Một số vấn đề về biểu diễn đối phụ hợp của nhóm tuyến tính đặc biệt

LờI NóI ĐầU Lý thuyết nhóm Lie đã và đang đợc rất nhiều nhà Toán học nghiên cứu. Các vấn đề về nhóm Lie có ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn đợc sử dụng nh một công cụ để nghiên cứu các ngành khoa học khác, đặc biệt là trong Vật lý (vật lý lý thuyết, cơ học lợng tử ). Với mục đích tiếp cận và học hỏi một số vấn đề hiện đại của Toán học, trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu những vấn đề cơ bản của Đại số Lie, nhóm Lie và biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie. Ngoài ra, trong luận văn này chúng tôi xây xựng đối phụ hợp của nhóm tuyến tính đặc biệt cùng với nhóm con dừng( nhóm con ổn định) của nhóm tuyến tính đặc biệt ứng với các phần tử cụ thể nh là một minh hoạ cho các vấn đề lý thuyết đã đa ra. Luận văn đợc chia thành 4 mục: Đ1. Đa tạp khả vi: Trong mục này chúng tôi nhắc lại nhng khái niệm cơ bản liên quan đến đa tạp khả vi: khái niệm đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc, trờng vectơ trên đa tạp, vi phân của ánh xạ khả vi. Đ2. Đại số Lie: Trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết Đại số Lie nhằm phục vụ cho mục sau. Đ3. Nhóm Lie: ở đây chúng tôi trình bày lại các khái niệm và các tính chất cơ bản nhất của nhóm Lie, đại số Lie của nhóm Lie. Đ4. Cấu trúc của quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm tuyến tính đặc biệt: Trong mục này chúng tôi trình bày các vấn đề về biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie nói trên (trong 4.1), sau đó chúng tôi xây dụng biểu diễn đối phụ hợp của nhóm tuyến tính đặc biệt và nhóm con ổn định ứng với một phần tử cố định đã cho (trong 4.2 và 4.3). 1 Luận văn này đợc hoàn thành tại trờng đại học Vinh với sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo Trơng Chí Trung. Nhân đây tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến thầy. Cuối cùng, chúng tôi xin chân thành cảm ơn khoa Toán, các thầy giáo bộ môn Hình học của Khoa đã tạo điều kiện cho chúng tôi hoàn thành luận văn này. Vinh tháng 4 năm 2005. Tác giả 2 Đ 1. Đa tạp khả vi Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và một số tính chất của đa tạp khả vi đợc trình bày trong [1]. 1.1. Các khái niệm. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử G là tập mở trong R n , ánh xạ f : G R k (x 1 , , x n ) f (x 1 , , x n ) = (f 1 (x 1 , , x n ), f 2 (x 1 , , x n ), , f k (x 1 , , x n )). Với f i là các hàm thành phần của f (i = 1, 2, , k). Nếu f i (i = 1, 2, , k) có đạo hàm riêng mọi cấp thì f đợc gọi là khả vi. Lu ý rằng nếu không nói gì trái lại thì tính khả vi trong luận văn này đợc hiểu theo nghĩa tồn tại đạo hàm riêng cấp bất kỳ. 1.1.2. Định nghĩa. Không gian Haoxdorf có cơ sở đếm đợc M đợc gọi là đa tạp tôpô n- chiều nếu nó đồng phôi địa phơng với R n . 