Bài báo xét một lớp con các MD5-đại số, tức là các đại số Lie thực giải được 5 chiều mà nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng chỉ có các quỹ đạo trong biểu diễn đối phụ hợp (K-quỹ đạo) hoặc không chiều hoặc chiều cực đại. Kết quả cơ bản mà bài báo đưa ra là phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) tất cả các MD5-đại số với ideal dẫn xuất hai chiều.
Số 30 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ PHÂN LOẠI CÁC MD-ĐẠI SỐ NĂM CHIỀU VỚI IDEAL DẪN XUẤT HAI CHIỀU LÊ ANH VŨ*, NGUYỄN PHƯỚC THỊNH** TÓM TẮT Bài báo xét lớp MD5-đại số, tức đại số Lie thực giải chiều mà nhóm Lie liên thơng, đơn liên tương ứng có quỹ đạo biểu diễn đối phụ hợp (K-quỹ đạo) không chiều chiều cực đại Kết mà báo đưa phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) tất MD5-đại số với ideal dẫn xuất hai chiều Từ khóa: nhóm Lie, đại số Lie, MD5-nhóm, MD5-đại số, K-quỹ đạo ABSTRACT Classification of 5-diemensional MD-algebras with 2-dimensional derived ideal The paper presents a subclass of MD5–algebras, i.e., five dimensional solvable Lie algebras that K-orbits of corresponding connected and simply connected Lie groups are orbit of zero or maximal dimension The main result of the paper is t o classify absolutely ( to b e c o r r e c t i n isomorphism of Lie algebra) all 5- dimensional MD– algebras with 2- dimensional derived ideal Keywords: Lie group, Lie algebra, MD5-group, MD5-algebra, K-orbit Mở đầu 1.1 Lịch sử vấn đề Năm 1962, nghiên cứu lý thuyết biểu diễn, A.A.Kirillov [2] phát minh phương pháp quỹ đạo Phương pháp nhanh chóng trở thành cơng cụ mạnh lý thuyết biểu diễn nhóm Lie đại số Lie Phương pháp quỹ đạo Kirillov cho phép ta nhận biểu diễn bất khả quy unitar nhóm Lie liên thơng, đơn liên, giải từ quỹ đạo biểu diễn đối phụ hợp (còn gọi K-quỹ đạo) nhóm Trong phương pháp quỹ đạo Kirillov, K-quỹ đạo (nguyên) đóng vai trò then chốt để từ dựng nên biểu diễn bất khả quy unitar Do đó, việc mơ tả K-quỹ đạo nhóm Lie, nhóm Lie liên thơng giải được, có ý nghĩa quan trọng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Cấu trúc nhóm Lie đại số Lie giải khơng phức tạp, việc phân loại chúng tốn mở Năm 1980, phương pháp quỹ đạo Kirillov gợi ý để Đỗ Ngọc Diệp [1] đề nghị xét lớp MD-đại số MD-nhóm Giả sử G nhóm Lie thực giải n chiều (n số nguyên * ** PGS TS, Trường Đại học Kinh tế - Luật, ĐHQG TPHCM ThS, Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang 18 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Anh Vũ tgk _ dương) Khi G gọi MDn-nhóm K-quỹ đạo khơng chiều có chiều số k (chẵn) khơng vượt n Đại số LieG MDn-nhóm gọi MDn-đại số Đến đây, toán hấp dẫn đặt “phân loại mô tả K-biểu diễn lớp MDn-nhóm MDn-đại số” Chú ý nhóm (tương ứng, đại số) Lie thực giải khơng q chiều MDnhóm (tương ứng MD-đại số), chúng liệt kê hết từ lâu Vì cần MDn-đại số MDn-nhóm với n ≥ Năm 1984, Đào Văn Trà [4] liệt kê (nhưng chưa phân loại) toàn MD4đại số Đến năm 1990, báo luận án tiến sĩ mình, Lê Anh Vũ phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) MD4-đại số (xem [5],[6],[7]) Năm 2008, Lê Anh Vũ Kar Ping Shum [8] phân loại triệt để MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hốn Như vậy, để hồn thành tốn phân loại MD5-đại số cần phân loại lớp MD5-đại số với ideal dẫn xuất khơng giao hốn chiều không hai không bốn Trong báo này, hoàn thành triệt để