Ánh xạ tuyến tính liên lục trên không gian HILBERT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐÀO THỊ VÂN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Sơn La, năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Giải Tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: THS ĐOÀN THỊ CHUYÊN Sơn La, năm 2017 LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn tới cô Đoàn Thị Chuyên thầy Vũ Việt Hùng, người định hướng nghiên cứu hướng dẫn tận tình em, giúp đỡ em tài liệu nghiên cứu động viên em có nghị lực hoàn thành khóa luận Trong trình làm khóa luận, em nhận giúp đỡ thầy cô giáo Khoa Toán-Lý-Tin, đặc biệt thầy cô tổ môn Giải tích, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, bạn sinh viên lớp K54-ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên quý thầy cô, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành đề tài Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ quý báu nói Sơn La, tháng năm 2017 Người thực Sinh viên: ĐÀO THỊ VÂN Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị không gian Hilbert 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Banach 1.2 1.2.1 Toán tử không gian Banach 1.2.2 Phổ toán tử tuyến tính 10 Không gian Hilbert toán tử không gian Hilbert 12 1.3.1 Không gian Hilbert 12 1.3.2 Toán tử liên hợp không gian Hilbert 13 1.3.3 Toán tử tự liên hợp không gian Hilbert 14 Ba nguyên lý Giải tích hàm 16 1.4.1 Nguyên lý bị chặn 16 1.4.2 Định lý ánh xạ mở đồ thị đóng 17 1.4.3 Định lý Hahn-Banach 18 1.5 Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục 19 1.6 Phép chiếu trực giao 20 1.3 1.4 Toán tử phổ toán tử không gian Banach Toán tử không gian Hilbert 21 2.1 Một số kí hiệu 21 2.2 Các kết quan trọng hạt nhân miền giá trị toán tử 28 2.3 Mối quan hệ số toán tử thông dụng 33 2.4 Phổ số toán tử không gian Hilbert 35 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN Giải tích hàm ngành giải tích toán học nghiên cứu không gian vectơ trang bị thêm cấu trúc topo phù hợp toán tử tuyến tính liên tục chúng Chính việc nghiên cứu phổ toán tử dẫn đến việc nghiên cứu đại số topo, đối tượng khác giải tích hàm Các kết phương pháp thâm nhập vào nhiều ngành khác lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết toán cực trị biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn, Ra đời vào năm đầu kỷ 20, bắt nguồn từ công trình phương trình tích phân Hilbert, Fredholm, , đến giải tích hàm tích lũy thành tựu quan trọng trở thành chuẩn mực việc nghiên cứu trình bày kiến thức toán học Các khái niệm giải tích hàm: - Không gian vectơ topo lồi địa phương Đây có lẽ loại không gian tổng quát giải tích hàm (các không gian Frechet, định chuẩn, Banach, Hilbert trường hợp riêng quan trọng không gian vectơ topo) - Các toán tử tuyến tính liên tục không gian (còn gọi đồng cấu) Hai trường hợp đặc biệt quan trọng phiếm hàm tuyến tính liên tục(dạng tuyến tính liên tục) tự đồng cấu - Giống không gian, ta có đại số tương ứng Các