MỘT số mở RỘNG của KHÔNG GIAN METRIC và ÁNH xạ DẠNG CO TRONG CHÚNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Thị Bích Trâm MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA KHÔNG GIAN METRIC VÀ ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Thị Bích Trâm MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA KHÔNG GIAN METRIC VÀ ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG CHÚNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực luận văn, với nổ lực làm việc thân, nhận hướng dẫn, giúp đỡ tận tình quý thầy cô, gia đình bạn bè Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến: Đầu tiên, xin tri ân sâu sắc PGS.TS.Nguyễn Bích Huy tận tình hướng dẫn, dạy bảo thời gian làm luận văn; thầy truyền thụ cho kiến thức quý báu, niềm đam mê học tập nghiên cứu khoa học, tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Thạc sĩ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian xem xét, chỉnh sửa cho lời nhận xét quý báu để luận văn hoàn thiện Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô khoa Toán-Tin học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, truyền thụ nhiều kiến thức chuyên môn suốt thời gian theo học Sau đại học trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu nhà trường, quý thầy cô phòng Sau đại học hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, nghiên cứu để hoàn thành khóa học Cuối thân lần đầu tiếp cận với phương pháp nghiên cứu khoa học nâng cao lực hạn chế nên trình viết luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tôi tha thiết mong nhận nhận xét, góp ý quý thầy cô để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2013 Huỳnh Thị Bích Trâm MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN LOẠI METRIC 1.1 Định nghĩa tính chất .5 1.1.1 Không gian metric đối xứng 1.1.2 Không gian nửa metric 10 1.1.3 Không gian loại metric 17 1.2 Điểm bất động ánh xạ dạng co 20 1.2.1 Điểm bất động ánh xạ co không gian nửa metric 20 1.2.2 Điểm bất động không gian metric đối xứng 21 1.2.3 Điểm bất động kiểu tích phân 27 CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN NÓN METRIC 29 2.1 Không gian nón metric 29 2.1.1 Các định nghĩa 29 2.1.2 Các tính chất 31 2.2 Các định lý điểm bất động 32 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 LỜI NÓI ĐẦU Phương pháp điểm bất động số phương pháp quan trọng hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm xây dựng nghiệm gần cho nhiều lớp phương trình vi phân tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên cho nhiều mô hình kinh tế, xã hội Lý thuyết điểm bất động hình thành từ đầu kỉ 20, phát triển mạnh mẽ kỉ tiếp tục hoàn thiện ngày Vì quan trọng định lý điểm bất động để ứng dụng giải toán tượng phát sinh phát triển khoa học xã hội mà định lý điểm bất động nhà toán học quan tâm mở rộng theo nhiều hướng khác Hướng mở rộng thứ mở rộng điều kiện đặt lên ánh xạ giảm nhẹ điều kiện co, điều kiện liên tục, compact,… Hướng nghiên cứu nhiều trình nhiều sách chuyên khảo Hướng mở rộng thứ hai mở rộng không gian Theo hướng này, người ta thay không gian metric không gian định chuẩn không gian tổng quát có tính chất đặc thù riêng không gian tôpô kiểu metric, không gian lồi theo metric, không gian nón metric,… Hướng chưa nghiên cứu nhiều chưa có tài liệu trình bày đầy đủ hệ thống Luận văn trình bày khái niệm không gian kiểu metric, không gian nón metric, tính chất chúng; nghiên cứu số định lý điểm bất động dạng co không gian Nội dung chủ yếu luận văn tham khảo I.V.Arandelovic, D.J.Keckic (2012), “Symmetric spaces approach to some fixed point results”, Nonlinear Analysis 75, pp 5157-5168 P.P.Zabreiko (1997), “Kmetric and K-normed linear spaces: survey”, Collect Math 48, pp 4-6, 825-859 Trong luận văn, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung gồm chương Cụ thể: Chương 1- Không gian loại metric Chương trình bày không gian kiểu metric, tính chất chúng định lý điểm bất động dạng co chúng Chương 2- Không gian nón metric Chương trình bày định nghĩa, tính chất không gian nón