Quỹ đạo đối liên hợp của nhóm lie và cấu trúc symplectic

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN CÔNG NGHĨA QUỸ ĐẠO ĐỐI LIÊN HỢP CỦA NHÓM LIE VÀ CẤU TRÚC SYMPLECTIC Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Thừa Thiên Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác Trần Công Nghĩa ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Thầy giáo PGS TS Trần Đạo Dõng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dẫn tận tình, chu đáo ln động viên tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo PGS TS Đoàn Thế Hiếu tận tình giảng dạy tơi suốt q trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn BGH Phòng đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Huế quý Thầy Cô giáo tham gia giảng dạy Cao học khóa XXIV, người giúp tơi có kiến thức tạo điều kiện để tơi hồn thành việc học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, quý Thầy Cô giáo trường THPT Hai Bà Trưng, Huế, đặc biệt quý Thầy Cô giáo Tổ Toán tạo điều kiện, giúp đỡ cho tơi hồn thành khóa học Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đặc biệt bạn học viên cao học Tốn khóa XXIV ln ủng hộ, quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Trần Công Nghĩa iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời mở đầu Chương Các kiến thức sở 1.1 Đa tạp khả vi 1.2 Đa tạp symplectic 1.3 Nhóm Lie tác động 11 Chương Quỹ đạo đối liên hợp cấu trúc symplectic 17 2.1 Tác động đối liên hợp quỹ đạo 17 2.2 Cấu trúc symplectic quỹ đạo đối liên hợp 20 2.3 Tác động symplectic 25 2.4 Ánh xạ moment tác động Hamilton 26 2.5 Thể nhóm SO(3) 28 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 LỜI MỞ ĐẦU Trong hình học vi phân, đa tạp symplectic, tức đa tạp trơn có số chiều chẵn trang bị 2-dạng vi phân đóng, không suy biến (gọi dạng symplectic), xét mở rộng không gian Euclide R2n với dạng symplectic tắc đóng vai trị quan trọng việc khảo sát cấu trúc số đa tạp cụ thể không gian xạ ảnh phức, Đặc biệt, với G nhóm Lie liên thông compact biểu diễn đối liên hợp Ad∗ : G → GL(g∗ ), g đại số Lie G g∗ không gian vectơ đối ngẫu g, quỹ đạo đối liên hợp tương ứng g∗ trở thành đa tạp liên thơng compact trang bị cấu trúc symplectic tự nhiên quỹ đạo đối liên hợp Từ thơng qua tác động symplectic nhóm Lie G lên đa tạp symplectic (M, ω), tức tác động G qua vi phôi bảo tồn dạng symplectic ω, xác định ánh xạ J : M → g∗ , gọi ánh xạ moment, cho J G-đẳng biến tương ứng với G-tác động cho M biểu diễn đối liên hợp g∗ , tức J(g.m) = Ad∗ (g)J(m), ∀g ∈ G, m ∈ M Được gợi ý thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Trần Đạo Dõng, với mong muốn tìm hiểu thêm mối liên hệ đa tạp symplectic với quỹ đạo đối liên hợp, chọn đề tài "Quỹ đạo đối liên hợp nhóm Lie cấu trúc Symplectic” để làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu biểu diễn đối liên hợp nhóm Lie cấu trúc symplectic cảm sinh quỹ đạo đối liên hợp tương ứng Các nội dung nghiên cứu luận văn bao gồm cấu trúc symplectic, tác động symplectic hamilton, ánh xạ moment quỹ đạo đối liên hợp nhóm Lie