Lượng tử hóa biến dạng trên các K-quỹ đạo và đối ngẫu UNITA của SL(2,R)

Lượng tử hóa biến dạng trên các K-quỹ đạo và đối ngẫu UNITA của SL(2,R)

LƯợNG Tử HOá BIếN DạNG TRÊN CáC k-QUỹ ĐạO Và ĐốI NGẫU unita CủA SL(2,R) Đỗ Đức Hạnh 1-3-03 Li cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nghiên cứu luận văn chưa công bố cơng trình khác trước mà tơi biết Tác giả Mơc lơc Trang Trang phơ b×a Mơc lục Danh mục ký hiệu Mở Đầu Choơng Hình học quỹ đạo đối phụ hợp SL(2,R) 1.1 Tổng quan ph}ơng pháp quỹ đạo 12 12 1.1.1 Biểu diễn đối phụ hợp nhóm Lie 12 1.1.2 Phân loại đa tạp symplectic phẳng 14 1.1.3 Đại c}ơng lý thuyết biểu diễn 16 1.2 Mô tả quỹ đạo đối phụ hợp SL(2,R) 17 1.2.1 Các tính chất 17 1.2.2 Phân loại quỹ đạo đối phụ hợp 19 1.3 Phân cực cho SL(2,R) 23 1.3.1 Các khái niệm phân cực 23 1.3.2 Phân cực cho quỹ đạo 24 1.3.3 Phân cực cho quỹ đạo 2+ 25 1.3.4 Phân cực cho quỹ đạo 28 1.3.5 Phân cực cho quỹ đạo 3,+ 26 26 Choơng Loợng tử hoá biến dạng 2.1 L}ợng tử hoá biến dạng 26 2.1.1
-tích khả vi hình thức 28 2.1.2
-tÝch Moyal trªn Rn 31 2.1.3
-tÝch G-hiƯp biến quỹ đạo đối phụ hợp 32 2.2 Bản đồ t}ơng thích, hàm Hamilton quỹ đạo đối phụ hợp l}ợng tử Các khái niệm 33 2.3 Bản đồ t}ơng thích, hàm Hamilton quỹ đạo 35 2.3.1 Quỹ đạo 35 2.3.2 Quỹ đạo 2+ 36 2.3.3 Quỹ đạo 3,C 37 2.4 TÝnh hiƯp biÕn cđa
-tÝch Moyal-Weyl 38 2.5 Toán tử l}ợng tử t}ơng thích lA 41 2.5.1 Toán tử l}ợng tử lA 41 2.5.2 Toán tử l}ợng tử lA 3,C 44 2.6 Đối ngẫu unita SL(2,R) phân loại 47 Kết luận luận văn 50 Tài liệu tham khảo 51 danh mục ký hiệu ã SL(n,R): nhóm ma trận có định thức một, ãGL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực, ãA: hàm Hamilton ứng vớiA G , ãC (M)[[]]: không gian chuỗi luỹ thừa hình thức theo hệ số hàm M, ãC0 : không gian hàm khả vi vô hạn giá compact, ãFp (f ): biến đổi Fourier phận theo biến p, ãG,g: nhóm Lie đại số Lie nhóm Lie, ã = F : quỹ đạo đối phụ hợp qua F, ã K=CoAd: tác động đối phụ hợp, ãlA : toán tử l}ợng tử t}ơng thích, ãs-grad: gradient phản đối xứng, ã(, ): đồ t}ơng thích, ã: ma trận symplectic ứng với dạng symplectic , ãA : tr}ờng véc tơ bất biến sinh A 0.1 mở đầu 0.1.1 Xuất xứ lịch sử vấn đề Lý thuyết biểu diễn lÃnh vực quan trọng mà giữ vai trò cốt yếu nhiều h}ớng nghiên cứu toán học vật lý nh}: giải tích điều hoà trừu t}ợng, lý thuyết số, nhóm đại số, học l}ợng tử, vật lý hạt bản, lý thuyết tr}ờng l}ợng tử, hình học đại số, nhóm l}ợng tử Sự phát triển chia làm nhiều giai đoạn Giai đoạn lý thuyết biểu diễn đời vào năm 1920 với tên tuổi G Frobenius, Schur, Molin Thời kỳ này, ng}ời ta quan tâm tới nhóm hữu hạn với biểu diễn hữu hạn chiều Giai đoạn đánh dấu khai sinh khái niệm nh} đặc tr}ng, toán tử bện biểu diễn bất khả quy mà sau đà trở thành khái niệm lý thuyết biểu diễn Giai đoạn thứ hai đ}ợc đánh dấu bëi sù xt hiƯn cđa lý thut biĨu diƠn nhãm compact Kết quan trọng thời kỳ định lý Haar-Von Neumann tồn độ đo bất biến định lý F Peter-H Weyl đầy đủ biểu diễn hữu