việc phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất hai chiều 1.2 Các kết trước liên quan trực tiếp đến báo • Giải triệt để lớp MD4 Cụ thể phân loại tất MD4-đại số, mơ tả hình học K-biểu diễn MD4-nhóm liên thông bất khả phân, phân loại tô pô tất MD4-phân lá, đồng thời mô tả tất C*-đại số MD4-phân phương pháp KK-hàm tử (xem [5],[6],[7] ) • Phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hốn (xem [8]) 1.3 Tóm tắt kết báo Cùng với kết có trước, báo cho ta phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) tất MD5-đại số với ideal dẫn xuất hai chiều Trước phát biểu chứng minh kết chính, nhắc lại số khái niệm có liên quan để bạn đọc tiện theo dõi Nhắc lại vài khái niệm tính chất 2.1 Nhóm Lie đại số Lie 2.1.1 Định nghĩa (xem [2]) Tập hợp G gọi nhóm Lie điều kiện sau thỏa mãn: (i) G nhóm (ii) G đa tạp vi phân (iii) Phép tốn nhóm G × G → G, ( x, y ) a xy −1 ánh xạ khả vi 2.1.2 Định nghĩa (xem [2]) Một đại số Lie trường K hay K-đại số Lie K-không gian vectơ g với ánh xạ K-song tuyến tính g × g → g , ( X , Y ) a [ X , Y ] (được gọi móc Lie hay hốn tử) thỏa mãn hai tính chất sau: (i) Tính phản xứng: [ X , X ] = 0, ∀X ∈ g, 19 Số 30 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ (ii) Đồng thức Jacobi: [ X ,[Y , Z ]] + [Y ,[ Z , X ]] + [ Z ,[ X , Y ]] = 0; ∀X , Y , Z ∈ g 2.2 Biểu diễn quy đại số Lie Cho g đại số Lie Với X ∈ g, kí hiệu ad X toán tử g xác định bởi: ad X (Y ) = [ X , Y ], ∀Y ∈ g Khi ad X ánh xạ tuyến tính từ g vào g ta thu biểu diễn tuyến tính g g sau: ad : g → End(g), X a ad X Biểu diễn gọi biểu diễn quy g Hạt nhân biểu diễn Ker (ad ) ={ X ∈ g/ ad X ≡ }, tâm g 2.3 Biểu diễn phụ hợp, K-biểu diễn dạng song tuyến tính Kirillov 2.3.1 Biểu diễn phụ hợp Cho G nhóm Lie tùy ý g đại số Lie Giả sử G tác động lên g Ad : G → Autg định nghĩa sau: Ad ( g ) := ( Lg o R −1 )* : g → g, ∀g ∈ G ; g Lg (tương ứng, R g −1 ) phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) G theo phần tử g ∈ G (tương ứng, g −1 ∈ G ) Tác động Ad gọi biểu diễn phụ hợp G g 2.3.2 Biểu diễn đối phụ hợp Kí hiệu g* khơng gian đối ngẫu g Khi biểu diễn Ad cảm sinh tác K : G → Autg* G lên g* theo cách sau đây: động K ( g ) F , X := F , Ad ( g −1 ) X , ∀F ∈ g*, ∀X ∈ g, ∀g ∈ G ; với F ∈ g*, X ∈ g, kí hiệu F , X giá trị dạng tuyến tính F ∈ g* trường vectơ (bất biến trái) X ∈ g Tác động K gọi K-biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp G g* Mỗi quỹ đạo ứng với K-biểu diễn gọi K- quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov G (trong g*) Như vậy, K-quỹ đạo Ω F chứa phần tử F cho Ω F := { K ( g ) F / g ∈ G} 2.3.3 Dạng song tuyến tính Kirillov Với F ∈ g*, ta xác định dạng BF sau: BF ( X , Y ) := F ,[ X , Y ] , ∀X , Y ∈ g Hiển nhiên BF dạng song tuyến tính phản xứng móc Lie có tính chất Kí hiệu GF ổn định hóa F tác động K G g*, tức GF := { g ∈ G / K ( g ) F = F } Đặt gF := Lie(GF) đại số Lie GF Đại số Lie gF dạng song tuyến tính Kirillov BF có quan hệ mật thiết với nhau, chúng có ích việc xác định số chiều K-quỹ đạo Ω F chứa F 2.3.4 Mệnh đề (Xem [2], Section 15.1) Hạt nhân BF số chiều Ω F cho hệ thức KerBF = gF dim Ω F = dimg - dimgF 2.4 Các MD-nhóm MD-đại số 20 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Anh Vũ tgk _ 2.4.1 Định nghĩa (xem [1], Chapter 4, Definition 1.1) Giả sử G nhóm Lie thực giải n chiều (n số tự nhiên dương đó) G gọi MDn-nhóm