Bài viết liên quan đến việc phân loại các đại số Lie giải được 7-chiều có căn lũy linh 5-chiều. Cụ thể, tất cả các đại số Lie thực giải được bất khả phân 7-chiều sẽ được xây dựng từ việc chọn trước cho nó một căn lũy linh là một đại số Lie lũy linh 5-chiều đã biết.
bất khả phân 7-chiều có lũy linh 𝔤𝔤5,3 xây dựng trường hợp 3.1 Tất tính tốn chứng minh cách chi tiết cho định lí phát biểu bên Đây kết mà viết muốn đề cập đến Định lí Cho 𝒢𝒢 đại số Lie thực giải 7-chiều cho lũy linh đại số Lie lũy linh 5-chiều 𝔤𝔤5,3 Khi đó, 𝒢𝒢 bất khả phân 𝒢𝒢 phải đẳng cấu với đại số Lie ℒ = span{𝑋𝑋𝑖𝑖 }𝑖𝑖=1,…,7 với móc Lie khơng tầm thường 1571 Tập 17, Số (2020): 1565-1574 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM = , [ X2 , X3 ] X5 , [ X1 , X ] X= [ X1 , X ] X5= 4, = [ X , X ] X= [ X , X ] 2X , [ X , X1 ] X= [ X , X3 ] 2X= 1, 3, 4, = , [ X7 , X5 ] X5 [ X7 , X ] X= [ X7 , X ] X 4= 2, Biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp Như biết, biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp hai biểu diễn quan trọng bậc lí thuyết biểu diễn đại số Lie Mục mô tả tường minh biểu diễn đại số Lie ℒ, cụ thể mô tả biểu diễn phụ hợp ℒ biểu diễn đối phụ hợp ℒ không gian đối ngẫu ℒ ∗ Ở đây, ℒ đại số Lie xây dựng Mục 4.1 Biểu diễn phụ hợp ℒ Biểu diễn phụ hợp ℒ đồng cấu đại số Lie ad : ℒ → gl(ℒ), 𝑔𝑔 ↦ ad𝑔𝑔 với ad𝑔𝑔 xác định sau ad𝑔𝑔(ℎ) = [𝑔𝑔, ℎ] với ℎ ∈ ℒ Nhân biểu diễn phụ hợp với tâm ℒ, lí hiệu 𝑍𝑍(ℒ) Hơn nữa, dễ dàng tính 𝑍𝑍(ℒ) = Vì vậy, biểu diễn phụ hợp ℒ biểu diễn trung thành Lấy 𝑔𝑔 ∈ ℒ, giả sử 𝑔𝑔 = ∑7𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑖𝑖 ∈ ℝ) Ta tính ảnh sở 𝐶𝐶 = {𝑋𝑋𝑖𝑖 }𝑖𝑖=1,…,7 qua đồng cấu ad𝑔𝑔: adg ( X ) = − x2 X − x4 X + x6 X [ g, X1 ] = adg (= X ) [ g ,= X ] x1 X − x3 X + x7 X adg= g , X ] x2 X + 2x6 X ( X3 ) [ = adg= g , X ] x1 X + ( x6 + x7 ) X ( X4 ) [= adg ( X = X ] ( 2x6 + x7 ) X [ g, = 5) adg ( X ) = − x1 X − 2x3 X − x4 X − 2x5 X [ g, X6 ] = adg ( X ) = − x2 X − x4 X − x5 X [ g, X7 ] = Đồng ad𝑔𝑔 với ma trận biểu diễn ứng với sở 𝐶𝐶, ta x6 0 0 ℒ ≅ − x2 − x 0 0 x7 0 2x6 x1 − x3 x2 0 0 − x1 0 x6 + x7 x1 0 2x6 + x7 0 0 0 −2x3 − x4 −2x5 0 − x2 − x4 : x1 , , x7 ∈ − x5 4.2 Biểu diễn đối phụ hợp ℒ Lấy đối ngẫu đảo dấu biểu diễn phụ hợp ta biểu diễn đối phụ hợp ad* ℒ không gian đối ngẫu ℒ ∗ Cụ thể, biểu diễn đối phụ hợp mô tả sau 1572 Nguyễn Thị Cẩm Tú Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM ad∗ : ℒ 𝑔𝑔 ⟶ ⟼ gl(ℒ ∗ ) ad∗ 𝑔𝑔 ∶ ℒ∗ ad∗ 𝑔𝑔(𝑓𝑓) ∶ ℒ ⟶ ℝ ℎ ⟼ 〈ad∗ 𝑔𝑔(𝑓𝑓), ℎ〉 = 〈𝑓𝑓, −ad𝑔𝑔(ℎ)〉 Ta dễ dàng tính ker(ad∗ ) = 𝑍𝑍(ℒ), nên biểu diễn đối phụ hợp ℒ biểu diễn trung thành Lấy 𝑔𝑔 ∈ ℒ, giả sử 𝑔𝑔 = ∑7𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑖𝑖 ∈ ℝ) Chọn sở đối ngẫu 𝐶𝐶 ∗ = {𝑋𝑋𝑖𝑖∗ }𝑖𝑖=1,…,7 cho ℒ ∗ Đồng ad∗ 𝑔𝑔 với ma trận biểu diễn ứng với sở 𝐶𝐶 ∗ Khi đó, ta có ad∗ 𝑔𝑔 = −(ad𝑔𝑔)𝑇𝑇 , hay ta có − x6 0 0 ℒ ≅ 0 0 x1 0 − x7 0 0 x2 ℒ∗ 𝑓𝑓 0 −2x6 0 2x3 ⟶ ⟼ x2 − x1 − ( x6 + x7 ) x4 x4 x4 x3 − x2 − x1 − ( 2x6 + x7 ) 2x5 x5 0 0 0 0 0 0 0 : x1 , , x7 ∈ 0 0 0 Kết luận Bài viết xây dựng lớp lớp đại số Lie thực giải 7-chiều với lũy linh 5-chiều Lớp có lũy linh 𝔤𝔤5,3 thực chất gồm đại số Lie bất khả phân nhất, sai khác đẳng cấu, phát biểu Định lí Với cách thức tương tự, thay lũy linh 