hạn chiều Tuy nhiên phải đến thời kỳ thứ ba, năm 1940, lý thuyết biểu diễn đạt d}ợc thành công rực rỡ với biểu diễn unita vô hạn chiều Có thể nói thời kỳ đ}ợc bắt đầu công trình Gelfand Raikov tính đầy đủ hệ biểu diễn unita bất khả quy nhóm compact địa ph}ơng Cùng lúc đó, Von Neumann đà hoàn thành công trình đại số toán tử Chỉ thời gian ngắn sau, lý thuyết đại số Von-Neumann đ}ợc thèng nhÊt víi lý thut biĨu diƠn nhãm c¸c báo G M Adelson, Mautner Godement Một cách tự nhiên toán quan trọng lý thuyết biểu diễn toán phân loại biểu diễn mà ng}ời ta gọi toán đối ngẫu unita Bài toán đối ngẫu unita: Cho tr}ớc nhóm G HÃy phân loại tất biểu diễn unita bất khả quy G (sai khác phép đẳng cấu) Định lý phân loại nhận đ}ợc vào năm 1947 I M Gelfand M A Naimark [26] Từ tới nay, ng}ời ta đà xây dựng đ}ợc số ph}ơng pháp nhằm thu đ}ợc lời giải toán đối ngẫu unita nói Với nhóm G nhóm SL(2,R), toán đối ngẫu unita đà đ}ợc giải Ng}ời ta chứng minh đ}ợc rằng, lớp biểu diễn unita bất khả quy G gồm biểu diễn chuỗi chính, chuỗi rời rạc chuỗi bổ sung, xem [33] Một cách tiếp cận đại toán nhìn nhận vấn đề theo quan điểm tính đối xứng học l}ợng tử hình học không giao hoán Trong học cổ điển, không gian pha đa tạp symplectic hay tổng quát đa tạp Poisson Khái niệm đa tạp Poisson khái niệm mới, đ}ợc đặt vào năm 1976 cách độc lập A Kirillov A Lichnerowicz đà trở thành trung tâm vật lý toán đại khoảng m}ời lăm năm gần Thông th}ờng, đối t}ợng toán học đ}ợc xác định thông qua đại số hàm Ví dụ, đa tạp trơn đ}ợc xác định hoàn toàn đại số hàm trơn nó, đa tạp đại số affine đ}ợc xác định vành toạ độ nó, không gian compact địa ph}ơng đ}ợc xác định đại số hàm liên tục không gian l}ợng tử đ}ợc coi nh} không gian không giao hoán ứng với đại số không giao hoán Một không gian l}ợng tử, nói riêng hệ học l}ợng tử, th}ờng đ}ợc biết đến nhờ đại số phép đo không gian Mô hình hệ học l}ợng tử không gian Hilbert H họ đủ tốt toán tử unita Các hệ học l}ợng tử thông th}ờng t}ơng ứng cách hình thức với hệ học cổ điển Vì vậy, trình l}ợng tử hóa hệ học cổ điển chấp nhận nhóm đối xứng G cho tr}ớc, ta hi vọng thu đ}ợc biểu diễn unita nhóm G lên không gian Hilbert H hệ l}ợng tử t}ơng ứng tiến gần tới lời giải toán đối ngẫu unita nói L}ợng tử hóa trình xây dựng hệ l}ợng tử từ hệ cổ điển cho tr}ớc nhờ quy tắc l}ợng tử Một đại l}ợng cổ điển F đ}ợc l}ợng tử hóa thành đại l}ợng l}ợng tử Q(f), thoả mÃn nguyên lý bất định Dirac: Q(f, g) = i
−1 [Q(f ), Q(g)] Nãi c¸ch kh¸c, ¸nh xạ l}ợng tử i
1 Q đồng cấu đại số Lie ứng với móc Poisson giao hoán tử Về ph}ơng diện toán học coi Herman Weyl ng}ời khởi x}ớng khái niệm l}ợng tử ông xây dựng đ}ợc ánh xạ Q từ đại l}ợng cổ điển-các hàm không gian pha R2n , đến đại l}ợng l}ợng tử tức toán tử không gian Hilbert L2 (Rn ): Q : C ∞ (R2n ) → B(L2 (Rn )), f → Q(f ) ánh xạ ng}ợc đ}ợc xây dựng E Wigner cách coi đại l}ợng cổ điển nh} ký hiệu (symbol) toán tử Các công trình nghiên cứu toán học nhằm giải toán l}ợng