K-quĩ đạo lượng tử của MD5-nhóm

Sử dụng tích trên các quĩ đạo đối phụ hợp (K-quĩ đạo) của một MD5-nhóm liên thông cho phép xây dựng các quĩ đạo đối phụ hợp lượng tử (K-quĩ đạo lượng tử) theo lượng tử hoá biến dạng của Fedosov. Từ đó đưa ra được biểu diễn unita vô hạn chiều của MD5-nhóm đó. Các kết quả có thể được áp dụng tương tự cho các MD5-nhóm khác.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 K-QUĨ ĐẠO LƯỢNG TỬ CỦA MD5-NHÓM Dương Minh Thành * Mở đầu Lượng tử hố q trình xây dựng hệ lượng tử từ hệ cổ điển nhờ qui tắc lượng tử Một đại lượng cổ điển F lượng tử hoá thành đại lượng lượng tử Q(f), thỏa mãn nguyên lí bất định Dirac : Q( f , g )  i 1  Q( f ), Q ( g )  Nói cách khác, ánh xạ lượng tử i1Q đồng cấu đại số Lie ứng với móc Poisson giao hốn tử Về phương diện tốn học coi Herman Weyl người khởi xướng khái niệm lượng tử ông xây dựng ánh xạ Q từ đại lượng cổ điển – hàm không gian pha 2n , đến đại lượng lượng tử, tức toán tử không gian Hilbert L2  2n : Q : C  2n   BL  2n  f  Q( f ) Ngay từ năm 70, Berezin đưa định nghĩa toán học tổng quát khái niệm lượng tử, hàm tử từ phạm trù học cổ điển sang phạm trù đại số kết hợp Cùng thời với Berezin có nhà tốn học Bayen, Flato, Fronsdal, Lichnerowicz Sternheimer xét lượng tử hoá biến dạng tích giao hốn thơng thường hàm thành *   tích kết hợp, khơng giao hoán, tham số hoá số Plank thỏa mãn nguyên tắc tương thích Họ phát triển cách có hệ thống khái niệm lượng tử hố biến dạng, coi lí thuyết *  tích dựa khái niệm họ nhận công thức cũ mới, độc lập với học lượng tử Một hệ học cổ điển đa tạp symplectic mà ta gọi không gian pha hàm Hamilton H X Một lượng tử hoá hệ cổ điển X gồm có phần [1] : * ThS, Khoa Vật lí, Trường ĐHSP TP.HCM 83 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Dương Minh Thành Một họ đại số phức khơng giao hốn A phụ thuộc vào tham số thực  , mà ta đồng với số Planck, thỏa mãn : A  A  C  ( X )C   Họ ánh xạ tuyến tính Q : A  A gọi toán tử lượng tử thỏa mãn tính chất : Q ( F ) *  Q (G )  Q (G ) *  Q ( F )    F , G   với , móc Poisson A Một biểu biễn A không gian Hilbert  X , R : A  End ( H X ) Các hàm thực A (  C  ( X ) ) tương ứng với toán tử Hermit Các phần tử A gọi đối tượng lượng tử Bước để tìm lượng tử hố hệ vật lí cổ điển xây dựng biến dạng hình thức đối tượng Poisson cổ điển [2] Cách xây dựng Berezin [1] đưa cách xây dựng *  tích cho đa tạp Kahler đưa cơng thức tích phân tường minh *  tích  số thực Sau đó, De Wilde Lecomte [3] Fedosov [9] gần lúc xây dựng phân loại *  tích hình thức đa tạp symplectic tổng quát Etingof Kazhdan [8] chứng minh tồn biến dạng hình thức cho lớp đa tạp Poisson khác, nhóm Poisson-Lie Cuối cùng, Kontsevich [10] chứng minh tồn *  tích đa tạp Poisson tổng quát Và gần đây, Reshetekhin Taktajan đưa cơng thức tích phân tường minh *  tích hình thức đa tạp Kahler Theo học lượng tử có tương ứng cách hình thức hệ học cổ điển hệ học lượng tử Vì vậy, trình lượng tử hoá hệ học cổ điển chấp nhận nhóm đối xứng G cho trước, ta