metric; vài kết điểm bất động ánh xạ dạng co không gian CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN LOẠI METRIC Chương trình bày định nghĩa, tính chất không gian metric đối xứng, không gian nửa metric không gian loại metric; vài kết điểm bất động ánh xạ dạng co không gian 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Không gian metric đối xứng Định nghĩa 1.1 (Arandelovic and Keckic [1]) Giả sử 𝑋 tập khác rỗng ánh xạ 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞) (𝑋, 𝑑) gọi không gian metric đối xứng (𝑋, 𝑑) thỏa mãn ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋: (W1): 𝑑(𝑥, 𝑦) = ⟺ 𝑥 = 𝑦 Ví dụ (W2): 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) a) Xét ℝ𝑚 = {(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 ): 𝑥𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = ������ 1, 𝑚}, 𝑑: ℝ𝑚 × ℝ𝑚 → [0, +∞) định bởi: 𝑚 𝑑(𝑥, 𝑦) = ��(𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 )2 � 𝑖=1 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 ), 𝑦 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑚 ) thuộc ℝ𝑚 (ℝ𝑚 , 𝑑) không gian metric đối xứng b) Xét 𝐶[𝑎,𝑏] tập hợp hàm thực 𝑥 = 𝑥(𝑡) liên tục [𝑎, 𝑏], 𝑑: 𝐶[𝑎,𝑏] × 𝐶[𝑎,𝑏] → [0, +∞) định bởi: 𝑑(𝑥, 𝑦) = sup|𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)| 𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] �𝐶[𝑎,𝑏] , 𝑑� không gian metric đối xứng Nhận xét Mọi không gian metric không gian metric đối xứng Điểm khác điểm thuận lợi không gian metric đối xứng không gian metric mặt bất đẳng thức tam giác định nghĩa không gian metric đối xứng Tuy nhiên, không gian metric đối xứng, nhiều khái niệm định nghĩa tương tự không gian metric Định nghĩa 1.2 (Arandelovic and Keckic [1]) Trong không gian metric đối xứng (𝑋, 𝑑), ta nói dãy (𝑥𝑛 )𝑛 ⊂ 𝑋 hội tụ 𝑥 ∈ 𝑋 lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = Ta viết: 𝑛→∞ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = ⟺ lim 𝑥𝑛 = 𝑥 𝑛→∞ Ví dụ 𝑛→∞ a) Xét không gian metric đối xứng (ℝ𝑚 , 𝑑) ví dụ 1a Xét 𝑎 = 𝑛 ) (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑚 ) ∈ ℝ𝑚 dãy (𝑥𝑛 )𝑛 ⊂ ℝ𝑚 với 𝑥 𝑛 = (𝑥1𝑛 , 𝑥2𝑛 , … , 𝑥𝑚 Ta có: 𝑚 ������ 𝑚 𝑑(𝑥 , 𝑎) = ���𝑥𝑖𝑛 − 𝑎𝑖 � ≥ |𝑥𝑖𝑛 − 𝑎𝑖 |, ∀𝑖 = 1, 𝑛 𝑖=1 Suy lim 𝑥 𝑛 = 𝑎 (ℝ𝑚 , 𝑑) ⟺ lim 𝑥𝑖𝑛 = 𝑎𝑖 ℝ, ∀𝑖 = ������ 1, 𝑚 𝑛→∞ 𝑛→∞ b) Xét không gian metric đối xứng �𝐶[𝑎,𝑏] , 𝑑� ví dụ 1b Xét dãy (𝑥𝑛 )𝑛 ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] phần tử 𝑥0 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] Ta có: lim 𝑥𝑛 = 𝑥0 ⟺ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥0 ) = 𝑛→∞ 𝑛→∞ ⟺ lim sup|𝑥𝑛 (𝑡) − 𝑥0 (𝑡)| = 𝑛→∞ 𝑎≤𝑡≤𝑏 ⟺ Dãy hàm {𝑥𝑛 (𝑡)} hội tụ hàm 𝑥0 (𝑡) [𝑎, 𝑏] ⟹ lim 𝑥𝑛 (𝑡) = 𝑥0 (𝑡), ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑛→∞ Định nghĩa 1.3 (Arandelovic and Keckic [1]) Dãy (𝑥𝑛 )𝑛 ⊆ 𝑋 gọi dãy Cauchy với 𝜀 > cho trước, tồn 𝑛0 ∈ ℕ∗ cho với 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0 𝑑(𝑥𝑚 , 𝑥𝑛 ) < 𝜀 Không gian metric đối xứng (𝑋, 𝑑) gọi đầy đủ dãy Cauchy (𝑥𝑛 )𝑛 (𝑋, 𝑑) hội tụ 𝑥 ∈ 𝑋 Định nghĩa 1.4 (Arandelovic and Keckic [1]) Đường kính tập 𝐴 ⊆ 𝑋, ký hiệu diam(𝐴): diam(𝐴) = sup 𝑑(𝑥, 𝑦) 𝑥,𝑦∈𝐴 Quả cầu mở tâm 𝑥 ∈ 𝑋, bán kính 𝑟 > 0: 𝐵(𝑥, 𝑟) = {𝑦 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝑟} Định nghĩa 1.5 (Arandelovic and Keckic [1]) (Một số điều kiện dùng để thay cho bất đẳng thức tam giác) Giả sử (𝑋, 𝑑) không gian metric đối xứng Ta định nghĩa tính chất sau đây: (W3): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = ⟹ 𝑥 = 𝑦 𝑛→∞ 𝑛→∞ (W4): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = ⟹ lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ (HE): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ (CC): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦) 𝑛→∞ 𝑛→∞ (W): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ (JMS): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ (MT): Tồn 𝐾 ≥ với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋: 𝑛→∞ 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝐾[𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)] (MC): Tồn 𝜀: ℝ+ → ℝ+ 𝐾 ≥ cho với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋: • 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝜀(max{𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑(𝑦, 𝑧)}) + 𝐾 min{𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑(𝑦, 𝑧)} • lim+ 𝜀(𝑡) = 𝑡→0 Chú ý (Arandelovic and Keckic [1]) Ta có số liên hệ sau: a) (W) ⇒ (W4) ⇒ (W3); (W) ⟹ (JMS); (W) ⟹ (HE); (CC) ⟹ (W3) (W3) ⇏ (HE); (W3) ⇏ (CC); b) (W4) ⇏ (HE); (HE) ⇏ (W3); (HE) ⇏ (CC); Chứng minh a) • (W) ⇒ (W4) (W4) ⇏ (CC); (HE) ⇏ (W4); (W3) ⇏ (W4); (CC) ⇏ (HE) Đặt 𝑧𝑛 = 𝑥, ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = Khi đó: 𝑛→∞ 𝑛→∞ lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = hay lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 𝑛→∞ • (W4) ⇒ (W3) 𝑛→∞ Đặt 𝑦𝑛 = 𝑦, ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = Khi đó: 𝑛→∞ • (W) ⇒ (JMS) 𝑛→∞ lim 𝑑(𝑦, 𝑥) = ⟹ 𝑦 = 𝑥 𝑛→∞ Ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 𝑛→∞ Suy lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞ 𝑛→∞ • (W) ⇒ (HE) 𝑛→∞ 𝑛→∞ Đặt 𝑧𝑛 = 𝑥, ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 𝑛→∞ 𝑛→∞ Suy lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 𝑛→∞ • (CC) ⇒ (W3) Ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦) 𝑛→∞ 𝑛→∞ Kết hợp với lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = ⟹ 𝑑(𝑥, 𝑦) = ⟹ 𝑥 = 𝑦 𝑛→∞ b) Ta chứng minh khẳng định qua ví dụ: i) (𝑊4) ⇏ (𝐻𝐸) (𝑊4) ⇏ (𝐶𝐶) (𝑊3) ⇏ (𝐻𝐸) (𝑊3) ⇏ (𝐶𝐶) theo 𝑎) Xét 𝑋 = [0, ∞) 𝑑(𝑥, 𝑦) = � |𝑥 − 𝑦| 𝑥 ≠ 𝑦 ≠ 𝑥 𝑥 ≠ 0, 𝑦 = 𝑥 = 𝑦 = Khi đó, (𝑋, 𝑑) không gian metric đối xứng thỏa mãn (𝑊4) không thỏa mãn (𝐻𝐸) với 𝑥𝑛 = 𝑛, 𝑦𝑛 = 𝑛 + Hơn (𝑋, 𝑑) không thỏa mãn (𝐶𝐶) với 𝑥𝑛 = 𝑛, 𝑥 = 0, 𝑦 ≠ ii) (𝐻𝐸) ⇏ (𝑊3) (𝐻𝐸) ⇏ (𝑊4) (𝐻𝐸) ⇏ (𝐶𝐶) 𝑡𝑛 → ⟺ 𝐹(𝑡𝑛 ) → Ta có: Áp dụng cho 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥), 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) ta chứng minh tính chất (𝑊3) Áp dụng cho 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥), 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ), 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) ta chứng minh tính chất (𝑊4) (𝐻𝐸) (𝑊) Áp dụng cho 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ), 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ), 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ta chứng minh tính chất e) Cho (𝑋, 𝑑) không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝐽𝑀𝑆) Giả sử lim 𝐹�𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )� = lim 𝐹�𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 )� = 𝑛→∞ 𝑛→∞ Do bổ đề 1.4 suy lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 𝑛→∞ 𝑛→∞ Do tính chất (𝐽𝑀𝑆) ta dãy �𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 )� bị chặn, suy dãy �𝐹�𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 )�� bị chặn f) Áp dụng bổ đề 1.5 tính đầy đủ (𝑋, 𝑑), (𝑋, 𝑑 ∗ ) ta (6) ∎ Định lý 1.4 (Arandelovic and Keckic [1]) Cho (𝑋, 𝑑) không gian metric đối xứng đầy đủ thỏa mãn tính chất (𝑊3) (𝐽𝑀𝑆), giả sử 𝑓: 𝑋 → 𝑋, 𝐹 ∈ ℱ 𝜑 ∈ Φ Nếu 𝐹 �𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)�� ≤ 𝜑 �𝐹�𝑑(𝑥, 𝑦)�� , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝑓 có điểm bất động 𝑦 ∈ 𝑋 với 𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard 𝑓 𝑥 hội tụ tôpô 𝜏𝑑 𝑦 Chứng minh Ta định nghĩa 𝑑 ∗ : 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞) bởi: 𝑑 ∗ (𝑥, 𝑦) = 𝐹�𝑑(𝑥, 𝑦)�, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 Theo bổ đề 1.5 định lý 1.3 ta (𝑋, 𝑑 ∗ ) không gian metric đối xứng đầy đủ thỏa mãn tính chất (𝑊3) (𝐽𝑀𝑆) Ta có: 𝑑 ∗ �𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)� ≤ 𝜑�𝑑 ∗ (𝑥, 𝑦)� 26 Do định lý 1.2 ta 𝑓 có điểm bất động 𝑦 ∈ 𝑋 với 𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard 𝑓 𝑥 hội tụ tôpô 𝜏𝑑 𝑦 ∎ 1.2.3 Điểm bất động kiểu tích phân Ký hiệu Λ tập hợp tất hàm thực không âm, khả tích Lebesgue 𝜆: [0, +∞) → [0, +∞) cho: 𝜀 < � 𝜆(𝑡)𝑑𝑡 < ∞, ∀𝜀 > 𝑜 Định lý 1.5 (Arandelovic and Keckic [1]) Cho (𝑋, 𝑑) không gian metric đầy đủ, 𝑐 ∈ [0,1), 𝜆 ∈ Λ 𝐹: 𝑋 → 𝑋 ánh xạ cho: 𝑑�𝐹(𝑥),𝐹(𝑦)� � 𝑑(𝑥,𝑦) 