Bài viết này xét một lớp con các MD5-nhóm, tức là các nhóm Lie thực giải được 5 chiều mà chỉ có các K-quĩ đạo không chiều hoặc chiều cực đại. Lớp các MD5-đại số Lie tương ứng đã được tác giả thứ nhất phân loại và công bố trước đó. Kết quả cơ bản mà bài báo đưa ra là mô tả tường minh bức tranh hình học của mỗi MD5-nhóm liên thông đơn liên đã xét.
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ, Dương Quang Hồ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K-QUĨ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHĨM LIÊN THƠNG ĐƠN LIÊN MÀ CÁC MD5-ĐẠI SỐ TƯƠNG ỨNG CĨ IDEAL DẪN XUẤT GIAO HỐN BỐN CHIỀU Lê Anh Vũ *, Dương Quang Hoà † Mở đầu 1.1 K-quĩ đạo gì? Tại cần mơ tả K-quĩ đạo ? Lí thuyết biểu diễn lĩnh vực rộng lớn Toán học liên quan tới nhiều lĩnh vực khác Toán học đại Trong lí thuyết biểu diễn, nhánh nghiên cứu đóng vai trò quan trọng lí thuyết biểu diễn nhóm Lie (và đại số Lie) Nhóm Lie khái niệm tổng hồ từ hai khái niệm nhóm (trong Đại số học) đa tạp vi phân (trong Hình học – Tơ pơ) Cả nhóm lẫn đa tạp vi phân có nguồn gốc vật lí, học tìm thấy nhiều mơ hình vật lí, học Do đó, lí thuyết biểu diễn nhóm Lie nhận nhiều ứng dụng vật lí, học đồng thời ứng dụng kích thích phát triển lí thuyết biểu diễn nhóm Lie Đối với nhóm Lie, tốn quan trọng lí thuyết biểu diễn mơ tả lớp tương đương tất biểu diễn bất khả qui, unitar nhóm Năm 1962, Kirillov [2] phát minh phương pháp quĩ đạo Nhờ phương pháp này, ta dựng biểu diễn bất khả qui unitar nhóm Lie từ quĩ đạo biểu diễn đối phụ hợp (còn gọi K-quĩ đạo) nhóm Nếu nhóm Lie compact liên thông hay đơn liên giải được, phương pháp quĩ đạo cho phép thu tất biểu diễn bất khả qui unitar Còn nhóm Lie đơn liên tùy ý (không thiết giải được), phương pháp quĩ đạo cho phép nhận hầu hết biểu diễn bất khả qui unitar, tức tập biểu diễn bất khả qui unitar lại có độ đo Planserrell triệt tiêu (xem [3]) Như vậy, phương pháp quĩ đạo phương pháp quan trọng lí thuyết biểu diễn nhóm Lie * † PGS.TS, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP Tp.HCM Học viên cao học Khố 15 ngành Hình học Topo, Trường ĐHSP Tp.HCM 16 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Trong phương pháp quĩ đạo Kirillov, K-quĩ đạo (ngun) đóng vai trò then chốt để từ dựng nên biểu diễn bất khả qui unitar Bởi thế, nhóm Lie, để nghiên cứu biểu diễn nó, trước hết cần phải xét K-biểu diễn, cụ thể cần mô tả K-quĩ đạo Đó việc làm cần thiết có ý nghĩa 1.2 Các kết trước liên quan trực tiếp đến báo Phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều khơng q 3, mơ tả hình học K-biểu diễn MD5-nhóm liên thơng bất khả phân tương ứng xét MD5-phân tương ứng với MD5nhóm xét (xem cơng trình [5], [6], [7], [8]) Phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều (xem [9] tác giả thứ đăng số báo này) 1.3 Tóm tắt kết báo Bài xét MD5-nhóm liên thơng đơn liên tương ứng với MD5đại số phân loại [9] Cụ thể, mơ tả triệt để hình