hi vọng thu biểu diễn unita nhóm G lên khơng gian Hilbert H hệ lượng tử tương ứng tiến gần đến lời giải toán đối ngẫu unita, tức tốn phân loại tất biểu diễn nhóm G, tốn trung tâm lí thuyết biểu diễn 84 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Nghiên cứu phân loại biểu diễn đại số Lie hay nhóm Lie cho ta thơng tin nhóm đại số nhóm tương ứng Việc giải toán phức tạp nhà toán học nghiên cứu nhằm cố gắng xây dựng mô tả cách tường minh Để giải toán này, phương pháp quĩ đạo A A Kirillov đời nhanh chóng trở thành cơng cụ đắc lực lí thuyết biểu diễn Trong phương pháp đó, Kirillov xuất phát từ phân thớ chiều đa tạp symplectic xây dựng từ K-quĩ đạo G* để thu biểu diễn nhóm Lie G Tiếp theo ơng với B Kostant hình học hố phương pháp quĩ đạo cách xây dựng lí thuyết lượng tử hố đa tạp symplectic chặt mà ta gọi lượng tử hố hình học Vào năm 79-80, Đỗ Ngọc Diệp cộng đề xuất qui tắc lượng tử hố hình học nhiều chiều [4] Dựa vào mà thu nhiều biểu diễn nhóm Lie G Chương trình nghiên cứu tốn đối ngẫu unita thơng qua lượng tử hố biến dạng thu nhiều kết quan trọng Đây vấn đề khó nhiều nhà tốn học quan tâm Tuy nhiên, tác giả đưa công thức lượng tử tổng quát, khẳng định tồn chúng nên áp dụng trực tiếp vào trường hợp cụ thể để đưa công thức lượng tử tường minh Chúng quan tâm nhiều đến lớp nhóm Lie thực giải mà K-quĩ đạo 0-chiều có chiều cực đại [4] Lớp Đỗ Ngọc Diệp đưa vào khoảng năm 1975 từ việc nghiên cứu tính chất nhóm biến đổi affin đường thẳng thực aff gọi lớp MD-nhóm, đại số Lie tương ứng MD-nhóm gọi MDđại số Nếu số chiều cực đại số chiều nhóm ta gọi MD nhóm Đại số Lie tương ứng với MD -nhóm gọi MD -đại số Năm 1984, Hồ Hữu Việt liệt kê phân loại triệt để lớp MD -đại số Lớp bao gồm đại số Lie giao hoán n-chiều n ( n  1), đại số Lie 2chiều aff đại số Lie 4-chiều aff [13] Tuy nhiên, việc phân loại nghiên cứu lớp MD-nhóm MD-đại số toán mở 85 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Dương Minh Thành Để đơn giản người ta phân chia lớp MD-nhóm MD-đại số theo số chiều, lúc ta kí hiệu MDn-nhóm MDn-đại số (n tương ứng với số chiều nhóm) Lớp nhóm Lie MD4 Lê Anh Vũ liệt kê phân loại triệt để, tranh K-quĩ đạo lớp nhóm mô tả tường minh [14] Năm 1999, Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Việt Hải xây dựng lượng tử hoá biến dạng K-quĩ đạo lớp MD -nhóm lớp MD4-nhóm, đồng thời đưa biểu diễn unita vơ hạn chiều tương ứng lớp nhóm [5], [6], [7] Từ đến nay, chưa có kết tương tự công bố MD5-nhóm Trong báo này, xây dựng K-quĩ đạo lượng tử từ Kquĩ đạo MD5-nhóm đơn liên liên thơng tương ứng với MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán chiều Lê Anh Vũ đưa gần [15] Đồng thời mô tả tường minh biểu diễn unita bất khả qui vơ hạn chiều MD5-nhóm Các kiến thức liên quan 2.1 K-quĩ đạo MD5-nhóm Cho G nhóm Lie, G =Lie(G) đại số Lie G, tức không gian tiếp xúc TeG điểm đơn vị e nhóm G Khi nhóm G tác động lên tự đẳng cấu : i( g ) : x  gxg 1 Tác động có điểm bất động e , đồng thời cảm sinh tác động đạo hàm G lên