Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
26
Dung lượng
387,73 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ THỊ NGUYỆT ÁNHNHÓMLIETUYẾNTÍNHVÀÁNHXẠEXPONENT Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60. 46. 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1 : TS.Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2 : TS.Hoàng Quang Tuyến Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 05 năm 2011 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài NhómLievà đại số Lie là các cấu trúc thể hiện sự giao thoa giữa hình học đại số và vật lý lý thuyết, là một trong các đối tượng cơ bản của lý thuyết Lievà lý thuyết cấu trúc. Bên cạnh đó, lý thuyết Lie còn thể hiện được mối liên hệ biện chứng giữa cấu trúc của một nhómLie G với đại số Lie g tương ứng, trong đó g được xét như là không gian tiếp xúc của đa tạp G tại phần tử đơn vị. Mối liên hệ này được khảo sát thông qua một công cụ đặc biệt, đó là ánhxạexponent chuyển mỗi vector tiếp xúc X của g thành một phần tử expX của nhómLie G, được hiểu như là một sự mở rộng của ánhxạexponent thông thường. Một tính chất thú vị và quan trọng của ánhxạexponent là tính toàn ánh đang được khảo sát cho nhiều lớp nhómLie cụ thể, đặc biệt là lớp các nhóm con đóng của nhómtuyếntính tổng quát hay còn gọi là các nhómLietuyến tính. Do đó, với mong muốn tìm hiểu thêm về nhómLievà đại số Lievà được sự gợi ý của thầy giáo PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài " NhómLietuyếntínhvàánhxạ exponent" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn này. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là khảo sát cấu trúc của nhómLietuyến tính, đại số Lie tương ứng và xác định ánhxạ exponent. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài là khảo sát ánhxạexponent cho các nhómLietuyến tính. 4. Phương pháp nghiên cứu - Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài. - Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài - Góp phần làm rõ cấu trúc của các nhómLietuyến tính. - Thể hiện một số tính chất của ánhxạexponent cho các nhómLie 2 tuyến tính. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn được trình bày trong 3 chương: • Chương 1: Kiến thức cơ sở. • Chương 2: NhómLietuyếntínhvà đại số Lie tương ứng. • Chương 3: Ánhxạexponent của nhómLietuyến tính. Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản có liên quan đến đề tài. Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của nhómLietuyến tính, nhóm đẳng cự Affine, nhóm Lorentz và từ đó xác định đại số Lie tương ứng của chúng. Chương 3 tập trung khảo sát ánhxạexponent của một số nhómLietuyếntínhvà mở rộng các kết quả cho trường hợp nhóm đẳng cự Affine vànhóm Lorentz. Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. NhómLie 1.1.1. Đa tạp 1.1.1.1. Đa tạp tô pô 1.1.1.2. Đa tạp khả vi 1.1.1.3. Ánhxạ khả vi 1.1.1.4. Đa tạp con 1.1.2. NhómLie 1.1.2.1. Định nghĩa NhómLie là một đa tạp khả vi G được trang bị một cấu trúc nhóm sao cho các ánhxạ µ : G × G −→ G, (x, y) −→ xy và ι : G −→ G, x −→ x −1 là khả vi. Số chiều của đa tạp được gọi là số chiều của nhóm Lie. 1.1.2.2. Ví dụ 1.1.2.3. Bổ đề [4] 1.1.2.4. Bổ đề [4] Cho G là một nhómLievà xét H ⊂ G là nhóm con vừa là đa tạp con của G. Khi đó H là một nhóm Lie. 3 1.1.2.5. Ví dụ 1.1.2.6. Định nghĩa Cho G, H là các nhóm Lie. 1) Một đồng cấu nhómLie từ G vào H là một ánhxạ khả vi ϕ : G −→ H sao cho ϕ là một đồng cấu nhóm. 2) Một đẳng cấu nhómLie từ G vào H là một đồng cấu nhómLie ϕ sao cho ϕ là một song ánhvàánhxạ ngược cũng là một đồng cấu nhóm Lie. 1.1.2.7. Nhận xét [4] 1.1.2.8. Định lý [4] Cho G là một nhómLievà H là một nhóm con của G. Khi đó các điều kiện sau tương đương: a) H là đóng theo nghĩa tô pô. b) H là một đa tạp con. Một nhóm con đồng thời là một tập đóng của nhómLie G được gọi là nhóm con đóng của G. Từ Định lý 1.1.2.8 và áp dụng Bổ đề 1.1.2.4 ta suy ra hệ quả sau. 1.1.2.9. Hệ quả [4] Cho G là một nhóm Lie. Khi đó mỗi nhóm con đóng của G là một nhóm Lie. 1.1.2.10. Hệ quả [4] Cho ϕ : G −→ H là một đồng cấu nhóm Lie. Khi đó ker ϕ là một nhóm con đóng của G. Đặc biệt, ker ϕ là một nhóm Lie. 1.1.2.11. Ví dụ 1.1.2.12. Nhận xét [4] Cho G là một nhóm Lie. Xét H và K là các nhóm con đóng của G. Khi đó H ∩ K là nhóm con đóng của G nên là một nhóm Lie. 1.2. Ánhxạexponent của nhómLie 1.2.1. Đường cong tích phân Cho X là một đa tạp trơn, v là trường véc tơ lớp C p , p ≥ 1. Cho trước x ∈ X và I là một khoảng mở chứa 0. Khi đó, một đường cong tích phân của v với điểm gốc x được định nghĩa là một ánhxạ khả vi c : I −→ X 4 sao cho: c(0) = x, . c(t) = v(c(t)), t ∈ I. Ở đây, ta viết . c(t) thay cho d dt (c(t)) = T t c(1). 1.2.1.1. Định lý [5] 1.2.1.2. Hệ quả [5] 1.2.1.3. Nhận xét [5] 1.2.1.4. Trường véc tơ bất biến Cho G là một đa tạp, ta ký hiệu V(G) là không gian tuyếntính thực của các trường véc tơ trên G. Một trường véc tơ v ∈ V(G) được gọi là bất biến trái, nếu (l x ) ∗ v = v, ∀x ∈ G, hay là: v(xy) = T y (l x )v y ; ∀x, y ∈ G. Tập hợp tất cả các trường véc tơ bất biến trái là một không gian con tuyếntính của V(G), ký hiệu là V L (G). Từ đẳng thức trên, với y = e ta thấy rằng một trường véc tơ bất biến trái hoàn toàn được xác định bởi giá trị v(e) ∈ T e G tại e. Hay nói cách khác, v −→ v(e) xác định một đơn ánhtuyếntính từ ánhxạ V L (G) vào T e G. Ta cũng chỉ ra được rằng ánhxạ xác định như trên là toàn ánh. Hơn nữa, nếu X ∈ T e G, ta xác định trường véc tơ v X trên G như sau: v X (x) = T e (l x )X; ∀x ∈ G. 1.2.1.5. Bổ đề [4] 1.2.1.6. Bổ đề [4] 1.2.2. Ánhxạexponent của nhómLie 1.2.2.1. Định nghĩa Cho G là một nhómLievà T e G là không gian tiếp xúc