đại số dựa mô hình đại số tự đồng cấu, nên lý thuyết tổng quát đại số gọi lý thuyết đại số toán tử Chú ý khác với không gian, đại số thường wets trường số phức Điều tự nhiên tự đồng cấu nghiên cứu ”tốt” trường sở đóng đại số Ngoài ra, dựa tự đồng cấu tự liên hợp người ta định nghĩa lớp đại số định chuẩn quan trọng C∗ - đại số, tương ứng với không gian Ngày nay, nghiên cứu số toán tử tuyến tính không gian định chuẩn nghiên cứu nhiều giải tích hàm Với mong muốn tìm hiểu môn Giải tích hàm ứng dụng đẹp môn phát triển toán học nói chung giải tích hàm nói riêng Với lý trên, em chọn khóa luận ”Ánh xạ tuyến tính liên tục không gian Hilbert” thuộc Bộ môn Giải tích hàm để làm đề tài nghiên cứu cho nhằm góp phần vào việc nâng cao hiệu học tập môn học Giải tích hàm nói riêng môn toán nói chung 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tính chất số toán tử tuyến tính không gian Banach, không gian Hilbert, phổ toán tử - Rèn luyện khả nghiên cứu khoa học thân ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lý thuyết tính chất toán tử tuyến tính không gian Banach, không gian Hilbert, phổ toán tử NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu nghiên cứu trình bày khái niệm tính chất toán tử tuyến tính không gian Banach, không gian Hilbert, phổ toán tử PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Sưu tầm, đọc nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày seminar với tổ môn, giáo viên hướng dẫn khóa luận từ tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua thực kế hoạch hoàn thành khóa luận TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA KHÓA LUẬN 6.1 Tính mẻ khóa luận Đây vấn đề thân giải tích hàm Đồng thời vấn đề chưa tiếp cận nhiều bạn sinh viên ĐHSP Toán 6.2 Hướng phát triển khóa luận - Nghiên cứu tính chất số toán tử toán tử tuyến tính liên tục không gian Banach, không gian Hilbert - Nghiên cứu tính chất phổ toán tử không gian không gian Banach, không gian Hilbert NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN Đề tài tổng hợp nghiên cứu đầy đủ tính chất toán tử tuyến tính không gian Banach, không gian Hilbert, phổ toán tử CẤU TRÚC KHÓA LUẬN Với mục đích đề tài chia thành chương với nội dung sau đây: Chương 1: Nội dung chương em trình bày số kiến thức quan trọng giải tích hàm khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian thương, không gian hữu hạn chiều Ba nguyên lí giải tích hàm: Nguyên lí bị chặn đều, Định lí ánh xạ mở đồ thị đóng, Định lí Hahn - Banach với kết liên quan sử dụng cho chứng minh chương Chương 2: Trình bày nội dung đề tài, trình bày định nghĩa tính chất toán tử tuyến tính không gian Banach, không gian Hilbert Ngoài trình bày phổ toán tử compact với số ví dụ chúng Chương Kiến thức chuẩn bị không gian Hilbert Trong chương này, trước hết em trình bày số kiến thức quan trọng giải tích hàm không gian định chuẩn, không gian Banach,không gian Hilbert, toán tử liên hợp, , ba nguyên lí giải tích hàm vói số