B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Thỏi Nguyờn Khang NH L KREIN - RUTMAN V CC M RNG LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh 2012 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Thỏi Nguyờn Khang NH L KREIN - RUTMAN V CC M RNG Chuyờn ngnh : Toỏn Gii tớch Mó s : 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS Lấ XUN TRNG Thnh ph H Chớ Minh - 2012 MC LC M U Chng NH L KREIN - RUTMAN CHO NH X DNG MNH 1.1 Khụng gian Banach vi th t sinh bi nún 1.1.1 Nún v th t sinh bi nún .3 1.1.2 Nún chun 1.1.3 Nún chớnh qui 1.1.4 Nún sinh 1.1.5 Nún liờn hp 1.2 nh x tuyn tớnh dng v s tn ti vect riờng dng 1.2.1 Giỏ tr riờng v vect riờng 1.2.2 Ph ca ỏnh x tuyn tớnh 1.2.3 nh x tuyn tớnh dng 10 1.3 nh lớ Krein Rutman 13 Chng NH L KREIN RUTMAN CHO NH X u DNG 18 2.1 nh x u dng 18 2.2 nh lớ KrienRutman cho ỏnh x u dng 19 Chng NH L KREIN-RUTMAN CHO NH X THUN NHT DNG 26 3.1 nh x thun nht dng v Bỏn kớnh ph m rng .26 3.2 M rng ca khỏi nim dng mnh .31 3.3 nh x e - dng 35 KT LUN 38 TI LIU THAM KHO 39 BNG Kí HIU : Tp hp cỏc s t nhiờn khỏc : Tp hp cỏc s thc 1+ : Tp hp cỏc s thc khụng õm : Tp hp cỏc s phc C[a ,b] : Khụng gian cỏc hm liờn tc trờn [ a, b ] vi chun x = sup f (t) a t b X* : Tp cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian X L(X, X) : Khụng gian cỏc hm tuyn tớnh liờn tc L1 () : Khụng gian cỏc hm kh tớch trờn Lp (= ) {f : ; f o c v p : Chun trờn khụng gian Banach X B(a, ) : Hỡnh cu m tõm a bỏn kớnh B(a, ) : Hỡnh cu úng tõm a bỏn kớnh C : Tp tt c cỏc im biờn ca C i j =à à1 ài } f L1 () , vi p < M U Lý thuyt phng trỡnh khụng gian cú th t i t nhng nm 1940 cụng trỡnh m u ca M.Krein v A.Rutman, c phỏt trin v hon thin cho n ngy Nú tỡm c nhng ng dng rng rói v cú giỏ tr nhiu lnh vc ca khoa hc v xó hi nh Lý thuyt phng trỡnh vi phõn, Vt lý, Y - sinh hc, Kinh t hc nh lý Krein - Rutman v giỏ tr riờng, vect riờng ca ỏnh x tuyn tớnh dng mnh l nh lý c tỡm sm nht v mt lý thuyt cng nh v mt ng dng ca lý thuyt ny nh lớ ny l m rng cỏc kt qu riờng quan trng sau õy: - nh lớ Perron, c tỡm nm 1907, khng nh rng Nu A l mt ma trn vuụng cú cỏc s hng l dng thỡ : 1) Bỏn kớnh ph r(A) ca A l s dng 2) r(A) l giỏ tr riờng n ca A 3) Nu r(A) l mt giỏ tr riờng ca A thỡ < r(A) 4) Vect riờng v ca A ng vi giỏ tr riờng r(A) cú cỏc to dng 5) v l vect riờng dng nht ca A ( chớnh xỏc ti mt tha s ) - nh lớ Jentseh, c chng minh nm 1912, m rng cỏc kt qu trờn cho toỏn t tớch phõn a K(t,s) (s)ds vi hch K(t,s) b Vỡ s quan trng ca nú m