Các họ khả tổng và ánh xạ tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn

Khoa toán ====== đỗ thị thanh tâm Các họ khả tổng và ánh xạ tuyến tính Liên tục trong không gian định chuẩn Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Vinh - 2009 Mục lục Trang Lời nói đầu .1 Chơng 1. Không gian các họ các số .3 1.1. Các kiến thức chuẩn bị .3 1.2. Họ các số khả tổng 5 1.3. Họ các số bị chặn và họ các số hội tụ tới 0 .11 Chơng 2. Các họ khả tổng trong không gian định chuẩn và ánh xạ tuyến tính liên tục .17 2.1. Các họ khả tổng trong không gian định chuẩn .17 2.2. Sự bảo tồn tính khả tổng qua các ánh xạ tuyến tính liên tục. .20 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 2 Lời nói đầu Lý thuyết giới hạn và ánh xạ tuyến tính liên tục có vai trò quan trọng trong giải tích toán học. Các khái niệm này đã đợc trình bày đầy đủ trong các giáo trình dành cho sinh viên. Tuy nhiên, giới hạn của dãy số suy rộng (hay còn gọi là lới) chỉ mới đề cập rất ít. Đặc biệt, tổng quá đếm đợc thì cha đợc đề cập đến. Mục đích của khoá luận này là dựa trên sự hội tụ của dãy suy rộng để nghiên cứu họ các số khả tổng, họ các số bị chặn, họ các số hội tụ tới không. Từ đó xây dựng và nghiên cứu các không gian mà các phần tử là các họ nói trên và thiết lập các mối quan hệ giữa các không gian đó. Đồng thời khoá luận cũng nghiên cứu các họ khả tổng, khả tổng tuyệt đối, khả tổng yếu trong không gian định chuẩn và sự bảo tồn tính khả tổng của các họ qua các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian định chuẩn. Với mục đích đó, khoá luận đợc viết thành hai chơng. Chơng 1. Không gian các họ các số Phần đầu của chơng này, trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về dãy suy rộng, không gian định chuẩn, không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục mà chúng cần dùng trong khoá luận. Phần thứ hai, trình bày khái niệm và một số tính chất của họ các số khả tổng. Từ đó xây dựng không gian các họ các số khả tổng và chứng minh tính Banach của nó. Phần cuối của chơng 1, trình bày các khái niệm và tính chất của họ các số bị chặn, họ các số hội tụ tới không và xây dựng không gian các họ bị chặn, không gian các họ hội tụ tới không. Sau đó nghiên cứu tính Banach và mối quan hệ của các không gian nói trên. Chơng 2. Các họ khả tổng trong không gian định chuẩn và ánh xạ tuyến tính liên tục Phần đầu của chơng này, trình bày khái niệm các họ khả tổng tuyệt đối, khả tổng yếu và khả tổng trong không gian định chuẩn. 3 Phần thứ hai, trình bày sự bảo tồn tính khả tổng, khả tổng tuyệt đối và khả tổng yếu của các họ trong không gian định chuẩn qua các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian định chuẩn. Các kết quả trong khoá luận chủ yếu là đã có trong các tài liệu tham khảo. Chúng tôi đã hệ thống, chứng minh chi tiết và trình bày lại theo mục đích của khoá luận. Bên cạnh đó chúng tôi cũng đa ra một số kết quả mới nh Định lý 1.3.2, Mệnh đề 1.3.3, Mệnh đề 1.3.4, Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4 và Hệ quả 2.2.5. Vì thời gian có hạn và bớc đầu nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi một số sai sót, mặc dù em đã có rất nhiều cố gắng. Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS. Đinh Huy Hoàng đã tận tình hớng dẫn, giảng dạy. Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành tốt bài khoá luận này. Vinh, tháng 5 năm 2009 Tác giả 4 Chơng 1 Không gian các họ các số 1.1. Các kiến thức chuẩn bị Trong mục này, trình bày một số khái niệm, ký hiệu và kết quả cơ bản cần dùng cho các mục sau. 1.1.1. Định nghĩa. Tập D đợc gọi là định hớng nếu trên đó xác định đợc một quan hệ thoả mãn các tính chất 1, m, n, p D sao cho m n, n p, thì m p, 2, Nếu m D thì m m, 3, m, n D, p D sao cho p m, p n. Khi đó ta nói tập D đợc định hớng bởi quan hệ và ký hiệu là (D, ) hoặc viết tắt là D. 1.1.2. Mệnh đề. Cho I là tập chỉ số bất kỳ. Đặt J (I) = {J I, J hữu hạn }. Trên j (I) xác định quan hệ bao hàm nh sau J, J j (I): J J J J . Khi đó j (I) với quan hệ bao hàm là một tập hợp định hớng. 