compact, từ thể cụ thể nhóm Lie SO(3) Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương Chương 1: Các kiến thức sở Trong chương giới thiệu số kiến thức đa tạp khả vi, đa tạp symplectic, nhóm Lie tác động Chương 2: Quỹ đạo đối liên hợp cấu trúc symplectic Trong chương này, giới thiệu cấu trúc symplectic quỹ đạo, tác động symplectic, hamilton, ánh xạ moment thể nhóm Lie SO(3) Chương Các kiến thức sở Trong chương này, giới thiệu số kiến thức sở đa tạp symplectic, nhóm Lie tác động nhóm Lie lên đa tạp Các kiến thức trình bày liên quan đến việc nghiên cứu chương tham khảo từ tài liệu [1],[3],[4],[5],[6] 1.1 1.1.1 Đa tạp khả vi Đa tạp khả vi Định nghĩa 1.1.1 Không gian tôpô Hausdorff M gọi đa tạp n-chiều điểm M thuộc tập mở U ⊂ M đồng phôi với tập mở không gian Rn , tức tồn đồng phôi ϕ : U → Ω ⊂ Rn , với Ω tập mở Rn Mỗi cặp (U, ϕ) gọi đồ Tập hợp đồ {(Ui , ϕi )} phủ M (với ∪ Ui = M ) gọi atlas M i Nếu (U, ϕ) đồ M với x thuộc U , ϕ(x) thuộc Ω, ϕ(x) = (x1 , x2 , , xn ) thuộc Rn Khi số xi gọi tọa độ địa phương x, ϕ gọi hệ tọa độ địa phương Hình 1.1: Đổi hệ tọa độ địa phương Cho M không gian tôpô Haudorff Atlas {(Ui , ϕi )} M gọi atlas khả vi M với hai đồ tùy ý atlas (U1 , ϕ1 ), (U2 , ϕ2 ) mà U1 ∩ U2 = ∅, ϕ1 : U1 → Ω1 , ϕ2 : U2 → Ω2 ánh xạ: ϕ2 ◦ ϕ−1 |ϕ1 (U1 ∩U2 ) : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) −→ Ω2 ánh xạ khả vi Trên tập atlas khả vi không gian tôpô M ta cho quan hệ hai ngôi, tức A = {(Ui , ϕi )}i∈I B = {(Vj , Ψj )}j∈J hai atlas M A B ⇔ {(Ui , ϕj ), (Vj , Ψj )}i∈I,j∈J atlas khả vi M Quan hệ hai quan hệ tương đương Một lớp tương đương xác định gọi cấu trúc khả vi M Định nghĩa 1.1.2 Không gian tôpô Hausdorff M với cấu trúc khả vi xác định atlas {(Ui , ϕi )}i∈I , ϕi : Ui → Ωi ⊂ Rn gọi đa tạp khả vi n-chiều, dimM = n Trong trường hợp ánh xạ ϕ2 ◦ ϕ−1 |ϕ1 (U1 ∩U2 ) : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) −→ Ω2 ánh xạ trơn đa tạp khả vi M gọi đa tạp trơn n-chiều Ví dụ 1.1.1 Trong Rn+1 cho siêu cầu Sn = {x ∈ Rn+1 |(x1 )2 + (x2 )2 + + (xn+1 )2 = 1} Ta xây dựng atlas khả vi S n Với i từ đến n + xét tập mở S n vi+ = {x ∈ S n ; xi > 0} vi− = {x ∈ S n ; xi < 0} Các tập mở tạo thành phủ mở S n + − − n n Ta xét ánh xạ: ϕ+ i : vi −→ R ϕi : vi −→ R , i = 1, , n + cho n+1 ϕ± ) = (x1 , , xi , , xn+1 ), i (x , , x kí hiệu xi bỏ số xi ± Khi ϕ± i đồng phơi từ vi lên cầu mở tâm gốc bán kính R = Rn n Vậy ta có atlas {(vi± , ϕ± i )} gồm 2n + đồ S Ta có, chẳng hạn j < i, n ± −1 n j n i ϕ± j ◦ (ϕi ) (x , , x ) = (x , , x , ± − ((x ) + + (x ) )x , , x ) Đó ánh xạ khả vi Vậy S n đa tạp khả vi n-chiều Bây ta tìm hiểu ánh xạ khả vi hai đa tạp Định nghĩa 1.1.3 Cho M N đa tạp khả vi có số chiều m n Ánh xạ f : M −→ N gọi ánh xạ khả vi f ánh xạ liên tục với đồ (U, ϕ) M , đồ (V, Ψ) N mà U ∩ f −1 (V ) = ∅ ánh xạ Ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ f −1 (V )) ⊂ Rn −→ Rn ánh xạ khả vi Hình 1.2: Ánh xạ khả vi Định nghĩa 1.1.4 Nếu ánh xạ f : M −→ N khả vi có ánh xạ ngược f −1 : N −→ M khả vi f gọi vi phôi 1.1.2 Vectơ tiếp xúc phân thớ tiếp xúc