Lượng tử hóa biến dạng trên các quỹ đạo đối phụ hợp của một vài lớp nhóm Lie giải được 5 chiều

Các nghiên cứu quan trọng đầu tiên của khái niệm lượng tử hóa được tiến hành bởi Weyl, Moyal, … và sau đó phát triển mạnh mẽ trong những năm 1970 bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng, trong đó xuất hiện những ứng dụng mới của “lượng tử hóa biến dạng” trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie. Từ việc xây dựng công thức lượng tử hóa trên các quỹ đạo đối phụ hợp của một nhóm Lie, ta thu được các biểu diễn vô hạn chiều của nhóm Lie đó. Song song với bài toán phân loại các MD-nhóm, ta cũng có bài toán xây dựng lượng tử hóa biến dạng trên các quỹ đạo đối phụ hợp của chúng. Sử dụng Moyal -tích trên các quỹ đạo đối phụ hợp, ta sẽ liệt kê các biểu diễn của một số lớp con đặc biệt của lớp các MD5-đại số.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Minh Thành LƯỢNG TỬ HÓA BIẾN DẠNG TRÊN CÁC QUỸ ĐẠO ĐỐI PHỤ HỢP CỦA MỘT VÀI LỚP NHÓM LIE GIẢI ĐƯỢC CHIỀU Dương Minh Thành* Mở đầu Lượng tử hóa biến dạng lĩnh vực nghiên cứu quan tâm Toán học Cơ học lượng tử Mặc dù khái niệm đời sớm phải đến năm 70 kỉ trước người ta phát ứng dụng quan trọng nhờ vào cơng trình sâu sắc Bayen, Fronsdal, Lichnerowicz, Plato Sternheimer Một ứng dụng đáng ý lượng tử hóa biến dạng nghiên cứu biểu diễn nhóm Lie Cụ thể từ việc xây dựng cơng thức lượng tử hóa biến dạng quỹ đạo đối phụ hợp nhóm Lie, ta thu biểu diễn nhóm Lie Áp dụng tính chất này, Arnal, Cortet Ludwig tìm biểu diễn lớp nhóm Lie nilpotent lớp nhóm Lie giải exponent [1] Tuy nhiên, chưa có kết tổng quát tìm cho lớp nhóm Lie giải khơng exponent Một toán đặt tìm lớp đủ rộng nhóm Lie giải có chứa nhóm Lie khơng exponent mà việc xây dựng cơng thức lượng tử hóa quỹ đạo chúng thực Trong q trình nghiên cứu lớp MD-nhóm [2], tức lớp nhóm Lie thực giải mà quỹ đạo đối phụ hợp chúng 0-chiều có chiều cực đại, Đỗ Ngọc Diệp cộng phát rằng, lớp MD-nhóm thích hợp với cơng cụ lượng tử hóa biến dạng Năm 1999, Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Việt Hải xây dựng lượng tử hóa biến dạng K-quỹ đạo lớp MD nhóm (MD-nhóm mà chiều cực đại quỹ đạo đối phụ hợp với chiều nhóm) lớp MD4-nhóm (MD-nhóm chiều), đồng thời đưa biểu diễn unita vô hạn chiều tương ứng lớp nhóm [3,4] Áp dụng phương pháp này, năm 2007, tác giả xây dựng công thức lượng tử hóa đưa biểu diễn unita vơ hạn chiều nhóm thuộc lớp MD5-nhóm (MD-nhóm * Nghiên cứu sinh, Viện Toán học Bourgogne, Dijon, Pháp 87 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 chiều) [5] Thật không may lớp MD5-nhóm đến chưa phân loại hồn tồn Tuy nhiên, cơng trình gần Lê Anh Vũ Kar Ping Shum, số lớp lớp MD5-đại số (đại số Lie tương ứng với MD5nhóm) liệt kê, có lớp chứa nhiều MD5-đại số [6] Lớp thứ lớp đại số giao hoán, tức có ideal dẫn xuất giao hốn đối chiều Lớp thứ hai có ideal dẫn xuất giao hốn đối chiều Điều gợi ý cho tác giả tiếp tục sử dụng cơng cụ lượng tử hóa biến dạng để tìm biểu diễn hai lớp đại số đặc biệt Nội dung báo xếp sau Chương chủ yếu nêu lại khái niệm quỹ đạo đối phụ hợp nhóm Lie kết liên quan đến toán phân loại MD-nhóm MD-đại số, liệt kê đầy đủ lớp MD5-đại số nêu đối tượng nghiên cứu báo Trong Chương 3, ta nhắc lại số khái niệm liên quan đến lượng tử hóa biến dạng Phương pháp xây dựng cơng thức lượng tử hóa biến dạng quỹ đạo đối phụ hợp mô tả đầy đủ chương kèm theo ví dụ chi tiết, ví dụ dành cho nhóm khơng exponent, ví dụ dành cho nhóm exponent Các biểu diễn lớp MD5-đại số liệt kê Chương Quỹ đạo đối phụ hợp MD5-đại số 2.1 Quỹ đạo đối phụ hợp Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm tác động đối phụ hợp nhóm Lie Cho G nhóm Lie liên thơng đơn liên, g đại số Lie G Với phần tử g  G , ta định nghĩa ánh xạ: A( g ) : G  G A( g )(a )  gag 1 Ánh xạ cảm sinh tác động đại số Lie g : A( g )* : g  g X g  88 d dt g exp(tX ) g 1  g t0 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Minh Thành Ta thường kí hiệu tác động Ad Khi tác động đối phụ hợp K nhóm Lie G khơng gian đối ngẫu g* định nghĩa sau: K ( g ) F , X : F , Ad ( g 1 ) X với F  g*, X  g and g  G Định nghĩa 2.1 Quỹ đạo tác động K gọi quỹ đạo đối phụ hợp, hay gọi K-quỹ đạo Với F  g* , ta kí hiệu  F (hoặc đơn giản  ) quỹ đạo đối phụ hợp chứa F, ta có:  F  K (G) F   K ( g ) F : g  G  g* Định nghĩa 2.2 Ta nói nhóm Lie giải G thuộc lớp MDnhóm quỹ đạo đối phụ hợp 0-chiều có chiều cực đại Đại số Lie tương ứng với MD-nhóm gọi MD-đại số Chiều quỹ đạo đối phụ hợp chẵn Hơn nữa, với quỹ đạo  F , tồn dạng vi phân tự nhiên liên kết với dạng song tuyến tính khơng suy biến khơng gian tiếp xúc TF  quỹ đạo  F : BF  X , Y   F ,  X , Y  , X , Y  g Dạng symplectic tương ứng gọi dạng Kirillov quỹ đạo đối phụ hợp  F Trong trường hợp quỹ đạo đối phụ hợp có số chiều là dim G G gọi MD -nhóm Bài tốn nghiên cứu liệt kê MD- nhóm MD-đại số xuất phát từ việc nghiên cứu C * -đại số nhóm Lie giải Đồng thời tốn dẫn tới tốn nghiên cứu khơng gian phân tạo quỹ đạo đối phụ hợp không tầm thường MD-nhóm C * -đại số liên kết với phân Vì ta xét nhóm G liên thơng đơn liên nên việc phân loại MD-nhóm tương đương với việc phân loại MD-đại số tương ứng Lớp MD -đại số MDn-đại số (MD-đại số n chiều), n  , liệt kê hoàn toàn [2] Tuy nhiên, chưa có phân loại hồn tồn MDn-đại số, với n  Gần Lê Anh Vũ Kar Ping Shum đưa số lớp lớp MD5-đại số [6], có lớp chứa số lượng đáng kể MD5-đại số mà ta liệt kê 89 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 2.2 MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hốn đối chiều Định lý 2.3: Cho g đại số Lie thực giải chiều, e1 , e2 , e3 , e4 , e5  sở g Giả sử ta có ideal dẫn xuất g g  [ g, g]  e3 , e4 , e5  R , đại số Lie g MD-đại số bất khả phân