kết quan trọng phục vụ chương 1.1 1.1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Hàm ρ xác định không gian vector E gọi chuẩn E ρ thỏa mãn điều kiện sau: 1) ρ( x ) > với x ∈ E ρ( x ) = ⇒ x = 0, 2) ρ(λx ) = |λ|ρ( x ) với λ ∈ K với x ∈ E, 3) ρ( x + y) ρ( x ) + ρ(y) với x, y ∈ E Khi ρ thỏa mãn điều kiện 2) 3), điều kiện 1) thay điều kiện: 1’) ρ( x ) với x ∈ E, ρ gọi nửa chuẩn E Định nghĩa 1.2 Không gian vector E với chuẩn ρ xác định E gọi không gian tuyến tính định chuẩn Một không gian tuyến tính định chuẩn thường gọi ngắn gọn không gian định chuẩn Khi E không gian định chuẩn với chuẩn ρ với x ∈ E ta viết ρ( x ) = || x || gọi số || x || chuẩn vector x 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn E gọi không gian Banach E với metric sinh chuẩn E không gian metric đầy Định nghĩa 1.4 Tập X không gian định chuẩn E gọi là: a) Tập bị chặn nếu: sup{|| x || x ∈ X } < +∞ b) Tập hoàn toàn bị chặn nếu: Với ε > tồn tập hữu hạn A ⊂ E cho (∀ x ∈ X )(∃y ∈ A)| x − y < ε ⇔⊂ B(y, ε) y∈ A Tập hữa hạn A ⊂ E thỏa mãn b) gọi ε- lưới hữu hạn X c) Tập compact nếu: dãy { xn } ⊂ X có dãy { xnk } hội tụ tới phần tử x ∈ X 1.2 1.2.1 Toán tử phổ toán tử không gian Banach Toán tử không gian Banach Định nghĩa 1.5 Giả sử E không gian định chuẩn Ta gọi không gian liên hợp topo E = L( E, K) E không gian liên hợp thứ E Không gian liên hợp E kí hiệu E gọi không gian liên hợp thứ hai E Như vậy: E = ( E ) = L( E , K) Mệnh đề 1.1 Giả sử E không gian định chuẩn Khi ánh xạ: ηE : E → E Mệnh đề 2.1 A Cho H1 , H2 hai không gian Hilbert, có T = T , ∀ T ∈ B(H1 , H2 ); ( T ) = T, ∀ T ∈ B(H1 , H2 ); (S + T ) = S + T , ∀S, T ∈ B(H1 , H2 ); (λT ) = λT , ∀ T ∈ B(H1 , H2 ), λ ∈ C (2.6) (2.7) (2.8) (2.9) B Cho H1 , H2 , H3 ba không gian Hilbert, (ST ) = T S , ∀ T ∈ B(H1 , H2 ), S ∈ B(H2 , H1 ) (2.10) Chứng minh Đẳng thức (2.6) dễ dàng chứng minh dựa vào Nhận xét 2.1 Đẳng thức (2.7) hiển nhiên Để chứng minh đặc điểm khác , ta biểu diễn toán tử X phía bên trái toán tử Y phía bên phải, ta phải X = Y, để chứng minh điều ta chứng minh đẳng thức ( Xξ |η ) = (ξ |Yη ), ∀ξ, η Chẳng hạn, để chứng minh (2.8) ta đặt X = S + T Y = S + T , dễ thấy ( Xξ |η ) = (Sξ + Tξ |η ) = (Sξ |η ) + ( Tξ |η ) = (ξ |S η ) + (ξ | T η ) = (ξ |S η + T η ) = (ξ |Yη ), ∀ξ ∈ H1 , η ∈ H2 Các đẳng thức khác chứng minh tương tự Nhận xét 2.2 Nếu H không gian Hilbert, kết cho thấy B(H) giải thức unita đại số Banach Kết quan trọng phát triển lý thuyết 27 2.2 Các kết quan trọng hạt nhân miền giá trị toán tử Mệnh đề 2.2 (Đặc trưng Kernel-Range) Cho H1 , H2 không gian Hilbert Với toán tử T ∈ B(H1 , H2 ), có đẳng thức (i) Ker T = (Ran T )⊥ ; (ii)Ran T = (Ker T )⊥ Chứng minh (i) Nếu với vector η ∈ Ker T , ξ ∈ H1 , ta có (η | Tξ )H2 = ( T η |ξ )H1 = 0, η ⊥ Tξ, ∀ξ ∈ H1 , η ∈ (Ran T )⊥ Điều chứng tỏ Ker T = (Ran T )⊥ Ngược lại, với η ∈ Ker T = (Ran T )⊥ , ta chứng minh cho T η = Dễ thấy η ⊥ ( TT η ), = (η | TT η )H2 = ( T η | T η )H1 = T η , Do T η = (ii) Áp dụng