Lớp các MD5 đại số với ideal dẫn xuất không giao hoán và các MD5 nhóm tương ứng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Mộng Tuyền LỚP CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT KHÔNG GIAO HOÁN VÀ CÁC MD5-NHÓM TƯƠNG ỨNG Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM TẠ Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Anh Vũ, người thầy kính yêu nhiệt tình giúp tác giả tiếp cận với lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, đại số Lie nhiều kiến thức quan trọng khác suốt trình tác giả học cao học Từ đó, tác giả giải toán để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người thầy tận tâm nghiêm khắc giúp tác giả trưởng thành nhiều mặt tri thức Tác giả xin chân thành cảm ơn: Quý Thầy hội đồng phản biện dành thời gian đọc luận văn cho nhiều nhận xét hữu ích Quý Thầy Cô khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho tác giả kiến thức quý báu, cần thiết để tác giả nâng cao trình độ chuyên môn, phương pháp làm việc hiệu trình học tập giảng dạy Quý Thầy Cô Phòng Khoa học Công nghệ Sau Đại học, Thư viện trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập làm luận văn trường Quý Thầy Cô khoa Tiểu học Mầm non, khoa Toán học, Ban giám hiệu trường Đại học Đồng Tháp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học, nghiên cứu làm luận văn Các tác giả tài liệu mà tác giả tham khảo Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, thầy cô, đồng nghiệp bạn học viên cao học động viên giúp đỡ tác giả thời gian học tập làm luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2010 Nguyễn Thị Mộng Tuyền MỤC LỤC LỜI CẢM TẠ T 0T MỤC LỤC T T DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU T 0T MỞ ĐẦU T T Chương :LỚP CÁC MDn-NHÓM VÀ MDn-ĐẠI SỐ T T 1.1.Nhóm Lie T 0T 1.2.Đại số Lie T 0T 1.2.1.Khái niệm đại số Lie T T 1.2.2.Đại số Lie ideal 11 T 0T 1.2.3.Đồng cấu đại số Lie 12 T 0T 1.2.4.Biểu diễn quy đại số Lie 13 T T 1.2.5.Đại số Lie giải đại số Lie lũy linh 13 T T 1.3.Sự liên hệ nhóm Lie đại số Lie 14 T T 1.3.1.Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie cho 14 T T 1.3.2.Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie 15 T T 1.3.3.Ánh xạ mũ exponent 16 T 0T 1.4.Biểu diễn phụ hợp K-biểu diễn lớp MD-nhóm MD-đại số 16 T T 1.4.1.K-biểu diễn nhóm Lie 16 T T 1.4.2.Các MDn-nhóm MDn-đại số 18 T T CHƯƠNG : LỚP CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 19 T T 2.1.Định lý phân loại 19 T 0T 2.2.Một số bổ đề 22 T 0T 2.3.Chứng minh định lý 2.1 24 T 0T CHƯƠNG 3: MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT KHÔNG GIAO HOÁN 37 T T 3.1 Một vài bổ đề 37 T 0T 3.2 MD5-đại số với ideal dẫn xuất không giao hoán 39 T T 3.2.1 Một vài ví dụ MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ không giao hoán 3-chiều 39 T T 3.2.2 MD5-đại số với ideal dẫn xuất không giao hoán chiều 41 T T 3.3 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm tương ứng với MD5-đại số xét.45 T T 3.3.1 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo 45 T T 3.3.1.1 Khái niệm K-quỹ đạo nhóm Lie 45 T T 3.3.1.2 Một số bổ đề 46 T 0T 3.3.2 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm liên thông đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất thứ không giao hoán chiều 47 T T KẾT LUẬN 50 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 T 0T DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut (V ) : Nhóm tự đẳng cấu không gian vectơ V Aut ( G ) : Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính G b ( n,  ) : Không gian ma trận tam giác trường   : Trường số phức C ∞ (V ) : Không gian hàm khả vi vô hạn lần đa tạp V End (V): Không gian đồng cấu đa tạp V exp: Ánh xạ mũ exp G : Nhóm Lie G * : Không gian đối ngẫu đại số Lie G GL(n, ) : Nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực gl(V): Đại số Lie tuyến tính tổng quát gl(n,  ): Đại số Lie ma trận cấp n  Lie(G): Đại số Lie nhóm Lie G Mat (n, ) : Tập hợp ma trận vuông cấp n hệ số thực n(n,  ): Không gian ma trận tam giác chặt chẽ cấp n trường  sl(n,  ): Không gian ma trận cấp n có vết không trường   : Trường số thực tr ( A ) : Vết ma trận A Z ( G ) : Tâm đại số Lie G Ω F : Quỹ đạo Kirillov qua F MỞ ĐẦU Vấn đề mà quan tâm có nguồn gốc từ toán mô tả cấu trúc C*P P đại số phương pháp K-hàm tử Năm 1943, I Gelfand A Naimark đưa khái niệm C*-đại số Các C*-đại số P P P P nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng Toán học Vật lí, Cơ học Tuy nhiên, vấn đề mô tả cấu trúc C*-đại số trường hợp tổng quát lại P P phức tạp toán mở Năm 1974, Đỗ Ngọc Diệp sử dụng K-hàm tử đồng điều Brown-DouglasFillmore (còn gọi K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff  ) nhóm P P P P phép biến đổi Affine đường thẳng thực  Bởi phương pháp mô tả cấu trúc C*P P đại số K-hàm tử BDF gọi phương pháp Đỗ Ngọc Diệp Năm 1975, J Rosenberg sử dụng phương pháp để mô tả C*-đại số C*(Aff  ) P P P P nhóm phép biến đổi Affine đường thẳng phức  C*-đại số vài P P nhóm Lie giải khác Năm 1977, Đỗ Ngọc Diệp cải tiến phương pháp để đặc trưng C*-đại số kiểu I mở rộng lặp nhiều tầng Đến lúc này, KP P hàm tử BDF dường không thích hợp với việc mô tả C*-đại số nhóm P P Lie khác C*-đại số khác Một cách tự nhiên nảy sinh hai vấn đề lớn P P - Vấn đề 1: Tổng quát hóa K-hàm tử BDF theo cách để mô tả lớp rộng C*-đại số P P - Vấn đề 2: Đi tìm lớp C*-đại số lớp nhóm Lie mà C*-đại số P P P P chúng có khả mô tả K-hàm tử mở rộng Năm 1980, G G Kasparov nghiên cứu vấn đề thứ thành công việc tổng quái hóa K-hàm tử BDF thành K-song hàm tử toán tử (còn gọi KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Ngay sau đó, Kasparov sử dụng KK-hàm tử để mô tả C*-đại số C*(H ) nhóm Heisenberg H P P P P R R R R Vấn đề thứ hai có liên quan mật thiết với phương pháp tiếng đóng vai trò then chốt lý thuyết biểu diễn nhóm Lie – phương pháp quỹ đạo Kirillov khởi xướng vào năm 1962 Năm 1980, phương pháp quỹ đạo Kirillov gợi ý để Đỗ Ngọc Diệp đề nghị xét lớp MD-đại số MD-nhóm Lớp đơn giản phương diện phân tầng K-quỹ đạo, nên nói chung C*-đại số P chúng mô tả nhờ KK-hàm tử P Giả sử G nhóm Lie thực giải n chiều (n số tự nhiên dương) G gọi MDn-nhóm K-quỹ đạo không chiều có số chiều số k (chẵn) không vượt n Khi k = n G gọi MDn -nhóm Đại số Lie(G) MDn-nhóm (tương ứng MDn -nhóm) gọi MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số) Rõ ràng lớp MD MD Đến đây, toán lớn đặt phân loại MD-đại số đồng thời mô tả C*-đại số P MD-nhóm phương pháp P KK-hàm tử Năm 1984, Hồ Hữu Việt phân loại triệt để MDn -đại số Lớp gồm đại số Lie giao hoán  n , đại số Lie(Aff  ) đại số Lie(Aff  ) Ngay sau đó, Hồ  ) Aff  , Aff  Hữu Việt dùng phương pháp KK-hàm tử để mô tả C*( Aff P P phủ phổ dụng nhóm Aff  Như vậy, với kết có trước Đỗ Ngọc Diệp Rosenberg, toán MD -đại số MD -nhóm xem giải triệt để Thế MD-đại số MD-nhóm sao? Đáng tiếc chúng, vấn đề trở nên phức tạp nhiều Chú ý nhóm (tương ứng đại số) Lie thực giải không 3-chiều MD-nhóm (tương ứng, MD-đại số), chúng liệt kê hết từ lâu lý thuyết đại số Lie Bởi vậy, cần MDn-nhóm với n ≥ Trong năm 2005 - 2007, Lê Anh Vũ phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) tất MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán ba bốn chiều Năm 2008, Lê Anh Vũ Kar Ping Shum phân loại tất MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều không bốn Ngoài ra, quan tâm nghiên cứu