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử D là một tập định hớng bởi quan hệ . Khi đó hàm S xác định trên D đợc gọi là một lới hay dãy suy rộng (sau này gọi là dãy). Ký hiệu là (S, D, ) hoặc viết tắt là S. Nếu miền giá trị của lới là không gian tôpô X thì S đợc gọi là lới trong không gian tôpô X. 1.1.4. Định nghĩa. Giả sử D là một tập đợc định hớng bởi quan hệ , (X , ) là một không gian tôpô. Khi đó lới (S n , D, ) đợc gọi là hội tụ trong không gian tôpô đến điểm s đối với tôpô nếu với mọi lân cận U của s đều tồn tại n 0 D sao cho với mọi n D mà n n 0 thì S n U. Ký hiệu lim S n = s hay S n s. 5 1.1.5. Định nghĩa. Giả sử (D, ) là một tập định hớng, (S, D, ), (T, D, ) là hai lới trong không gian véctơ tôpô X. Khi đó ta gọi lới (S +T, D, ) là lới tổng của lới (S, D, ) và (T, D, ) trong không gian véctơ tôpô X. L- ới ( S, D, ) là lới tích của lới (S, D, ) với thuộc trờng cơ sở của X. 1.1.6. Mệnh đề. Giả sử (D, ) là tập định hớng, (S, D, ) và (T, D, ) là các lới hội tụ trong không gian véctơ tôpô X. Khi đó các lới (S +T, D, ) và ( S, D, ) cũng hội tụ, đồng thời nếu S s, T t thì S + T s + t và S s. 1.1.7. Định nghĩa. Giả sử E là một không gian tuyến tính trên trờng K (R hoặc C) và p: E R x a p(x). Hàm p đợc gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện sau 1) p(x) 0, x E, 2) p(x) = 0 x = 0, 3) p( x) = p(x) , K, x E, 4) p(x + y) p(x) + p(y), x, y E. Không gian tuyến tính E cùng với một chuẩn trên đó đợc gọi là không gian định chuẩn và ký hiệu là (E, p) hay E. Ta thờng viết x thay cho p(x). Không gian định chuẩn E đợc gọi là không gian Banach nếu E là không gian mêtric đầy đủ. 1.1.8. Định lí. Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn. Ký hiệu L(E, F) là không gian các ánh xạ tuyến tính, liên tục từ E vào F. Trên L(E, F) ta xét chuẩn f = inf { :k ( )f x k . x , } x E , f L(E, F). Ta có f = 0 sup x ( )f x x = 1 sup x ( )f x = 1 sup x = ( )f x , ( )f x f . x , ( , )x E f L E F . 6 1.1.9. Định lý. Nếu F là không gian Banach thì L(E, F) là không gian Banach. Ta viết E * thay cho L(E, K). 1.2. Họ các số khả tổng Trong giải tích cổ điển, ta đã nghiên cứu kỹ về chuỗi số và sự hội tụ của chuỗi số. Khi xét chuỗi, ta xem chuỗi là tổng hình thức gồm một số đếm đợc các số hạng. Vấn đề đặt ra là nếu cho I là tập quá đếm đợc và tập quá đếm đợc các số [x i , i I ] thì ta có thể xây dựng đợc khái niệm tổng tất cả các số hạng [x i , i I ] hay không ? Trong mục này ta sẽ trình bày khái niệm Ii i x và nghiên cứu các tính chất tơng tự nh chuỗi số hội tụ còn đúng cho tổng vừa định nghĩa hay không ? 1.2.1. Định nghĩa. Cho I là tập chỉ số bất kỳ, j (I) là họ các tập con hữu hạn của I. Ta định hớng j (I) theo quan hệ bao hàm. Giả sử [ i x , i I ] là họ các số, với mỗi J j (I) đặt = Ji iJ xS . Nếu dãy suy rộng { J,S J j (I)} hội tụ thì ta nói họ [ i x , i I ] khả tổng. Số s mà { } J S hội tụ tới đợc gọi là tổng của họ [ i x , i I ] và ký hiệu là = I i sx . Ta nói dãy suy rộng {S n } n , trong đó là tập chỉ số nào đó đợc định hớng bởi quan hệ (hoặc ) là dãy đơn điệu tăng (hoặc giảm) trong R khi và chỉ khi từ m n suy ra S m S n (hoặc S m S n ). 