của G tại phần tử đơn vị. Ánhxạexponent được xác định như sau: exp = exp G : T e G −→ G; X −→ exp X := α X (1), trong đó α X là đường cong tích phân cực đại với điểm gốc e của trường véc tơ bất biến trái v X trên G được xác định bởi v X (e) = X. 1.2.2.2. Ví dụ 1.2.2.3. Nhận xét [4] 1.2.2.4. Tính chất [4] 1.2.3. Nhóm con một tham số 1.2.3.1. Định nghĩa 1.2.3.2. Bổ đề [4] 1.2.3.3. Bổ đề [4] 5 Cho ϕ : G −→ H là một đồng cấu nhóm Lie. Khi đó ta có biểu đồ sau giao hoán G ϕ −−→ H exp G exp H T e G −−→ T e ϕ T e H , tức là ϕ ◦ exp G = exp H ◦T e ϕ. 1.3. Đại số Lie của nhómLie Trong phần này ta giả sử rằng G là một nhóm Lie. Nếu x ∈ G thì các ánhxạtịnh tiến l x : y −→ xy và r x : y −→ yx là các vi phôi từ G vào chính nó. Do đó, ánhxạ hợp C x = l x ◦ r −1 x : y −→ xyx −1 cũng là một vi phôi từ G vào chính nó. Suy ra ánhxạ tiếp xúc T e C x tại e của C x là một tự đẳng cấu tuyếntính của T e G. Vì vậy, T e C x ∈ GL(T e G). 1.3.1. Định nghĩa 1.3.2. Bổ đề [4] 1.3.3. Bổ đề [4] 1.3.4. Nhận xét [4] 1.3.5. Bổ đề [4] 1.3.6. Định nghĩa 1.3.7. Bổ đề [4] 1.3.8. Bổ đề [4] 1.3.9. Hệ quả [4] 1.3.10. Định nghĩa Một đại số Lie thực là một không gian tuyếntính thực g cùng với ánhxạ song tuyếntính [., .]: g × g −→ g, sao cho ∀X, Y, Z ∈ g ta có: a) [X, Y ] = −[Y, X] (phản đối xứng); b) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 (đồng nhất thức Jacobi). 1.3.11. Ví dụ 1.3.12. Hệ quả [4] 1.3.13. Định nghĩa 1.3.14. Bổ đề [4] 1.3.15. Ví dụ 6 Chương 2 NHÓMLIETUYẾNTÍNHVÀ ĐẠI SỐ LIE TƯƠNG ỨNG 2.1. NhómLie con và đại số Lie tương ứng 2.1.1. Định nghĩa Cho H là một nhóm con của nhómLie G. Ta gọi H là nhómLie con của G nếu trên H được trang bị một cấu trúc nhómLie sao cho phép nhúng chính tắc ι: H −→ G, x −→ x là một đồng cấu nhóm Lie. 2.1.2. Nhận xét Cho nhómLie G. Khi đó ta có: a) Nếu H là một nhóm con vừa là đa tạp con của G thì H là nhómLie con. Suy ra nếu H là một nhóm con đóng của G thì H là nhómLie con. b) Nếu H là nhómLie con của G thì không nhất thiết H phải là đa tạp con của G. 2.1.3. Bổ đề [4] 2.1.4. Hệ quả [4] 2.1.5. Nhận xét [4] 2.1.6. Mệnh đề [4] 2.2. Nhómtuyếntính tổng quát vànhómLietuyếntính Cho V là một không gian tuyếntính thực hữu hạn chiều, trong Chương 1 ta đã biết GL(V ) là một nhómLie thực n 2 chiều và được gọi là nhómtuyếntính tổng quát của V. Ký hiệu GL(n, R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông thực cấp n khả nghịch, ta có GL(n, R) là một nhóm đẳng cấu với GL(V ) nên cũng là một nhómLie thực n 2 chiều và được gọi là nhómtuyếntính tổng quát (thực). Tương tự, GL(n, C) được xét như một nhóm con đóng của GL(2n, R) cũng là một nhómLie thực (2n) 2 chiều và được gọi là nhómtuyếntính tổng quát (phức). 