tử hoá đ}ợc Simon Gutt trình bày giảng [23]: ã L}ợng tử hoá hình häc(1970): B Kostant vµ J M Souriau, mét ng}êi xuÊt ph¸t tõ lý thut biĨu diƠn nhãm Lie, mét ng}êi xuất phát từ quan diểm symplectic học cổ điển, đà trình bày l}ợng tử hoá hình học ã L}ợng tử hoá thứ cấp(1970): Berezin đà xây dựng họ đại số kết hợp lớp đặc biệt đa tạp Kahler cách sử dụng tính toán ký hiệu, tức đ}a quy tắc l}ợng tử ã L}ợng tử hoá biến dạng: Flato, Lichnerowicz Sternheimer đ}a năm 1976, [31] [7] Họ đề nghị l}ợng tử hoá đ}ợc hiểu biến dạng cấu trúc đại số đại l}ợng cổ điển (còn gọi quan trắc cổ điển) thay đổi tận gốc tính tự nhiên đại l}ợng Ngay từ năm 70, Berezin đà đ}a định nghĩa toán học tổng quát khái niệm l}ợng tử, hàm tử từ phạm trù học cổ điển sang phạm trù đại số kết hợp Gần nh} thời với Berezin, nhà toán học Bayen, Flato, Fronsdal, Lichnorewics Sternheimer (xem[8], [9]) đà xét l}ợng tử hoá nh} biến dạng tích giao hoán thông th}ờng hàm thành
W -tích kết hợp, không giao hoán, đ}ợc tham số hoá số Plank
thoả mÃn nguyên tắc t}ơng thích Trong [8] họ đà phát triển cách hệ thống khái niệm l}ợng tử hoá biến dạng, coi lý thuyết
-tích dựa khái niệm họ đà nhận đ}ợc công thức cũ độc lập với học l}ợng tử Vào năm 1983, De Wilde Lecomte đà chứng minh đ}ợc tồn l}ợng tử hoá biến dạng đa tạp symplectic Một chứng minh khác mang nội dung hình học đ}ợc thực vào năm 1985 Fedosov Omori, Maeda, Yoshioka vào năm 1988 cách sử dụng phân thớ Weyl (xem [18]) Bài toán l}ợng tử hoá đ}ợc phát biểu cách tự nhiên đa tạp Poisson Đa tạp Poisson đa tạp M mà cho với u, v C (M), ánh xạ {, } : C ∞ (M) × C ∞ (M) −→ C ∞ (M), toán tử song tuyến tính phản đối xứng, thoả mÃn đồng Jacobi quy tắc Leibnitz {u, {v, w}} + {v, {w, u}} + {w, {u, v}} = {uv, w} = {u, w}v + {v, w}u Năm 1996, Etingof Kazhdan đà chứng minh đ}ợc tồn biến dạng khả vi hình thức lớp nhóm Lie-Poisson Việc nghiên cứu đ}ợc mở rộng nhiều M Kontsevich hoàn thành phép chứng minh giả thuyết năm 1997, từ kéo theo tồn l}ợng tử hoá biến dạng đa tạp Poisson tuỳ ý (xem[29]) Cùng với kết đó, M Kontsevich đà thu đ}ợc công thức t}ờng minh
-tích cấu trúc Poisson Rn Bên cạnh đó, gần nhà toán học Reshetikhin Takhtajan đà xây dựng thành công công thức tích phân
-tích hình thức đa tạp Kaăhler (xem [37]) Việc tìm
-tích cụ thể kiểu đa tạp khác trở thành toán thú vị gặp nhiều khó khăn Nghiên cứu phân loại biểu diễn đại số Lie hay nhóm Lie cho ta thông tin nhóm đại số nhóm t}ơng ứng Việc giải toán phức tạp đ}ợc nhà toán học nghiên cứu nhằm cố gắng xây dựng đ}ợc mô tả cách t}ờng minh Để giải toán này, ph}ơng pháp quỹ đạo A A Kirillov, (xem [30]) đà đời nhanh chóng trở thành công cụ đắc lực lý thuyết biểu diễn Trong ph}ơng pháp Kirillov đà xuất phát từ phân thớ chiều đa tạp symplectic xây dựng từ K-quỹ đạo g để thu đ}ợc biểu diễn nhóm Lie G Tiếp theo ông với B Kostant, (xem[31]) đà hình học hoá ph}ơng pháp quỹ đạo cách xây dựng lý thuyết l}ợng tử hoá đa tạp symplectic chặt mà ta gọi