Nhóm lie tuyến tính và biểu diễn

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH DIỆU NHĨM LIE TUYẾN TÍNH VÀ BIỂU DIỄN Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Thừa Thiên Huế, năm 2018 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Nguyễn Thị Thanh Diệu iii LỜI CẢM ƠN Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Ngồi ra, xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo khoa Tốn học phịng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế; gia đình bạn học viên Cao học khóa 25, bạn bè động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi q trình học tập thực luận văn Huế, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh Diệu v MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan iii Lời cảm ơn v Mục lục Lời mở đầu Chương NHĨM LIE TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa nhóm Lie tuyến tính ví dụ 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ nhóm Lie tuyến tính Đại số Lie nhóm Lie tuyến tính 13 1.2.1 Phép toán exponent ma trận 13 1.2.2 Đại số Lie nhóm Lie tuyến tính 14 1.2.3 Ví dụ đại số Lie nhóm Lie tuyến tính 17 Chương BIỂU DIỄN CỦA NHĨM LIE TUYẾN TÍNH 22 2.1 Biểu diễn nhóm Lie tuyến tính 22 2.1.1 Định nghĩa tính chất 22 2.1.2 Biểu diễn unita 28 2.1.3 Biểu diễn bất khả quy 32 2.1.4 Biểu diễn liên hợp đối liên hợp 36 2.2 Biểu diễn nhóm SU(2) 42 2.3 Liên hệ nhóm Lie tuyến tính nhóm Lie 51 1.2 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 LỜI MỞ ĐẦU Cho nhóm tuyến tính tổng qt GL(n, C) tập gồm phần tử khả nghịch M (n, C) Khi đó, nhóm đẳng cấu với nhóm đóng GL(n, C) gọi nhóm Lie tuyến tính Các nhóm Lie tuyến tính đặc trưng chúng khảo sát Ben Said vào năm 2007 Trước đó, nhóm loại Baker A trình bày [3] Hall B.C trình bày [6] Cho G nhóm Lie tuyến tính V không gian vectơ phức hữu hạn chiều Một biểu diễn hữu hạn chiều G V đồng cấu nhóm liên tục từ G vào nhóm GL(V ) tập hợp tự đẳng cấu V Việc khảo sát phân lớp biểu diễn nhóm Lie tuyến tính tốn thú vị thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Được gợi ý thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Trần Đạo Dõng, với mong muốn tìm hiểu thêm nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie tương ứng biểu diễn chúng, chọn đề tài "Nhóm Lie tuyến tính biểu diễn" để làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie nhóm Lie tuyến tính biểu diễn chúng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương trình bày nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie nhóm Lie tuyến tính thể qua số ví dụ minh họa cụ thể Chương trình bày biểu diễn nhóm Lie tuyến tính, biểu diễn đại số Lie tương ứng Thể mối quan hệ biểu diễn bất khả quy, biểu diễn unita, biểu diễn liên hợp đối liên hợp nhóm Lie tuyến tính Từ đó, minh họa cụ thể cho nhóm unita đặc biệt SU (2) Chương NHĨM LIE TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tơi trình bày nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie nhóm Lie tuyến tính thể qua số ví dụ minh họa cụ thể Các kiến thức trình bày tham khảo từ tài liệu [1], [3], [5], [6], [7], [9] 