phần (i) cho T ta thấy Ran T = [Ran T ]⊥ ⊥ Ví dụ 2.1 Cho n ≥ 1, n ∈ Z, xét không gian Hilbert Cn có n (ξ |η ) = ∑ ξ k ηk , ∀ξ = (ξ 1, ξ 2, , ξ n ), η = (η1, η2, , ηn ) ∈ Cn k =1 Đại số Banach B(Cn ) xác định đại số Matn×n (C) ma trận vuông cấp n × n với hệ số phức Toán tử liên hợp có tích chất tương tự toán tử đại số tuyến tính Cho A ∈ Matn×n (C) A = a jk n j,k =1 , A = b jk n j,k=1 ma trận chuyển vị liên hợp A, tức b jk = akj Tương tự đồng B(Cm , Cn ) 28 với Matn×m (C) Các toán tử liên hợp sử dụng để xác định số loại toán tử Định nghĩa 2.2 Cho H không gian Hilbert A Toán tử T ∈ B(H) chuẩn tắc T T = TT ; B Toán tử T ∈ B(H) tự liên hợp T = T; C Toán tử T ∈ B(H) dương ( Tξ |ξ )H ≥ , ∀ξ ∈ H Nhận xét 2.3 A Mọi toán tử tự liên hợp T ∈ B(H) chuẩn tắc B Tập { T ∈ B(H) : T chuẩn tắc} tập đóng B(H), chuẩn topo Thậy vậy, với ( Tn )∞ n=1 dãy toán tử chuẩn tắc hội tụ tới T ∈ B(H), dãy ( Tn )∞ n=1 hội tụ tới T phép nhân ánh xạ B(H) × B(H) ( X, Y ) −→ XY ∈ B(H) liên tục, có lim T Tn n→∞ n =T T lim Tn Tn = TT n→∞ Vậy T T = TT C Cho T ∈ B(H), khẳng định sau tương đương: • T tự liên hợp; • ánh xạ dạng bán song tuyến tính φT : H × H (ξ, η ) −→ ( Tξ |η )H ∈ C bán song đối xứng ( Tξ |η ) = ( Tη |ξ ), ∀ξ, η ∈ H; • ( Tξ |ξ ) ∈ R, ∀ξ ∈ H 29 Đặc biệt, toán tử T dương tương đương với diều kiện φT xác định dương D Các tập B(H)sa = { T ∈ B(H) : T = T }, B(H+ = { T ∈ B(H) : T dương} tập đóng trongB(H), Topo định chuẩn Thật vậy, ( Tn )∞ n=1 hội tụ tới T, ta có ( Tξ |ξ ) = lim ( Tn ξ |η ), ∀ξ ∈ H n→∞ Do đó, giả sử tất Tn tự liên hợp ( Tξ |ξ ) ∈ C, ∀ξ ∈ H, T tự liên hợp Tương tự, tất Tn dương ( Tξ |ξ ) ≥ 0, ∀ξ ∈ H Vậy T dương E Cho H1 , H2 không gian Hilbert, toán tử T ∈ B(H1 , H2 ), toán tử T T ∈ B(H1 ) TT ∈ B(H2 ) dương Thật ( T Tξ |ξ ) = ( Tξ | Tξ ) = Tξ ≥ 0, ∀ξ ∈ H1 , ( TT η |η ) = ( T η | T η ) = T η ≥ 0, ∀η ∈ H2 F Không gian B(H)sa không gian tuyến tính thực không gian B(H) G Không gian B(H)+ nón lồi B(H)sa , nghĩa • Nếu S, T ∈ B(H)+ S + T ∈ B(H)+ ; • Nếu S ∈ B(H)+ , α ∈ [0; ∞) αS ∈ B(H)+ H Từ G ta có định nghĩa quan hệ thứ tự không gian vector thực B(H)sa S ≥ T ⇐⇒ S − T ∈ B(H)+ Điều tương đương với bất đẳng thức (Sξ |ξ ) ≥ ( Tξ |ξ ), ∀ξ ∈ H 30 Đối với phép đối xứng, ta phải T ≥ S S ≥ T S = T Thật vậy, đặt X = S − T tự liên hợp, thỏa mãn ( Xζ |ζ ) = 0, ∀ζ ∈ H Ta có ( Xξ |η ) = (2.11) −k X (ξ + ik η )|ξ + ik η i k∑ =0 (11) trở thành ( Xξ |η ) = 0, ∀ξ, η ∈ H, Do X = Từ trở đi, viết T ≥ có nghĩa T dương Mệnh đề 2.3 Định lý 2.1 mở rộng cho toán tử tự liên hợp Chứng minh T ∈ B(H) tự liên hợp T = sup{|( Tξ |ξ )| : ξ ∈ H, ξ ≤ 1} Chứng minh Đặt M = sup{|( Tξ |ξ )| : ξ ∈ H, ξ ≤ 1} Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwart để T ≤ M Để chứng minh đẳng thức này, ta thấy |( Tζ |ζ ) ≤ M ζ , ∀ζ ∈ H (∗) Từ định lý ta có T = sup{|( Tξ |η )| : ξ, η ∈ H, ξ , η ≤ 1} Như ta cần chứng minh rằng, với ξ , η ≤ 1, ta có |( Tξ |η )| ≤ M Giả sử thêm ( Tξ |η ) ∈ R, từ (∗), tính phân cực, quy tắc hình bình hành ta chứng