g thỏa mãn điều kiện ad e  , ade  End  g1   Mat3 ( ) ,  e1 , e2   e3 g đẳng cấu với đại số sau:  1 g5,3,1( 1 ,2 ) : ad e2   2  0 90 0  ; 1 , 2   \ 0,1 , 1  2 g5,3,2(  ) : 1 0  ad e2    ;   \ 0,1  0   g5,3,3(  ) :  0 ad e2    ;    0  g5,3,4 : 1 0  ad e2  0  0  g5,3,5(  ) :  0 ad e2   1  ;    0  g5,3,6(  ) : 1  ad e2    ;   \ 0,1  0   g5,3,7 : 1  ad e2   1   0  \ {1} \ {1} Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM  cos  g5,3,8(  , ) : ad e2   sin   Dương Minh Thành  sin  cos  0  ;     \ {0},   (0,  ) Chú ý 2.4: Một nhóm Lie đơn liên giải G exponent ánh xạ ad X : g  g khơng có giá trị riêng ảo Do đó, dễ dàng kiểm tra rằng, nhóm Lie tương ứng với đại số g5,3,1(  , ) , g5,3,2(  ) , g5,3,3(  ) , g5,3,4 , g5,3,5(  ) , g5,3,6(  ) , g5,3,7 , g   5,3,8  ,   2  g   5,3,8  ,   2  exponent nhóm Lie tương ứng với đại số khơng exponent 2.3 MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hốn đối chiều Định lý 2.5: Cho g đại số Lie thực giải chiều, e1 , e2 , e3 , e4 , e5  sở g sử Giả ta có ideal dẫn xuất g g1  [ g, g]  e2 , e3 , e4 , e5  R , g MD-đại số bất khả phân g thỏa mãn điều kiện ade  End ( g1)  Mat4 ( ) g đẳng cấu với đại số sau: 1 0  g5,4,1( 1 ,2 ,3 ) : ad e1   0  0 g5,4,2( 1 ,2 ) : g5,4,3(  ) : 1 0  ad e1   0  0 0 3 0 0  ; 1 , 2 , 3  0  1 0 0  ; 1 , 2  0  1  0    0 ;   ad e1    0 0    0 1 \ 0,1 \ 0,1 , 1  2 \ 0,1 91 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM g5,4,4(  ) :  0 ad e1   0  0 0 0 0 ;   0  0 1 g5,4,5 : 1 0 ad e1   0  0 0 0 0  0  0 1 1 0  g5,4,6( 1 ,2 ) : ad e1   0  0 \ 0,1 0 0  ; 1 , 2  1  1 \ 0,1 , 1  2  0    0 ;   ad e1    0 1    0 1 \ 0,1  0    0 ;   g5,4,8(  ) : ad e1    0 1    0 1 \ 0,1  0 g5,4,9(  ) : ad e1   0  0 0 0 1 0 ;   1  0 1 \ 0,1 1 0 ad e1   0  0 0 1 0 ;   1  0 1 \ 0,1 g5,4,7(  ) : g5,4,10 : 92 Số 18 năm 2009 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Minh Thành cos  sin  g5,4,11( ,1 ,2 ) : ad e1       sin  cos 0 0 1 cos  sin  ad e1       sin  cos 0 cos   sin  : g5,4,13( , , ) ad e1       sin  cos  0 0   cos   sin  g5,4,14( , ) : ad e1       sin  cos  0 g5,4,12( , ) : 0 0  ; 1 , 2  0  2  0 0 ;  ,   0   \ 0 , 1  2 ,   (0,  )    ;  ,   ,   0,   (0,  )      0 0 ;   1   0 \ 0 , 1  2 ,   (0,  ) \ {0},   (0,  ) Chú ý 2.6 Việc liệt kê đại số dựa dạng chuẩn tắc Jordan Lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hốn đối chiều lớp đại số Lie thực giải chiều có ideal dẫn xuất giao hốn đối chiều mà thường gọi với tên khác lớp đại số Lie giao hoán chiều Lớp đại số Lie giao hoán lớp chiếm hầu hết đại số Lie thấp chiều Tương tự với Chú ý 2.4, nhóm Lie tương ứng với đại số g5,4,1(  , , ) , g5,4,2(  , ) , g5,4,3(  ) , g5,4,4(  ) , g5,4,5 , g5,4,6(  , ) , g5,4,7(  ) , g5,4,8(  ) , g5,4,9(  ) , g5,4,10 , g  5,4,11(  ,1 , 2 ) , g  5,4,12(   ,  ) , g  5,4,13(  , ,  ) nhóm Lie tương ứng với đại số g , g  5,4,14(   ,  )  5,4,11(  , 1 , 2 ) g  5,4,14(  , ) , g exponent  5,4,12(  , ) , g  5,4,13(  ,  ,  ) , không exponent Lượng tử hóa biến dạng quỹ đạo đối phụ hợp 93 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 Định nghĩa 3.1: Cho  M ,   đa tạp symplectic Z  C   M     không gian tuyến tính chuỗi lũy thừa hình thức a  x,    k ak ( x) , k 0 ak ( x)  C   M  Lượng tử hóa biến dạng C   M  (hoặc lượng tử hóa biến dạng đa tạp M) định nghĩa ánh xạ: C   M   C   M   C   M     u, v   u * v   r Cr  u , v  r thỏa mãn tính chất sau: (i)  u * v  * w  u *  v * w  (ii) C0  u , v   uv , C1  u , v   C1  v, u   u , v , , móc Poisson (iii) u *  1* u  u (iv) Các ánh xạ Cr toán tử song khả vi Ở đây, * *-tích xác định C   M  Định nghĩa 3.2: Moyal *-tích hai hàm trơn u, v  C  ( R n ) định nghĩa sau: r u * v  u.v   r 1 Trong đó: 1 r   P (u , v) r !  2i  P1 (u , v)  {u , v} P r (u , v) :  i1 j1  i2 j2  ir jr  ir1i2 ir u rj1 j2 jr v với  ri i i  12 r r ; x  ( p, q )  ( p1 , , pn , q1 , , q n ) ,  ir jr phần tử xi1 xir  1 Vì quỹ đạo đối phụ hợp đa tạp symplectic G-thuần với tác động đối phụ hợp G, khơng gian g* phân thành hợp rời 94 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Minh Thành đa tạp đa tạp symplectic G-thuần Với A g , tồn trường vectơ  A xác định sau:  A f  F   d f  F exp  tA   dt t 0 , f  C     Đồng thời phần tử A xác định cho ta hàm Halminton A  có cơng thức A  F   F , A Hàm A trường vectơ  A có mối liên hệ:    A f  A, f ; f  C     Khi ánh xạ A G  A  C     biểu diễn tuyến tính đại số g đại số Poisson  C     , ,  Hơn dạng symplectic  quỹ đạo đối phụ hợp  có dạng:   A ,  B   BF  A, B   F ,  A, B  ; A, B  g Trong trường hợp quỹ đạo đối phụ hợp nhóm Lie G vi phơi với R , ta trang bị *-tích khả vi hình thức Moyal *-tích Đồng thời *-tích thỏa mãn tính chất: 2n i A * iB  iB * i A  i A, B  , A, B  g Do đó, ánh xạ A  i A * biểu diễn đại số g không gian Z  C       kí hiệu l A Tuy nhiên, lượng tử hóa khơng việc tìm tốn tử l A mà tìm đối tượng lượng tử tương ứng với đối tượng cổ điển Điều đồng nghĩa với việc tìm biểu diễn đại số Poisson  C    , ,  không gian Hilbert, tức ta phải xác định tốn tử lượng tử l A có cơng thức sau: l A  F    F 1 p A p Trong Fp phép biến đổi Fourier phần hàm f từ biến p sang  n  biến x , xác định không gian L2 R 2n , dpdq /  2  : 95 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Fp  f  x, q   Số 18 năm 2009  2   n/2 Rn eip x f  p, q  dp phép biến đổi Fourier ngược: Fp1  f  p, q    2   n/2 Rn eip x f  x, q  dx Hiển nhiên rằng, nhóm Lie G liên thơng đơn liên exp l A   biểu diễn G Hơn nữa, G nhóm exponent tất biểu diễn unita vơ hạn chiều G có dạng l A Mục tiêu báo tìm tất tốn tử l A đại số Lie liệt kê Phương pháp xây dựng công thức lượng tử hóa biến dạng chia làm bước: 1) Mô tả tường minh quỹ đạo đối phụ hợp nhóm Lie G Cách mơ tả thao khảo chi