Nhóm lie tuyến tính và ánh xạ exponent

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG    ĐỖ THỊ NGUYỆT ÁNH NHÓM LIE TUYẾN TÍNH VÀ ÁNH XẠ EXPONENT Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60. 46. 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1 : TS.Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2 : TS.Hoàng Quang Tuyến Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 05 năm 2011 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhóm Lie và đại số Lie là các cấu trúc thể hiện sự giao thoa giữa hình học đại số và vật lý lý thuyết, là một trong các đối tượng cơ bản của lý thuyết Lie và lý thuyết cấu trúc. Bên cạnh đó, lý thuyết Lie còn thể hiện được mối liên hệ biện chứng giữa cấu trúc của một nhóm Lie G với đại số Lie g tương ứng, trong đó g được xét như là không gian tiếp xúc của đa tạp G tại phần tử đơn vị. Mối liên hệ này được khảo sát thông qua một công cụ đặc biệt, đó là ánh xạ exponent chuyển mỗi vector tiếp xúc X của g thành một phần tử expX của nhóm Lie G, được hiểu như là một sự mở rộng của ánh xạ exponent thông thường. Một tính chất thú vị và quan trọng của ánh xạ exponent là tính toàn ánh đang được khảo sát cho nhiều lớp nhóm Lie cụ thể, đặc biệt là lớp các nhóm con đóng của nhóm tuyến tính tổng quát hay còn gọi là các nhóm Lie tuyến tính. Do đó, với mong muốn tìm hiểu thêm về nhóm Lie và đại số Lie và được sự gợi ý của thầy giáo PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài " Nhóm Lie tuyến tính và ánh xạ exponent" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn này. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là khảo sát cấu trúc của nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie tương ứng và xác định ánh xạ exponent. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài là khảo sát ánh xạ exponent cho các nhóm Lie tuyến tính. 4. Phương pháp nghiên cứu - Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài. - Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài - Góp phần làm rõ cấu trúc của các nhóm Lie tuyến tính. - Thể hiện một số tính chất của ánh xạ exponent cho các nhóm Lie 2 tuyến tính. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn được trình bày trong 3 chương: • Chương 1: Kiến thức cơ sở. • Chương 2: Nhóm Lie tuyến tính và đại số Lie tương ứng. • Chương 3: Ánh xạ exponent của nhóm Lie tuyến tính. Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản có liên quan đến đề tài. Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của nhóm Lie tuyến tính, nhóm đẳng cự Affine, nhóm Lorentz và từ đó xác định đại số Lie tương ứng của chúng. Chương 3 tập trung khảo sát ánh xạ exponent của một số nhóm Lie tuyến tính và mở rộng các kết quả cho trường hợp nhóm đẳng cự Affine và nhóm Lorentz. Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Nhóm Lie 1.1.1. Đa tạp 1.1.1.1. Đa tạp tô pô 1.1.1.2. Đa tạp khả vi 1.1.1.3. Ánh xạ khả vi 1.1.1.4. Đa tạp con 1.1.2. Nhóm Lie 1.1.2.1. Định nghĩa Nhóm Lie là một đa tạp khả vi G được trang bị một cấu trúc nhóm sao cho các ánh xạ µ : G × G −→ G, (x, y) −→ xy và ι : G −→ G, x −→ x −1 là khả vi. Số chiều của đa tạp được gọi là số chiều của nhóm Lie. 1.1.2.2. Ví dụ 1.1.2.3. Bổ đề [4] 1.1.2.4. Bổ đề [4] Cho G là một nhóm Lie và xét H ⊂ G là nhóm con vừa là đa tạp con của G. Khi đó H là một nhóm Lie. 3 1.1.2.5. Ví dụ 1.1.2.6. Định nghĩa Cho G, H là các nhóm Lie. 1) Một đồng cấu nhóm Lie từ G vào H là một ánh xạ khả vi ϕ : G −→ H sao cho ϕ là một đồng cấu nhóm. 2) Một đẳng cấu nhóm Lie từ G vào H là một đồng cấu nhóm Lie ϕ sao cho ϕ là một song ánh và ánh xạ ngược cũng là một đồng cấu nhóm Lie. 1.1.2.7. Nhận xét [4] 1.1.2.8. Định lý [4] Cho G là một nhóm Lie và H là một nhóm con của G. Khi đó các điều kiện sau tương đương: a) H là đóng theo nghĩa tô pô. b) H là một đa tạp con. Một nhóm con đồng thời là một tập đóng của nhóm Lie G được gọi là nhóm con đóng của G. Từ Định lý 1.1.2.8 và áp dụng Bổ đề 1.1.2.4 ta suy ra hệ quả sau. 1.1.2.9. Hệ quả [4] Cho G là một nhóm Lie. Khi đó mỗi nhóm con đóng của G là một nhóm Lie. 1.1.2.10. Hệ quả [4] Cho ϕ : G −→ H là một đồng cấu nhóm Lie. Khi đó ker ϕ là một nhóm con đóng của G. Đặc biệt, ker ϕ là một nhóm Lie. 1.1.2.11. Ví dụ 1.1.2.12. Nhận xét [4] Cho G là một nhóm Lie. Xét H và K là các nhóm con đóng của G. Khi đó H ∩ K là nhóm con đóng của G nên là một nhóm Lie. 1.2. Ánh xạ exponent của nhóm Lie 1.2.1. Đường cong tích phân Cho X là một đa tạp trơn, v là trường véc tơ lớp C p , p ≥ 1. Cho trước x ∈ X và I là một khoảng mở chứa 0. Khi đó, một đường cong tích phân của v với điểm gốc x được định nghĩa là một ánh xạ khả vi c : I −→ X 4 sao cho: c(0) = x, . c(t) = v(c(t)), t ∈ I. Ở đây, ta viết . c(t) thay cho d dt (c(t)) = T t c(1). 1.2.1.1. Định lý [5] 1.2.1.2. Hệ quả [5] 1.2.1.3. Nhận xét [5] 1.2.1.4. Trường véc tơ bất biến Cho G là một đa tạp, ta ký hiệu V(G) là không gian tuyến tính thực của các trường véc tơ trên G. Một trường véc tơ v ∈ V(G) được gọi là bất biến trái, nếu (l x ) ∗ v = v, ∀x ∈ G, hay là: v(xy) = T y (l x )v y ; ∀x, y ∈ G. Tập hợp tất cả các trường véc tơ bất biến trái là một không gian con tuyến tính của V(G), ký hiệu là V L (G). Từ đẳng thức trên, với y = e ta thấy rằng một trường véc tơ bất biến trái hoàn toàn được xác định bởi giá trị v(e) ∈ T e G tại e. Hay nói cách khác, v −→ v(e) xác định một đơn ánh tuyến tính từ ánh xạ V L (G) vào T e G. Ta cũng chỉ ra được rằng ánh xạ xác định như trên là toàn ánh. Hơn nữa, nếu X ∈ T e G, ta xác định trường véc tơ v X trên G như sau: v X (x) = T e (l x )X; ∀x ∈ G. 1.2.1.5. Bổ đề [4] 1.2.1.6. Bổ đề [4] 1.2.2. Ánh xạ exponent của nhóm Lie 1.2.2.