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử M là đa tạp tôpô n- chiều. Phép đồng phôi của một tập mở U của M lên tập con mở của R n gọi là một bản đồ hay là một hệ toạ độ địa phơng trên M, ký hiệu là ( U, ). 1.1.4. Nhận xét. Đối với một đa tạp tôpô n- chiều thì tồn tại họ u = {(U , )} sao cho : a) Mỗi (U , ) là một bản đồ của M. b) Họ { U } tạo thành phủ mở của M. 1.1.5. Định nghĩa. Họ u = {(U , )} của đa tạp tôpô n-chiều M thoả mãn hai điều kiện của nhận xét 1.1.4 đợc gọi là một tập bản đồ của M. 1.1.6. Định nghĩa. Giả sử M là đa tạp tôpô n- chiều, tập bản đồ u = {(U , )} đợc gọi là tập bản đồ khả vi nếu với mọi (U , ), (U , ) ta đều có 1 là ánh xạ khả vi. 3 1.1.7. Định nghĩa. Cho M là đa tạp khả vi n- chiều. Giả sử u là tập bản đồ khả vi trên M. Bản đồ = (V, ) trên M đợc gọi là phù hợp với u nếu u {} cũng tạo thành tập bản đồ khả vi trên M. 1.1.8. Mệnh đề. Nếu m là tập các bản đồ phù hợp với u thì m u cũng là một tập bản đồ khả vi trên M. 1.1.9. Định nghĩa. Tập bản đồ khả vi u trên đa tạp M đợc gọi là một cấu trúc vi phân trên M nếu mỗi bản đồ phù hợp với u đều thuộc u ( gọi là tính chất cực đại của cấu trúc vi phân). Nhận xét. Mỗi tập bản đồ khả vi xác định duy nhất một cấu trúc vi phân mà các bản đồ của cấu trúc này phù hợp với tập bản đồ ấy. 1.1.10. Định nghĩa. Một đa tạp tôpô n- chiều M cùng với cấu trúc vi phân trên đó đợc gọi là đa tạp khả vi n- chiều. 1.1.11. Ví dụ. 1) Nếu M = R n thì tập bản đồ {(U , )} = {( U , id)} xác định một cấu trúc vi phân trên M ( cấu trúc vi phân này đợc gọi là cấu trúc vi phân chính tắc). Khi đó M là đa tạp khả vi. 2) Nếu M = V n ( không gian vec tơ n- chiều trên R), dùng cơ sở có thể đồng nhất V n với R n , nên V n cũng là một đa tạp khả vi. 1.2. ánh xạ khả vi. 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử M, N là các đa tạp khả vi có số chiều tơng ứng là m, n. G là tập con mở của M. ánh xạ f : G N đợc gọi là khả vi nếu đối với bất kỳ bản đồ( U, ) trên M, ( V, ) trên N và f (U) V, ánh xạ: f 1 : R m R n là ánh xạ khả vi. Nhận xét. Nếu Q là một đa tạp khả vi 1- chiều và g: N Q khả vi thì gf: M Q là ánh xạ khả vi. 4 1.2.2. Định nghĩa. ánh xạ f : M N đợc gọi là vi phôi nếu f là song ánh và các ánh xạ f, f 1 đều là khả vi. 1.2.3. Mệnh đề. Cho đa tạp khả vi n- chiều M, với mỗi điểm p M ta ký hiệu f(p) là tập hợp các ánh xạ khả vi xác định trên lân cận mở của điểm p. Trong f(p) ta đa vào các phép toán: Phép cộng: f, g f(p): ( f + g)(x) = f(x) + g(x); với x U p V p . Phép nhân: f, g f(p): (f.g)(x) = f(x).g(x); với x U p V p . Phép nhân với một số: R n : (. f)(x) = . f(x); với x U p . Trong đó U p , V p là lân cận mở của p. Khi đó f(p) là một R- đại số. Nhận