G : Ad ( g ) : G  G Tác động sinh biểu diễn Ad gọi biểu diễn phụ hợp nhóm Lie G Gọi G* khơng gian đối ngẫu G Khi biểu diễn đối phụ hợp G (hay gọi K-biểu diễn) định nghĩa sau : K ( g ) F , X  F , Ad ( g 1 ) X ; 86 F  G*, X  G, g  G Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Khi g chạy khắp G  F   K ( g ) F / g  G  G * gọi quĩ đạo đối phụ hợp (hay gọi K-quĩ đạo) qua F Mệnh đề 2.1 : Trên K-quĩ đạo  F nhóm Lie G, ln tồn dạng vi phân cấp đóng, khơng suy biến, G-bất biến mà ta gọi dạng Kirillov Định nghĩa 2.2 : Một đa tạp symplectic đa tạp trơn mà trang bị dạng symplectic  , tức dạng vi phân cấp đóng, không suy biến Như vậy, đa tạp symplectic có số chiều chẵn Đồng thời, Kquĩ đạo đa tạp symplectic Cho nhóm Lie G thực giải được, K-quĩ đạo G khơng chiều có chiều cực đại nhóm G gọi MD-nhóm Vấn đề đặt tìm cách lượng tử hố biến dạng K-quĩ đạo có chiều cực đại MDn-nhóm cho trước (n số chiều nhóm G) M.Kontsevich [10] chứng minh lượng tử hoá biến dạng đa tạp symplectic Tuy nhiên, kết khơng công thức tường minh cho đa tạp symplectic cụ thể, chẳng hạn K-quĩ đạo chiều cực đại MDn-nhóm Bài tốn lượng tử hố biến dạng K-quĩ đạo lớp MD -nhóm MD4-nhóm Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Việt Hải giải [5], [6], [7] Trong báo xét tốn tương tự với nhóm Lie thuộc lớp MD5-nhóm Lê Anh Vũ đưa thời gian gần [15], cụ thể MD5-nhóm đơn liên, liên thông G mà MD5-đại số tương ứng G  X , X , X , X , X  có tính chất : [X1 ,X ]=X , [X ,X ]=X , G   G, G   X , X  R Mệnh đề 2.3 : Giả sử F  G * biểu diễn sở đối ngẫu  X 1* , X 2* , X 3* , X 4* , X 5* sở  X1 , X , X , X , X  : F   X 1*   X 2*   X 3*   X 4*   X 5* Khi đó, K-quĩ đạo nhóm G qua F mô tả sau : (i) Nếu     quĩ đạo chiều :  F  {( ,  ,  , 0, 0)} (ii) Nếu     quĩ đạo  F  {( x, y, z ,  ,  ) :  x   z     } 87 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Dương Minh Thành Chứng minh Đặt X=aX1 +bX +cX3 +dX +fX5 Ánh xạ ad X : G  G , ad X (Y )  [X,Y] có ma trận xác định : 0 0  ad   0   b a  c 0 0 0  0 0  0 0 b 0  Ánh xạ exp(ad) có ma trận : 1 0  exp(ad )   0   b a  c 0 0 0  0  0 b  Nếu F   X 1*   X 2*   X 3*   X 4*   X 5*  G * K-quĩ đạo qua F mô tả sau :  x1    b  x    a  c   x3    b x     x5   1) Nếu     K-quĩ đạo chiều :  F  {( ,  ,  , 0, 0)} (1) 2) Nếu     quĩ đạo  F  {( x, y, z ,  ,  ) :  x   z     } (2) Mệnh đề chứng minh 2.2 -tích khả vi hình thức Moyal -tích Giả sử ( M ,  ) đa tạp symplectic Z  C  ( M )[[ ]] không gian  tuyến tính chuỗi hình thức a ( x, )   k 0 k ak ( x) , với hệ tử ak ( x)  C  (M ) 88 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Định nghĩa 2.4 : Lượng tử hoá biến dạng C  ( M ) (hay gọi lượng tử hoá biến dạng đa tạp M) đại số kết hợp xây dựng Z với  tích kết hợp thỏa mãn tính chất sau : (i) -tích có tính chất địa phương, tức hệ tử ck ( x) tích :  c ( x ,  )  a ( x ,  ) * b ( x,  )   k   k c k ( x ) phụ thuộc vào hệ tử    b j với k      i  j  (ii) -tích biến dạng tích giao hốn thơng thường hàm M : c0 ( x)  a0 ( x).b0 ( x) (iii) -tích