𝜆(𝑡)𝑑𝑡 ≤ 𝑐 � Khi 𝐹 có điểm bất động 𝜆(𝑡)𝑑𝑡, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 Chứng minh (𝑋, 𝑑) không gian metric đầy đủ nên không gian metric đối xứng đầy đủ thỏa mãn tính chất (𝑊3) (𝐽𝑀𝑆) Xét ánh xạ 𝐹: ℝ+ → ℝ+ xác định bởi: 𝑠 𝐹(𝑠) = � 𝜆(𝑡)𝑑𝑡 Hiển nhiên 𝐹 ∈ ℱ Áp dụng định lý 1.4 với 𝜑(𝑡) = 𝑐𝑡, ta có: 𝑑�𝑓(𝑥),𝑓(𝑦)� 𝐹 �𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)�� = � 𝑑(𝑥,𝑦) 𝐹�𝑑(𝑥, 𝑦)� = � 0 𝜆(𝑡)𝑑𝑡 𝑑(𝑥,𝑦) Suy 𝜑 �𝐹�𝑑(𝑥, 𝑦)�� = 𝑐𝐹�𝑑(𝑥, 𝑦)� = 𝑐 ∫0 ⟹ 𝐹 �𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)�� ≤ 𝜑 �𝐹�𝑑(𝑥, 𝑦)�� Vậy F có điểm bất động 27 𝜆(𝑡)𝑑𝑡 𝜆(𝑡)𝑑𝑡 ∎ 28 CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN NÓN METRIC Chương trình bày định nghĩa, tính chất không gian nón metric; vài kết điểm bất động ánh xạ dạng co không gian 2.1 Không gian nón metric 2.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1 (Zabreiko [4]) Giả sử 𝐸 không gian Banach có phần tử không 𝜃 Một tập 𝑃 𝐸 gọi nón nếu: a) 𝑃 tập đóng, khác rỗng 𝑃 ≠ {𝜃}; b) 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎, 𝑏 > 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃 ⟹ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ∈ 𝑃; c) 𝑃 ∩ (−𝑃) = {𝜃} Thứ tự sinh nón (Arandelovic and Keckic [1]) Cho nón 𝑃 ⊆ 𝐸, định nghĩa quan hệ " ≤ " 𝐸 sau: 𝑥 ≤ 𝑦 ⟺ 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝑃 Chúng ta viết: 𝑥 < 𝑦 nghĩa 𝑥 ≤ 𝑦 𝑥 ≠ 𝑦; 𝑥 ≪ 𝑦 nghĩa 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝐼𝑛𝑡𝑃 Nhận xét: 𝑥 ∈ 𝑃 ⟺ 𝑥 ≥ 𝜃 Quan hệ " ≤ " có tính chất: 𝑎) Phản xạ: 𝑥 − 𝑥 = 𝜃 ∈ 𝑃 ⟹ 𝑥 ≤ 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐸 b) Phản xứng: ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝑥 ≤ 𝑦 𝑦 ≤ 𝑥 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝑃 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑃 ⟹ 𝑦 − 𝑥 = 𝜃 hay 𝑥 = 𝑦 c) Bắc cầu: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐸, 𝑥 ≤ 𝑦 𝑦 ≤ 𝑧 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝑃 𝑧 − 𝑦 ∈ 𝑃 Do 𝑧 − 𝑥 = (𝑧 − 𝑦) + (𝑦 − 𝑥) ∈ 𝑃 nên 𝑥 ≤ 𝑧 Vậy quan hệ " ≤ " quan hệ thứ tự 𝐸 Ta gọi (𝐸, ≤) không gian tuyến tính có thứ tự sinh nón 𝑃 Định nghĩa 2.2 (Arandelovic and Keckic [1]) 29 Giả sử 𝐸 không gian Banach 𝑃 ⊆ 𝐸 nón Ta nói P khối nón Int 𝑃 ≠ ∅ Định nghĩa 2.3 (Arandelovic and Keckic [1]) Giả sử 𝐸 không gian Banach, 𝑃 khối nón 𝐸 " ≤ " thứ tự 𝐸 sinh 𝑃 Khi 𝑃 gọi nón chuẩn khi: Tồn 𝐾 ∈ ℝ, 𝐾 > cho: 𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ ‖𝑥‖ ≤ 𝐾‖𝑦‖, với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃 (2.1) Số dương bé K thỏa mãn (2.1) gọi số chuẩn (hay số phổ dụng) 𝑃 Nhận xét: 𝐾 ≥ Định nghĩa 2.4 (Zabreiko [4]) Giả sử 𝐸 không gian Banach với quan hệ thứ tự " ≤ ", 𝑃 khối nón 𝐸 Cho 𝑋 tập khác rỗng Giả sử ánh xạ 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → 𝑃 thỏa mãn: a) 𝜌(𝑥, 𝑦) ≥ 𝜃, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜃 ⟺ 𝑥 = 𝑦; b) 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜌(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; c) 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 Khi 𝜌 gọi metric nón 𝑋 (𝑋, 𝜌) gọi không gian nón metric Định nghĩa 2.5 (Arandelovic and Keckic [1]) Cho (𝑋, 𝜌) không gian nón metric, 𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑛 )𝑛 dãy 𝑋 Khi đó: • 𝑥𝑛 hội tụ 𝑥 với 𝑐 ∈ Int𝑃, tồn 𝑁 ∈ ℕ∗ cho 𝑛 ≥ 𝑁𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥) ≪ 𝑐, với 𝑛 Ký hiệu: lim 𝑥𝑛 = 𝑥 hay 𝑥𝑛 → 𝑥 𝑛→∞ 30 • (𝑥𝑛 )𝑛 dãy Cauchy với 𝑐 ∈ Int𝑃, tồn 𝑁 ∈ ℕ∗ cho 𝑚, 𝑛 > 𝑁𝜌(𝑥𝑚 , 𝑥𝑛 ) ≪ 𝑐, với 𝑚, 𝑛 tụ • (𝑋, 𝜌) không gian nón metric đầy đủ dãy Cauchy 𝑋 hội 2.1.2 Các tính chất Mệnh đề 2.1 (Arandelovic and Keckic [1]) Cho 𝑃 nón chuẩn 𝐸, giả sử 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → 𝑃, (𝑋, 𝜌) không gian nón metric 𝐷: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞) ánh xạ định bởi: 𝐷(𝑥, 𝑦) = ‖𝜌(𝑥, 𝑦)‖ Khi đó: a) (𝑋, 𝐷) không gian nửa metric thỏa mãn tính chất: (𝑊3): lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑦) = ⟹ 𝑥 = 𝑦 𝑛→∞ 𝑛→∞ (𝑊4): lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = ⟹ lim 𝐷(𝑦𝑛 , 