1.1 Định nghĩa nhóm Lie tuyến tính ví dụ 1.1.1 Định nghĩa Xét khơng gian vectơ M (n, C) ma trận vuông phức cấp n, ma trận X ∈ M (n, C) ứng với n2 số phức a11 , a12 , , a1n , a21 , , a2n , , an1 , , ann nên ta đồng M (n, C) với Cn Qua đó, M (n, C) trở thành không gian tôpô với tôpô cảm sinh từ Cn Trong khơng gian tơpơ này, ta có khái niệm sau Định nghĩa 1.1.1 Cho (Am )m∈N dãy phần tử M (n, C), Am hội tụ tới ma trận A lim |(Am )kl − Akl | = 0, ∀ ≤ k, l ≤ n m→∞ Trong không gian vectơ M (n, C), tập hợp ma trận vuông phức cấp n khả nghịch nhóm với phép nhân ma trận (xem [1, p.82]), gọi nhóm tuyến tính tổng qt, kí hiệu GL(n, C) Định nghĩa 1.1.2 Một nhóm G gọi nhóm Lie tuyến tính tồn n ∈ N cho G đẳng cấu với nhóm đóng GL(n, C) Nhận xét 1.1.1 Cho nhóm G GL(n, C) thỏa mãn tính chất: Nếu (Am )m∈N dãy ma trận G Am hội tụ tới ma trận A M (n, C) A ∈ G A khơng khả nghịch Khi đó, G nhóm đóng GL(n, C) Xét nhóm tuyến tính tổng quát phức GL(n, C), (Am )m∈N dãy ma trận GL(n, C) hội tụ tới A ∈ M (n, C) Từ định nghĩa GL(n, C) suy A ∈ GL(n, C) A không khả nghịch Vì vậy, GL(n, C) nhóm đóng nên GL(n, C) nhóm Lie tuyến tính Xét nhóm GL(n, R) gồm ma trận vuông thực cấp n, (Am )m∈N dãy ma trận GL(n, R) hội tụ tới A Vì phần tử ma trận Am thực nên A ∈ M (n, R) Suy ra, A ∈ GL(n, R) A khơng khả nghịch Do đó, GL(n, R) nhóm đóng Mà GL(n, R) nhóm GL(n, C) nên GL(n, R) nhóm Lie tuyến tính Như vậy, nhóm G đẳng cấu với nhóm đóng GL(n, R) G nhóm Lie tuyến tính 1.1.2 Ví dụ nhóm Lie tuyến tính Từ định nghĩa 1.1.2 ta suy nhóm Lie tuyến tính gồm nhóm đóng GL(n, C) nhóm khơng chứa GL(n, C) Trong mục này, ta đưa số ví dụ loại nhóm Lie tuyến tính A Nhóm Lie tuyến tính chứa GL(n, C) Cho G nhóm hữu hạn GL(n, C) Khi đó, dãy hội tụ (Am )m∈N G có giới hạn ma trận A ∈ G cho Am = A với m đủ lớn Suy ra, G nhóm đóng GL(n, C) hay G nhóm Lie tuyến tính Kí hiệu C∗ nhóm nhân số phức khác Xét đồng cấu nhóm liên tục det : GL(n, C) −→ C∗ −→ det A A Khi đó, SL(n, C) = {A ∈ GL(n, C) | det A = 1} hạt nhân đồng cấu det nên SL(n, C) nhóm đóng GL(n, C) Suy ra, SL(n, C) nhóm Lie tuyến tính, gọi nhóm tuyến tính đặc biệt Chứng minh tương tự suy SL(n, R) = {A ∈ GL(n, R) | det A = 1} nhóm đóng GL(n, R) nên SL(n, R) nhóm Lie tuyến tính Xét tập hợp O(n) = {A ∈ GL(n, R) | AT A = In } Ta có: • In ∈ O(n) • ∀A, B ∈ O(n), (AB)T (AB) = B T AT AB = B T IB = B T B = In • ∀A ∈ O(n), (A−1 )T A−1 = (AT )−1 A−1 = (A.AT )−1 = (In )−1 = In Vì vậy, O(n) nhóm GL(n, R) Giả sử (Am )m∈N dãy ma trận O(n) hội tụ tới A Vì phép nhân ma trận hàm liên tục nên AT A = lim ATm lim Am = lim (ATm Am ) = lim In = In m→∞ m→∞ m→∞ m→∞ Suy ra, A ∈ O(n) nên O(n) nhóm đóng GL(n, R) Vậy O(n) nhóm Lie tuyến tính, gọi nhóm trực giao Ta có: SO(n) = SL(n, R) ∩ O(n) giao hai nhóm đóng nên SO(n) nhóm đóng GL(n, R) Vậy SO(n) nhóm Lie tuyến tính, gọi nhóm trực giao đặc biệt Xét tập hợp O(n; k) = {A ∈ GL(n + k, R) | AT g.A = g} với ma trận g ∈ GL(n + k, R) xác định sau:   In  g= −Ik Khi đó, ta có: • g ∈ O(n; k) • ∀A, B ∈ O(n; k), (AB)T g.