học K-quĩ đạo MD5-nhóm Việc khảo sát MD5-phân tương ứng với MD5-nhóm xét, phân loại tơ pơ phân đồng thời mô tả C*-đại số phân kiểu phân thớ chúng tơi nghiên cứu công bố Trước phát biểu chứng minh kết chính, nhắc lại số khái niệm có liên quan liệt kê lại MD5-đại số phân loại [9] để bạn đọc tiện theo dõi Nhắc lại vài khái niệm kết có liên quan 2.1 Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất chiều giao hốn MD5nhóm liên thông đơn liên tương ứng 2.1.1 Mệnh đề (xem [9]) Giả sử MD5-đại số với 1: = [ , ] chiều) (đại số Lie giao hốn 17 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ, Dương Quang Hoà Nếu khả phân có dạng = h , h MD4-đại số Nếu bất khả phân ta ln chọn sở thích hợp ( X , X , X , X , X ) cho = X , X , X , X , ad X End(1)( Mat4 ( ), đẳng cấu với đại số Lie 5,4,1 ( 1 , 2 , 3 ) : ad X1 1 0 0 0 0 3 5,4,2 ( 1 , 2 ) : ad X 5,4,3 ( ) : ad X 5,4,4 ( ) : ad X 5,4,5 : ad X 1 1 0 0 0 \ 0,1 , 1 2 3 1 0 0 ; 1 , 2 , 0 1 0 0 ; 0 0 0 1 \ 0,1 0 0 0 \ 0,1 1 0 0 0 5,4,6 ( 1 , 2 ) : ad X 18 0 0 ; 1 , 2 , 3 0 1 0 0 0 ; 0 0 1 \ 0,1 , 1 2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 ; 1 , 2 , 1 1 \ 0,1 , 1 2 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM 5,4,7 ( ) : ad X 5,4,8 ( ) : ad X 5,4,9 ( ) : ad X 10 5,4,10 : ad X 1 Số 12 năm 2007 0 0 ; 0 1 0 1 \ 0,1 0 0 ; 0 1 0 1 \ 0,1 0 0 0 \ 0,1 1 0 0 0 0 0 1 0 ; 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11 5,4,11 ( 1 , 2 , ) : ad X1 cos sin sin cos 0 1 0 12 5,4,12 ( , ) : ad X 13 5,4,13 ( , ) : ad X 1 0 ; , 0 2 cos sin sin cos cos sin \ 0 , 1 2 , 0, 0 0 0 0 ; 0 \ 0 , 0, sin cos 0 0 0 ; 1 \ 0 , 0, 19 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ, Dương Quang Hoà cos sin sin cos 14 5,4,14 ( , , ) : ad X1 0 0 0 0 ; , , 0, 0, 2.2 Các họ MD5-nhóm liên thơng đơn liên tương ứng Nhắc lại rằng, đại số Lie thực xác định nhóm Lie liên thơng đơn liên G cho Lie(G) = Do đó, từ mệnh đề 2.3.1, ta nhận 14 họ MD5-nhóm liên thơng đơn liên tương ứng với MD5-đại số liệt kê phân loại Để tiện, ta dùng lại số dùng để phân loại MD5-đại số cho MD5-nhóm liên thơng đơn liên tương ứng Chẳng hạn, G=G5,4,1 ( 1 , 2 , 3 ) MD5-nhóm liên thơng đơn liên tương ứng với MD5-đại số =5,4,1 ( 1 , 2 , 3 ) Các họ MD5-nhóm bất khả phân Như vậy, ta có 14 họ MD5-nhóm liên thơng đơn liên sau đây: G5,4,1( , , ) , G5,4,2( , ) , G5,4,3( ) , G5,4,4 , , 1 , 2 , 3 G5,4,5 , \ 0,1 ; G5,4,6( 1 ,2 ) , G5,4,7 , G5,4,8( ) , G5,4,11( 1 ,2 , ) , G5,4,12 , , G5,4,13 , , G5,4,9( ) , G5,4,10 , , 1 , 2 \ 0 , 0; ; G5,4,14( , , ) , , , 0; Kết phép mơ tả hình học K-quĩ đạo nhóm thuộc 14 họ Bức tranh hình học k-quĩ đạo MD5-nhóm liên thơng đơn liên xét 3.1 Các kí hiệu Giả sử G nhóm Lie G5,4,1( , , ) , G5,4,2( , ) , G5,4,3( ) , G5,4,4 , G5,4,5 , G5,4,6( 1 ,2 ) , G5,4,7 , G5,4,8( ) , G5,4,11( 1 ,2 , ) , G5,4,12 , , G5,4,13 , , G5,4,9( ) , , 1 , 2 G5,4,10 , \ 0 , , 1 , 2 , 3 0; ; \ 0,1 ; G5,4,14( , , ) , , , 0; Kí hiệu