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm Lie và T e G là không gian tiếp xúc của G tại phần tử đơn vị. Ánh xạ exponent được xác định như sau: exp = exp G : T e G −→ G; X −→ exp X := α X (1), trong đó α X là đường cong tích phân cực đại với điểm gốc e của trường véc tơ bất biến trái v X trên G được xác định bởi v X (e) = X. 1.2.2.2. Ví dụ 1.2.2.3. Nhận xét [4] 1.2.2.4. Tính chất [4] 1.2.3. Nhóm con một tham số 1.2.3.1. Định nghĩa 1.2.3.2. Bổ đề [4] 1.2.3.3. Bổ đề [4] 5 Cho ϕ : G −→ H là một đồng cấu nhóm Lie. Khi đó ta có biểu đồ sau giao hoán G ϕ −−→ H exp G       exp H T e G −−→ T e ϕ T e H , tức là ϕ ◦ exp G = exp H ◦T e ϕ. 1.3. Đại số Lie của nhóm Lie Trong phần này ta giả sử rằng G là một nhóm Lie. Nếu x ∈ G thì các ánh xạ tịnh tiến l x : y −→ xy và r x : y −→ yx là các vi phôi từ G vào chính nó. Do đó, ánh xạ hợp C x = l x ◦ r −1 x : y −→ xyx −1 cũng là một vi phôi từ G vào chính nó. Suy ra ánh xạ tiếp xúc T e C x tại e của C x là một tự đẳng cấu tuyến tính của T e G. Vì vậy, T e C x ∈ GL(T e G). 1.3.1. Định nghĩa 1.3.2. Bổ đề [4] 1.3.3. Bổ đề [4] 1.3.4. Nhận xét [4] 1.3.5. Bổ đề [4] 1.3.6. Định nghĩa 1.3.7. Bổ đề [4] 1.3.8. Bổ đề [4] 1.3.9. Hệ quả [4] 1.3.10. Định nghĩa Một đại số Lie thực là một không gian tuyến tính thực g cùng với ánh xạ song tuyến tính [., .]: g × g −→ g, sao cho ∀X, Y, Z ∈ g ta có: a) [X, Y ] = −[Y, X] (phản đối xứng); b) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 (đồng nhất thức Jacobi). 1.3.11. Ví dụ 1.3.12. Hệ quả [4] 1.3.13. Định nghĩa 1.3.14. Bổ đề [4] 1.3.15. Ví dụ 6 Chương 2 NHÓM LIE TUYẾN TÍNH VÀ ĐẠI SỐ LIE TƯƠNG ỨNG 2.1. Nhóm Lie con và đại số Lie tương ứng 2.1.1. Định nghĩa Cho H là một nhóm con của nhóm Lie G. Ta gọi H là nhóm Lie con của G nếu trên H được trang bị một cấu trúc nhóm Lie sao cho phép nhúng chính tắc ι: H −→ G, x −→ x là một đồng cấu nhóm Lie. 2.1.2. Nhận xét Cho nhóm Lie G. Khi đó ta có: a) Nếu H là một nhóm con vừa là đa tạp con của G thì H là nhóm Lie con. Suy ra nếu H là một nhóm con đóng của G thì H là nhóm Lie con. b) Nếu H là nhóm Lie con của G thì không nhất thiết H phải là đa tạp con của G. 2.1.3. Bổ đề [4] 2.1.4. Hệ quả [4] 2.1.5. Nhận xét [4] 2.1.6. Mệnh đề [4] 2.2. Nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm Lie tuyến tính Cho V là một không gian tuyến tính thực hữu hạn chiều, trong Chương 1 ta đã biết GL(V ) là một nhóm Lie thực n 2 chiều và được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát của V. Ký hiệu GL(n, R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông thực cấp n khả nghịch, ta có GL(n, R) là một nhóm đẳng cấu với GL(V ) nên cũng là một nhóm Lie thực n 2 chiều và được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát (thực). Tương tự, GL(n, C) được xét như một nhóm con đóng của GL(2n, R) cũng là một nhóm Lie thực (2n) 2 chiều và được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát (phức). 