thỏa mãn tính tương thích, tức : a * b  b * a  i a0 , b0   0( ) , móc Poisson hàm, 0( ) có bậc cao  , với  tham biến hình thức (còn gọi tham biến biến dạng) Cho u , v  C  ( M ) , ta kí hiệu lu , rv toán tử nhân trái nhân phải đại số  Z ,*  cho lu (v )  u * v  rv (u ) Nếu -tích khả vi hình thức tốn tử lu , rv khả vi hình thức Các tính chất -tích chi tiết [12] Q trình lượng tử biến dạng đòi hỏi phải tính tốn phức tạp -tích khả vi hình thức đưa đến công thức không đẹp Tuy nhiên, không gian symlectic M vi phôi với không gian R 2n dạng symplectic tắc n    dpi  dqi ,  p1 , , pn , q1 , , qn  hệ tọa độ tắc R 2n i 1 ta xác định biến dạng hình thức đặc biệt tích giao hốn tích Poisson C   R 2n  gọi Moyal -tích Ta kí hiệu  ma trận symplectic ứng với dạng song tuyến tính  nói 89 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Dương Minh Thành Định nghĩa 2.5 : Moyal -tích hai hàm trơn u , v  C  ( R n ) định nghĩa sau : r u v = u.v + 1 r    P (u , v ) r 1 r !  2i  : P1 (u , v)  {u , v} P r (u , v) :  i1 j1  i2 j2  ir jr  ir1i2 ir u rj1 j2 jr v với  ri i i  12 r r ; x  ( p, q )  ( p1 , , pn , q1 , , q n ) ,  ir jr phần tử ma ir x x i1 trận  1 Chuỗi hội tụ không gian phân bố Schwartz S ( R n ) Hơn nữa, có kết sau :  u * v = v* u   (u * v)( )d   uvd   u : S ( R n )  S ( R 2n ),  u (v )  u * v liên tục không gian L2 ( R n , d  ) , thác triển thành phép biến đổi tuyến tính biên (vẫn kí hiệu  u ) L2 ( R n , d  ) Mệnh đề 2.6 : Moyal -tích -tích khả vi hình thức Thơng thường ta chọn số   để tiện tính tốn Từ sau ta sử dụng Moyal -tích thay cho -tích khả vi hình thức Nếu K-quĩ đạo  nhóm Lie G ta trang bị -tích ta có khái niệm -tích G-hiệp biến : Định nghĩa 2.7 : Giả sử  K-quĩ đạo nhóm Lie G G* với tác động Hamilton chặt G Một -tích gọi G-hiệp biến (hay hiệp biến tác động G) : iA * iB  iB * iA  i[ A, B ], A, B  G  Lie(G ) 90 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Nếu -tích G-hiệp biến ta có A  iA *  l A (.) biểu diễn đại  i  số Lie G không gian Z  C  ()     Như vậy, lượng tử hoá biến dạng    mặt cho ta quĩ đạo đối phụ hợp lượng tử (hay gọi K-quĩ đạo lượng tử), mặt nhằm mục đích tìm biểu diễn đại số C  () tốn tử khơng gian Hilbert Trong trường hợp G liên thơng đơn liên ta nhận biểu diễn unita T nhóm Lie G xác định : T  exp( A)   el A 2.3 Hàm Hamilton quĩ đạo đối phụ hợp lượng tử Cho nhóm Lie G, phần tử A  G  Lie(G ) hạn chế hàm tuyến tính tương ứng A quĩ đạo đối phụ hợp  , xét tập G* , A ( F )  F , A  Như biết hàm hàm Hamilton, liên kết với trường vectơ Hamilton công thức : ( A f )( x) : d f ( x.exp(tA)) dt t=0 , f  C  () Đồng thời ta có :  A ( f )  {A , f }, f  C  () Định nghĩa 2.8 : Nếu quĩ đạo  tồn ánh xạ symplectic  :  ( p, q )  ( p1 , , pn , q1 , , q n )  R n   ( p , q )   cặp , 1  gọi đồ tương thích tính chất sau thỏa mãn : 1) Với A G , hàm Hamilton  có dạng bậc theo biến p, tức : n A  ( p, q )   i (q ).pi   (q ) , i 1 i (q ) ,  (q) hàm khả vi C  theo biến q n 2) Trên đồ đó, dạng Kirillov    dpi  dqi i 1 Khi