đại số Lie nhóm G Ta ln chọn sở thích hợp ( X , X , X , X , X ) Lúc đó, với tư cách khơng gian vectơ chiều, Không gian đối ngẫu kí hiệu * Ta có đồng thức * với sở đối ngẫu ( X * , X 2* , X * , X * , X * ) sở ( X , X , X , X , X ) 20 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Xét phần tử tùy ý F ( , , , , ) K-quĩ đạo chứa F G * 5 Như thơng thường ta kí hiệu F 3.2 Vài bổ đề Phép chứng minh kết cần dùng vài bổ đề chứng minh [4] 3.2.1 Bổ đề (xem [4]) Ta ln có bao hàm thức F F (): = {FX / X }, đó, với X , FX phần tử * xác định < FX, U >: = < F, exp(adX)U >, U Hơn ánh xạ mũ expG tồn ánh đẳng thức xảy 3.2.2 Bổ đề (xem [4]) Giả sử G liên thông Nếu họ F(), F *, lập thành phân hoạch * họ F’(), F’ F, đóng mở (tương đối) F, F* Khi F = F (), F 3.3 Các kết 3.3.1 Định lí (Hình học K-quĩ đạo nhóm G G5,4,1( , , ) ) K-quĩ đạo F chứa F nhóm G G5,4,1( , , ) không chiều hai chiều mô tả (i) Nếu F F ,0,0,0,0 (khơng chiều) Các trường hợp sau quĩ đạo nửa mặt phẳng chiều (ii) Nếu 0, F F x,0,0,0, s : s 0 (iii) Nếu 0, 0, F F x,0,0, t ,0 : t 0 21 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ, Dương Quang Hoà (iv) Nếu 0, 0, F F x,0, z ,0,0 : z 0 (v) Nếu 0, F F x, y,0,0,0 : y 0 Các trường hợp lại quĩ đạo mặt trụ chiều (vi) Nếu 0, 0, s F F x ,0,0, t , s : t ; s (vii) Nếu 0, 0, 0, s F F x ,0, z ,0, s : z ; s (viii) Nếu 0, 0, 0, s F F x , y ,0,0, s : y 1 ; s (ix) Nếu 0, 0, 0, t F F x ,0 , z , t ,0 : z 2 3 ; t (x) Nếu 0, 0, 0, F t F x , y ,0, t ,0 : y 1 3 ; t (xi) Nếu 0, 0, 0, 1 z 2 F F x, y , z ,0,0 : y ; z (xii) Nếu 0, 0, 0, s F F x ,0 , z , t , s : z 22 s ; t ; s Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 (xiii) Nếu 0, 0, 0, s F F x , y ,0 , t , s : y 1 s ; t 3 ; s (xiv) Nếu 0, 0, 0, s F F x , y , z , , s : y 1 s ; z ; s (xv) Nếu 0, 0, 0, F t F x , y , z , t ,0 : y 1 3 t ; z 2 3 ; t (xvi) Nếu 0, 0, 0, s F F x , y , z , t , s : y 1 s ; t s ; z ; s Chứng minh Lấy phần tử X = (a; b; c; d; f )∈ Tính toán trực tiếp ta b ad X c 2 d 3 f exp ad X a 1 0 0 0 a 2 0 a3 0 0 0 ; 0 a 0 e a 1 0 b e a 1 a c e a2 a d e a a f ea a e a 0 e a3 0 0 0 0 0 a e Do đó, toạ độ FX∈* sau 23 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ, Dương Quang Hoà d e a b e a 1 c e a f ea x a a a a a y e a z e a t e s e a Áp dụng bổ đề 3.2.1 3.2.2, ta kết luận định lí Hồn tồn tương tự, MD5-nhóm lại, có định lí Để cho gọn, nhóm có tranh K-quĩ đạo tương tự mô tả định lí Hơn nữa, rõ tham số nhóm thuộc tập hợp nào, liệt kê miền xác định chúng lần định lí 3.3.2 Định lí Giả sử G nhóm lie G5,4,2( ) , G5,4,3( ) , G5,4,4 , G5,4,5 , G5,3,6( 1 ,2 ) , G5,3,7 , G5,4,8( ) , G5,4,9( ) , G5,4,10 ; 1 , 2 , 3 , \ 0,1 Khi ta có (i) Nếu F F , (quĩ đạo 0_chiều) (ii) Nếu quĩ đạo có chiều cho 24 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 x , e a 1 , e a2 , e a , e a ; x , a G = G 5,4,2 1 , 2 ; x , e a , e a , e a , e a ; x , a G = G 5,4,3 ; x , e a , e a , e a , e a ; x , a G = G 5,4,4 ; x , e a , e a , e a , e a ; x , a G = G 5,4,5 ; x , e a 1 , e a2 , e a , ae a e a ; x , a G = G 5,4,6 1 , 2 ; x , e a , e a , e a , ae a e a ; x , a G = G 5,4,7 ; F x , e a , ae a e a , e a , ae a e a ; x , a G = G 5,4,8 ; x , e a , e a , ae a e a , ; x , a G = G 5,4,9 ; a 2e a a a ae e a a e x , e a , ae a e a , ae a e a , ; x , a G = G 5,4,10 a 3e a a 2ea ae a e a 3.3.3 Định lí Giả sử G nhóm Lie G5,4,11 1 ,2 , , G5,4,12 , , G5,4,13 , , 1 , 2 , , 0; Bằng cách đồng đại số Lie chúng với , xem F , i , , , 1 , 2 , ; 0; , ta (i) Nếu i F F (quĩ đạo chiều) (ii) Nếu i quĩ đạo có chiều cho a e i , e a1 , e a 2 ; x , a x , i e G = G 5,4,11 1 ,2 , ; a e i , e a , e a ; x , a F x , i e G = G 5,4,12 , ; a e i , e a , ae a e a ; x , a G = G 5,4,13 , x , i e 25 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ, Dương Quang Hồ 3.3.4 Định lí Cho G nhóm Lie G , , , , cách đồng đại số Lie với , , , > 0; ; Bằng , xem F điểm , i , i , ta (i) Nếu i i F F (quĩ đạo chiều) 2 (ii) Nếu i i F x, i e a e i , i ea. i , x, a (quĩ đạo chiều) 3.4 Nhận xét Trong [4], tác giả thứ chứng minh rằng, MD4nhóm liên thơng, đơn liên, bất khả phân, họ K-quĩ đạo chiều cực đại tạo thành phân đo Trong [5], [6], [7], [8], khẳng định tương tự chứng minh cho MD5-nhóm liên thơng đơn liên với ideal dẫn xuất giao hốn khơng q chiều Bằng phương pháp chứng minh tương tự, ta có kết luận 3.4.1 Mệnh đề Giả sử G MD5-nhóm liên thơng đơn liên nhóm G5,4,1( , , ) , G5,4,2( ) , G5,4,3( ) , G5,4,4 , G5,4,5 , G5,3,6( , ) , G5,3,7 , G5,4,8( ) , G5,4,9( ) , 2 G5,4,10 , G5,4,11( 1 ,2 , ) , G5,4,12( , ) , G5,4,13( , ) , G5,4,14( , , ) ; G họ K-quĩ đạo chiều cực đại VG: = { / G} Khi (VG, G) lập thành phân đo Chúng ta gọi phân MD5-phân liên kết với G 3.5 Vài toán mở cần tiếp tục nghiên cứu 3.5.1 Đối với tất MD5-đại số MD5-nhóm liên thơng đơn liên xét, cần phân loại tô pô MD5-phân tương ứng mô tả C*-đại số kiểu MD5-phân phân thớ phương pháp KK-hàm tử 26 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 3.5.2 Xây dựng lượng tử hóa biến dạng MD5-nhóm phân loại 3.5.3 Phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ khơng giao hốn để hoàn thành việc phân loại triệt để toàn lớp MD5-đại số 3.5.4 Giải vấn đề tương tự làm cho MD5-đại số MD5-nhóm xét cho MD5-đại số MD5-nhóm lại 3.5.5 Tiếp tục xét lớp MDn với n đồng thời xét trường hợp n tổng quát Lời cảm ơn : Các kết tác giả thứ báo cáo Hội thảo quốc tế lần thứ hai Đại số Tổ hợp (ICAC–07) Tây An, Trung Quốc từ 12-15 tháng năm 2007 Các tác giả hân hạnh cám ơn Ban tổ chức Hội thảo, đặc biệt giáo sư K.P Shum tài trợ cho tác giả thứ tham dự đọc báo cáo Hội thảo TÀI LIỆUTHAM KHẢO [1] A Connes (1982), A Survay of Foliations and Operator Algebras, Proc Symp Pure Math., 38, 512 – 628, Part I [2] A A Kirillov (1962), Unitar peresentations of nilpotent Lie groups, UMN 17, No 4, 57 – 101 (In Russian) [3] A A Kirillov (1976), Elements