MD-nhóm MD-đại số kiện quan trọng sau đây: MD-nhóm, họ K-quỹ đạo chiều cực đại tạo thành phân đo theo nghĩa A Connes Các phân gọi MD-phân liên kết với MD-nhóm xét Phân khái niệm xuất xứ từ lý thuyết phương trình vi phân kể từ công trình G Reed năm 1952, lý thuyết phân trở thành nhánh thuộc lĩnh vực Tôpô – Hình học nhanh chóng phát triển Năm 1982, nghiên cứu đa tạp phân lá, A Connes đưa khái niệm phân đo gắn phân đo với C*-đại số mà gọi C*-đại số phân P P P P Lập tức nẩy sinh câu hỏi liệu C*-đại số phân có thích hợp với phương P P pháp KK-hàm tử hay không? Câu trả lời khẳng định Năm 1985, A M Torpe dùng KK-hàm tử để mô tả thành công C*-đại số phân Reed xuyến 2P P chiều Đến đây, lại xuất thêm toán mô tả C*-đại số MD-phân P P Đây lí để quan tâm nghiên cứu lớp MD-đại số MDnhóm Cụ thể, trước hết tìm hiểu lớp MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán mà Lê Anh Vũ Kar Ping Shum phân loại dựa vào kỹ thuật họ cải tiến (nếu cần), giới thiệu vài MD5-đại số với ideal dẫn xuất không giao hoán xét MD5-nhóm tương ứng số vấn đề liên quan Bởi thế, đề tài mang tên “lớp MD5-đại số với ideal dẫn xuất không giao hoán MD5-nhóm tương ứng” Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Giới thiệu khái niệm nhóm Lie, đại số Lie, K-biểu diễn nhóm Lie lớp MD-nhóm, MD-đại số Chương 2: Chương trình bày chi tiết định lý phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán Lê Anh Vũ Kar Ping Shum trình bày [Vu-Sh] chứng minh tường minh định lý Chương 3: Đưa ba MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ không giao hoán chiều mô tả tranh hình học MD5-đại số Phần cuối chương trình bày mệnh đề chứng tỏ không tồn MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ chiều không giao hoán Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu Chương :LỚP CÁC MDn-NHÓM VÀ MDn-ĐẠI SỐ Chương chủ yếu đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu chương sau, giới thiệu đối tượng nghiên cứu lớp MD5-nhóm MD5-đại số mà quan tâm Trước hết, nhắc lại khái niệm nhóm Lie đại số Lie (thực) Nhiều mệnh đề, định lý phát biểu không chứng minh Độc giả quan tâm đến chứng minh muốn tìm hiểu sâu khái niệm xin xem tài liệu [Bo], [Ki], [Ha-Sch] 1.1.Nhóm Lie Định nghĩa 1.1 Tập hợp G gọi nhóm Lie điều kiện sau thỏa mãn: (i) G nhóm Lie (ii) G đa tạp khả vi (iii) Phép toán nhóm G × G → G , ( x, y )  xy −1 khả vi Ta không cần ý đến lớp khả vi đa tạp G , theo định lý GleasonMontgomery-Zippin, nhóm Lie lớp 0 (tức đa tạp tôpô) đưa vào đa tạp lớp ∞ tương thích với cấu trúc nhóm Tùy vào đa tạp khả vi thực hay phức mà nhóm Lie gọi nhóm Lie thực hay phức Nhóm Lie G gọi giao hoán phép toán nhóm giao hoán Chiều nhóm Lie G chiều đa tạp khả vi G Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm vừa đa tạp khả vi nên đưa nhiều công cụ đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân,… để nghiên cứu cấu trúc nhóm Lie Ví dụ 1.1 a Đường thẳng thực  với phép toán (+) thông thường nhóm Lie giao hoán b Đường tròn đơn vị S với phép toán (.) (có thể xem S tập hợp số phức có mođun 1) nhóm Lie giao hoán c Tập hợp GL ( n,  ) ma trận vuông cấp n không suy biến với phép toán nhân ma trận nhóm Lie (không giao hoán n ≥ 2) Đặc biệt, n = GL ( n,  ) = * d Nếu G1 , G2 nhóm Lie tích G1 × G2 nhóm Lie Tương tự cho tích nhiều nhóm Lie Những trường hợp đặc biệt thường gặp nhóm Lie với phép cộng  n =  ×  × ×  , xuyến n-chiều T n = S × S × × S e Nhóm phép biến đổi affine đường thẳng thực  với tôpô tự nhiên nhóm Lie Nhóm ký hiệu aff  Cụ thể, nhóm aff  = {( a, b ) / a ∈  , b ∈ } * 1.2.