ta dùng kí hiệu A thay cho kí hiệu A  ( p, q ) để hàm Hamilton hệ tọa độ tắc  p, q  91 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Dương Minh Thành Ta gọi Fp ( g ) phép biến đổi Fourier phần hàm g từ biến p sang biến x, tức : Fp ( g )( x, q ) :  2  n  R e ipx g ( p, q )dp kí hiệu Fp1 ( g )( p, q ) phép biến đổi Fourier ngược Định nghĩa 2.9 : (K-quĩ đạo lượng tử) Cho  2n K-quĩ đạo 2n-chiều nhóm Lie G Với A G (i) Toán tử  ˆ A  Fp   A  Fp1 xác định hầu khắp nơi  L2 R n , dpdq /(2 ) n tốn tử lượng tử tương thích   (ii)  n , ˆ A gọi K-quĩ đạo lượng tử ứng với nhóm Lie G   (iii) Hợp  n , ˆ A gọi tầng K-quĩ đạo lượng tử bậc 2n nhóm Lie G Các kết Nhắc lại G MD5-nhóm đơn liên, liên thông mà MD5-đại số tương ứng G  X , X , X , X , X  có tính chất : [X1 ,X ]=X ; [X ,X ]=X5 , G   G, G   X , X  R , K-quĩ đạo mô tả tường minh theo mệnh đề 2.3 Ta có mệnh đề sau : Mệnh đề 3.1 : Ứng với K-quĩ đạo chiều cực đại  F  G * ánh xạ symplectic  có cơng thức : ( p, q )  R   ( p , q )  (  q , p,   q ,  ,  )   F Khi   F , 1  lập thành đồ tương thích Chứng minh : Để kiểm tra ánh xạ  có cơng thức  ( p, q)  (  q , p,   q ,  ,  ) vi phơi tồn cục từ R vào  F 92 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Mỗi phần tử F  G * có dạng F   X 1*   X 2*   X 3*   X 4*   X 5* , hàm A xác định : A ( F )  F , A   X 1*   X 2*   X 3*   X 4*   X 5* , aX  bX  cX  dX  fX   a  b   c   d  f Do A  ( p, q )  (  q )a  pb  (  q )c   d   f Xét A=aX1 +bX +cX3 +dX +fX , B=a'X1 +b'X +c'X3 +d'X +f'X F  (  q ) X 1*  pX 2*  (  q ) X 3*   X 4*   X 5* [ A, B]  (ab '- a ' b ) X  (bc ' b ' c) X Suy :  F ,[ A, B ]   (ab '- a ' b)   (bc ' b ' c) (3) Mặt khác :  A ( f )  { A , f }  b f f  (  a   c) q p f f  B ( f )  {B , f }  b '  (  a '  c ') q p Suy ra, trường vectơ : A  b    ( a   c) q p B  b '    ( a '  c ') q p Do :  A   B  ( a   c)( a '  c ')         ab ' a ' b     bc ' b ' c     p p p q   bb '  (4) q q So sánh (3) (4) ta suy dạng Kirillov dạng chuẩn tắc symplectic   dp  dq Mệnh đề chứng minh hồn tồn 93 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Dương Minh Thành Như vậy, K-quĩ đạo vi phơi tồn cục với R , dễ dàng tính tốn Moyal -tích trường hợp ứng với n = Mệnh đề 3.2 : Trong hệ toạ độ tắc (p, q) xác định quỹ đạo  F , Moyal -tích G-hiệp biến Chứng minh : Để chứng minh Moyal -tích G-hiệp biến ta cần : iA * iB  iB * iA  i[ A, B ], A, B  G  Lie(G ) Thật vậy, xét A=aX1 +bX +cX3 +dX +fX , B=a'X1 +b'X +c'X3 +d'X +f'X , F  (  q ) X 1*  pX 2*  (  q ) X 3*   X 4*   X 5* Theo cách mơ tả : A  (  q ) a  pb  (  q )c   d   f B  (  q )a ' pb ' (  q )c '  d '  f ' P0  A , B   A B P1  A , B    A B    p A  q B   q A  p B  b ( a '  c ')  ( a   c)b '   (ab ' a ' b)   (bc ' b ' c) P  A , B   12 12 2pp A  2qq B  12  21 2pq A  2qp B   2112 2qp A  2qq B   21 21 2qq A  2pp B  Tương tự ta có P k  A , B   0, k  Do : 1 iA * iB  iB * iA   P1  iA , iB   P1  iB , iA     P1  iA , iB   P1  iA , iB   2i 2i P  iA , iB    iP1  A , B   i  ( ab ' a ' b )   (bc ' b ' c)  i Mặt