2.2.1. NhómLietuyếntính 7 2.2.1.1. Định nghĩa Một nhómLietuyếntính là nhóm con G của GL(n, R) (n ≥ 1) đồng thời là một đa tạp con trơn trong R n 2 . Từ định nghĩa ta thấy bản thân GL(n, R) và GL(n, C) đều là các nhómLietuyến tính. Mệnh đề dưới đây cho phép chúng ta xác định được một số ví dụ về nhómLietuyến tính. 2.2.1.2. Mệnh đề [6] Mỗi nhóm con đóng G của GL(n, R) là một nhómLietuyến tính. Khi đó G là một nhómLievà đại số Lie g tương ứng được xác định bởi g = {X ∈ gl(n, R)|∀t ∈ R : e tX ∈ G}. 2.2.1.3. Một số nhómLietuyếntính cụ thể 1) Nhómtuyếntính đặc biệt SL(n, R): Xét tập con SL(n, R) := {X ∈ GL(n, R)| det X = 1}. Khi đó SL(n, R) là một nhómLietuyến tính. Thật vậy, xét ánhxạ det : GL(n, R) −→ R ∗ , A −→ det A = 1. Ta có det(AB) = (det A)(det B) = 1; ∀A, B ∈ GL(n, R), nên ánhxạ det là một đồng cấu nhóm. Ngoài ra, det là ánhxạ liên tục, do đó ánhxạ det là một đồng cấu nhóm Lie, và ta có det −1 (1) = ker(det) = {A ∈ GL(n, R)| det A = 1} = SL(n, R). Nên SL(n, R) là nhóm con đóng của GL(n, R), do đó SL(n, R) là một nhómLietuyếntínhvà được gọi là nhómtuyếntính đặc biệt. 2) Nhóm trực giao O(n): Xét tập con O(n) := {X ∈ GL(n, R)|X t X = I}. Khi đó O(n) là một nhómLietuyến tính. Thật vậy, xét ánhxạ ϕ : GL(n, R) −→ GL(n, R), A −→ A t A = I. Ta có ϕ(AB) = ϕ(A)ϕ(B) = (A t A)(B t B) = I; ∀A, B ∈ GL(n, R), nên ánhxạ ϕ là một đồng cấu nhóm. Ngoài ra, ϕ là ánhxạ khả vi (vì GL(n, R) là nhóm Lie), do đó ϕ là một đồng cấu nhóm Lie, và ta có ϕ −1 (I) = ker ϕ = {A ∈ GL(n, R)|A t A = I} = O(n). Nên O(n) là nhóm con đóng của GL(n, R), do đó O(n) là một nhómLietuyếntínhvà được gọi là nhóm trực giao. 3) Nhóm trực giao đặc biệt SO(n): 8 Xét tập con SO(n) := {X ∈ GL(n, R)|X t X = I, det X = 1}. Khi đó SO(n) là một nhómLietuyến tính. Thật vậy, ta có SO(n) = SL(n, R) ∩ O(n). Ngoài ra, SL(n, R) và O(n) là các nhóm con đóng của GL(n, R) nên SO(n) là nhóm con đóng của GL(n, R). Do đó SO(n) là một nhómLietuyếntínhvà được gọi là nhóm trực giao đặc biệt. 2.3. Đại số Lie của nhómLietuyếntính 2.3.1. Đại số Lie của các nhómLietuyếntính SL(n, R), O(n), SO(n) 2.3.1.1. Mệnh đề Xét nhómLietuyếntính đặc biệt SL(n, R) := {X ∈ GL(n, R)| det X = 1} . Khi đó đại số Lie tương ứng là sl(n, R) = {X ∈ gl(n, R)|T rX = 0}. Chứng minh. Đặt U = {X ∈ gl(n, R)|T rX = 0}. Ta chứng minh SL(n, R) = U như sau. • sl(n, R) ⊂ U. Lấy X ∈ sl(n, R), theo Mệnh đề 2.2.1.2, ta có: exp(tX) ∈ GL(n, R), ∀t ∈ R, tức là det(exp(tX)) = 1, ∀t ∈ R. Do đó T rX = d dt (det(exp(tX)))| t=0 = d dt 1| t=0 = 0. Suy ra X ∈ U. Vậy sl(n, R) ⊂ U. • U ⊂ sl(n, R). Lấy X ∈ U và giả sử rằng X ∈ gl(n, R), tức là T rX = 0. Khi đó ∀t ∈ R thì T r(tX) = 0. Do ánhxạ det : GL(n, R) −→ R ∗ là đồng cấu nhóm Lie, ta có sơ đồ sau giao hoán: GL(n, R) det −−→ R ∗ exp GL(n,R) exp R ∗ gl(n, R) −−−−−→ T I n det=T r R tức là det ◦ exp GL(n,R) = exp R ∗ ◦T r. Do đó ∀t ∈ R, ta có det(e tX ) = e T r(tX) = e 0 = 1. Suy ra exp(tX) = e tX ∈ SL(n, R), ∀t ∈ R.