2.2.1. Nhóm Lie tuyến tính 7 2.2.1.1. Định nghĩa Một nhóm Lie tuyến tính là nhóm con G của GL(n, R) (n ≥ 1) đồng thời là một đa tạp con trơn trong R n 2 . Từ định nghĩa ta thấy bản thân GL(n, R) và GL(n, C) đều là các nhóm Lie tuyến tính. Mệnh đề dưới đây cho phép chúng ta xác định được một số ví dụ về nhóm Lie tuyến tính. 2.2.1.2. Mệnh đề [6] Mỗi nhóm con đóng G của GL(n, R) là một nhóm Lie tuyến tính. Khi đó G là một nhóm Lie và đại số Lie g tương ứng được xác định bởi g = {X ∈ gl(n, R)|∀t ∈ R : e tX ∈ G}. 2.2.1.3. Một số nhóm Lie tuyến tính cụ thể 1) Nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n, R): Xét tập con SL(n, R) := {X ∈ GL(n, R)| det X = 1}. Khi đó SL(n, R) là một nhóm Lie tuyến tính. Thật vậy, xét ánh xạ det : GL(n, R) −→ R ∗ , A −→ det A = 1. Ta có det(AB) = (det A)(det B) = 1; ∀A, B ∈ GL(n, R), nên ánh xạ det là một đồng cấu nhóm. Ngoài ra, det là ánh xạ liên tục, do đó ánh xạ det là một đồng cấu nhóm Lie, và ta có det −1 (1) = ker(det) = {A ∈ GL(n, R)| det A = 1} = SL(n, R). Nên SL(n, R) là nhóm con đóng của GL(n, R), do đó SL(n, R) là một nhóm Lie tuyến tính và được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt. 2) Nhóm trực giao O(n): Xét tập con O(n) := {X ∈ GL(n, R)|X t X = I}. Khi đó O(n) là một nhóm Lie tuyến tính. Thật vậy, xét ánh xạ ϕ : GL(n, R) −→ GL(n, R), A −→ A t A = I. Ta có ϕ(AB) = ϕ(A)ϕ(B) = (A t A)(B t B) = I; ∀A, B ∈ GL(n, R), nên ánh xạ ϕ là một đồng cấu nhóm. Ngoài ra, ϕ là ánh xạ khả vi (vì GL(n, R) là nhóm Lie), do đó ϕ là một đồng cấu nhóm Lie, và ta có ϕ −1 (I) = ker ϕ = {A ∈ GL(n, R)|A t A = I} = O(n). Nên O(n) là nhóm con đóng của GL(n, R), do đó O(n) là một nhóm Lie tuyến tính và được gọi là nhóm trực giao. 3) Nhóm trực giao đặc biệt SO(n): 8 Xét tập con SO(n) := {X ∈ GL(n, R)|X t X = I, det X = 1}. Khi đó SO(n) là một nhóm Lie tuyến tính. Thật vậy, ta có SO(n) = SL(n, R) ∩ O(n). Ngoài ra, SL(n, R) và O(n) là các nhóm con đóng của GL(n, R) nên SO(n) là nhóm con đóng của GL(n, R). Do đó SO(n) là một nhóm Lie tuyến tính và được gọi là nhóm trực giao đặc biệt. 2.3. Đại số Lie của nhóm Lie tuyến tính 2.3.1. Đại số Lie của các nhóm Lie tuyến tính SL(n, R), O(n), SO(n) 2.3.1.1. Mệnh đề Xét nhóm Lie tuyến tính đặc biệt SL(n, R) := {X ∈ GL(n, R)| det X = 1} . Khi đó đại số Lie tương ứng là sl(n, R) = {X ∈ gl(n, R)|T rX = 0}. Chứng minh. Đặt U = {X ∈ gl(n, R)|T rX = 0}. Ta chứng minh SL(n, R) = U như sau. • sl(n, R) ⊂ U. Lấy X ∈ sl(n, R), theo Mệnh đề 2.2.1.2, ta có: exp(tX) ∈ GL(n, R), ∀t ∈ R, tức là det(exp(tX)) = 1, ∀t ∈ R. Do đó T rX = d dt (det(exp(tX)))| t=0 = d dt 1| t=0 = 0. Suy ra X ∈ U. Vậy sl(n, R) ⊂ U. • U ⊂ sl(n, R). Lấy X ∈ U và giả sử rằng X ∈ gl(n, R), tức là T rX = 0. Khi đó ∀t ∈ R thì T r(tX) = 0. Do ánh xạ det : GL(n, R) −→ R ∗ là đồng cấu nhóm Lie, ta có sơ đồ sau giao hoán: GL(n, R) det −−→ R ∗ exp GL(n,R)       exp R ∗ gl(n, R) −−−−−→ T I n det=T r R tức là det ◦ exp GL(n,R) = exp R ∗ ◦T r. Do đó ∀t ∈ R, ta có det(e tX ) = e T r(tX) = e 0 = 1. Suy ra exp(tX) = e tX ∈ SL(n, R), ∀t ∈ R.