Lớp các hàm colombeau một mở rộng của không gian các hàm suy rộng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN BÁ TRÌNH LỚP CÁC HÀM COLOMBEAU - MỘT MỞ RỘNG CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG Demo Version - Select.Pdf SDK Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ VIẾT NGƯ Huế, năm 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Tác giả Demo Version - Select.Pdf SDK ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo thầy giáo PGS.TS Lê Viết Ngư Tơi xin gửi đến thầy kính trọng lòng biết ơn sâu sắc nguyện vọng tiếp tục nghiên cứu toán hướng dẫn thầy Tôi xin chân thành cảm ơn BGH Trường ĐHSP Huế, Thầy Cơ giáo Khoa Tốn Trường ĐHSP Huế, Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường ĐHSP Huế Thầy Cô giáo tham gia giảng dạy Cao học Khóa 21, người giúp tơi có kiến thức khoa học điều kiện để hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Tơi xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Hướng Hóa, trường THPT Đông Hà giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn người thân, bạn bè Select.Pdf quan tâm, Demo giúp đỡVersion động -viên trongSDK suốt thời gian học tập vừa qua Một lần xin trân trọng cảm ơn! Tác giả iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các ký hiệu 1.2 Không gian hàm sở D(Ω) 1.3 Demo - Select.Pdf Không gianVersion hàm suy rộng D′ (Ω)SDK 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Đạo hàm suy rộng 10 1.3.3 Cấp hàm suy rộng 12 1.3.4 Sự hội tụ không gian hàm suy rộng D′ (Ω) 13 1.3.5 Tính địa phương hóa khơng gian hàm suy rộng D′ (Ω) 16 1.4 Tích chập 17 1.4.1 Tích chập hàm suy rộng hàm 17 1.4.2 Tích chập hàm suy rộng 18 Chương Hàm suy rộng Colombeau 20 2.1 Tập hợp Aq 20 2.2 Số phức suy rộng 22 2.3 Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau 26 2.4 Giá trị hàm suy rộng Colombeau 32 2.5 Đạo hàm hàm suy rộng Colombeau 33 2.6 Phép cộng, phép nhân số phức suy rộng (hoặc số phức) với hàm suy rộng Colombeau 35 2.7 Tích phân hàm suy rộng Colombeau 36 2.8 Khái niệm G [Rn ] 39 Chương 3.1 Phép nhúng D′ (Rn ) vào lớp hàm suy rộng Colombeau Một số kiến thức liên quan 45 45 3.2 Phép nhúng D′ (Rn ) vào G [Rn ] 47 3.3 Áp dụng vào phương trình vi phân 50 3.3.1 Phương trình Y ′ = 0, Y ∈ G [R], ∈ C 50 3.3.2 Phương trình Y ′ = k, Y ∈ G [R], k ∈ C 51 ′ Demo Version - Select.Pdf 3.3.3 Phương trình Y = A, Y ∈ G [SDK R], A ∈ G [R] cho trước 51 3.3.4 Phương trình Y ′ = D′ (R) 53 3.3.5 Phương trình Y ′ = T D′ (R) 54 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 LỜI NÓI ĐẦU Một thời gian dài, khái niệm hàm số hiểu theo nghĩa tương ứng điểm Song thực tế khoa học phát triển, quan điểm khơng đáp ứng Khái niệm phân bố xuất mở rộng quan điểm hàm số để đáp ứng phát triển khoa học Có thể nói xuất hàm suy rộng bắt nguồn từ việc nghiên cứu nghiệm không trơn phương trình vi phân, vật lý lượng tử Việc sử dụng hàm suy rộng mở rộng đáng kể phạm vi nghiên cứu toán so với giải tích cổ điển đơn giản hóa phép tốn nhiều Sự mở rộng quan điểm hàm số khởi đầu Paul Dirac, L.Schwartz, Sobolev số nhà toán học tiếng khác thành công Tuy nhiên, vấn đề nhân hai hàm suy rộng lại khơng giải Chính điều hạn chế mặt phương pháp khảo sát ứng dụng không gian hàm suy rộng D′ (Rn ) Hiện nay, nhà toán học quan tâm đến việc nghiên cứu đầy đủ hàm suy rộng ứng dụng Ở xin giới thiệu không gian hàm suy rộng khác chứa không gian D′ (Rn ) khơng gian tuyến tính Demo Version - Select.Pdf SDK mà phép nhân hai hàm suy rộng thực Chúng tơi muốn nói tới khơng gian hàm suy rộng kiểu nhà toán học người Pháp Jean Francois Colombeau đề xuất năm 1980 ngày không ngừng phát triển Qua chúng tơi thử xem xét lại số tính chất không gian D′ (Rn ) sở số kết hàm suy rộng Colombeau với ý định bước đầu mở rộng phương pháp khảo sát không gian D′ (Rn ) Xuất phát từ thực tiễn với hướng dẫn, gợi ý thầy Lê Viết Ngư chọn thực đề tài: "Lớp hàm Colombeau - Một mở rộng không gian hàm suy rộng" Chúng ta biết vấn đề nhân hai hàm suy rộng không gian hàm suy rộng D′ (Rn ) không giải Đó hạn chế lớn khơng gian D′ (Rn ) Vì vậy, mục tiêu đề tài giới thiệu hàm suy rộng Colombeau liên hệ với khơng gian hàm suy rộng D′ (Rn ) theo hướng tìm kiếm sở để mở rộng phương pháp khảo sát không gian hàm suy rộng D′ (Rn ), phép nhân hai hàm suy rộng thực Nội dung luận văn gồm chương • Chương nhắc lại ký hiệu, đồng thời trình bày kiến thức chuẩn bị không gian hàm sở, khơng gian hàm suy rộng tính chất liên quan đến chúng • Chương trình bày định nghĩa tập hợp Aq, số phức suy rộng, hàm suy rộng Colombeau, giá trị hàm suy rộng Colombeau, đạo hàm hàm suy rộng Colombeau, phép cộng, phép nhân số phức suy rộng (hoặc số phức) với hàm suy rộng Colombeau, tích phân hàm suy rộng Colombeau khái niệm G [Rn ] • Chương trình bày mối liên hệ khơng gian hàm suy rộng D′ (Rn ) với lớp hàm suy rộng Colombeau G [Rn ] phép nhúng D′ (Rn ) vào G [Rn ], đồng thời áp dụng kết để giải số phương trình vi phân đơn giản Demo Version - Select.Pdf SDK Tác giả ... thực đề tài: "Lớp hàm Colombeau - Một mở rộng không gian hàm suy rộng" Chúng ta biết vấn đề nhân hai hàm suy rộng không gian hàm suy rộng D′ (Rn ) khơng giải Đó hạn chế lớn không gian D′ (Rn )... thiệu hàm suy rộng Colombeau liên hệ với không gian hàm suy rộng D′ (Rn ) theo hướng tìm kiếm sở để mở rộng phương pháp khảo sát không gian hàm suy rộng D′ (Rn ), phép nhân hai hàm suy rộng thực... khơng gian hàm sở, không gian hàm suy rộng tính chất liên quan đến chúng • Chương trình bày định nghĩa tập hợp Aq, số phức suy rộng, hàm suy rộng Colombeau, giá trị hàm suy rộng Colombeau, đạo hàm