Định nghĩa 2.4.1. Cho trường vectơ X và s-dạng vi phân ω trên đa tạp trơn
M. Khi đó toán tử ı xác định bởi X với ω là (s-1)-dạng vi phân, kí hiệu : ıXω
được xác định bởi công thức sau:
ıXω(X1, ..., Xs−1) = ω(X, X1, X2, ..., Xs−1).
Định nghĩa 2.4.2. ChoX là một trường vectơ với nhóm 1-tham số địa phương
(ψt)t∈I các vi phôi địa phương, S là một trường tensơ trên M. Đạo hàm Lie của S theo phương X được định nghĩa:
LXS := d dt(ψ
∗
tS)|t=0.
Nhận xét 2.4.1. a) Cho f :M −→R là một hàm khả vi. Khi đó
LX(f) = df(X) = X(f).
b) Cho s-dạng ω. Khi đó
LX(ω) := ıXdω+dıXω (công thức Cartan).
Bây giờ cho (M, ω) là đa tạp symlplectic với một hàm f : M −→ R xét một dạng vi phân của f là 1- dạng df. Theo tính chất không suy biến của ω, tồn tại duy nhất một trường vectơ tương ứng Xf trên M sao cho ω(Xf, .) =df
Do ω(Xf, .) =ıXfω nên ta có có thể viết: ıXfω = df. Bổ đề 2.4.1. Ta có: LXfω = 0.
Chứng minh. Từ định nghĩa của Xf ta có ıXfω = df nên dıXfω =d(df) = 0.
Mặt khác : dω = 0 (do ω đóng) nên áp dụng công thức Cartan ta có:
LXfω =dıXfω+ıXfdω = 0.
Nhận xét 2.4.2. a) Nếu có một trường vectơ X thỏa mãn LXω = 0 thì theo công thức Cartan ta có dıXω = 0.
Do đó trong lân cận bất kì của một điểm cho trước nào đó ta có thể tìm được một hàm f sao cho Xf = X.
b) Nếu có thể tìm được một hàm f như vậy sao cho Xf = X trên toàn bộ
M thì X được gọi là trường vectơ Hamilton và hàm f được gọi là hàm Hamilton.
Ví dụ 2.4.1. Xét đa tạp symplectic (R2, ω) với ω = dx∧dy, hàm Hamilton
f(x, y) = 1 2(x
2+y2). Khi đó: Xf =y ∂
∂x −x ∂
∂y là trường vectơ Hamilton.
Thật vậy, với hàm Hamilton f(x, y) = 1 2(x
2+y2) thì df = ∂f ∂xdx+
∂f ∂ydy.
Với trường vectơ bất kì Y ta có:
ıXfω(Y) = ω(Xf, Y) = dx∧dy(Xf, Y)
= dx(Xf).dy(Y)−dx(Y).dy(Xf) = (ıXfdx.dy−dx.ıXfdy)(Y).
Suy ra: ıXfω = ıXfdx.dy−dx.ıXfdy.
Mà ta lại có: ıXfdx= ıy ∂ ∂x−x∂ ∂ydx= y.ı∂ ∂xdx−x.ı∂ ∂ydx =y. ıXfdy =ıy ∂ ∂x−x∂y∂ dy =y.ı∂ ∂xdy −x.ı∂ ∂ydy =−x. Do đó: ıXfω =xdx+ydy =df. Vậy Xf =y ∂ ∂x −x ∂ ∂y.
Nhận xét 2.4.3. Xét không gian Euclide đa tạp M = R2n với bộ tọa độ địa phương (q1, q2, ..., qn, p1, p2, ..., pn), xét 2-dạng symplectic ω0 = n X i=1 dqi∧dpi và hàm Hamilton f : M −→R.
Đường cong ρt = (q(t), p(t)) là đường cong tích phân của trường vectơ Xf
được xác định nếu dqi dt(t) = ∂f ∂pi và dpi dt (t) = −∂f ∂qi . Khi đó: ρt = (q(t), p(t))
được gọi là phép nổi Hamilton.
Bây giờ giả sử G có một tác động trơn lên đa tạp symplectic M bảo toàn dạng symplectic ω, tức là trên M có một G-tác động symplectic.
Nếu tất cả các trường vectơ XM, X ∈ g đều là trường vectơ Hamilton thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính J : g −→ C∞(M), Z 7−→ J(Z) sao cho
XJ(Z) = ZM,∀Z ∈ g. Ánh xạ này cảm sinh một ánh xạ J : M −→ g∗ xác định bởi hJ(m), Zi= J(Z)(m).
Nhận xét 2.4.4. Tương ứng J −→J xác định một đẳng cấu tuyến tính
HomR(g, C∞(M)) ∼=C∞(M,g∗). Qua đó ta có thể đồng nhất J và J. Một ánh xạ J như vậy được gọi là ánh xạ moment cho G -tác động symplectic.
Định nghĩa 2.4.3. Cho G -tác động symplectic lên đa tạp symplectic(M, ω). Ánh xạ J : M −→ g∗ được gọi là ánh xạ moment cho tác động symplectic của G nếu ∀Z ∈ g, hàm JZ : M −→ R, m 7−→ J(m)(Z) là hàm Hamilton với trường vectơ ZM, nghĩa là XJZ =ZM.
Định nghĩa 2.4.4. Một tác động Hamilton của G lên đa tạp symplectic M
là tác động symplectic sao cho tồn tại một ánh xạ moment J : M −→g∗ đẳng biến theo nghĩa J(gm) = Ad∗(g)J(m),∀g ∈ G, m ∈ M, tức là sơ đồ sau giao hoán: M g∗ M g∗. - J 6 ψg - J 6 Ad∗g