𝑥) = 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ (𝐻𝐸): lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝐷(𝑦𝑛 , 𝑥) = ⟹ lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ (𝐶𝐶): lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑥) = ⇒ lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑦) = 𝐷(𝑥, 𝑦) 𝑛→∞ 𝑛→∞ b) Tôpô metric nón 𝑋 tương đương với tôpô 𝜏𝜌 Chứng minh Ta có 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦) 𝑃 nón chuẩn nên: ‖𝜌(𝑥, 𝑦)‖ ≤ 𝐾‖𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦)‖ ≤ 𝐾(‖𝜌(𝑥, 𝑧)‖ + ‖𝜌(𝑧, 𝑦)‖) Hay 𝐷(𝑥, 𝑦) ≤ 𝐾�𝐷(𝑥, 𝑧) + 𝐷(𝑧, 𝑦)� Vậy (𝑋, 𝐷) không gian loại metric nên theo mệnh đề 1.4 có tính chất (𝑊3), (𝑊4), (𝐻𝐸), (𝐶𝐶) tôpô metric nón 𝑋 tương đương với tôpô 𝜏𝜌 ∎ Hệ 2.1 (Arandelovic and Keckic [1]) 31 (𝑋, 𝜌) không gian nón metric đầy đủ (𝑋, 𝐷) không gian nửa metric đầy đủ 2.2 Các định lý điểm bất động Mệnh đề 2.2 (Arandelovic and Keckic [1]) Cho 𝑃 nón chuẩn 𝐸, giả sử 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → 𝑃, (𝑋, 𝜌) không gian nón metric 𝐷: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞) ánh xạ định bởi: 𝐷(𝑥, 𝑦) = ‖𝜌(𝑥, 𝑦)‖ Khi (𝑋, 𝐷) không gian nửa metric thỏa mãn tính chất (𝑊) (𝐽𝑀𝑆) (𝑊): lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝐷(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = ⟹ lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ (𝐽𝑀𝑆): lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝐷(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = ⟹ lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ Chứng minh 𝑛→∞ Giả sử (𝑥𝑛 )𝑛 , (𝑦𝑛 )𝑛 dãy 𝑋 cho: lim 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = lim 𝐷(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 𝑛→∞ Với 𝐾 số chuẩn 𝑃 ta có: 𝑛→∞ Nếu 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≤ 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) + 𝜌(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) thì: 𝐷(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = ‖𝜌(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 )‖ ≤ 𝐾‖𝜌(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) + 𝜌(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) ‖ ≤ 𝐾�𝐷(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) + 𝐷(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 )� Do (𝑋, 𝜌) thỏa mãn tính chất (𝑀𝐶) mệnh đề 1.4 nên thỏa mãn tính chất (𝑊) (𝐽𝑀𝑆) Định nghĩa 2.2 (Arandelovic and Keckic [1]) ∎ Giả sử (𝑋, 𝜌) không gian nón metric 𝐷: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞) ánh xạ định 𝐷(𝑥, 𝑦) = ‖𝜌(𝑥, 𝑦)‖ Hàm 𝑓: 𝑋 → 𝑋 là: a) 𝐷-co tồn 𝜆 ∈ [0,1) cho: ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝐷�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)� ≤ 𝜆𝐷(𝑥, 𝑦) Số 𝜆 bé thỏa mãn (2.2) gọi hệ số co 𝑓 b) 𝐷-co phi tuyến tồn 𝜑 ∈ Φ cho: 32 (2.2) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝐷�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)� ≤ 𝜑�𝐷(𝑥, 𝑦)� với ký hiệu Φ tập hợp hàm thực 𝜑: [0, +∞) →[0, +∞) thỏa mãn tính chất sau: i) 𝜑 đơn điệu không giảm 𝜑 ∘���� … ∘ 𝜑(𝑡) ii) lim 𝜑 𝑛 (𝑡) = , ∀𝑡 > 0, với 𝜑 𝑛 (𝑡) = �� ��� 𝑛→∞ Định lý 2.1 (Arandelovic and Keckic [1]) 𝑛× Cho 𝑃 nón chuẩn 𝐸, giả sử 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → 𝑃, (𝑋, 𝜌) không gian nón metric đầy đủ 𝐷: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞) ánh xạ định bởi: 𝐷(𝑥, 𝑦) = ‖𝜌(𝑥, 𝑦)‖ Giả sử 𝑓: 𝑋 → 𝑋 hàm 𝐷-co phi tuyến Khi 𝑓 có điểm bất động 𝑦 ∈ 𝑋 với 𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard 𝑓 𝑥 hội tụ 𝑦 Chứng minh Từ mệnh đề 2.1, hệ 2.1 mệnh đề 2.2 ta (𝑋, 𝜌) không gian nửa metric Hausdorff đầy đủ thỏa mãn tính chất (𝐽𝑀𝑆) Do định nghĩa hàm 𝐷-co phi tuyến ta được: ∃𝜑 ∈ Φ: 𝐷�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)� ≤ 𝜑�𝐷(𝑥, 𝑦)� Do mệnh đề 1.5, ta 𝑓 có điểm bất động 𝑦 ∈ 𝑋 với 𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard 𝑓 𝑥 hội tụ 𝑦 Hệ 2.2 (Arandelovic and Keckic [1]) ∎ Cho 𝑃 nón chuẩn 𝐸, giả sử 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → 𝑃, (𝑋, 𝜌) không gian metric nón đầy đủ 𝑓: 𝑋 → 𝑋 hàm 𝐷-co Khi 𝑓 có điểm bất động 𝑦 ∈ 𝑋 với 𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard 𝑓 𝑥 hội tụ 𝑦 Định nghĩa 2.6 (Zabreiko [4]) 33 Cho 𝐸 không gian Banach với thứ tự sinh nón 𝑃 (𝑋, 𝜌) không gian nón metric Ta nói (𝑋, 𝜌) đầy đủ theo nghĩa Weierstrass với dãy (𝑥𝑛 ) ⊂ 𝑋 ∞ mà ∑ 𝜌(𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛 ) hội tụ 𝐸 (𝑥𝑛 ) hội tụ 𝑛=1 Các ký hiệu Cho E không gian Banach thứ tự sinh nón 𝑃 𝑄: 𝐸 → 𝐸 ánh xạ tuyến tính, không âm Ta ký hiệu: • 𝐶(𝑄) = �𝜉 ∈ 𝑃: lim 𝑄𝑛 𝜉 = 𝜃� 𝑛→∞ ∞ • 𝐷(𝑄) = �𝜉 ∈ 𝑃: ∑ 𝑄𝑛 𝜉 hội tụ� 𝑛=0 ∞ • Ánh xạ 𝐻𝑄 : 𝐷(𝑄) → 𝑃 xác định 𝐻𝑄 (𝜉) = ∑ 𝑄𝑛 𝜉 𝑛=0 Khi 𝐻𝑄 ánh xạ tuyến tính không âm 𝐷(𝑄) Mệnh đề 2.3 (Zabreiko [4]) a) 𝑄 𝐻𝑄 hai ánh xạ giao hoán b) Các tập 𝐶(𝑄), 𝐷(𝑄) chuẩn tắc Chứng minh a) Với 𝜉 ∈ 𝐷(𝑄), ta có: 𝑄𝐻𝑄 (𝜉) = Do 𝑄𝐻𝑄 = 𝐻𝑄 𝑄 ∞ 𝑄 � ∑ 𝑄𝑛 𝜉 � 𝑛=0 ∞ = ∑ 𝑄𝑛 (𝑄𝜉) = 𝐻𝑄 (𝑄𝜉) = 𝐻𝑄 𝑄(𝜉) 𝑛=0 b) 𝑀 Ta có: Tập 𝑀 𝑃 gọi chuẩn tắc 𝜂 ≤ 𝜉, 𝜂 ∈ 𝑃, 𝜉 ∈ 𝑀 𝜂 ∈ • Với 𝜂 ≤ 𝜉, 𝜂 ∈ 𝑃, 𝜉 ∈ 𝐶(𝑄): Vì 𝜉 ∈ 𝐶(𝑄) nên lim 𝑄𝑛 𝜉 = 𝜃 𝑛→∞ 𝑄 ánh xạ tuyến tính không âm nên đơn điệu mà 𝜂 ≤ 𝜉 nên 𝑄𝑛 𝜂 ≤ 𝑄𝑛 𝜉 Do lim 𝑄𝑛 𝜂 = 𝜃 hay 𝜂 ∈ 𝐶(𝑄) 𝑛→∞ 34 Vậy 𝐶(𝑄) chuẩn tắc • Với 𝜂 ≤ 𝜉, 𝜂 ∈ 𝑃, 𝜉 ∈ 𝐷(𝑄): 𝑛 𝑛 ∞ Chứng minh tương tự ta có 𝑄 𝜂 ≤ 𝑄 𝜉, mà ∑ 𝑄𝑛 𝜉 hội tụ nên: ∞ Vậy 𝐷(𝑄) chuẩn tắc 𝑛=0 ∑ 𝑄𝑛 𝜂 hội tụ hay 𝜂 ∈ 𝐷(𝑄) 𝑛=0 ∎ Định lý 2.2 (Zabreiko [4]) Cho (𝑋, 𝜌) không gian nón metric đầy đủ theo nghĩa Weierstrass, ánh xạ 𝐴 thỏa điều kiện Lipschitz: 𝜌(𝐴𝑥, 𝐴𝑦) ≤ 𝑄�𝜌(𝑥, 𝑦)�, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (2.3) với hệ số Lipschitz 𝑄: 𝐸 → 𝐸 ánh xạ tuyến tính, không âm, liên tục 𝜃 Giả sử 𝑥0 ∈ 𝑋 thỏa mãn 𝜌(𝐴𝑥0 , 𝑥0 ) ∈ 𝐷(𝑄) Khi 𝐴 có điểm bất động 𝑥∗ nằm cầu tâm 𝑥0 , bán kính 𝐻𝑄 �𝜌(𝐴𝑥0 , 𝑥0 )� Ngoài 𝑥∗ = lim 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 , (𝑛 = 0,1,2, … ) thỏa mãn: 𝑛→∞ 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥∗ ) ≤ 𝐻𝑄 �𝑄𝑛 �𝜌(𝐴𝑥0 , 𝑥0 )�� , ( 𝑛 = 0,1,2, … ) Cuối cùng, điểm bất động (nếu có) tập hợp: (2.4) 𝑈(𝑥0 , 𝑄) = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝜌(𝑥, 𝑥0 ) ∈ 𝐶(𝑄)} Chứng minh  Chứng minh tồn điểm 𝑥∗ : Đặt 𝑦0 = 𝜌(𝐴𝑥0 , 𝑥0 ) = 𝜌(𝑥1 , 𝑥0 ) Bằng quy nạp theo 𝑛, ta chứng minh: 𝜌(𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑄𝑛 𝑦0 (2.5) Với 𝑛 = ta có (2.5) Giả sử (2.5) tới 𝑛 ≥ 0, nghĩa 𝜌(𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑄𝑛 𝑦0 Với 𝑛 + 1, ta có: 𝜌(𝑥𝑛+2 , 𝑥𝑛+1 ) = 𝜌(𝐴𝑥𝑛+1 , 𝐴𝑥𝑛 ) ≤ 𝑄�𝜌(𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛 )� ≤ 𝑄𝑛+1 𝑦0 (do 𝑄 ánh xạ tuyến tính không âm nên đơn điệu) ⇒ (2.5) tới 𝑛 + 35 ∞ ∞ Do 𝑦0 ∈ 𝐷(𝑄) nên ∑ 𝑄𝑛 𝑦0 hội tụ, suy ∑ 𝜌(𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛 ) hội tụ 𝑛=0 𝑛=0 Suy (𝑥𝑛 )𝑛 dãy Weierstrass 𝑋 không gian nón metric đầy đủ theo nghĩa Weierstrass nên lim 𝑥𝑛 = 𝑥∗ ∈ 𝑋 𝑛→∞  Chứng minh 𝑥∗ điểm bất động 𝐴: Ánh xạ 𝐴 thỏa mãn điều kiện Lipschitz 𝑄 liên tục nên 𝐴 liên tục 𝑋 Từ 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 , (𝑛 = 0,1,2, … ) suy 𝑥∗ = 𝐴𝑥∗  Chứng minh đẳng thức (2.4) Ta có: 𝑛 (2.5) 𝑛 𝜌(𝑥0 , 𝑥∗ ) ≤ � 𝜌(𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 ) + 𝜌(𝑥𝑛+1 , 𝑥∗ ) ≤ � 𝑄𝑘 (𝑦0 ) + 𝜌(𝑥𝑛+1 , 𝑥∗ ) 𝑘=0 Cho 𝑛 → ∞ ta 𝜌(𝑥0 , 𝑥∗ ) ≤ 𝐻𝑄 (𝑦0 ) 𝑘=0 Vậy 𝑥∗ nằm cầu tâm 𝑥0 , bán kính 𝐻𝑄 (𝑦0 ) Mặt khác: 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥∗ ) = 𝜌(𝐴𝑥𝑛−1 , 𝐴𝑥∗ ) ≤ 𝑄�𝜌(𝑥𝑛−1 , 𝑥∗ )� ≤ ⋯ ≤ 𝑄𝑛 �𝜌(𝑥0 , 𝑥∗ )� Do 𝑄 đơn điệu 𝑄𝐻𝑄 = 𝐻𝑄 𝑄 nên: 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥∗ ) ≤ 𝑄𝑛 𝐻𝑄 (𝑦0 ) = 𝐻𝑄 𝑄𝑛 (𝑦0 )  Chứng minh điểm bất động 𝐴 (nếu có) tập 𝑈(𝑥0 , 𝑄) nhất: Giả sử 𝐴 có hai điểm bất động 𝑥∗ , 𝑥′∗ ∈ 𝑈(𝑥0 , 𝑄) Suy ra: 𝜌(𝑥∗ , 𝑥′∗ ) ≤ 𝜌(𝑥∗ , 𝑥0 ) + 𝜌(𝑥′∗ , 𝑥0 ) ∈ 𝐶(𝑄) Do 𝐶(𝑄) chuẩn tắc nên 𝜌(𝑥∗ , 𝑥′∗ ) ∈ 𝐶(𝑄) Suy lim 𝑄𝑛 𝜌(𝑥∗ , 𝑥′∗ ) = 𝜃 𝑛→∞ Mặt khác: 𝜌(𝑥∗ , 𝑥′∗ ) = 𝜌(𝐴𝑥∗ , 𝐴𝑥′∗ ) ≤ 𝑄�𝜌(𝑥∗ , 𝑥 ′ ∗ )� ≤ ⋯ ≤ 𝑄𝑛 �𝜌(𝑥∗ , 𝑥 ′ ∗ )� Cho 𝑛 → ∞ ta 𝜌(𝑥∗ , 𝑥′∗ ) = 𝜃 hay 𝑥∗ = 𝑥′∗ Vậy điểm bất động 𝐴 (nếu có) 𝑈(𝑥0 , 𝑄) Mệnh đề 2.4 (Zabreiko [4]) 36 ∎ Nếu 𝐸 không gian Banach với thứ tự sinh nón 𝑃 𝑄: 𝐸 → 𝐸 ánh xạ tuyến tính thỏa mãn 𝜌(𝑄) < với 𝜌(𝑄) bán kính phổ ánh xạ 𝑄 𝐷(𝑄) = 𝐶(𝑄) = 𝑃 Chứng minh Hiển nhiên 𝐷(𝑄) ⊂ 𝐶(𝑄) ⊂ 𝑃 Ta chứng minh 𝑃 ⊂ 