l}ợng tử hoá hình học Vào năm 79-80, Đỗ Ngọc Điệp cộng đà đề xuất quy tắc l}ợng tử hoá hình học nhiều chiều (xem[14]) Dựa vào thu đ}ợc nhiều biểu diễn nhóm Lie G Ch}ơng trình nghiên cứu đối ngẫu unita thông qua l}ợng tử hoá biến dạng đ}ợc Bayen, Flato, Fronsdal, Lichnerowicz Sternheimer đ}a năm 1978 [8] Vào năm 1985 sau năm 1990, D Arnal J Cortet đà áp dụng quy tắc l}ợng tử hoá biến dạng vào nhóm nilpotent nhóm exponential thu đ}ợc công thức l}ợng tử tổng quát, (xem [6]) Đây toán khó kết đ}ợc nhiều ng}ời quan tâm nh}ng việc tính toán cụ thể nhiều khó khăn Các tác giả không xây dựng trực tiếp vi phôi từ R2n sang đa tạp symplectic M mà khẳng định tồn vi phôi cần thiết áp dụng trực tiếp công thức vào nhiều tr}ờng hợp cụ thể để nhận đ}ợc kết t}ờng minh Gần đây, Nguyễn Việt Hải luận án sử dụng công cụ l}ợng tử hoá biến dạng để nghiên cứu lớp nhóm MD4 M D thu đ}ợc biểu thức t}ờng minh Tuy nhiên, SL(2,R) nhóm tính exponent toán hoàn toàn ch}a đ}ợc giải 0.2 Mục đích, phoơng pháp kết nghiên cứu Mục đích luận văn: ã Mô tả tranh quỹ đạo SL(2,R) ã Xây dựng cụ thể l}ợng tử hoá biến dạng đại số hàm khả vi vô hạn K-quỹ đạo nhóm SL(2,R) Từ tìm tất biểu diễn unita bất khả quy ph}ơng pháp l}ợng tử hoá biến dạng ã Tìm đối t}ợng l}ợng tử mới: quỹ đạo đối phụ hợp l}ợng tử Để thực đuợc điều tiến hành l}ợng tử hóa theo b}ớc sau đây: ã Xây dựng vi phôi toàn thể từ R2 hay C sang thoả mÃn điều kiện sau đây: ã Hàm Hamilton A ứng với tr}ờng véc tơ A hàm tuyến tính theo biến ã Dạng Kirillov đồ (, ) tắc ω = dp ∧ dq • Chøng minh
-tÝch Moyal-Weyl K quỹ đạo G-hiệp biến, từ tìm đ}ợc biểu diễn đại số Lie g ã Tiếp theo, áp dụng kết Kostant Auslander để thu đ}ợc đầy đủ biểu diễn sl(2,R), qua thu đ}ợc biểu diễn vô nhỏ SL(2,R) trùng với kết đà biết Nhờ đó, ta thu đ}ợc tất biểu diễn unita SL(2,R) nhận đ}ợc tính bất khả quy nhờ lý thuyết cổ điển ã Cho mô tả tầng K-quỹ đạo l}ợng tử hai chiều SL(2,R) Chú ý số tác giả khác ph}ơng pháp khác đà xây dựng đ}ợc đối ngẫu unita SL(2,R) ph}ơng pháp giải tích, (xem [33]) Tuy nhiên, cách tiếp cận tỏ phức tạp yêu cầu phải biết rõ cấu trúc SL(2,R), cụ thể phân tích Iwasawa Bằng ph}ơng pháp tiếp cận hình học, đà thu đ}ợc kết với ph}ơng pháp cổ điển Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, hai ch}ơng nội dung, phần kết luận phần phụ lục Phần mở đầu trình bày xuất xứ, cội nguồn lịch ... K-quỹ đạo nhóm SL(2,R) Từ tìm tất biểu diễn unita bất khả quy ph}ơng pháp l}ợng tử hoá biến dạng ã Tìm đối t}ợng l}ợng tử mới: quỹ đạo đối phụ hợp l}ợng tử Để thực đuợc điều tiến hành l}ợng tử. .. khái niệm l}ợng tử hoá biến dạng, tiến hành l}ợng tử hoá biến dạng quỹ đạo đối phụ hợp Tr}ớc hết xây dựng đồ t}ơng thích chứng minh tính hiệp biến
-tích Sau thu đ}ợc toán tử l}ợng tử t}ơng thích... unita bất khả quy G} Ký hiệu G đối ngẫu unita G Ta gọi G 1.2 Mô tả quỹ đạo đối phụ hợp SL(2,R) 1.2.1 Các tính chất SL(2,R) SL(2,R) lớp ma trận vuông cấp hai thực có định thức Ng}ời ta biết SL(2,R)