Đại số Lie 1.2.1.Khái niệm đại số Lie Định nghĩa 1.2 Một không gian vectơ  trường  gọi đại số  (hay -đại số)  có thêm phép nhân () :  ×  →  ( x, y )  xy cho tiên đề sau thỏa mãn: (A ) Phép nhân kết hợp: ( xy ) z= x ( yz ) , ∀x, y, z ∈  R R (A ) Phép nhân song tuyến tính: R R ( λ1 x1 + λ2 x2 ) y = λ1 ( x1 y ) + λ2 ( x2 y ) x ( λ1 y1 + λ2 y2 ) = λ1 ( xy1 ) + λ2 ( xy2 ) với ∀λ1 , λ2 ∈ Κ , x1 , x2 , y1 , y2 , x, y ∈  Tùy vào trường  thực hay phức mà đại số  gọi đại số thực hay phức Đại số  giao hoán hay có đơn vị phép nhân giao hoán hay có đơn vị Số chiều đại số  số chiều không gian vectơ  Định nghĩa 1.3 Giả sử  trường Một không gian vectơ G trường  gọi đại số Lie trường  (hay  -đại số Lie) G cho phép nhân [.,.] (được gọi móc Lie), [.,.] : G × G → G ( x, y )  [ x, y ] cho tiên đề sau thỏa mãn: (L ) Song tuyến tính: R R [λ1 x1 + λ2 x2 , y ] = λ1 [ x1 , y ] + λ2 [ x2 , y ] [ x, λ1 y1 + λ2 y2 =] λ1 [ x, y1 ] + λ2 [ x, y2 ] ∀λ1 , λ2 ∈ Κ , x1 , x2 , y1 , y2 , x, y ∈ G (L ) Phản xứng: [ x, x ] = 0, ∀x ∈ G R R (L ) Thỏa mãn đồng thức Jacobi: R R [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0, ∀x, y, z ∈ G Số chiều đại số Lie G số chiều không gian vectơ G Khi trường  trường số thực  (hay phức  ) G gọi đại số Lie thực (hay phức) Cho G không gian hữu hạn chiều trường  Giả sử số chiều G n Cấu trúc đại số Lie G cho móc Lie cặp vectơ thuộc sở {e1 , e2 , , en } chọn trước G sau: ei , e j  = n ∑c e , k ij k k =1 1≤ i < j ≤ n Các hệ số cijk , 1≤ i < j ≤ n gọi số cấu trúc đại số Lie G sở chọn Nhận xét 1.1 (i) Nếu trường  có đặc số khác ta dễ dàng kiểm tra tiên đề (L2 ) định R R nghĩa 1.3 tương đương với (L ’): R R − [ y, x ] , [ x y ] = ∀x, y ∈ G (ii) Nếu [ x, y ] =0, ∀x, y ∈ G , ta nói móc Lie tầm thường đại số Lie giao hoán Trên phép toán Lie nói chung phép nhân không giao hoán không kết hợp Nội dung luận văn đề cập nghiên cứu đại số Lie thực nên không sợ nhầm lẫn ta dùng thuật ngữ đại số Lie để đại số Lie thực Ví dụ 1.2 a Không gian  n với móc Lie [ x, y ] ≡ (tầm thường) hiển nhiên đại số Lie Đại số Lie mà móc Lie tầm thường, gọi đại số Lie giao hoán b Không gian  với tích có hướng thông thường đại số Lie thực chiều c Cho  [ x, y=] đại số trường  Với cặp xy − yx ,  ( x, y ) ∈  , ta định nghĩa trở thành đại số Lie Nói riêng, đại số Lie Mat(n,) ma trận vuông cấp n  đại số Lie với móc Lie [ A, B ] = AB − BA, ∀A, B ∈ Mat ( n,  ) , kí hiệu gl(n,  ) d Đặc biệt, xét đại số toán tử tuyến tính End(V)  -không gian vectơ V Khi đó, End (V ) trở thành đại số Lie với móc Lie xác định sau: [ A= , B] A  B − B  A , ∀A, B ∈ End (V ) Đại số Lie gọi đại số Lie tuyến tính tổng quát kí hiệu gl(V) e Cho  đại số trường  Toán tử tuyến tính ϕ :  →  gọi toán tử vi phân  nếu: ϕ= ( x, y ) ϕ ( x ) y − x.ϕ ( y ) Kí hiệu Der (  ) tập hợp tất toán tử vi phân  Khi Der (  ) trở thành đại số  với phép toán hợp thành phép nhân ánh xạ Der (  ) trở thành đại số Lie  với móc Lie định nghĩa là: [ϕ= ,ϕ2 ] ϕ1  ϕ − ϕ  ϕ1 Der (  ) gọi đại số Lie toán tử vi phân 1.2.2.Đại số Lie ideal Định nghĩa 1.4 (i) Không gian  đại số Lie G gọi đại số Lie G , [ x, y ] ∈ với x, y ∈ (ii) Không gian  đại số Lie G gọi ideal G [ x, y ] ∈  với x ∈ G y ∈  Ví dụ 1.3 (i) Xét đại số Lie gl(n,  ), kí hiệu n   = ∈ , / 0 A a n  ( n,  ) =  sl gl ( ij ) ( ) ∑ aii =  i =1   không gian ma trận vuông cấp n có vết không (trong vết ma trận vuông tổng phần tử đường chéo chính) gl(n,  ) b( n,  )= { A= ( a ) ∈ gl ( n,  ) / a = ij ij } 0,1 ≤ j < i ≤ n không gian ma trận tam giác gl(n,) n ( n,  )= { A= ( a ) ∈ gl ( n,  ) / a = ij ij } 0,1 ≤ j ≤ i ≤ n không gian ma trận tam giác chặt chẽ gl(n,  ) Khi sl(n,  ), b(n,  ) n(n,  ) đại số Lie gl(n,  ) Đặc biệt, sl(n,  ) ideal gl(n,  ) n(n,  ) ideal b(n,  ) (ii) Đại số Lie toán tử vi phân Der (  ) đại số Lie gl() (iii) Kí hiệu Z ( G ) tập hợp tất phần tử giao hoán với G , tức Z ( G) = { x ∈ G | [ x, y ] = 0, ∀y ∈ G} (được gọi tâm đại số Lie G ) Rõ ràng Z ( G ) ideal G Nhận xét 1.2 Từ (i) nhận xét 1.1, ta không cần phân biệt ideal trái phải Và rõ ràng, ideal đại số con, nói chung điều ngược lại không 1.2.3.