nh lý Krein - Rutman c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu v tỡm cỏc ng dng mi cho n gn õy Do ú vic tỡm hiu v nh lý ny cựng cỏc m rng ca nú l ti cú ý ngha cho cỏc hc viờn cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch Mc tiờu ca lun l gii thiu nh lớ Krien Rutman ban u vi phộp chng minh da vo phng phỏp h ng lc v mt vi m rng ca nh lớ ny, ú cú kt qu mi tỡm gn õy 2 Lun cú chng : Chng1 Trỡnh by nh lý Krein Rutman bng phng phỏp h ng hc Chng2 Trỡnh by m rng nh lý Krein Rutman cho ỏnh x u dng Chng3 Trỡnh by m rng nh lý Krein Rutman cho ỏnh x thun nht dng Lun c hon thnh di s hng dn tn tỡnh ca TS Lờ Xuõn Trng, Khoa Toỏn Thng Kờ - i hc Kinh t TP.HCM Tụi xin by t s kớnh trng v lũng bit n sõu sc n thy Tụi bit n sõu sc PGS.TS Nguyn Bớch Huy, Khoa Toỏn-Tin, trng i hc S Phm TP.HCM, v s giỳp tn tỡnh v s ch bo vụ cựng quý bỏu ca Thy cho tụi nghiờn cu khoa hc Tụi kớnh gi n Ban Giỏm hiu, Ban ch nhim khoa Toỏn - Tin, B mụn Toỏn Gii tớch v Phũng Sau i Hc ca trng i hc S phm TP.HCM ó giỳp tụi rt nhiu quỏ trỡnh hc v thc hin lun vn, nhng li cỏm n chõn thnh v trõn trng Tụi kớnh gi n Ban Giỏm Hiu, Ban chp hnh cụng on trng, t Toỏn - Tin trng THPT Nguyn Hu - Lagi - Bỡnh Thun, ni tụi ang cụng tỏc, ó to iu kin thun li v vt cht cng nh tinh thn tụi hon thnh tt nhim v ca mt hc viờn, nhng li cm n sõu sc v trõn trng Tụi thnh tht cm n cỏc Anh ch ng nghip v ngi thõn ca tụi ó giỳp tụi v mi mt Cm n gia ỡnh ó luụn l ngun ng viờn to ln cho tụi sut quỏ trỡnh hc cng nh thc hin lun ny Thnh ph H Chớ Minh, thỏng nm 2012 Thỏi Nguyờn Khang Chng NH L KREIN - RUTMAN CHO NH X DNG MNH 1.1 Khụng gian Banach vi th t sinh bi nún 1.1.1 Nún v th t sinh bi nún nh ngha 1.1.1 Cho X l khụng gian Banach trờn trng s thc a) Tp K X c gi l nún nu tha cỏc iu kin sau: H : K l úng, K , H : K + K K , K K , 0, H : K ( K) = {} b) Nu K l nún thỡ th t X sinh bi K c nh bi: x y y x K Mi x K \ {} gi l dng Vớ d i) K= [0, + ) l nún = ii) K {(x1 , x ): x1 0, x 0} l nún Mnh 1.1.1 Gi s l th t sinh bi nún Khi ú: a) Nu x y thỡ x + z y + z , x y, vi mi z X , vi mi b) Nu x n y n vi mi n * v= lim x n x= , lim y n y thỡ x y n n c) Nu {x n } l dóy tng, hi t v x thỡ x n x, vi mi n* Chng minh a) Ta cú: ( y + z ) ( x + z ) = y x K , vi z X nờn x + z y + z y x = (y x)K , vụựi neõn x y b) T x n y n , vi mi n * suy rng y n x n K Do ú (y n x n ) (y x) K ( tớnh cht úng ca K ).Vy x y c) Gi s { x n } tng Khi ú x n x n+m (m, n * ), cho m , ta c: x n x, vi mi n * 1.1.2 Nún chun nh ngha 