Cho ánh xạ f : Ω mở ⊂ Rn −→ R Đạo hàm f p ∈ Ω ánh xạ tuyến tính dfp : Tp Rn ∼ = Rn −→ Tf (p) R ∼ = R Với quan điểm đối ngẫu xem vectơ tiếp xúc ánh xạ tác động lên hàm khả vi sau: vp (f ) := dfp (vp ) Ánh xạ thỏa quy tắc Leibnitz: vp (f g) = f (p)vp (g) + g(p)vp (f ) Định nghĩa 1.1.5 Một vectơ tiếp xúc điểm p đa tạp khả vi M ánh xạ tuyến tính vp : C ∞ (M, R) −→ R thỏa mãn qui tắc Leibnitz vp (f g) = f (p)vp (g) + g(p)vp (f ), ∀f, g ∈ C ∞ (M, R) Định nghĩa 1.1.6 Tập hợp tất vectơ tiếp xúc p đa tạp M , kí hiệu Tp M , gọi không gian tiếp xúc p đa tạp M Đặt T M = ∪ Tp M Khi T M với phép chiếu p∈M π : T M −→ M X −→ π(X) := p gọi phân thớ tiếp xúc M Nhận xét sau cho biết số chiều phân thớ tiếp xúc: Nhận xét 1.1.1 ([1, tr.101]) Với M đa tạp khả vi n-chiều, T M đa tạp khả vi 2n-chiều Nhận xét 1.1.2 Cho M đa tạp khả vi n-chiều, p ∈ M điểm tùy ý Tp M không gian tiếp xúc M p Khi đó, hệ tọa độ địa phương ∂ ∂ Tp M có sở {( )p , , ( )p } ∂x1 ∂xn Định nghĩa 1.1.7 Cho hai đa tạp khả vi M N Ánh xạ khả vi f : M −→ N cảm sinh ánh xạ f∗ : T M −→ T N cho πN ◦ f∗ = f ◦ πM , tức sơ đồ sau giao hoán f ✲ N M ✻ ✻ πM TM πN f∗ ✲ TN Khi đó, ánh xạ f∗ gọi ánh xạ tiếp xúc f Định nghĩa 1.1.8 Không gian đối ngẫu Tp M là: Tp∗ M = {α : Tp M → R|α ánh xạ tuyến tính } gọi không gian đối tiếp xúc M p Mỗi phần tử Tp∗ M gọi vectơ đối tiếp xúc p Đặt T ∗ M = Tp∗ M, p ∈ M Khi đó: T ∗ M với phép chiếu π ∗ : T ∗ M → M, α → π ∗ (α) = p gọi phân thớ đối tiếp xúc M Nhận xét 1.1.3 Trong hệ tọa độ địa phương sở Tp∗ M {dx1 |p , , dxn |p }, ∂ ∂ đối ngẫu với sở {( )p , , ( )p } Tp M ∂x1 ∂xn Nhận xét 1.1.4 ([2, tr.9]) Với M đa tạp khả vi n-chiều, T ∗ M đa tạp khả vi 2n-chiều 1.1.3 Trường vectơ Định nghĩa 1.1.9 Cho M đa tạp khả vi Ánh xạ khả vi X : M −→ T M cho π ◦ X = idM gọi trường vectơ tiếp xúc M Như vậy, trường vectơ tiếp xúc với M đặt tương ứng với p ∈ X vectơ X(p) ∈ Tx M Ta kí hiệu vectơ X(p) Xp V(M ) tập trường vectơ M Với X ∈ V(M ), f ∈ C ∞ (M, R), ta xác định hàm X(f ) ∈ C ∞ (M, R) theo công thức: X(f )(p) = dfp (Xp ), ∀p ∈ M Như vậy, xem trường vectơ X ánh xạ X : C ∞ (M, R) −→ C ∞ (M, R) có tính chất sau: a) X ánh xạ tuyến tính b) X(f.g) = f.X(g) + X(f ).g, ∀f, g ∈ C ∞ (M, R) 1.1.4 Dạng vi phân Định nghĩa 1.1.10 k-dạng tenxơ đa tạp khả vi M, k ∈ N, k ánh xạ ω đặt tương ứng tập mở U ⊂ M thứ tự k trường vectơ tiếp xúc s1 , s2 , , sk U với hàm khả vi ωU (s1 , s2 , , sk ) : U −→ R cho : a) Nếu V tập mở U s1 , s2 , , sk trường vectơ U ωU (s1 , s2 , , sk )|V = ωV (s1 |V , , sk |V ) b) Với tập mở U , ánh xạ ωU : V(M ) × × V(M ) −→ C ∞ (M, R) k-tuyến tính Định nghĩa 1.1.11 k-dạng tenxơ ω M gọi dạng vi phân hàm ω(s1 , s2 , , sk ) đổi dấu đổi chỗ hai trường vectơ si , sj trường vectơ s1 , s2 , , sk Quy ước: Hàm khả vi M gọi 0-dạng vi phân M Kí hiệu: Ωk (M ) tập hợp k-dạng vi phân M 2.4 Ánh xạ moment tác động Hamilton Định nghĩa 2.4.1 Cho trường vectơ X s-dạng vi phân ω đa tạp trơn M Khi tốn tử ı xác định X với ω (s-1)-dạng vi phân, kí hiệu : ıX ω xác định công thức sau: ıX ω(X1 , , Xs−1 ) = ω(X, X1 , X2 , , Xs−1 ) Định nghĩa 2.4.2 Cho X trường vectơ với nhóm 1-tham số địa phương (ψt )t∈I vi phôi địa phương, S trường tensơ M Đạo hàm Lie S theo phương X định nghĩa: LX S := d ∗ (ψ S)|t=0 dt t Nhận xét 2.4.1 a) Cho f : M −→ R hàm khả vi Khi LX (f ) = df (X) = X(f ) b) Cho s-dạng ω Khi LX (ω) := ıX dω + dıX ω (công thức Cartan) Bây cho (M, ω) đa tạp symlplectic với hàm f : M −→ R xét dạng vi phân f 1- dạng df Theo tính chất không suy biến ω, tồn trường vectơ tương ứng Xf M cho ω(Xf , ) = df Do ω(Xf , ) = ıXf ω nên ta có viết: ıXf ω = df Bổ đề 2.4.1 Ta có: LXf ω = Chứng minh Từ định nghĩa Xf ta có ıXf ω = df nên dıXf ω = d(df ) = Mặt khác : dω = (do ω đóng) nên áp dụng cơng thức Cartan ta có: LXf ω = dıXf ω + ıXf dω = Nhận xét 2.4.2 a) Nếu có trường vectơ X thỏa mãn LX ω = theo cơng thức Cartan ta có dıX ω = Do lân cận điểm cho trước ta tìm hàm f cho Xf = X b) Nếu tìm hàm f cho Xf = X tồn M X gọi trường vectơ Hamilton hàm f gọi hàm Hamilton 26 Ví dụ 2.4.1 Xét đa tạp symplectic (R2 , ω) với ω = dx ∧ dy, hàm Hamilton ∂ ∂ f (x, y) = (x2 + y ) Khi đó: Xf = y −x trường vectơ Hamilton ∂x ∂y ∂f ∂f dx + dy Thật vậy, với hàm Hamilton f (x, y) = (x2 + y ) df = ∂x ∂y Với trường vectơ Y ta có: ıXf ω(Y ) = ω(Xf , Y ) = dx ∧ dy(Xf , Y ) = dx(Xf ).dy(Y ) − dx(Y ).dy(Xf ) = (ıXf dx.dy − dx.ıXf dy)(Y ) Suy ra: ıXf ω = ıXf dx.dy − dx.ıXf dy Mà ta lại có: ıXf dx = ıy ∂ −x ∂ dx = y.ı ∂ dx − x.ı ∂ dx = y ∂x ∂y ∂x ∂y ıXf dy = ıy ∂ −x ∂ dy = y.ı ∂ dy − x.ı ∂ dy = −x ∂x ∂y ∂x ∂y Do đó: ıXf ω = xdx + ydy = df Vậy Xf = y ∂ ∂ −x ∂x ∂y Nhận xét 2.4.3 Xét không gian Euclide đa tạp M = R2n với tọa độ địa n dqi ∧ dpi phương (q1 , q2 , , qn , p1 , p2 , , pn ), xét 2-dạng symplectic ω0 = i=1 hàm Hamilton f : M −→ R Đường cong ρt = (q(t), p(t)) đường cong tích phân trường vectơ Xf dqi ∂f dpi ∂f xác định (t) = (t) = − Khi đó: ρt = (q(t), p(t)) dt ∂pi dt ∂qi gọi phép Hamilton Bây giả sử G có tác động trơn lên đa tạp symplectic M bảo toàn dạng symplectic ω, tức M có G-tác động symplectic Nếu tất trường vectơ XM , X ∈ g trường vectơ Hamilton tồn ánh xạ tuyến tính J : g −→ C ∞ (M ), Z −→ J(Z) cho XJ(Z) = ZM , ∀Z ∈ g Ánh xạ cảm sinh ánh xạ J : M −→ g∗ xác định J(m), Z = J(Z)(m) Nhận xét 2.4.4 Tương ứng J −→ J xác định đẳng cấu tuyến tính HomR (g, C ∞ (M )) ∼ = C ∞ (M, g∗ ) Qua ta đồng J J Một ánh xạ J gọi ánh xạ moment cho G -tác động symplectic 27 Định nghĩa 2.4.3 Cho G -tác động symplectic lên đa tạp symplectic (M, ω) Ánh xạ J : M −→ g∗ gọi ánh xạ moment cho tác động symplectic G ∀Z ∈ g, hàm JZ : M −→ R, m −→ J(m)(Z) hàm Hamilton với trường vectơ ZM , nghĩa XJZ = ZM Định nghĩa 2.4.4 Một tác động Hamilton G lên đa tạp symplectic M tác động symplectic cho tồn ánh xạ moment J : M −→ g∗ đẳng biến theo nghĩa J(gm) = Ad∗ (g)J(m), ∀g ∈ G, m ∈ M , tức sơ đồ sau giao hoán: J✲ ∗ g M ψg ✻ M 2.5 Ad∗g ✻ J✲ g∗ Thể nhóm SO(3) Cho nhóm Lie G = SO(3) = {A ∈ GL(3; R)|At A = Id detA = 1} Khi SO(3) compact, liên thơng Đại số Lie tương ứng nhóm SO(3) g = so(3) = {A ∈ gl(3, R)|A + At = 0} Để mô tả ánh xạ exponent nhóm Lie