Đồng cấu đại số Lie Định nghĩa 1.5 Cho G , G hai  -đại số Lie Đồng cấu đại số Lie ánh xạ  -tuyến R R R R tính ϕ : G1 → G2 cho ϕ bảo toàn móc Lie, tức là: ϕ ( [ x, y ] ) = ϕ ( x ) , ϕ ( y )  ( ∀x, y ∈ G1 ) Nếu ϕ đẳng cấu tuyến tính đồng cấu đại số Lie ϕ gọi đẳng cấu đại số Lie Mệnh đề 1.1 Nếu ϕ : G1 → G2 đồng cấu đại số Lie thì: (i) Hạt nhân Kerϕ ϕ ideal G R R (ii) Ảnh đồng cấu Im ϕ đại số Lie G R R (iii) G1 / Kerϕ ≅ Im ϕ Nhận xét 1.3 (i) Các đại số Lie trường  lập thành phạm trù với cấu xạ đồng cấu đại số Lie (ii) Mỗi đồng cấu đại số Lie ϕ : G1 → End (V ) ( End (V ) đại số Lie toán tử tuyến tính không gian vectơ V ) gọi biểu diễn tuyến tính G1 không gian vectơ V Để đơn giản người ta dùng thuật ngữ “biểu diễn” thay cho thuật ngữ “biểu diễn tuyến tính” Khi ϕ đơn cấu ϕ gọi biểu diễn khớp Định lý 1.1 (định lý Ado) Mọi đại số Lie hữu hạn chiều có biểu diễn tuyến tính khớp hữu hạn chiều Định lý quan trọng nói lên rằng, quy tất phép chứng minh đại số Lie trường hợp đại số Lie ma trận 1.2.4.Biểu diễn quy đại số Lie Cho G đại số Lie Với x ∈ G , kí hiệu ad x toán tử Der ( G ) xác định bởi: ad x = ( y) [ x, y ]; ∀y ∈ G Khi ad x ánh xạ tuyến tính từ G → G ta thu biểu diễn tuyến tính G G sau: ad : G → End ( G ) x  ad x Biểu diễn gọi biểu diễn quy G Hạt nhân biểu diễn Ker ( ad ) = { x ∈ G / ad x ≡ 0} tâm G Ví dụ 1.4: Xét đại số Lie G =  với móc Lie tích có hướng thông thường Khi biểu diễn quy G cho ma trận sau: c − b 0   ad =  −c a  b − a   Dể thấy rằng, tâm G tầm thường, biểu diễn khớp Nói cách khác, đại số Lie G =  với móc Lie tích có hướng thông thường đẳng cấu với đại số Lie ma trận thực phản xứng cấp 1.2.5.Đại số Lie giải đại số Lie lũy linh Cho G  -đại số Lie Với n ∈  , Đặt: G= = G , G1 G, G ], G [= G= = G , G1 G , G ] , G2 [ G , = G1 ] , , Gn [ G , Gn-1 ] [=  G1 , G  , , G n  G n −1 , G n −1  = Mệnh đề 1.2 Các khẳng định sau đúng: (i) Gk , G k ideal G ( k = 1, 2, ) (ii) G ⊃ G1 ⊃ G ⊃ ⊃ G n ⊃ ||   G ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ ⊃ Gn ⊃ (iii) Nếu dim G < +∞ ∃n ∈  cho: kh G n= G n+1= = G ∞ ( n ≥ 2) kh Gn= Gn+1= = G∞ Định nghĩa 1.6 Đại số Lie G gọi giải (tương ứng, lũy linh) G ∞ = {0} (tương ứng, G∞ = {0} ) Chỉ số n nhỏ để đẳng thức xảy gọi hạng đại số Lie giải (tương ứng, lũy linh) G Ví dụ 1.5: b( n,  )= { A= ( a ) ∈ gl ( n,  ) / a = ij ij } 0,1 ≤ j < i ≤ n (đại số ma trận tam giác trên) đại số Lie giải n ( n,  )= { A= ( a ) ∈ gl ( n,  ) / a = ij ij } 0,1 ≤ j ≤ i ≤ n (đại số Lie ma trận tam giác mà phần tử đường chéo 0) đại số Lie lũy linh Định lý 1.2 (Định lý Lie) Cho ϕ biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều đại số Lie giải G không gian véctơ V trường đóng đại số  Khi ϕ tương đương với biểu diễn tam giác trên, tức là= ϕ ( x ) T ( n,  ) , ∀x ∈ G Hệ 1.1 Nếu G đại số Lie giải G1 = [ G , G ] đại số Lie lũy linh Định lý 1.3 (Định lý Engel) Đại số Lie G lũy linh với ∀x ∈ G , ad x toán tử lũy linh (tức tồn n ∈ * cho ( ad x ) = ) n Đại số Lie giải có cấu trúc không phức tạp việc phân loại chúng toán mở 1.3.Sự liên hệ nhóm Lie đại số Lie 1.3.1.Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie cho Cho G nhóm Lie Ta ký hiệu Te ( G ) không gian tiếp xúc G điểm đơn vị e ∈ G Không gian thường ký hiệu G Khi G trở thành đại số Lie với móc Lie xác định toán tử sau: [ X , Y ] = XY − YX , ∀X , Y ∈ G Tức là: [ X , Y= ] f X (Yf ) − Y ( Xf ) , ∀X , Y ∈ G, ∀f ∈ C ∞ ( G ) Trong C ∞ ( G ) đại số hàm trơn G nhận giá trị thực Như vậy, nhóm G xác định đại số Lie G G gọi đại số Lie (hay tương ứng với) G Ngoài cách định nghĩa trên, ta xem đại số G đại số Lie trường vectơ bất biến trái G Cách xây dựng đại số G sau: Gọi X ( G ) đại số Lie trường vectơ khả vi G Khi với X , Y ∈ X ( G ) , ta có: ( X + Y ) g= X g + Yg , ∀g ∈ G X ) g λ X g , λ ∈ , ∀g ∈ G ( λ= [ X , Y= ] f X (Yf ) − Y ( Xf ) , ∀f ∈ C ∞ ( G ) Với g ∈ G Đặt Lg : G → G , x  gx phép tịnh tiến trái theo g, Rg : G → G , x  xg phép tịnh tiến phải theo g, Lg Rg vi phôi G , đồng thời cảm sinh thành ánh xạ Lg * : T ( G ) → T ( G ) , Rg * : T ( G ) → T ( G ) không gian tiếp xúc T ( G ) G Định nghĩa 1.7 (i) Trường vectơ X gọi bất biến trái Lg * ( X ) = X , ∀g ∈ G Điều tương đương với: Lg * ( X ) x = X gx , ∀x, g ∈ G (ii) Trường vectơ X gọi bất biến phải Rg * ( X ) = X , ∀g ∈ G Điều tương đương với: Rg * ( X ) x = X xg , ∀x, g ∈ G Gọi G = { X ∈ X(G) / X trường vectơ bất biến trái}, G đại số Lie X ( G ) gọi đại số Lie nhóm Lie G , G ≅ Te ( G ) 1.3.2.Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie Với cách xây dựng ta thấy, nhóm Lie xác định đại số Lie Ngược lại ta có định lý sau: Định lý 1.4: (i) Cho G đại số Lie thực Khi tồn nhóm Lie liên thông  cho đại số Lie G  G đơn liên G (ii) Nếu G nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie tồn nhóm   cho G = G chuẩn tắc rời rạc D G D Nhóm Lie G gọi giải (tương ứng, lũy linh) đại số Lie G giải (tương ứng, lũy linh) 1.3.3.Ánh xạ mũ exponent Cho G nhóm Lie, G = Lie(G) đại số Lie G Mệnh đề 1.3 Với X ∈ G , tồn nhóm { x ( t ) / t ∈ } G cho: (i) x ( ) = eG (ii) x ( t + s )= x ( t ) + x ( s ) , ∀t , s ∈  (iii) x ' ( 0= ) X=( X e ) gọi nhóm 1-tham số xác định G Khi đó: dn o exp(X) = x(1) ∈ G, exp(tX) dn = x(t) ∈ G o exp: G → G, X  exp(X) Định lý 1.5 (về tính chất ánh xạ exp) (i) Ánh xạ exp vi phôi địa phương (ii) Ánh xạ exp có tính tự nhiên: f ( dong cau nhom Lie ) G1  → G2 exp ↑ ↑ exp G1  → G2 f* f  exp = exp  f * R Nếu exp vi phôi (toàn cục) G gọi nhóm exponential Hệ 1.2 Có song ánh tập biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều đại số Lie nhóm liên thông đơn liên 1.4.Biểu diễn phụ hợp K-biểu diễn lớp MD-nhóm MD-đại số 1.4.1.K-biểu diễn nhóm Lie Cho G nhóm Lie tùy ý G = Lie(G) đại số Lie G Ký hiệu G* không gian đối ngẫu đại số Lie G Với g ∈ G , ta có tự đẳng cấu: A( g ) : G → G xác định sau: −1 A= ( g ) ( x ) : g x.g , ∀x ∈ G Tự đẳng cấu cảm sinh ánh xạ sau: = A( g ) * ( L R ) : G → G g g −1 X  A( g ) ( X ) := * d  g exp ( tX ) g −1  |t =0 dt gọi ánh xạ tiếp xúc A( g ) Định nghĩa 1.8: Tác động Ad : G → Aut ( G ) g  Ad (= g ) : A= (g) * ( L R ) g g −1 * gọi biểu diễn phụ hợp G G Định nghĩa 1.9: Tác động (được cảm sinh biểu diễn phụ hợp Ad G G ) K : G → Aut ( G * ) g  K ( g ) := K ( g ) cho = K( g ) F , X : F , Ad ( g −1 ) X ; (F ∈ G , X ∈ G) * gọi biểu diễn đối phụ hợp hay K-biểu diễn G G * Ở F , X , F ∈ G * , X ∈ G giá trị dạng tuyến tính F ∈ G * trường vectơ (bất biến trái) X ∈ G Định nghĩa 1.10: Mỗi quỹ đạo K-biểu diễn G G * gọi K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov G (trong G * ) Vậy, F ∈ G * , K-quỹ đạo chứa F định nghĩa cho bởi: = ΩF : ( K( ) F / g ∈ G ) g Mỗi K-quỹ đạo nhóm Lie G tùy ý G -đa tạp vi phân với số chiều chẳn đưa vào cấu trúc symplectric tự nhiên tương thích với tác động G Để xác định số chiều K-quỹ đạo Ω F với F ∈ G * , ta xét dạng song tuyến tính phản xứng BF G BF ( X = ,Y ) : F , [ X , Y ] ; ∀X , Y ∈ G Ký hiệu ổn định F biểu diễn đối phụ hợp G G * G F R { } G F : = Lie ( GF ) , tức GF = g ∈ G | K( g ) F = F Khi ta có kết sau R Mệnh đề 1.4 Hạt nhân BF số chiều Ω F cho hệ thức sau: = Ω dim G − dim G F KerBF = G F dim Ký hiệu O ( G ) tập hợp K-quỹ đạo G trang bị tôpô thương tôpô tự nhiên G * Nói chung tôpô thu “xấu”, không tách chí không nửa tách 1.4.2.Các MDn-nhóm MDn-đại số Giả sử G nhóm Lie thực giải được, G đại số Lie G G * không gian đối ngẫu G Định nghĩa 1.11 (Xem [Di], chương 4, định nghĩa 1.1) Một MDn-nhóm nhóm Lie thực giải n-chiều cho K-quỹ đạo không chiều có số chiều cực đại Đại số Lie MDn-nhóm gọi MDn-đại số Mệnh đề sau điều kiện cần để đại số Lie thực giải MD-đại số Mệnh đề 1.5 (Xem [So-Vi], định lý 4) Giả sử G MD-đại số Khi G = [ G , G ] , [ G , G ] đại số giao hoán G Chú ý điều kiện cần nêu không điều kiện đủ Tuy nhiên, để phân loại MD-đại số ta cần xét đại số Lie giải với G giao hoán Nói riêng, xét lớp đại số Lie giải với G triệt tiêu, tức ideal dẫn xuất thứ giao hoán Như nói phần mở đầu, toàn lớp MD4-đại số liệt kê đầy đủ vào năm 1984 Đào Văn Trà (xem[Trà]), nhiên tác giả dừng lại liệt kê thô mà không xét đến tính đẳng cấu đại số Lie Năm 1990, Lê Anh Vũ liệt kê triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) MD4-đại số (xem[Vu] ) Nói cách vắn tắt toán liệt kê phân loại MD4-đại số coi giải trọn vẹn Tuy nhiên n = tính toán trở nên phức tạp nhiều Để đơn giản Lê Anh Vũ xét lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (với k < 5) đạt nhiều kết quan trọng Từ năm 2003 đến năm 2006, Lê Anh Vũ liệt kê phân loại lớp MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán với số chiều bé Trong chương sau, giới thiệu lại MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán với số chiều bé 4, đồng thời đưa vài ví dụ MD5-đại số có ideal dẫn xuất không giao hoán với số chiều cố định CHƯƠNG : LỚP CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 2.1.Định lý phân loại Định lý 2.1 (Xem [Vu-Sh], định lý 3.1) Giả sử G MD5-đại số với G = [ G , G ] giao hoán Khi khẳng định sau (i) Nếu G khả phân, G=  ⊕  ,  MD4-đại số (ii) Nếu G bất khả phân, ta chọn sở thích hợp ( X , X , X , X , X ) G cho G đẳng cấu với đại số Lie sau: 1.= G  X ≡  G5,1 : [= X1, X ] X3, X ] [= X ; móc Lie khác tầm thường G =  X ⊕  X ≡  G5,2,1 = : [ X , X ] X= X ; móc Lie khác tầm thường 4, [ X2, X3] G =  X ⊕  X ⊕  X ≡  , ad X1 = 0, ad X ∈ End ( G ) ≡ Mat3 (  ) ; [ X , X ] = X 3.1 G5,3,1( λ1 ,λ2 ) :  λ1 0    ad X  λ1  ; = 0    λ1 , λ2 ∈  \ {1} , λ1 ≠ λ2 ≠ 3.2 G5,3,2( λ ) : 1 0    = ad X   ; 0 λ    λ ∈  \ {0,1} 3.3 G5,3,3( λ ) : λ 0   = ad X   ;  0 1   3.4 G5,3,4 : ad X 1 0    = 0 0  0 1   3.5 G5,3,5( λ ) : λ ∈  \ {0,1} λ 0   = ad X  1  ; 0 1   λ ∈  \ {1} 3.6 G5,3,6( λ ) : 1    = ad X   ; 0 λ    λ ∈  \ {0,1} 3.7 G5,3,7 : ad X 1    =  1  0 1   3.8 G5,3,8( λ ,ϕ ) :  cosϕ  = ad X  sin ϕ   − sin ϕ cosϕ 0  ; λ  λ ∈  \ {0} , ϕ ∈ ( 0, π ) G =  X ⊕  X ⊕  X ⊕  X ≡  , ad X1 ∈ End ( G ) ≡ Mat4 (  ) 4.1 G5,4,1( λ1 ,λ2 ,λ3 ) : ad X1  λ1  = 0  0 0 0  λ2 0  ; λ1 , λ2 , λ3 ∈  \ {0,1} , λ1 ≠ λ2 ≠ λ3 ≠ λ1 λ3   0 1 4.2 G5,4,2( λ ,λ ) : ad X1  λ1  = 0  0 0 0  λ2 0  ; λ1 , λ2 ∈  \ {0,1} , λ1 ≠ λ2 0  0 1 4.3 G5,4,3( λ ) : ad X1 λ  = 0  0 4.4 G5,4,4( λ ) : 0 λ 0 0 0  0 ; λ ∈  \ {0,1} 0  1 [...]... (với k < 5) và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng Từ năm 2003 đến năm 2006, Lê Anh Vũ đã liệt kê và phân loại các lớp con của các MD5- đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán với số chiều bé hơn hoặc bằng 4 Trong các chương sau, chúng tôi sẽ giới thiệu lại các MD5- đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán với số chiều bé hơn hoặc bằng 4, đồng thời đưa ra một vài ví dụ về các MD5- đại số. .. một vài ví dụ về các MD5- đại số có ideal dẫn xuất không giao hoán với số một chiều cố định CHƯƠNG 2 : LỚP CÁC MD5- ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 2.1.