khác : i[ A, B]  i  (ab ' a ' b)   (bc ' b ' c) Mệnh đề chứng minh hoàn tồn 94 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Đặt  A (u )  iA * u , ta có hệ sau : Hệ 3.3 :  [ A, B ]   A *  B   B *  A Nhắc lại kí hiệu Fp ( g ) phép biến đổi Fourier phần hàm g từ biến p sang biến x : Fp ( g )( x, q ) :  2 R e ipx g ( p , q )dp Fp1 ( g )( p, q ) phép biến đổi Fourier ngược Bổ đề 3.4 : 1)  p Fp1 ( g )  iFp1 ( x.g ) 2) Fp ( p.v)  i x Fp (v) 3) P k  A , Fp1 ( g )   0, k  Chứng minh : 1) 2) tính chất quen thuộc lí thuyết phép biến đổi Fourier Tính chất dể dàng suy A , B hàm bậc theo p q Định lí 3.5 : Với A G g  C0 ( R ) , đặt ˆ A ( g )  Fp   A  Fp1 ( g ) :  x  1   ˆ A ( g )  b   q   x  g  i   a   c   d   f    a   c   q    g  2    Chứng minh Áp dụng bổ đề 3.4 r   11 ˆ A ( g )  Fp   A  Fp1 ( g )  Fp iA * Fp1 ( g )  Fp     P r ( A , Fp1 ( g ))   r 0 r !  2i        iFp  (  q ) a  pb  (  q )c   d   f  Fp1 ( g )   1 b q Fp1 ( g )  (  a   c) p Fp1 ( g )  1! 2i  95 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Dương Minh Thành   i  (  q )a  (  q )c   d   f  g  bFp  pFp1 ( g )      b q g  ( a   c) Fp  p F p1 ( g )     2i      i  (  q )a  (  q )c   d   f  g  bi x g  b q g  ( a   c )ixg   2i    x  1    b   q   x  g  i   a   c   d   f    a   c   q    g  2    x Đặt s  q  , t  q  x ta có : ˆ A ( g )  b s g  i  a   c   d   f    a   c  s  g    b s  i  a   c   d   f    a   c  s  g Định lí 3.6 : Tốn tử ˆ A  b s  i  a   c   d   f    a   c  s  biểu diễn đại số Lie G Hơn nữa, A, B  G : ˆ A  ˆ B  ˆ B  ˆ A  ˆ [A, B ] Chứng minh : Với A, B  G g  C0 ( R ) , 1 , 2  R ta có : ˆ 1 A 2 B ( g )  Fp   1 A 2 B  Fp1 ( g )  Fp i 1 A   B  * Fp1 ( g )  1 Fp   A  Fp1 ( g )   Fp   B  Fp1 ( g )  1ˆ A ( g )   2ˆ B ( g ) ˆ A  ˆ B ( g )  ˆ B  ˆ A ( g )  ˆ A  Fp   B  Fp1 ( g )  ˆ B  Fp   A  Fp1 ( g )   Fp iA * iB * Fp1 ( g )   Fp iB * iA * Fp1 ( g )     Fp i[ A, B]* Fp1 ( g )  ˆ [A, B ] ( g ) 96     Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Định nghĩa 3.7 : Gọi  F K-quĩ đạo MD5-nhóm G xét Khi A   chạy khắp đại số Lie G  F , ˆ A gọi mặt phẳng lượng tử tương ứng với tác động đối phụ hợp nhóm Lie G Trong trường hợp G đơn liên ta có biểu diễn unita vơ hạn chiều T G :     T (exp A) : exp ˆ A  exp b s  i  a   c   d   f    a   c  s  ; A  G TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.A.Berezin (1974), Quantization, Math USSR Tzvestija, 8, pp 1109-1165 [2] F Bayen, M Flato, C Fronsdal, A Lichnerowicz, D Sternheimer (1978), Deformation theory and quantization I and II Ann Phys, 111 1, pp 61-151 [3] M De Wilde, P B A Lecomte (1983), Existence of star-products and of formal deformations in Poisson Lie algebras of arbitrary symplectic manifolds, Lett Math Phys, 7, pp 487- 496 [4] Do Ngoc Diep (1999), Noncommulative Geometry Methods for Group C*Algebras, Chapman and Hall/ CRC Research Notes in Mathematics Series, Vol 416, 284 pages [5] Do Ngoc Diep (2000), arXiv :math.QA/0003100 v2 [6] Do Ngoc Diep and Nguyen Viet Hai (2001), Quantum