tiết [7] 2) Đưa công thức ánh xạ symplectic  thỏa mãn tính tương thích atlas Bước dể dàng thực nhờ vào công thức mô tả quỹ đạo đối phụ hợp Vấn đề lại kiểm tra tính tương thích ánh xạ  3) Từ hàm Hamilton, ta nhận cơng thức lượng tử hóa biến dạng quỹ đạo đối phụ hợp Khi ta thu biểu diễn đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G Ví dụ 1: Xét nhóm Lie G5,3,8(  , ) tương ứng với đại số Lie g  g5,3,8(  , ) , G5,3,8(  , )  Các móc Lie g5,3,8(  , ) viết lại sau:  e2 , e3   cos  e3  sin  e4 ,  e2 , e4    sin  e3  cos  e4 ,  e2 , e5    e5 Gọi nhóm exponent   g* không gian đối ngẫu g sở đối ngẫu tương ứng e1* , e2* , e3* , e4* , e5* , giả sử F   e1*   e2*   e3*   e4*   e5*  g* Khi quỹ đạo đối phụ hợp G chứa F mô tả sau: 96 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Minh Thành  x     cos -eqcos cos( -qsin )      sin   e qcos sin( -qsin )        y  p  p, q  R  z  γeqcos cos(qsin )+ e qcos sin(qsin )  qcos sin(qsin )  δebcos cos(qsin ) t   e  s  σe q Nếu    , ta có kết sau: Mệnh đề 3.3: Với quỹ đạo không tầm thường  F  g* , ánh xạ symplectic tồn cục  có cơng thức:   ( p, q)      cos   eq cos cos(  q sin  )      sin   eq cos sin(  q sin  )  , p,  eq cos cos(q sin  )   eq cos sin(q sin  ),  eq cos sin(q sin  )   eq cos cos(q sin  ), eq  F Hơn nữa,   F , 1  tạo thành atlas tương thích Chứng minh: Để chứng minh   F , 1  tạo thành atlas tương thích ta cần phải chứng minh dạng Kirillov atlas có dạng chuẩn tắc, tức   dp  dq Điều dễ dàng suy trực tiếp từ việc tính tốn so sánh công thức F ,  A, B  ,  A   B , A  ae1  be2  ce3  de4  fe5 , B  a ' e1  b ' e2  c ' e3  d ' e4  f ' e5 g Từ công thức hàm Hamilton A : A  ( p, q)  a    cos   eq cos cos(  q sin  )    sin   eq cos sin(  q sin  )  bp    c  e q cos   cos(q sin  )   e    q cos   sin(q sin  )  d  e q cos  sin(q sin  )   e q cos   cos(q sin  )  f  eq ta có định lý sau: Định lý 3.4: Biểu diễn đại số g nhận từ lượng tử hóa biến dạng có cơng thức sau: 97 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM  Số 18 năm 2009     cos( s sin  )   ˆ A  b s  i a    cos   e s cos cos(  s sin  )    sin   e s cos sin(  s sin  )     c  e s cos cos( s sin  )   e s cos sin( s sin  )  d  e s cos sin( s sin  )   e s cos   f  e s Đồng thời, A, B  g ˆ A  ˆ B  ˆ B  ˆ A  ˆ  A, B Nếu    , ta thay vi phơi tồn cục  vi phơi địa phương  k :  k : R  (2k , 2k  2 )   F  ( p, q )     sin q   ( 1  cos q), p,  cos q   sin q, - sin q   cos q,  e q  Khi biểu diễn địa phương g có cơng thức: ˆ kA  b s  i a    sin s   (1  cos s )   c   cos s   sin s   d  - sin s   cos s   f  e  s Ví dụ 2: Xét nhóm Lie G5,4,1(  , , ) tương ứng với đại số Lie g  g5,4,1(  , , ) Gọi g* 3 không gian đối ngẫu g sở đối ngẫu tương ứng e , e , e3* , e4* , e5* , giả * * sử F   e1*   e2*   e3*   e4*   e5*  g * Khi quỹ đạo đối phụ hợp G chứa F mô tả sau:  b(1  e1a ) c (   