1.2.2. Mệnh đề. Nếu họ [ i x , i I ] không âm, tức là 0 i x với mọi Ii (không dơng) thì nó khả tổng khi và chỉ khi dãy suy rộng {S J , j (I)} bị chặn trên (bị chặn dới, tơng ứng). Trớc hết ta chứng minh Bổ đề sau. 7 1.2.3. Bổ đề. Mỗi dãy suy rộng đơn điệu tăng trong R mà miền giá trị của nó giới nội (tồn tại phần tử x R, sao cho n,Sx n ) hội tụ đến cận trên bé nhất của miền giá trị. Chứng minh. Miền giá trị của { } n S giới nội nên tồn tại phần tử 0 x là cận trên bé nhất của miền giá trị của nó. Khi đó với mỗi lân cận U của thì do 0 x là cận trên bé nhất của miền giá trị của { } n S nên tồn tại n S sao cho US n . Vì { } n S đơn điệu tăng nên từ n trở đi { } n S nằm hoàn toàn trong U . Do đó { } n S hội tụ đến 0 x . Chứng minh Mệnh đề 1.2.2. Giả sử họ [ i x , i I ] không âm trên I và các tổng theo mọi tập con hữu hạn có thể của I bị chặn trên. Khi đó ta thấy ngay { J,S J j ( I )} là dãy suy rộng đơn điệu tăng và bị chặn trên trong R. Theo kết quả của Bổ đề 1.2.3 thì dãy suy rộng này hội tụ, tức là họ [ i x , i I ] khả tổng trên I. Ngợc lại, giả sử họ [ i x , i I ] không âm và [ i x , i I ] khả tổng trên I. Khi đó dãy suy rộng { J,S J j ( I )} hội tụ đến i i I x x = . Vì 0 i x , với mọi Ii nên xS J < với mỗi J j ( I ). Vậy { } n S bị chặn trên. Trờng hợp còn lại của Mệnh đề đợc chứng minh hoàn toàn tơng tự. Đối với chuỗi số thì mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ, tồn tại những chuỗi hội tụ nhng không hội tụ tuyệt đối. Đối với họ khả tổng điều tơng tự nh vậy không đúng. Ta có Mệnh đề sau. 1.2.4. Mệnh đề. Họ [ i x , i I ] khả tổng khi và chỉ khi nó khả tổng tuyệt đối, tức là họ [ i x , i I ] khả tổng. Để chứng minh Mệnh đề này ta cần Bổ đề sau. 8 Giả sử g I. Ta nói họ [ i x , i I ] khả tổng trên g nếu họ [x i , i g] khả tổng. 1.2.5. Bổ đề. Đặt I + = { ,i I 0 i x } và I - = { ,i I x i < 0 }. Họ [ i x , i I ] khả tổng trên I khi và chỉ khi nó khả tổng trên cả I + và I - . Nếu [ i x , i I ] khả tổng trên I thì Ii x i = + + Ii Ii ii xx . Trong giải tích hàm, ta đã biết không gian { } <= = 1n p nnp x:Kx với p 1 là không gian Banach với chuẩn x p = ( = 1n p p n x 1 ) , { } pn xx = . Vấn đề đặt ra là nếu các dãy số trong p đợc thay bởi họ các số thì kết quả tơng tự nh đối với p còn đúng nữa hay không ? Sau đây, ta sẽ giải quyết vấn đề này cho trờng hợp p = 1. Trờng hợp tổng quát cũng hoàn toàn tơng tự. Đặt ( ) 1 Kl = {[ i x , i I ] khả tổng trong K}. Ta viết [ x i ] thay cho [ i x , i I ] với [ x i ] và [ y i ] ( ) K 1 , K, ta định nghĩa [ x i ] + [ y i ] = [ x i +y i ] , (1) [ x i ] = [ x i ] . (2) 1.2.6. Định lý. 1) Với các phép toán đã cho ( ) 1 Kl là không gian tuyến tính. 2) Công thức = Ii i xx , x = [ x i ] ( ) 1 Kl xác định một chuẩn trên ( ) 1 Kl và với chuẩn này ( ) 1 Kl là không gian Banach. Chứng minh. Với [ x i ], [y i ] ( ) 1 Kl . Đặt s J = i i J x , p J = i i J y , J j (I). 9 Khi đó, tồn tại các giới hạn lim s J = s , lim p J = p. Từ đó suy ra với mọi > 0, tồn tại J 0 j (I) sao cho với mọi J j (I), J J 0 ta có s J s < 2 , p J p < 2 . Do đó s J + p J (s +p) < , J j (I), J J 0 . Mặt khác với mọi J j (I) ta có s J + p J = ( ) + i i i J x y . Vì thế [ + i i x y ]- khả tổng. Với mọi i I ta có + + i i i i x y x y . Do đó từ [ + i i x y ]- khả tổng suy ra [x i + y i ] khả tổng tuyệt đối, nghĩa là [ x i + y i ] ( ) 1 Kl . Tơng tự ta chứng minh đợc rằng nếu [ x i ] ( ) 1 Kl thì [ x i ] ( ) 1 Kl với mọi K. Nh vậy ( ) 1 Kl khép kín đối với hai phép toán (1) và (2). Do đó ( ) 1 Kl là không gian tuyến tính. 2) Với mọi x = [ x i ] ( ) 1 Kl ta có : x = i i I x o, x = 0 i x = 0, i I x i = 0, i I x = 0. Với mọi x = [ x i ], y = [ y i ] ( ) 1 Kl ta có i J x i + y i i J x i + i J y i , J j (I) . Từ đó suy ra i I x i + y i i I x i + i I y i , hay x + y x + y . Với mọi x = [ x i ] ( ) 1 Kl , với mọi K ta có 10 . cứu các họ khả tổng, khả tổng tuyệt đối, khả tổng yếu trong không gian định chuẩn và sự bảo tồn tính khả tổng của các họ qua các ánh xạ tuyến tính liên tục. trong không gian định chuẩn và ánh xạ tuyến tính liên tục 2.1. Các họ khả tổng trong không gian định chuẩn 2.1.1. Định nghĩa. Họ [x i , i I ] trong không gian