(AB) = B T AT g.AB = B T g.B = g • ∀A ∈ O(n; k), (A−1 )T g.A−1 = (A.g.AT )−1 = g −1 = g Vì vậy, O(n; k) nhóm GL(n + k, R) Giả sử (Am )m∈N dãy ma trận O(n; k) hội tụ tới A Khi đó, AT g.A = lim ATm g lim Am = lim (ATm g.Am ) = lim g = g m→∞ m→∞ m→∞ m→∞ Suy ra, A ∈ O(n; k) nên O(n; k) nhóm đóng GL(n + k, R) Do đó, O(n; k) nhóm Lie tuyến tính, gọi nhóm trực giao suy rộng Xét tập hợp U (n) = {A ∈ GL(n, C) | A.A∗ = In } với (A∗ )jk = Akj Ta có: • In ∈ U (n) • ∀A, B ∈ U (n), (AB)(AB)∗ = A.B.B ∗ A∗ = A.A∗ = In • ∀A ∈ U (n), A−1 (A−1 )∗ = A−1 (A∗ )−1 = (A∗ A)−1 = In Vì vậy, U (n) nhóm GL(n, C) Giả sử (Am )m∈N dãy ma trận U (n) hội tụ tới A Khi đó, A.A∗ = lim Am lim A∗m = lim (Am A∗m ) = lim In = In m→∞ m→∞ m→∞ m→∞ Suy ra, A ∈ U (n) hay U (n) nhóm đóng GL(n, C) Vậy U (n) nhóm Lie tuyến tính, gọi nhóm unita Ta có: SU (n) = SL(n, C) ∩ U (n) giao hai nhóm đóng nên SU (n) nhóm đóng GL(n, C) Suy ra, SU (n) nhóm Lie tuyến tính, gọi nhóm unita đặc biệt Tiếp theo, ta trình bày ví dụ nhóm Lie tuyến tính khơng chứa GL(n, C), tức nhóm đẳng cấu với nhóm đóng GL(n, C) B Nhóm Lie tuyến tính khơng chứa GL(n, C) Tập hợp Sn gồm tất phép bậc n với phép tốn hợp thành ánh xạ lập thành nhóm, gọi nhóm đối xứng bậc n (xem [1, p.113]) Từ đó, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.1 Nhóm đối xứng bậc n nhóm Lie tuyến tính Chứng minh Xét tương ứng φ : Sn −→ GL(n, R) σ −→ Mσ = (Aij )n×n , Aij = δiσ(j) với δij = i = j δij = i = j Với σ ∈ Sn , Mσ Mσ−1 = Mσ−1 Mσ = In nên Mσ = (φ(σ))ij ∈ GL(n, R) Với σ, σ ∈ Sn , φ(σ ◦ σ ) = Mσ Mσ = φ(σ).φ(σ ) Suy ra, φ đồng cấu Kerφ = {σ ∈ Sn | φ(σ) = In } = {e} với {e} phép hoán vị đồng Sn Do đó, φ đơn cấu nên Sn đẳng cấu với Imφ Kí hiệu Sn ∼ = Imφ Ta có, Imφ = {Mσ | σ ∈ Sn } Vì Sn có hữu hạn phần tử nên Imφ nhóm hữu hạn GL(n, R) Suy ra, Imφ nhóm đóng GL(n, R) Vậy Sn đẳng cấu với nhóm đóng GL(n, R) nên Sn nhóm Lie tuyến tính Xét nhóm hữu hạn G = {x1 , x2 , , xn } Theo định lý Cayley, nhóm hữu hạn cấp n đẳng cấu với nhóm Sn (xem [7, p.11]) nên G đẳng cấu với nhóm đóng GL(n, R) Ta có nhận xét sau Nhận xét 1.1.2 Nhóm hữu hạn nhóm Lie tuyến tính Xét Rn = {(x1 , x2 , , xn ) | xi ∈ R} nhóm với phép cộng Ta có mệnh đề Mệnh đề 1.1.2 Rn nhóm Lie tuyến tính Chứng minh Xét ánh  ex1   φ(x) =   xạ φ : Rn −→ GL(n, R) xác định sau:  ···  n   , x = (x1 , , xn ) ∈ R  xn ··· e Với x, y ∈ Rn , ta có:       ex1 +y1 · · · ex1 · · · ey1 · · ·             =     φ(x + y) =         · · · exn +yn · · · exn · · · eyn = φ(x).φ(y) φ(x) = φ(y) ⇐⇒ x = y ... Chương trình bày biểu diễn nhóm Lie tuyến tính, biểu diễn đại số Lie tương ứng Thể mối quan hệ biểu diễn bất khả quy, biểu diễn unita, biểu diễn liên hợp đối liên hợp nhóm Lie tuyến tính Từ đó, minh... nhóm Lie tuyến tính đại số Lie tương ứng, cụ thể biểu diễn bất khả quy, biểu diễn unita, biểu diễn liên hợp đối liên hợp Tìm hiểu biểu diễn nhóm Lie SU (2) Chứng tỏ nhóm Lie tuyến tính nhóm Lie điều... ta thấy biểu diễn đối liên hợp nhóm unita đặc biệt SU (2) trùng với biểu diễn liên hợp 2.3 Liên hệ nhóm Lie tuyến tính nhóm Lie Trong phần này, ta chứng minh nhóm Lie tuyến tính nhóm Lie điều