1.1.2 Nún K gi l nún chun nu tn ti N > cho x y thỡ x N y Vớ d: Nún K= {f C[ 0,1] } : f l nún chun C [0,1] Chng minh Ly f, g K tha iu kin f g hay vi t [0 ,1], ta cú f(t) g(t) suy Sup f (t) Sup g(t) hay f g t[ 0,1] t[ 0,1] Vy K l nún chun vi hng s N = Mnh 1.1.2 Cho K l nún chun X Khi ú: a) Nu u v thỡ on u , v := {x X : u x v} b chn theo chun b) Nu x n yn z n , vi mi n * v = lim x n n a, = lim z n n a thỡ lim y n = a n c) Nu {x n } n iu v cú dóy hi t v a thỡ lim x n = a n Chng minh a) Vi mi x u, v ta cú x u v u v K l nún chun nờn x u N u v suy x u + N u v Vy u, v b chn theo chun b) Ta cú: y n x n z n x n , vi mi n * v K l nún chun nờn y n x n N z n x n , vi mi n * M lim z n x n = nờn n lim y n x n = Do ú lim y n =lim[(y n x n ) + x n ] =0 + a Vy lim y n = a n n n n c) Gi s {x n } tng v lim x n = a Vỡ x n x n (n * c nh, k ln) nờn k k k x n a , vi mi n * Cho > 0, chn k x n a < k0 thỡ ta cú N n n k a x n a x n a x n N a x n < K0 k0 Vy lim x n = a n 1.1.3 Nún chớnh qui nh ngha 1.1.3 Nún K gi l nún chớnh qui nu mi dóy tng v b chn trờn thỡ hi t Vớ d 1) Trong C[a= ,K ,b ] {x: x(t) 0, t [a, b]} khụng l chớnh qui t a Vỡ ta cú dóy x n (t) = gim v b chn di nhng khụng hi t ba n 2) Trong Lp (), (1 p < ) nún K = {x Lp ():x(t) 0, h.k.n} l chớnh qui Chng minh Xột dóy {x n } Lp tho x n x n +1 u Lp Coi x n (t) x n +1 (t) u(t), vi mi t t x (t) lim x n (t), t = n Ta cú: x Lp ( x n (t) o c nờn x o c, x 0p (t)dà u p (t)dà < ) 1/p x n = x (x (t) x n (t)) p dà ( vỡ (x (t) x n (t)) n iu v hi t h.k.n v ) Mnh 1.1.3 Nu K l nún chớnh qui thỡ K l nún chun Chng minh Gi s trỏi li K khụng l nún chun, ta cú: Vi mi n* , tn ti x n , y n : x n y n , x n > n y n t u n = Vỡ xn yn thỡ u n v n ,= u n 1, v n < = , n xn xn n =1 n =1 < nờn tn ti v : = Xột dóy S n : = u + u + + u n , ta cú : Sn v1 + v2 + + v n =1 Sn Sn= n = v (S n ) n b chn trờn u n (do u n K ) (S n ) n tng Vy (S n ) n tng, b chn trờn m K l nún chớnh qui nờn (S n ) n hi t Do ú lim u n = mõu thun vi u n = ( n* ) n 1.1.4 Nún sinh nh ngha 1.1.4 Nún K gi l nún sinh nu X= K K hay vi mi x X , tn ti u , v K cho x= u v Vớ d a) Nún cỏc hm khụng õm C(K), LP l nún sinh b) Nu nún K cú im u thỡ ta cú tn ti r > cho : r x u x r x u , vi mi x X v K l nún sinh Chng minh Ta cú u intK nờn tn ti > : u + B(, ) K Do ú u0 1 x B(u , ) K u x K , x x u x x u x x t r = , ta c r x u x r x u v x = ( x + r x x ) r x x K K Vy K l nún sinh Mnh 1.1.4 Nu K l nún sinh thỡ tn ti M > cho vi mi x X , tn ti u, vK : x= u v, u M x , v M x