K-quỹ đạo khơng chiều có chiều số k (chẵn) khơng vượt q n Đại số Lie MDnnhóm gọi MDn-đại số 2.4.2 Mệnh đề (xem [3, Theorem 4]) Điều kiện cần để đại số Lie giải g thuộc lớp MD-đại số ideal dẫn xuất thứ hai g2 := [g1, g1] = [ [g, g] , [g, g] ] giao hốn Chú ý điều kiện cần nêu khơng phải điều kiện đủ Nói cách khác, có đại số Lie giải với ideal dẫn xuất thứ hai giao hốn, chí triệt tiêu MD-đại số Tuy nhiên, nhờ điều kiện này, để phân loại MD-đại số, ta cần xét đại số Lie giải với g2 giao hốn Kết 3.1 Các kí hiệu Từ sau, g ký hiệu để đại số Lie thực giải chiều g1 ideal dẫn xuất hai chiều g Để định ý mà không làm giảm tính tổng quát, ta chọn sở thích hợp ( X , X , X , X , X ) g cho g1 = X ⊕ X Khi đó, với tư cách khơng gian vectơ chiều, g ≡ Không gian đối ngẫu g ký hiệu g* Ta có đồng thức g* ≡ với sở đối ngẫu ( X 1* , X 2* , X 3* , X 4* , X 5* ) sở ( X , X , X , X , X ) Đối với MD5-đại số với ideal dẫn xuất chiều, ta có định lý sau 3.2 Định lý Giả sử g MD5-đại số với ideal dẫn xuất g1=[g,g].Khi khẳng định sau đúng: 1) g1 phải giao hốn, nghĩa khơng tồn MD5-đại số với ideal dẫn xuất chiều khơng giao hốn 2) Nếu g khả phân g ≅ h ⊕ ,ở h MD4-đại số 3) Nếu g bất khả phân g đẳng cấu với đại số Lie đây: g5,2: = X , X , X , X , X / [ X , X ] = X ,[ X , X ] = X , móc Lie khơng viết tầm thường 3.3 Phép chứng minh định lý Để chứng minh định lý ta cần số bổ đề 3.3.1 Bổ đề (xem [1], Chapter 2, Proposition 2.1) Cho g MD-đại số hàm F ∈ g* không triệt tiêu hoàn toàn g1, nghĩa tồn U ∈ g1 cho F ,U ≠ Khi K-quỹ đạo Ω F có chiều cực đại 3.3.2 Bổ đề (xem [8, Lemma 3.3]) 21 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 30 năm 2011 _ Với F ∈ g* ta ln có dim Ω F = rank ( B) , B = (bij )5 : = ( F ,[ X , X ] ) ; ≤ i, j ≤ , i j ma trận dạng song tuyến tính phản xứng BF sở ( X , X , X , X , X ) g 3.3.3 Bổ đề: Nếu Z ∈ g1 tr (ad Z ) = Chứng minh: Giả sử g đại số Lie thực chiều g1 ideal dẫn xuất thứ g Vì Z ∈ g1 nên Z tổ hợp tuyến tính móc Lie [X,Y] ;X,Y ∈ g Do đó, ta cần tr (ad[ X ,Y ] ) = 0, ∀X , Y ∈ g chứng minh rằng: Thật vậy, ta có tr (ad[ X ,Y ] ) = tr ([ad X , adY ]) = tr ( ad X o adY − adY o ad X ) = 3.3.4 Bổ đề Nếu đại số Lie thực chiều có ideal dẫn xuất thứ chiều ideal dẫn xuất phải giao hốn Chứng minh: Giả sử g đại số Lie thực chiều với g1 ideal dẫn xuất thứ chiều Hiển nhiên ta ln chọn sở ( X , X , X , X , X ) thích hợp g cho g1= X + X Ta cần chứng tỏ [ X , X ] = Giả sử [ X , X ] = α X + β X ; α , β ∈ Khi ta có: ⎛0 ⎜ ⎜0 ad X = ⎜ ⎜ ⎜* ⎜* ⎝ 0 * * 0 * * 0⎞ ⎟ 0⎟ 0 ⎟, ⎟ α⎟ β ⎟⎠ dấu * phần tử mà ta không cần quan tâm Rõ ràng tr (ad X ) = β , mà X4 ∈ g1 nên Bổ đề 3.3.3 cho ta β = Lập luận tương tự ta có tr (ad X ) = −α = Vậy [ X , X ] = , tức g1giao hoán 3.3.5 Nhận xét Bổ đề 3.3.4 cho đại số Lie thực n chiều tùy ý, nghĩa đại số Lie thực có ideal dẫn xuất thứ chiều ideal ln giao hốn 3.3.6 Chứng minh kết Rõ ràng, khẳng định 1) suy trực tiếp từ bổ đề 3.3.4, khẳng định 2) hiển nhiên Khẳng định 3) phần kết nêu chứng minh chi tiết 22 Lê Anh Vũ tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Định lý 3.1 tài liệu [8, Section 3] Ở đây, chúng tơi đính lại kết báo Cụ thể, trường hợp g1 hai chiều giao hốn, có họ MD5đại số g5,2: = X , X , X , X , X / [ X , X ] = X ,[ X , X ] = X Còn họ g5,2,2 (λ ) : = X , X , X , X , X / [ X , X ] = [ X , X ] = X ,[ X , X ] = λ X , λ ∈ * MD5-đại số Ta làm rõ điều