e 2 a ) d ( 1  e3a ) f ( 1  e a ) x            a a a a  a y  e β  2 a z  e γ t  e3a δ  a s  e σ Ánh xạ symplectic  có dạng  ( p, q)   p,  e q ,  e q ,  e q ,  eq  Suy A  ( p, q )  ap  b e q  c e q  d  e q  f  eq Do   ˆ A  a s  i b e1s  c e2 s  d e3s  f  e s Kết Áp dụng phương pháp cho đại số lại ta thu kết sau: 98  Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Dương Minh Thành    e1s g5,3,1( 1 ,2 ) : ˆ A  b s  i  a      1      1 s 2 s s   c e  d  e  f  e      g5,3,2(  ) : ˆ A  b s  i a    1  e s   c e s  d  e s  f  e s    e s g5,3,3(  ) : ˆ A  b s  i  a           s s s   c e  d  e  f  e      g5,3,4 : ˆ A  b s  i a    1  e s   c e s  d  e s  f  e s    e s  s s s s g5,3,5(  ) : ˆ A  b s  i  a       c e  d e  f  se   e             g5,3,6(  ) : ˆ A  b s  i a    1  es   c es  d   se s   e s   f  e s g5,3,7 :  ˆ A  b s  i  a     e s    g5,3,8(  , ) : Nếu       c e s  s 2e s   d  se s   e s  f     se s   e s            cos( s sin  )   ˆ A  b s  i a    cos   e s cos cos(  s sin  )    sin   e s cos sin(  s sin  )     c  e s cos cos( s sin  )   e s cos sin( s sin  )  d  e s cos sin( s sin  )   e s cos   f  e s ,    ˆ kA  b s  i a    sin s   (1  cos s)   c  cos s   sin s   d  - sin s   cos s   f  e s  g5,4,1( 1 ,2 ,3 ) : ˆ A  a s  i b e 1s  c e 2 s  d e 3 s s    fe   g5,4,2( 1 ,2 ) : ˆ A  a s  i b e1s  c e2s  d e s  f  e s   g5,4,3(  ) : ˆ A  a s  i b e s  c e s  d e s  f  es   g5,4,4(  ) : ˆ A  a s  i b  e s   c  d   f   e s 99 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 g5,4,5 : ˆ A  a s  i  b  c  d   f   es   g5,4,6( 1 ,2 ) : ˆ A  a s  i b e1s  c e2 s  d  e s  f  ses   e s    g5,4,7(  ) : ˆ A  a s  i  b   c  e s  d  e s  f se s   es    g5,4,8(  ) : ˆ A  a s  i b  e s  c   s    e s  d  e s  f  s    e s   s2   g5,4,9(  ) : ˆ A  a s  i  b e s  c e s  d  s    es  f    s  σ  e s      g5,4,10 :   s2   s3   s2 ˆ A  a s  i  b e s  c  s     e s  d    s    es  f      s  σ  es    6    g5,4,11( ,1 ,2 ) : Nếu       i  ˆ A  a s  i  b  ic    i  e se   d   f   e s ,  Nếu   i ˆ A  a s  i  b  ic    i  ese   d  if    i  es (  i )  , Nếu    i ˆ A  a s  i  b  ic    i  e se  d  e s  f   s    e s 100   ˆ kA  a s  i   b  ic    i  e is   d  if    i  e s (  i )  g5,4,14( , ) :    ˆ kA  a s  i   b  ic    i  e is   d   f   e s  g5,4,13( , , ) :     ˆ kA  a s  i   b  ic    i  e is  d  e1s  f  e2 s  g5,4,12( , ) : Nếu      i  ˆ A  a s  i  b  ic    i  e se  d  e1s  f  e2 s ,  Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM   Dương Minh Thành  ˆ kA  a s  i   b  ic    i  e is  d e s  f  s    e s  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Arnal D., Cortet J.C and Ludwig J (1995), Moyal product and representations of solvable product Lie groups, J Funct Anal., 133, 402-424 [2] D.N.Diep (1999), Noncommulative Geometry Methods for Group C*Algebras, Chapman and Hall/ CRC Research Notes in Mathematics Series, Vol 416, 284 pages [3] D.N.Diep and N.V.Hai (2001), Quantum half-planes via deformation quantization, Beitrage zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), 42, No [4] N.V.Hai (2001), Quantum co-adjoint orbits of MD4-groups, Vietnam J Math, 29, 131-158 [5] D.M.Thanh (2007), K-quỹ đạo lượng tử MD5-nhóm, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Sư phạm Tp HCM, 12, 83-98 [6] L.A.Vu and K.P.Shum, Advances in Algebra and Combinatorics 2008, World Scientific Publishing Co., 353-371 [7] L.A.Vu and D.M.Thanh (2006), The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5-Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits, Contributions in Mathematics and Applications, A special Vol of EastWest J Math, 169-184 101 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 Tóm tắt Các nghiên cứu quan trọng khái niệm lượng tử hóa tiến hành Weyl, Moyal, … sau phát triển mạnh mẽ năm 1970 nhiều nhà tốn học tiếng, xuất ứng dụng “lượng tử hóa biến dạng” lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Từ việc xây dựng cơng thức lượng tử hóa quỹ đạo đối phụ hợp nhóm Lie, ta thu biểu diễn vơ hạn chiều nhóm Lie Song song với tốn phân loại MD-nhóm, ta có tốn xây dựng lượng tử hóa biến dạng quỹ đạo đối phụ hợp chúng Sử dụng Moyal *-tích quỹ đạo đối phụ hợp, ta liệt kê biểu diễn số lớp đặc biệt lớp MD5-đại số [6] Abstract Deformation quantization on co-adjoining orbits of some classes of 5dimensional solvable lie groups The first important pieces of research on the concept of quantization were conducted by Weyl, Moyal, … and then strongly developed in 1970’s by many famous mathematicians, thereby new applications of “deformation quantization” appeared in the representation theory of Lie group From building the formula of deformation quantization on co-adjoining orbits of a Lie group we get infinite dimension representations of that group Addition to classification of MD-groups, we have the problem of building deformation quantization on their co-adjoining orbits Using Moyal * - product on co-adjoining orbits, we will list representations of some special subclasses of class of MD5-algebras in [6] 102 ... nói nhóm Lie giải G thuộc lớp MDnhóm quỹ đạo đối phụ hợp 0 -chiều có chiều cực đại Đại số Lie tương ứng với MD -nhóm gọi MD-đại số Chiều quỹ đạo đối phụ hợp chẵn Hơn nữa, với quỹ đạo  F , tồn dạng. .. nhóm Lie Từ việc xây dựng cơng thức lượng tử hóa quỹ đạo đối phụ hợp nhóm Lie, ta thu biểu diễn vơ hạn chiều nhóm Lie Song song với tốn phân loại MD -nhóm, ta có tốn xây dựng lượng tử hóa biến dạng. .. thức lượng tử hóa biến dạng quỹ đạo đối phụ hợp Khi ta thu biểu diễn đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G Ví dụ 1: Xét nhóm Lie G5,3,8(  , ) tương ứng với đại số Lie g  g5,3,8(  , ) , G5,3,8(