SO(3), trước hết xét đẳng cấu đại số Lie đại số Lie (R3 , ×) lên so(3), với phép tốn × tích vectơ R3 Bổ đề 2.5.1 Ánh xạ: : R3 −→ so(3)   −v3 v2   v = (v1 , v2 , v3 ) −→ v =  v3 −v1  −v2 v1 đẳng cấu đại số Lie Hơn nữa: v.w = v × w, ∀v, w ∈ R3 Chứng minh Với u, v ∈ R3 , λ ∈ R ta dễ dàng kiểm tra • u + v = u + v • λu = λu • ker( ) = Id nên đơn ánh 28 Do ánh xạ tuyến tính từ khơng gian hữu hạn chiều vào không gian hữu hạn chiều nên đẳng cấu tuyến tính Với w = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 , v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 ta có: v × w = (v2 w3 − w2 v3 ; w1 v3 − w3 v1 ; v1 w2 − v2 w1 ) Ngoài ra:   v.w =    =    −v3 v2 w1   v3 −v1   w2  −v2 v1 w3  −v3 w2 + v2 w3  v3 w1 − w3 v1  v1 w2 − v2 w1 v.w = v × w, ∀v, w ∈ R3 Vậy: Mặt khác: [u, v](w) = (uv − vu)(w) = = = = = = uvw − vuw u(v × w) − v(u × w) u × (v × w) − v × (u × w) −(v × w × u) − (w × u) × v (u × v) × w (u × v)w Suy ra: [u, v] = u × v Do đó: đẳng cấu tuyến tính đại số Lie đại số Lie (R3 , ×) lên đại số Lie so(3) Bổ đề 2.5.2 Cho w ∈ R3 , w = {e1 ; e2 ; e3 } sở trực chuẩn R3 w cho e1 = Khi đó, ma trận w với sở : w   0   w = w  0 −1  Chứng minh Xét đẳng cấu tuyến tính : w : R3 −→ R3 ∼ = so(3) e1 −→ we1 Ta có: we1 = w × e1 = w × 29 w = w Tương tự: we2 = w × e2 = e1 w × e2 = w e1 × e2 = w e3 we3 = w × e3 = e1 w × e3 = w e1 × e3 = w e2 Vậy:   0   w = w  0 −1  Bổ đề 2.5.3 Với t ∈ R, exp(tw) phép quay quanh trục w với góc quay t w Chứng minh Phép quay quanh trục w với góc quay t w chuyển vectơ đơn vị sở {e1 ; e2 ; e3 } thành vectơ đơn vị sở {e1 ; e2 ; e3 } Khi ta có:    e1 = e1 e2 = cost w e2 + sint w e3   e = −sint w e + cost w e 3 Vậy ma trận phép quay quanh w là:   γ(t) =  cost w sint w Với   −sint w  cost w  0   w = w  0 −1   Khi đó:   0   γ(t)w = w  cost w −sint w   sint w cost w  0  =  − w sint w − w cost w w cost w − w sint w  0  0 −1     = γ (t) Xét phép tịnh tiến trái Lγ(t) : SO(3) −→ SO(3) Ánh xạ cảm sinh ánh xạ tiếp xúc (Lγ(t) )∗ : so(3) −→ so(3), w −→ (Lγ(t) )∗I3 (w) 30 Sơ đồ giao hoán: SO(3) Lγ(t) ✲ SO(3) exp ✻ so(3) ✻ exp (Lγ(t) )∗I3 ✲ so(3) Với X ∈ so(3) ta có γ (t) = γ(t)w = (Lγ(t) )∗I3 (w) = Xw (γ(t)) Nói cách khác γ đường cong tích phân cực đại Xw với γ(0) = I3 Suy ra: exp(tw) = γ(t) Hệ 2.5.4 Với t ∈ R, ánh xạ γ(t) : R −→ SO(3)   t −→ γ(t) = exp(tw) =  cost w sint w   −sint w  cost w cảm sinh ánh xạ exponent SO(3) Bây ta xác định tác động liên hợp SO(3) lên so(3) Định lý sau cho biết điều Định lý 2.5.5 Với A ∈ SO(3) ta có AdA = A Chứng minh Xét tác động liên hợp SO(3) lên so(3) xác định sau: Ad : SO(3) −→ GL(so(3)) A −→ AdA : so(3)) −→ so(3) d v −→ AdA (v) = A.exp(tv).A−1 dt t=0 Ta có: AdA (v) = d dt d A.γ(t).A−1 dt t=0 = Aγ(0)vA−1 (do γ (t) = γ(t)v) = AvA−1 (do γ (0) = γ(0)v) A.exp(tv).A−1 = t=0 Với A ∈ SO(3), R3 ∼ = so(3) qua đẳng cấu tuyến tính v ∈ R cho v = A Suy ra: ∀v, w ∈ R3 ta có: A(v × w) = Av × Aw 31 nên tồn Do đó: AdA (v)(w) = Av(A−1 w) = = = = = A(v × A−1 w) Av × AA−1 w Av × I3 w Av × w Av(w) Suy ra: AdA (v) = Av, ∀v ∈ so(3) Với ∀A ∈ SO(3), ánh xạ A : R3 −→ R3 , v −→ Av = A[v] cảm sinh ánh xạ A : so(3) −→ so(3), v −→ A(v) = Av đẳng cấu đại số Lie Do đó, AdA (v) = Av = A(v), ∀v ∈ so(3) AdA = A, ∀A ∈ SO(3) Vậy Mệnh đề 2.5.6 Ánh xạ cảm sinh ad = (Ad)∗e ánh xạ Ad xác định : ad = (Ad)∗e : g −→ Te Aut(g) ∼ = End(g) d Adexp(tX) X −→ adX = (Ad)∗e (X) = dt t=0 Hơn nữa, adX (Y ) = [X, Y ] Chứng minh Kí hiệu XL trường vectơ bất biến trái ứng với X ∈ so(3) = g (φt )t∈R họ đường cong tham số sinh XL xác định bởi: Φt (g) = g.exp(tX) = Rexp(tX) (g), ∀g ∈ G, với R ký hiệu phép tịnh tiến phải G Khí đó, ∀Y ∈ g ∼ = T0 g ta có: adX (Y ) = = = = = = = d Adexp(tX) (Y ) dt t=0 d Cexp(tX)∗e (Y ) dt t=0 d (Rexp(−tX) ◦ Lexp(tX) )∗e (Y ) dt t=0 d (Rexp(−tX)∗exp(tX) ◦ Lexp(tX)∗ e )(Y ) dt t=0 d Rexp(−tX)∗exp(tX) (YL (exp(tX)) dt t=0 d (φ−t )∗φt (e) (YL (φt (e))) dt t=0 [X, Y ] 32 Bây ta mô tả tác động đối liên hợp nhóm Lie SO(3) quỹ đạo tác động đối liên hợp Từ đẳng cấu đại số Lie : R3 −→ so(3) cảm sinh đẳng cấu đại số Lie ∗ : (so(3))∗ −→ (R3 )∗ Do (R3 )∗ ∼ = R3 nên phép hợp thành (so(3))∗ −→ R3 đẳng cấu đại số Lie Ta có sơ đồ giao hốn sau: (so(3))∗ ✲ ❍❍ ❍ ∼ = ❄ so(3) (R3 )∗ ∼ = ❍❍ ❥ ❍ ✲ −1 ❄ R3 Hơn nữa, ∀v, w ∈ R3 ta có:v ∗ (w) = v, w Định lý 2.5.7 Với A ∈ SO(3) ta có: Ad∗A = A Chứng minh Tác động đối liên hợp nhóm Lie SO(3) xác định ánh xạ: Ad∗ : SO(3) −→ GL(so(3)∗ ) A −→ Ad∗A : so(3)∗ −→ so(3)∗ v ∗ −→ Ad∗A v ∗ = v ∗ ◦ AdA−1 Với w ∈ so(3) ta có: Ad∗A (v ∗ )(w) = v ∗ ◦ AdA−1 (w) = v ∗ (AdA−1 (w)) = v ∗ (A−1 (w)) (vì AdA = A nên AdA−1 = A−1 ) = v ∗ (A−1 (w)) = v, A−1 w = v, AT w = Av, w = A(v ∗ )(w) Suy ra: Ad∗A (v ∗ ) = A(v ∗ ) hay Ad∗A = A, ∀A ∈ SO(3) Hệ 2.5.8 Với v ∗ ∈ so(3)∗ ∼ = R3 , quỹ đạo v ∗ tập hợp Ov∗ = {Av|A ∈ SO(3)} Đây mặt cầu tâm O, bán kính v Khi v = 0, quỹ đạo v ∗ suy biến điểm O Chứng minh Ta có Ov∗ = Gv ∗ = {gv ∗ = Ad∗g v ∗ |g ∈ G} Do đó: ∀X ∈ Ov∗ , X = Ad∗A v ∗ = Av ∗ = Av, ∀A ∈ SO(3) (Vì so∗ (3) ∼ = R3 nên v ∗ = v) Hơn nữa, Av = detA v = v Vậy quỹ đạo v ∗ Ov∗ = {Av|A ∈ SO(3)}, mặt cầu tâm O, bán kính v 33 Hình 2.1: Quỹ đạo đối liên hợp Ov∗ Hệ 2.5.9 Với v, w ∈ R3 ∼ = so(3), ξ ∈ R3 ∼ = so(3)∗ , không gian tiếp xúc quỹ đạo đối liên hợp Oξ Tξ Oξ = {ξ × v|v ∈ R3 } Từ suy Tξ Oξ trực giao với ξ Chứng minh ∀v, w ∈ R3 ∼ = so(3), ξ ∈ R3 ∼ = so(3)∗ ta có: ξ ◦ adv (w) = ξ(adv (w)) = ξ([v, w]) = ξ(v × w) = ξ, v × w = − ξ × v, w = −(ξ × v)(w) Suy ra: ξ × adv = −ξ × v Vậy Tξ Oξ = {ξ × v|v ∈ R3 } : Đây không gian vectơ trực giao với ξ Mệnh đề 2.5.10 2-dạng Kirilow ω − xác định ω − = − dA, với ξ ξ ∈ so(3)∗ , dA phần tử diện tích quỹ đạo Oξ Chứng minh Xét v, w ∈ so(3) ∼ = R3 , ta có vR3 = ξ × v ∈ Tξ Oξ wR3 = ξ × w ∈ Tξ Oξ Khi đó, - dạng Kirilow Oξ cho công thức sau: ω − : Oξ −→ ∧2 (Tξ Oξ ) ξ −→ ωξ− : Tξ Oξ × Tξ Oξ −→ R (vR3 , wR3 ) −→ ω − (vR3 , wR3 ) với ω − (vR3 , wR3 ) = −ξ([v, w]) = − ξ, v × w Vì Oξ mặt cầu tâm O, bán kính ξ nên phần tử diện tích xác định cơng thức: dA(v, w) = N, v × w , N pháp vectơ đơn ξ vị hướng ngồi nên chọn N = ξ 34 Do đó: dA(vR3 , wR3 ) = dA(ξ × v, ξ × w) ξ = , (ξ × v) × (ξ × w) ξ ξ = , ξ, ξ × w v − v, ξ × w ξ ξ = − ξ v, ξ × w = ξ ξ, v × w = − ξ ωξ− (vR3 , wR3 ) Suy ra: dA = − ξ ωξ− hay dA = − ξ ω − Vậy: 2-dạng Kirilow ω − = − dA, ∀ξ ∈ so(3)∗ , với dA phần tử diện ξ tích quỹ đạo Oξ Bổ đề 2.5.11 Cho đa tạp M = R3 × R3 đa tạp symplectic với 2-dạng dqi ∧ dpi Khi tác động từ SO(3) lên đa tạp R3 × R3 xác định bởi: ω= i=1 ψ : SO(3) −→ R3 × R3 A −→ ψA : R3 × R3 −→ R3 × R3 (q, p) −→ ψA (q, p) = (Aq, Ap) tác động symplectic Chứng minh n Trước hết ta ý ω = −dθ, với θ = qi dpi = q, dp i=1 Do đó: Suy ra: Do đó, ψA∗ θ(q, p) = = = = = = = = θ(ψ∗A (q), ψ∗A (p)) θ(ψA (q), ψA (p)) θ ◦ ψA (q, p) θ(Aq, Ap) Aq, d(Ap) Aq, A(dp) q, dp θ(q, p) ψA∗ θ = θ ψA∗ ω = −ψA∗ dθ = −dψA∗ θ = −dθ = ω Vậy tác động ψ tác động symplectic 35 Định lý 2.5.12 Tác động tự nhiên SO(3) lên R3 cảm sinh tác động ψ : SO(3) −→ T ∗ R3 ∼ = R3 × R3 A −→ ψA : R3 × R3 −→ R3 × R3 (q, p) −→ ψA (q, p) = A(q, p) Khi tác động tác động Hamilton với ánh xạ moment J(q, p) = q × p Chứng minh Từ tác động tự nhiên Φ : SO(3) × R3 −→ R3 (A, q) −→ Φ(A, q) = Aq cảm sinh phép nâng tiếp xúc phân thớ tiếp xúc T R3 phép nâng đối tiếp xúc phân thớ đối tiếp xúc T ∗ R3 Khi đó, Φ phép nâng tiếp xúc tác động SO(3) lên T R3 sau Φ : SO(3) −→ T R3 ∼ = R3 × R3 A −→ ΦA : R3 × R3 −→ R3 × R3 (q, v) −→ ΦA (q, v) = (Aq, v) Phép nâng đối tiếp xúc tác động SO(3) lên T ∗ R3 ánh xạ tác động xác định sau: ψ : SO(3) −→ T ∗ R3 ∼ = R3 × R3 A −→ ψA : R3 × R3 −→ R3 × R3 (q, p) −→ ψA (q, p) = A(q, p) Theo bổ để 2.5.11 tác động tác động symplectic nên để chứng minh tác động tác động Hamilton ta cần ánh xạ moment J : SO(3) −→ T ∗ R3 Ad∗ - đẳng biến Xét tích vơ hướng cặp tương ứng T R3 T ∗ R3 định nghĩa sau: , : T ∗ R3 × T R3 −→ (ψA , ΦA ) R −→ ψA (ΦA ) = ψA , ΦA ∀(p, q) ∈ Tq∗ R3 ,(Aq, v) ∈ TAq R3 nên ta có A(q, p), (Aq, v) = = = = = 36 (q, p), A−1 (Aq, v) (q, p), (q, A−1 ) q, A−1 v Ap, v (Aq, Ap), (Aq, v) Suy ra: A(q, p) = (Aq, Ap) Bây với w ∈ R3 qua ánh xạ : R3 −→ so(3) ta có w ∈ so(3) Khi tương ứng so(3) V(T ∗ R3 ) xác định sau: so(3) −→ V(T ∗ R3 ) w −→ wT ∗ R3 : R3 × R3 −→ R3 × R3 (q, p) −→ wT ∗ R3 (q, p) = (w.q, w.p) = (w × q, w × p) Ta có wP (q, p) = d dt exp(tw)(q, p) = XJ(w) (q, p) = ( t=0 ∂J(w) ∂J(w) ,− ) ∂p ∂q Để tìm ánh xạ moment J, xét hệ sau :  ∂J(w)    = w.q ∂p ∂J(w)   = w.p − ∂q Từ hệ phương trình ta xác định được: J(w)(q, p) = (w.q).p = (w × q).p Mặt khác, gọi i, j, k vectơ đơn vị tương ứng với trục Ox, Oy, Oz hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz p = (p1 , p2 , p3 ); q = (q1 , q2 , q3 ); w = (w1 , w2 , w3 ) Khi đó, ta có:   i j k   (w × q).p = det  w1 w2 w3  (p1 i + p2 j + p3 k) q q q  1  p1 p2 p3   = det  w1 w2 w3  q q q  1  w1 w2 w3   = det  q1 q1 q3  p p p  3 i j k   = det  q1 q1 q3  (w1 i + w2 j + w3 k) p1 p2 p3 = (q × p).w Do đó: J(w)(q, p) = (q × p).w, Hơn ta có J(w)(q, p) = J(q, p).w Vậy : J(q, p) = q × p 37 Bây ta chứng minh J : SO(3) −→ T ∗ R3 Ad∗ - đẳng biến Thật vậy, với (q, p) ∈ R3 × R3 ta có: J ◦ ψA (q, p) = J(ψA (q, p)) = J(Aq, Ap) = Aq × Ap Mặt khác: Ad∗A ◦ J(q, p) = Ad∗A (J(q, p)) = Ad∗A (q × p) = A(q × p) Ta cần chứng minh: Aq × Ap = A(q × p) Thật vậy: ∀u = (u1 , u2 , u3 ) ∈ R3 , A ∈ SO(3) ta kí hiệu:   (Aq)1 (Aq)2 (Aq)3   det(AqApAu) = det  (Ap)1 (Ap)2 (Ap)3  (Au)1 (Au)2 (Au)3 Khi ta có: (Aq × Ap).Au = det(AqApAu) = detA(qpu) = detA.det(qpu) = detA(q × p).u Do: (Aq × Ap).Au = At (Aq × Ap).u nên At (Aq × Ap) = detA(q × p) Suy ra: Aq × Ap = detA(At )−1 (q × p) Ta có, A ∈ SO(3) nên detA = 1, (At )−1 = A Do đó: Aq × Ap = A(q × p) Vậy: J ◦ ψA (q, p) = Ad∗A ◦ J(q, p) hay J ◦ ψA = Ad∗A ◦ J 38 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trước hết chúng tơi tập trung tìm hiểu quỹ đạo đối liên hợp nhóm Lie khảo sát cấu trúc symplectic quỹ đạo Tiếp đến chúng tơi tìm hiểu tác động symplectic, tác động Hamilton ánh xạ moment, thể số kết cho nhóm Lie SO(3) Các kết đạt luận văn sau: 1) Tìm hiểu tác động liên hợp, tác động đối liên hợp nhóm Lie, quỹ đạo đối liên hợp cấu symplectic chúng 2) Tìm hiểu tác động symplectic, ánh xạ moment tác động Hamilton 3) Thể kết cho nhóm Lie SO(3) -Tác động liên hợp nhóm Lie SO(3) lên đa tạp -Tác động đối liên hợp nhóm Lie SO(3) lên đa tạp -Quỹ đạo tác động đối liên hợp, không gian tiếp xúc quỹ đạo, 2-dạng Kirilov -Xác định cụ thể tác động symplectic, tác động Hamilton ánh xạ moment phân thớ đối tiếp xúc T ∗ R3 Việc khảo sát quỹ đạo đối liên hợp nhóm Lie nhiều vấn đề cần quan tâm Trong thời gian tới, có điều kiện học tập nghiên cứu, tơi hy vọng phát triển tiếp đề tài cho lớp nhóm Lie khác Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp q Thầy Cơ bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Văn Đoành (2007), Đa tạp khả vi, Nhà xuất Đại học Sư Phạm Hà Nội Tiếng Anh Athanassopoulos K (2015), Notes on Symplectic Geometry, Dapartment of Mathematics, University of Crete, Iraklion Cannas da Silva A (2006), Lectures on Symplectic Geometry, Lecture Notes in Mathematics, UC Berkeley, USA Guillemin V and Sternberg S (1982), Convexity Properties of the Moment Mapping, Invent, Math, 67, 491-513 Holm D.D (2011), Geometric Mechanics I: Symmetry and Dynamics, Mathematics Department, Imperrial College London Holm D.D (2013), Geometric Mechanics II: Rotating, Translating and Rolling, Mathematics Department, Imperrial College London Van den Ban E.P (2010), Lie Groups, Lecture Notes, University of Utrecht, Holland Van den Ban E.P (2016), Lie Groups, convexity and symplectic structure, Orientation seminar, University of Utrecht, Holland 40 ... hướng dẫn, PGS.TS Trần Đạo Dõng, với mong muốn tìm hiểu thêm mối liên hệ đa tạp symplectic với quỹ đạo đối liên hợp, chọn đề tài "Quỹ đạo đối liên hợp nhóm Lie cấu trúc Symplectic? ?? để làm đề tài... diễn đối liên hợp nhóm Lie cấu trúc symplectic cảm sinh quỹ đạo đối liên hợp tương ứng Các nội dung nghiên cứu luận văn bao gồm cấu trúc symplectic, tác động symplectic hamilton, ánh xạ moment quỹ. .. tạp symplectic, nhóm Lie tác động Chương 2: Quỹ đạo đối liên hợp cấu trúc symplectic Trong chương này, giới thiệu cấu trúc symplectic quỹ đạo, tác động symplectic, hamilton, ánh xạ moment thể nhóm