn của T iii) Nếu µ ≠ ρ(T) là giá trị riêng... ∈ P} \ {θX * } nên x* ∈ P ∗ \ P* (x) thì 〈 x * , x 〉 =0 Theo định lí mở rộng các hàm số dương ta có tồn tại x *0 ∈ P * với x *0 = 1 thoả 〈 x* , x〉 > 0 Khi đó x * + εx *0 ∈ P* (x), với mọi ε > 0 Vì x * + εx*0 → x * khi ε → 0 nên x * ∈ P* (x) Do đó P ∗ ⊂ P* (x) hay P* (x) là trù mật trong P ∗ 2) Thật vậy, tacó : P* (x) ⊂ P ∗ (do định nghĩa P* (x) , P ∗ ) Ta chứng minh P ∗ ⊂ P* (x) Thật vậy... có số t x = sup T T đóng Thật vậy, xét t n → t, t n ∈ T hay t n ≥ 0 và x ≥ t n u 0 , cho n → ∞ ta được : x ≥ tu 0 và t ≥ 0 nên t ∈ T Do T đóng nên t x ∈ T hay x ≥ t x u 0 Vậy t x là số cần tìm 11 Định lí 1.2.4 Giả sử các điều kiện sau thoả i) A: X → X là ánh xạ tuyến tính dương, compact ii) Tồn tại phần tử u 0 ∈ K − K, u 0 ∉ − K và số α > 0 , p ∈ * thoả mãn A p (u 0 ) ≥ αu 0 Khi đó A có trong K... là một vectơ riêng của T Do đó có α, β với α < 0 thoả αv + βw ∈ int C Điều này và (1.6) một lần nữa dẫn đến mâu thuẫn với H 4 Vậy w ∉ C Lập luận tương tự cho thấy rằng bội đại số của λ là 1 và µ < λ cho bất kỳ giá trị riêng phức của T 18 Chương 2 ĐỊNH LÍ KRIEN – RUTMAN CHO ÁNH XẠ u 0 – DƯƠNG 2.1 Ánh xạ u 0 – dương Định nghĩa 2.1 Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K , A : X → X là ... 10 1.3 nh lớ Krein Rutman 13 Chng NH L KREIN RUTMAN CHO NH X u DNG 18 2.1 nh x u dng 18 2.2 nh lớ KrienRutman cho ỏnh x u dng 19 Chng NH L KREIN- RUTMAN CHO NH... NH L KREIN - RUTMAN V CC M RNG Chuyờn ngnh : Toỏn Gii tớch Mó s : 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS Lấ XUN TRNG Thnh ph H Chớ Minh - 2012 MC LC M U Chng NH L KREIN. .. m rng nh lý Krein Rutman cho ỏnh x u dng Chng3 Trỡnh by m rng nh lý Krein Rutman cho ỏnh x thun nht dng Lun c hon thnh di s hng dn tn tỡnh ca TS Lờ Xuõn Trng, Khoa Toỏn Thng Kờ - i hc Kinh