𝐷(𝑄) Thật vậy, lấy ∞ 𝜉 ∈ 𝑃, xét chuỗi ∑ 𝑄𝑛 (𝜉) , ta có: 𝑛=0 𝑄 ánh xạ tuyến tính nên ‖𝑄𝑛 (𝜉)‖ ≤ ‖𝑄𝑛 ‖ ‖𝜉‖, ký hiệu ‖𝑄𝑛 ‖ chuẩn ánh xạ Do lim‖𝑄 𝑛→∞ 𝑛 ‖𝑛 ∞ ∞ = 𝜌(𝑄) < nên ∑‖𝑄𝑛 ‖ < ∞ nên ∞ 𝑛=0 ∞ � ‖𝑄𝑛 ‖‖𝜉‖ < ∞ ⇒ � ‖𝑄𝑛 (𝜉)‖ < ∞ 𝑛=0 𝑛=0 Vậy chuỗi ∑ 𝑄𝑛 (𝜉) hội tụ tuyệt đối không gian Banach E nên hội tụ hay 𝜉 ∈ 𝐷(𝑄) 𝑛=0 ∎ Hệ 2.3 (Zabreiko [4]) Cho 𝐸 không gian Banach có thứ tự sinh nón 𝑃 (𝑋, 𝜌) không gian nón metric đầy đủ theo nghĩa Weierstrass với metric 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → 𝐸 Với 𝐹 tập đóng (𝑋, 𝜌), ánh xạ 𝐴: 𝐹 → 𝐹 thỏa mãn điều kiện Lipschitz: 𝜌(𝐴𝑥, 𝐴𝑦) ≤ 𝑄�𝜌(𝑥, 𝑦)�, (𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹) 𝑄: 𝐸 → 𝐸 ánh xạ tuyến tính, không âm, 𝑄 có bán kính phổ 𝜌(𝑄) < Khi 𝐴 có điểm bất động 𝑥∗ ∈ 𝐹 thỏa mãn: 𝑥∗ = lim 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 , (𝑥0 ∈ 𝐹, 𝑛 = 0,1,2, … ) Chứng minh 𝑛→∞ Áp dụng định lý 2.2 với không gian nón metric (𝑋, 𝜌𝐹 ), 𝜌𝐹 thu hẹp 𝜌 𝑋 × 𝑋 Theo mệnh đề 2.4 ta có 𝐷(𝑄) = 𝐶(𝑄) = 𝑃 nên với 𝑥0 ∈ 𝐹 thì: 𝜌(𝑥0 , 𝐴𝑥0 ) ∈ 𝐷(𝑄) 37 𝑈(𝑥0 , 𝑄) = {𝑥 ∈ 𝐹: 𝜌(𝑥, 𝑥0 ) ∈ 𝐶(𝑄)} = 𝐹 Vậy 𝐴 có điểm bất động 𝑥∗ ∈ 𝐹 thỏa mãn: 𝑥∗ = lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 , (𝑥0 ∈ 𝐹, 𝑛 = 0,1,2, … ) 38 ∎ KẾT LUẬN Trong phạm vi luận văn, cố gắng trình bày cách có hệ thống chi tiết số mở rộng không gian metric như: Không gian metric đối xứng, không gian nửa metric, không gian loại metric, không gian metric nón định lý điểm bất động dạng co chúng Qua trình làm luận văn hiểu sâu sắc kiến thức học từ Topo, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến mối liên hệ chặt chẽ chúng; bước đầu biết vận dụng chúng để học tập lĩnh vực làm quen với nghiên cứu khoa học Do lực hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Tôi mong góp ý để luận văn hoàn chỉnh 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO I.V.Arandelovic, D.J.Keckic (2012), “Symmetric spaces approach to some fixed point results”, Nonlinear Analysis 75, pp 5157-5168 K.Deimling (1984), Nonliear Functional Analysis, Springer Verlag Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Hữu Khánh, Võ Viết Trí (2013), “Fixed point theorems via cone-norms and cone valued measures of noncompactness” (Bài gởi đăng) P.P.Zabreiko (1997), “K-metric and K-normed linear spaces: survey”, Collect Math 48, pp 4-6, 825-859 40 [...]... CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN NÓN METRIC Chương này sẽ trình bày các định nghĩa, các tính chất cơ bản trong không gian nón metric; một vài kết quả về điểm bất động của ánh xạ dạng co trong không gian này 2.1 Không gian nón metric 2.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1 (Zabreiko [4]) Giả sử 𝐸 là không gian Banach có phần tử không là 𝜃 Một tập con 𝑃 của 𝐸 được gọi là một nón nếu: a) 𝑃 là tập đóng, khác rỗng và 𝑃 ≠... 𝑧)�, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 Chúng ta thấy rằng không gian loại metric bao gồm lớp của những không gian metric đối xứng Vì thế, những khái niệm về dãy hội tụ, dãy Cauchy và không gian đầy đủ được định nghĩa giống như trong không gian metric đối xứng Mệnh đề 1.4 (Arandelovic and Keckic [1]) a) Giả sử (𝑋, 𝑑, 𝐾) là một không gian loại metric, khi đó (𝑋, 𝑑) thỏa mãn tính chất (𝑀𝐶): Tồn tại 𝜀: ℝ+ → ℝ+ và 𝐾 ≥ 1 sao cho... không gian nửa metric không thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶) 1.1.3 Không gian loại metric Định nghĩa 1.8 (Arandelovic and Keckic [1]) Không gian loại metric là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑀𝑇): Tồn tại 𝐾 ≥ 1 sao cho: 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝐾�𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)�, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 Một không gian loại metric được xem là bộ ba (𝑋, 𝑑, 𝐾), trong đó (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng và 𝐾 ≥ 1 là số thực sao cho: 𝑑(𝑥,... động duy nhất 𝑦 ∈ 𝑋 và ∀𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 tại 𝑥 hội tụ về 𝑦 1.2.2 Điểm bất động trong không gian metric đối xứng Bổ đề 1.2 (Arandelovic and Keckic [1]) Cho 𝑋 là tập khác rỗng, xét ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑋 và 𝑛 là một số nguyên dương cố định sao cho 𝑓 𝑛 có một điểm bất động duy nhất 𝑥∗ Khi đó: a) 𝑥∗ là điểm bất động duy nhất của 𝑓 b) Nếu 𝑋 là một không gian tôpô và mọi dãy lặp Picard của 𝑓 𝑛 hội tụ về... còn mở: Bài toán 1 Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑊4) và (𝐻𝐸) (𝑋, 𝑑) có thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶) không? Bài toán 2 Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑊) (𝑋, 𝑑) có thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶) không? Bài toán 3 19 Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑀𝑇) (𝑋, 𝑑) có phải là không gian nửa metric không? 1.2 Điểm bất động của. .. [1]) 31 (𝑋, 𝜌) là không gian nón metric đầy đủ khi và chỉ khi (𝑋, 𝐷) là không gian nửa metric đầy đủ 2.2 Các định lý điểm bất động Mệnh đề 2.2 (Arandelovic and Keckic [1]) Cho 𝑃 là nón chuẩn trên 𝐸, giả sử 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → 𝑃, (𝑋, 𝜌) là một không gian nón metric và 𝐷: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞) là ánh xạ định bởi: 𝐷(𝑥, 𝑦) = ‖𝜌(𝑥, 𝑦)‖ Khi đó (𝑋, 𝐷) là không gian nửa metric thỏa mãn các tính chất (𝑊) và (𝐽𝑀𝑆) (𝑊): lim... 𝑁𝜌(𝑥𝑚 , 𝑥𝑛 ) ≪ 𝑐, với mọi 𝑚, 𝑛 tụ • (𝑋, 𝜌) là không gian nón metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong 𝑋 đều hội 2.1.2 Các tính chất Mệnh đề 2.1 (Arandelovic and Keckic [1]) Cho 𝑃 là một nón chuẩn trong 𝐸, giả sử 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → 𝑃, (𝑋, 𝜌) là một không gian nón metric và 𝐷: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞) là ánh xạ định bởi: 𝐷(𝑥, 𝑦) = ‖𝜌(𝑥, 𝑦)‖ Khi đó: a) (𝑋, 𝐷) là một không gian nửa metric thỏa mãn các tính chất: (𝑊3): lim 𝐷(𝑥𝑛... nón trong 𝐸 Cho 𝑋 là tập khác rỗng Giả sử ánh xạ 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → 𝑃 thỏa mãn: a) 𝜌(𝑥, 𝑦) ≥ 𝜃, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜃 ⟺ 𝑥 = 𝑦; b) 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜌(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; c) 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 Khi đó 𝜌 được gọi là một metric nón trên 𝑋 và (𝑋, 𝜌) được gọi là một không gian nón metric Định nghĩa 2.5 (Arandelovic and Keckic [1]) Cho (𝑋, 𝜌) là một không gian nón metric, 𝑥 ∈ 𝑋 và (𝑥𝑛 )𝑛 là một dãy trong. .. ) được gọi là không gian tôpô sinh bởi 𝑑 Định nghĩa 1.7 (Arandelovic and Keckic [1]) Một không gian tôpô (𝑋, 𝜏𝑑 ) là khả nửa metric nếu có một hàm metric đối xứng 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ sao cho 𝜏𝑑 = 𝜏 và ánh xạ 𝑐: 𝑋 ⊇ 𝐴 ⟼ 𝑐(𝐴) = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑥, 𝐴) = 0} là toán tử bao đóng trong 𝜏𝑑 10 Ta sẽ phát biểu và chứng minh hai mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2 (Arandelovic and Keckic [1]) Nếu (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng... (Arandelovic and Keckic [1]) ∎ Cho 𝑃 là nón chuẩn trong 𝐸, giả sử 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → 𝑃, (𝑋, 𝜌) là không gian metric nón đầy đủ và 𝑓: 𝑋 → 𝑋 là một hàm 𝐷 -co Khi đó 𝑓 có một điểm bất động duy nhất 𝑦 ∈ 𝑋 và với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 tại 𝑥 hội tụ về 𝑦 Định nghĩa 2.6 (Zabreiko [4]) 33 Cho 𝐸 là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón 𝑃 và (𝑋, 𝜌) là không gian nón metric Ta nói (𝑋, 𝜌) đầy đủ theo nghĩa Weierstrass ... bất động ánh xạ dạng co không gian CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN LOẠI METRIC Chương trình bày định nghĩa, tính chất không gian metric đối xứng, không gian nửa metric không gian loại metric; vài kết điểm... LUẬN Trong phạm vi luận văn, cố gắng trình bày cách có hệ thống chi tiết số mở rộng không gian metric như: Không gian metric đối xứng, không gian nửa metric, không gian loại metric, không gian metric. .. Hướng mở rộng thứ hai mở rộng không gian Theo hướng này, người ta thay không gian metric không gian định chuẩn không gian tổng quát có tính chất đặc thù riêng không gian tôpô kiểu metric, không gian