half-planes via deformation quantization, Beitrage zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), 42, No [7] Do Ngoc Diep and Nguyen Viet Hai (2001), Quantum co-adjoint orbits of the group of affine transformations of the complex straight line, Beitrage zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), 42, No [8] P Etingof, D A Kazhdan (1996), Quantization of Lie bialgebras, I Selecta Math, New Series 2, 1, pp 1-41 [9] B Fedosov (1994), A simple geometric construction of deformation quantization J Diff Geom, 40, 2, pp 213-238 Quantum strata of coadjoint orbits, [10] M Kontsevich (1997), Deformation Quantization of Poisson Manifolds, Preprint, q-alg/9709040 97 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Dương Minh Thành [11] Nguyen Viet Hai (2001), Quantum co-adjoint orbits of MD4-groups, Vietnam J Math, Vol 29, pp 131-158 [12] Do Duc Hanh (2003), Deformation quatization and quantum coadjoint orbits of SL(2,R), arXiv.math.QA/0305358 v1 [13] Vuong Manh Son and Ho Huu Viet (1984), Sur la structure des C*-algèbres d’une classe de groupes de Lie, J Operator Theory, 11, pp 79-90 [14] Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân tạo K-quĩ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD4, Luận án phó tiến sĩ khoa học Tốn Lí, Viện Tốn học Việt Nam, Hà Nội, 102 trang [15] Lê Anh Vũ (2005), Về lớp đại số Lie nhóm Lie giải chiều, Báo cáo Hội nghị Đại số - Hình học – Tơpơ tồn quốc, Trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh 18-25/11 [16] Le Anh Vu, Duong Minh Thanh (2006), The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5-Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits, Contributions in Mathematics and Applications, A special Vol of East-West J Math, pp 1-16 Tóm tắt K-quĩ đạo lượng tử MD5-nhóm Sử dụng * -tích quĩ đạo đối phụ hợp (K-quĩ đạo) MD5-nhóm liên thơng cho phép xây dựng quĩ đạo đối phụ hợp lượng tử (K-quĩ đạo lượng tử) theo lượng tử hoá biến dạng Fedosov Từ đưa biểu diễn unita vơ hạn chiều MD5-nhóm Các kết áp dụng tương tự cho MD5-nhóm khác Abstract Quantum K-orbits of the MD5-group Using * -product on co-adjoint orbits (K-orbits) of the connected MD5-group we obtain quantum coadjoint orbits (quantum K-orbits) via Fedosov deformation quantization Hereby, we have that dimensional infinite unitary representation of the MD5-group These results can be applied to other MD5-groups 98 ... Tóm tắt K-quĩ đạo lượng tử MD5-nhóm Sử dụng * -tích quĩ đạo đối phụ hợp (K-quĩ đạo) MD5-nhóm liên thơng cho phép xây dựng quĩ đạo đối phụ hợp lượng tử (K-quĩ đạo lượng tử) theo lượng tử hoá biến... nghĩa 2.9 : (K-quĩ đạo lượng tử) Cho  2n K-quĩ đạo 2n-chiều nhóm Lie G Với A G (i) Tốn tử  ˆ A  Fp   A  Fp1 xác định hầu khắp nơi  L2 R n , dpdq /(2 ) n toán tử lượng tử tương thích...     Như vậy, lượng tử hoá biến dạng    mặt cho ta quĩ đạo đối phụ hợp lượng tử (hay gọi K-quĩ đạo lượng tử) , mặt nhằm mục đích tìm biểu diễn đại số C  () toán tử khơng gian Hilbert