xét. Nếu ( U, ) là một bản đồ trên M thì các hàm toạ độ i (thành phần thứ i của ) rõ ràng thuộc f(p), p U. 1.3. Vectơ tiếp xúc và không gian tiếp xúc. 1.3.1. Định nghĩa. Cho đa tạp khả vi n- chiều M. Giả sử I là một khoảng (đóng, mở, nửa mở) trong R. Mỗi ánh xạ khả vi : I M đợc gọi là một đờng khả vi trên M. 1.3.2. Định nghĩa. Cho đa tạp khả vi n- chiều M, là đờng khả vi trên M xác định bởi: : I M t (t) Cho t 0 I, ký hiệu (t 0 ) = p. Ta gọi vectơ tiếp xúc với đờng cong tại điểm p là ánh xạ v : f(p) R f v(f) = dt d ( f (t))/t 0 v đợc gọi là vectơ tiếp xúc với M tại điểm p. 5 1.3.3. Định lý. Giả sử M là đa tạp khả vi n- chiều . Khi đó ánh xạ v : f(p) R là một ánh xạ tuyến tính và v(g.f) = v(f).g(p) + f(p).v(g); f,g f(p), v T p M. 1.3.4. Định lý. Cho đa tạp khả vi n- chiều M, bản đồ (U, ) trên M, điểm p U. Gọi y i là hàm toạ độ thứ i trên R n , đặt u i = y i , D i là đạo hàm riêng đối với biến thứ i của hàm số xác định trên R n . Xét các ánh xạ : ( i u ) p : f(p) R f ( i u ) p (f) =D i (f 1 ) / (p) Khi đó( i u ) p là các vectơ tiếp xúc với đa tạp M tại điểm p. 1.3.5. Định nghĩa. Cho đa tạp khả vi n- chiều M , điểm p M Ký hiệu T p M là tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc với M tại điểm p.Đa vào T p M hai phép toán: Phép cộng:Với v 1 ,v 2 T p M .Lấy v 1 +v 2 T p M xác định bởi: (v 1 +v 2 )(f)= v 1 (f)+v 2 (f). Phép nhân với số thực: R,v T p M thì: (.v)(f)=.v(f), với f f(p) Khi đó T p M là một không gian vectơ và gọi là không gian tiếp xúc với đa tạp M tại điểm p. 1.3.6. Định lý. Cho M là đa tạp khả vi n- chiều, (U,) là một bản đồ trên M, p U. Khi đó không gian vectơ T p M nhận hệ {( i u ) p , i = 1, 2, , n} làm cơ sở và vectơ v bất kỳ thuộc T p M ta có: v = = n 1i i )u(v ( i u ) p . 1.4. Trờng vectơ trên đa tạp. 6 1.4.1. Mệnh đề. Cho M là đa tạp khả vi, G là một tập mở trong M. Ký hiệu f(G) là tập hợp các hàm khả vi xác định trên G. Đa vào f(G) các phép toán sau: 1) Phép cộng: f, g f(G). Lấy f + g f(G) xác định bởi: (f+g) (x) = f(x) + g(x); với x G. 2) Phép nhân: f, g f(G): Lấy f.g f(G) xác định bởi : (f.g)(x) = f(x).g(x); với x G. 3) Phép nhân với một số: R, f f(G); .f f(G) : ( .f)(x) = .f(x). Khi đó tập f(G) trở thành vành giao hoán có đơn vị là hàm hằng 1 ( tức là 1(x) = 1 với x G). 1.4.2. Định nghĩa . Giả sử G là một tập con mở của đa tạp khả vi M. Ta gọi trờng vectơ trên M là ánh xạ : X: G Gp T p M sao cho X(p) T p M . Ta thờng viết X p thay cho X(p). 1.4.3. Định nghĩa. Giả sử X là trờng vectơ trên G, f f(p) . Khi đó Xf là hàm số trên G đợc xác định bởi hệ thức ( Xf)(p) = (X( p))(f) = X p (f). Trờng vectơ X trên G đợc gọi là trờng vectơ khả vi nếu Xf là hàm khả vi. 1.4.4. Mệnh đề. Giả sử X là trờng vectơ khả vi trên G; , R; f, g f(G). Khi đó ta có: a) X(.f + .g) = .Xf + .Xg. (1) b) X(g.f) = (Xf).g + f.