of the Theory of Prepresentations, Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York [4] Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân tạo K-quĩ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD4, luận án Phó tiến sĩ khoa học Tốn lí, Viện tốn học Việt Nam, 102 trang [5] Le Anh Vu (2003), Foliations Formed by K – orbits of Maximal Dimension of Some MD5–Groups, East–West Journal of Mathematics, Vol 5, NO 3, pp 159 – 168 [6] Le Anh Vu (2005), On a subclass of 5-dimensional Lie Algebras Which have 3-dimensional Commutative Derived Ideals, East-West J Math, No 1, 13-22 27 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ, Dương Quang Hoà [7] Lê Anh Vũ, Nguyễn Cơng Trí (2006), Vài ví dụ MD5-đại số MD5-phân đo liên kết với MD5-nhóm tương ứng, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 42 No 8, 14-32 [8] Le Anh Vu, Duong Minh Thanh (2006), The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5-groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits, Contributions in Math And App., Proceeding of the International Conference in Math And App., December 2005, Bangkok, Thailand, A special Volume Published by East-West J Math., 169-184 [9] Lê Anh Vũ (2007), Phân loại lớp MD-đại số năm chiều với ideal dẫn xuất chiều, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Tp.HCM, Số 12(46) Tóm tắt Bức tranh hình học k-quĩ đạo MD5-nhóm liên thơng đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều Bài báo xét lớp MD5-nhóm, tức nhóm Lie thực giải chiều mà có K-quĩ đạo khơng chiều chiều cực đại Lớp MD5-đại số Lie tương ứng tác giả thứ phân loại cơng bố trước Kết mà báo đưa mô tả tường minh tranh hình học MD5-nhóm liên thơng đơn liên xét Abstract The geometrical picture of k-orbits of connected and simply connected MD5-groups such that their MD5-algebras have 4-dimensional commutative derived ideals The paper presents a subclass of the class of MD5–groups, i.e., five dimensional solvable Lie groups such that their K–orbit are orbit of zero or maximal dimension The main result of the paper is the description of the geometrical picture of K-orbits of connected and simply connected MD5groups so that their MD5-algebras have 4-dimensional commutative derived ideals 28 ... MD-đại số năm chiều với ideal dẫn xuất chiều, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Tp.HCM, Số 12(46) Tóm tắt Bức tranh hình học k-quĩ đạo MD5-nhóm liên thơng đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất. .. kê lại MD5-đại số phân loại [9] để bạn đọc tiện theo dõi Nhắc lại vài khái niệm kết có liên quan 2.1 Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất chiều giao hốn MD5nhóm liên thơng đơn liên tương ứng 2.1.1... liên thơng, đơn liên, bất khả phân, họ K-quĩ đạo chiều cực đại tạo thành phân đo Trong [5], [6], [7], [8], khẳng định tương tự chứng minh cho MD5-nhóm liên thơng đơn liên với ideal dẫn xuất giao