Thật vậy, lấy F = α X 1* + β X 2* + γ X 3* + δ X 4* + σ X 5* ∈ g*; α , β , γ , δ , σ ∈ U = aX + bX + cX + dX + fX ∈ g; a, b, c, d , f ∈ , Nhắc lại gF = Ker ( BF ) = {U ∈ g / F , [U , X i ] = 0; i = 1, 2,3, 4,5} Khi đó, tính tốn trực tiếp ta ⎛ a ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b ⎟ ⎜0⎟ U ∈ gF ⇔ B ⎜ c ⎟ = ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ d ⎟ ⎜0⎟ ⎜ f ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛0 ⎜ ⎜σ B = ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ −σ λδ 0 −λδ σ 0 −σ 0 0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ Theo Bổ đề 3.3.2, dim Ω F = rank ( B) Theo Bổ đề 3.3.1, K-quỹ đạo Ω F có chiều cực đại F|g1 ≠ , tức δ + σ ≠ Đặc biệt, rank ( B) số δ , σ không đồng thời Dễ thấy rank ( B) = {0, 2, 4} Do g5,2,1 (λ ) khơng phải MD5-đại số Vậy Định lý 3.2 chứng minh hoàn toàn 3.4 Nhận xét Nhắc lại rằng, đại số Lie thực g xác định nhóm Lie liên thơng đơn liên G cho Lie(G) = g Do ta nhận họ MD5-nhóm liên thơng đơn liên tương ứng với MD5-đại số g5,2 họ MD5-nhóm bất khả phân 3.5 Vài toán mở cần tiếp tục nghiên cứu • Phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ khơng giao hốn chiều chiều để hoàn thành việc phân loại triệt để toàn lớp MD5-đại số 23 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 30 năm 2011 _ • Giải vấn đề tương tự làm cho MD5-đại số MD5-nhóm xét cho MD5-đại số MD5-nhóm lại TÀI LIỆU THAM KHẢO [Di] Do Ngoc Diep (1999), Method of Noncommutative Geometry for Group C*algebras, Chapman and Hall-CRC Press Reseach Notes in Mathematics Series, \# 416 [Ki] A A Kirillov (1976), Element of the Theory of Representations, SpringerVerlag, Berlin-Heidenberg-New York [So-Vi] V M Son et H H Viet, " Sur la Structure des C*-algebres d'une Classe de Groupes de Lie", J Operator, 11: [Tra] D V Tra (1984), "On the Lie Algebras of low dimention", Sci Papes of the 12th College of Institute of Math Vietnam, Hanoi [Vu1] Le Anh Vu (1990), "On the Structure of the C*-algebra of the Foliation Formed by the K-orbits of Maximal Dimension of the Real Diamond Group", J Operator Theory, 24: 227-238 [Vu2] Le Anh Vu (1990), “On the Foliations Formed by the Generic K-orbits of the MD4-Groups”, Acta Math.Vietnam, 2: 39 – 55 [Vu3] Le Anh Vu (1993), "Foliations Formed by Orbits of Maximal Dimension in the Coadjoint Rerepsentation of a Class of Solvable Lie Groups", Vest Moscow Uni., Math Bulletin, 48: 24-27 [Vu-Sh] Le Anh Vu, Kar Ping Shum (2008), "Classification of 5-dimensional MDalgebras having commutative derived ideal", Advances in Algebra and Combinatoric, Singapore: World Scientific, 353-371 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 18-11-2010; ngày chấp nhận đăng: 25-5-2011) 24 ... phân loại MD5-đại số cần phân loại lớp MD5-đại số với ideal dẫn xuất khơng giao hốn chiều khơng hai không bốn Trong báo này, hoàn thành triệt để việc phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất hai. .. ) = 3.3.4 Bổ đề Nếu đại số Lie thực chiều có ideal dẫn xuất thứ chiều ideal dẫn xuất phải giao hoán Chứng minh: Giả sử g đại số Lie thực chiều với g1 ideal dẫn xuất thứ chiều Hiển nhiên ta chọn... nghiên cứu • Phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ khơng giao hốn chiều chiều để hoàn thành việc phân loại triệt để tồn lớp MD5-đại số 23 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 30 năm 2011