(Xg) (2) Nhận xét. Nếu f là hàm hằng trên G thì Xf = 0. 1.4.5. Mệnh đề. Ký hiệu B G là tập hợp các trờng vectơ trên G. Đa vào B G các phép toán sau: 1) Phép cộng hai trờng vectơ: X, Y B G; X + Y B G: ( X+ Y)(p) = X(p) + Y(p) p G. 2) Phép nhân số với các trờng vectơ: R, X B G , 7 .X B G : ( .X)(p) = .X(p) p G. 3) Nhân hàm số với trờng vectơ: f f(G), X B G; fX B G đợc xác định bởi: (fX)(p) = f(p).X(p) khi đó: a) Tập B G cùng với phép cộng và phép nhân với số làm thành một R- không gian vectơ. b) Tập B G cùng với phép cộng và phép nhân với hàm làm thành một f(G)- môđun. 1.4.6. Mệnh đề. Giả sử M là đa tạp khả vi n-chiều , (U,) là bản đồ xác định trên M. Ký hiệu i u (i = 1, 2, , n) là véc tơ trên U xác định bởi công thức: ( i u )(p) = ( i u ) p p M, trong đó ( i u ) p đợc xác định nh trong định lý 1.3.4. Khi đó : 1) Các trờng vectơ i u khả vi trên U. 2) Hệ {( i u ), i= 1, 2, n} là cơ sở của B U-môđun (B U là tập tất cả các trờng vectơ khả vi trên U. 1.5. Vi phân của ánh xạ. 1.5.1. Định nghĩa. Cho M, N là các đa tạp khả vi; f : M N là ánh xạ khả vi, p M. Vi phân tại p của f là ánh xạ xác định: Với v T p M là vectơ tiếp xúc với đờng cong (t) tại p = (t 0 ) thì lấy f *p (v) là vectơ tiếp xúc với đờng cong f tại f(p) = f((t 0 )). 8 1.5.2. Mệnh đề. Cho v T p M, g f(f(p)). Khi đó ta có : v(gf) = (f *p (v))(g). 1.5.3. Mệnh đề. Cho f: M N và g : N Q là các ánh xạ khả vi của các đa tạp, p M. Khi đó: (gf) *p = g *(f(p)) f *p . 1.5.4. Bổ đề. Cho f: M N là các ánh xạ khả vi, là đờng cong trong M. Khi đó: f *p ( td d (t) / t 0 ) = td d (f (t)) / t 0 ); p = (t 0 ). 1.5.5. Nhận xét. Cho M là đa tạp khả vi, f: N M là ánh xạ khả vi. Khi đó ta xác định ánh xạ: f * : B M B M X f * X Xác định bởi (f * X) q = f *p X p ; p M, q = f(p). 9 Đ 2. Đại số LIE 2.1. Định nghĩa. Cho V là vành giao hoán có đơn vị 1. Tập E đợc gọi là V- đại số ( Đại số trên V) Nếu trên E đợc trang bị phép toán cộng, phép nhân với phần tử của V và phép nhân [,] sao cho: 1. (E, +) là một nhóm Aben. 2. [a, b + àc] = [a,b] + à[a,c]. [b + àc, a] = [b, a] + à[c,a]. 3. (a + b) = a + b. ( + à).a = a + àa. (à).a = (àa). 1.a = 1. Với mọi a, b, c E và , à V. Nếu [,] có tính giao hoán thì E đợc gọi là đại số giao hoán. Nếu [,] có tính kết hợp thì E đợc gọi là đại số kết hợp. 2.2. Định nghĩa. Tích Lie trên R- không gian vectơ E là ánh xạ: [,]: ExE E thoả mãn: 1. [a + àb,c] = [a,c] + à[b,c]. 2. [a, b + àc] = [a, b] + à[a, c]. 3. [a,b] = [b, a]. 4. [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0. 2.3. Định nghĩa. Đại số E đợc gọi là đại số Lie nếu: 1. [a, b] = [b, a]. 2. Xảy ra đồng nhất thức Jacobi: [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0. với a, b, c E. Nếu V = R: Ta có đại số Lie thực. 10