Định lý về sự phân loại Định lý 2.1 (Xem [Vu-Sh], định lý 3.1) Giả sử G là một MD5- đại số với G 1 = [ G , G ] giao hoán Khi đó các khẳng định sau là đúng 1 (i) Nếu G khả phân, thì G=  ⊕  , ở đây  là MD4 -đại số (ii) Nếu G bất khả phân, thì ta có... điều kiện cần nêu trên không là điều kiện đủ Tuy nhiên, để phân loại các MD -đại số ta chỉ cần xét các đại số Lie giải được với G 2 giao hoán Nói riêng, có thể xét lớp con các đại số Lie giải được với G 2 triệt tiêu, tức là ideal dẫn xuất thứ nhất giao hoán Như đã nói ở phần mở đầu, toàn bộ lớp các MD4 -đại số đã được liệt kê đầy đủ vào năm 1984 bởi Đào Văn Trà (xem[Trà]), tuy nhiên các tác giả chỉ mới... mà không xét đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie Năm 1990, Lê Anh Vũ liệt kê triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4 -đại số đó (xem[Vu] ) Nói một cách vắn tắt là bài toán liệt kê và phân loại các MD4 -đại số coi như đã giải quyết trọn vẹn Tuy nhiên khi n = 5 thì mọi tính toán đều trở nên phức tạp hơn nhiều Để đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5- đại số có ideal dẫn xuất giao hoán. .. phôi (toàn cục) thì G gọi là nhóm exponential Hệ quả 1.2 Có một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của các đại số Lie và các nhóm liên thông đơn liên 1.4.Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD -nhóm và MD -đại số 1.4.1.K-biểu diễn của một nhóm Lie Cho G là nhóm Lie tùy ý và G = Lie(G) là đại số Lie của G Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G Với mỗi g ∈ G , ta có tự... 1 ,ϕ2 ] ϕ1  ϕ 2 − ϕ 2  ϕ1 Der (  ) gọi là đại số Lie các toán tử vi phân trên 1.2.2 .Đại số Lie con và ideal Định nghĩa 1.4 (i) Không gian con  của đại số Lie G được gọi là đại số Lie con của G , nếu [ x, y ] ∈ với mọi x, y ∈ (ii) Không gian con  của đại số Lie G được gọi là ideal của G nếu [ x, y ] ∈  với mọi x ∈ G và y ∈  Ví dụ 1.3 (i) Xét đại số Lie gl(n,  ), kí hiệu n   = ∈ , / 0 A... nghĩa 1.1) Một MDn -nhóm là một nhóm Lie thực giải được n-chiều sao cho các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại Đại số Lie của MDn -nhóm được gọi là MDn -đại số Mệnh đề sau đây là điều kiện cần để một đại số Lie thực giải được là một MD -đại số Mệnh đề 1.5 (Xem [So-Vi], định lý 4) Giả sử G là một MD -đại số Khi đó G 2 = [ G , G ] , [ G , G ] là đại số con giao hoán trong G Chú... nhận giá trị thực Như vậy, mỗi nhóm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G được gọi là đại số Lie của (hay tương ứng với) G Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem đại số G như là đại số Lie con các trường vectơ bất biến trái trên G Cách xây dựng đại số G như sau: Gọi X ( G ) là đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G Khi đó với mọi X , Y ∈ X ( G ) , ta có: ( X + Y ) g= X g + Yg , ∀g... b(n,  ) và n(n,  ) đều là các đại số Lie con của gl(n,  ) Đặc biệt, sl(n,  ) là một ideal của gl(n,  ) và n(n,  ) là một ideal của b(n,  ) (ii) Đại số Lie các toán tử vi phân Der (  ) là đại số Lie con của gl() (iii) Kí hiệu Z ( G ) là tập hợp tất cả các phần tử giao hoán với G , tức là Z ( G) = { x ∈ G | [ x, y ] = 0, ∀y ∈ G} (được gọi là tâm của đại số Lie G ) Rõ ràng Z ( G ) là một ideal. .. nếu Rg * ( X ) = X , ∀g ∈ G Điều này tương đương với: Rg * ( X ) x = X xg , ∀x, g ∈ G Gọi G = { X ∈ X(G) / X là trường vectơ bất biến trái}, thì G là đại số Lie con của X ( G ) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G , G ≅ Te ( G ) 1.3.2 .Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie Với cách xây dựng như trên thì ta thấy, mỗi nhóm Lie sẽ xác định được một đại số Lie duy nhất Ngược lại thì ta có