𝔤𝔤5,3 đại số Lie lũy linh 5chiều lại kết phân loại Dixmier (1958), ta thiết lập tất đại số Lie thực giải 7-chiều với lũy linh 5-chiều Và đó, lớp đại số Lie thực giải 7-chiều xem phân loại hoàn toàn Vấn đề xem xét nghiên cứu Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Cartan, E (1894) Sur la structure des groupes de transformations finis et continus Thèse Nony, Paris Dixmier, J (1958) Sur les represéntations unitaires des groupes de Lie nilpotents III Canad J Math, 321-348 Hindeleh, & Thompson (2008) Seven dimensional Lie algebras with a fourdimensional nilradical Algebras, Groups, and Geometries, 243-265 Gantmacher, F R (1939) On the classification of real simple Lie groups Sb Math, 217-250 1573 Tập 17, Số (2020): 1565-1574 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Gong, M P (1998) Classification of Nilpotent Lie algebras of Dimension (Over Algebraically Closed Fields and R) PhD Thesis University of Waterloo, Ontario, Canada Levi, E E (1905) Sulla struttura dei gruppi finiti e continui Atti Accad Sci Torino Cl Sci Fis Mat Natur, 551-565 Malcev, A I (1945) On solvable Lie algebras Izv Ross Akad Nauk Ser Mat, 329-356 Mubarakzyanov, G (1963) Classification of solvable Lie algebras of dimension with one nonnilpotent basis element Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat, 104-116 Mubarakzyanov, G (1966) Some theorems on solvable Lie algebras Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat, 95-98 Parry, A R (2007) A classification of real indecomposable solvable Lie algebras of small dimension with codimension one nilradicals Master Thesis Utah State University, Logan, Utah Safiulina, E (1964) Classification of nilpotent Lie algebras of dimension seven Math Methods Phys Izd Kazan Univ, 66-69 Tsagas, G (1999) Classification of nilpotent Lie algebras of dimension eight J Inst Math Comput Sci Math Ser, 179-183 Turkowski, R (1990) Solvable Lie algebras of dimension six J Math Phys, 1344-1350 A SUBCLASS OF 7-DIMENSIONAL SOLVABLE LIE ALGEBRAS HAVING 5-DIMENSIONAL NILRADICALS AND ITS REPRESENTATIONS Nguyen Thi Cam Tu1,2 Can Tho University, Vietnam University of Science, Vietnam National University Ho Chi Minh City, Vietnam * Corresponding author: Nguyen Thi Cam Tu – Email: camtu@ctu.edu.vn Received: August 24, 2020; Revised: September 10, 2020; Accepted: September 21, 2020 ABSTRACT The paper is to classify seven-dimensional solvable Lie algebras that have the fivedimensional nilpotent Lie algebras as their nilradical All seven-dimensional indecomposable solvable Lie algebras with a given nilradical are constructed This result contributes to the complete classification of the class of seven-dimensional real solvable Lie algebras which are presently unsolved Moreover, the adjoint and co-adjoint representations of these algebras are also described in this paper These are two extremely important representations in the representation theory of Lie algebras As a consequence, a clearer understanding of the newly constructed Lie algebras is formed Keywords: Lie algebras; Solvable Lie algebras; Nilradical; Representation 1574 ... phát biểu Định lí Với cách thức tương tự, thay lũy linh