minh |( Tξ |η )| ≤ M, với ξ , η ≤ 31 Ví dụ 2.2 Cho H không gian Hilbert, X ⊂ H không gian đóng tuyến tính Thì phép chiếu trực giao Px : H → H toán tử dương bị chặn Thật vậy, với ξ ∈ H, ξ − Px ξ ∈ X ⊥ (ξ − Px ξ ) ⊥ Px ξ, ta có = ( Px ξ |ξ − Px ξ ) = ( Px ξ |ξ ) − ( Px ξ | Px ξ ), từ ta chứng minh ( Px ξ |ξ ) = ( Px ξ | P − xξ ) = Px ξ ≥ 0, ∀ξ ∈ H Như vậy, phép chiếu trực giao hoàn toàn đươc xác định Hơn nữa, ta có khẳng định sau Mệnh đề 2.4 Cho H không gian Hilbert Toán tử bị chặn Q ∈ B(H), khẳng định sau tương đương: (i) Tồn không gian đóng X ⊂ H, cho Q = Px phép chiếu trực giao X ; (ii) Q = Q = Q2 Chứng minh (i)⇒(ii) hiển nhiên (ii)⇒(i) Giả sử Q = Q = Q2 , ta phải chứng minh Q phép chiếu trực giao không gian đóng X ⊂ H Ta định nghĩa X = Ran Q Trước tiên ta phải X đóng Dễ thấy, từ đẳng thức Q2 = Q ta có X = Ker ( I − Q) Bây ta chứng minh Q = Px , để làm điều ta phải hai điều sau: (a) Qξ = ξ, ∀ξ ∈ X (b) Qξ = 0,∀ξ ∈ X ⊥ Thật vậy, X = Ker ( I − Q) nên Q = Q = Q2 Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.2 ta có X ⊥ = (Ran Q)⊥ = Ker Q = Ker Q 32 Chú ý 2.1 Một toán tử Q ∈ B(H) có Q = Q = Q2 gọi phép chiếu Ví dụ minh họa cho ý tưởng tính chất không gian toán tử bị chặn thường chuyển thành thuộc tính đại số, trình bày dạng thuật ngữ đại số Banach B(H) Các chuẩn tự liên hợp mô tả thuật ngữ đại số Ngoài ra, có toán tử khác mà tính chất không gian mô tả đại số (xem Mệnh đề 2.4 đây) trình bày 2.3 Mối quan hệ số toán tử thông dụng Định nghĩa 2.3 Cho H1 , H2 không gian Hilbert A Cho toán tử T ∈ B(H1 , H2 ) gọi đẳng cự Tξ = ξ , ∀ξ ∈ H1 B Cho toán tử T ∈ B(H1 , H2 ) gọi phản đẳng cự liên hợp T ∈ B(H1 , H2 ) đẳng cự C Cho toán tử T ∈ B(H1 , H2 ) gọi unita U song ánh đẳng cự Mệnh đề 2.5 Cho H1 , H2 không gian Hilbert A Cho toán tử T ∈ B(H1 , H2 ) khẳng định sau tương đương: (i) T đẳng cự; (ii) T T = IH1 B Cho toán tử T ∈ B(H1 , H2 ) khẳng định sau tương đương: (i) T phản đẳng cự; (ii) TT = IH2 C Cho toán tử U ∈ B(H1 , H2 ) khẳng định sau tương đương: (i) U unita; (ii) U U = IH1 UU = IH2 Chứng minh A (i)⇒(ii) Dựa vào tính phân cực, áp dụng cho ánh xạ dạng bán song tuyến tính φ : H1 × H1 (ξ, η ) −→ ( T Tξ |η ) ∈ C, 33 đó, với ξ, η ∈ H1 , ta có đẳng thức φ(ξ, η ) = −k −k k k i φ ( ξ + i , ξ + i η ) = i ( T T (ξ + ik η )|ξ + ik η ) ∑ ∑ k =0 k =0 −k −k k k T (ξ + ik η ) = ∑ i ( T (ξ + i η )| T (ξ + i η )) = ∑ i k =0 k =0 Từ giả thiết T đẳng cự tính phân cực, ta có φ(ξ, η ) = −k i T (ξ + ik η ) ∑ k =0 = −k i ξ + ik η ∑ k =0 −k i (ξ + ik η |ξ + ik η ) = (ξ |η ) ∑ k =0 Như ( T Tξ |η ) = (ξ |η ), ∀ξ, η ∈ H1 , theo Bổ đề 2.1 ta có T T = IH1 (ii)⇒(i) Dễ thấy, từ đẳng thức T T = IH1 ta có Tξ = ( Tξ | Tξ ) = ( T Tξ |ξ ) = (ξ |ξ ) = ξ , ∀ξ ∈ H1 B Áp dụng phần A cho T ta điều cần chứng minh C (i)⇒(ii) Giả sử U unita Vì U đẳng cự, theo phần A ta có U U = IH1 Mặt khác, U song ánh nên từ đẳng thức ta có U −1 = U Do UU = UU −1 = IH2 (ii)⇒(i) Giả sử U U = IH1 UU = IH2 , ta phải chứng minh U unita 34 Từ hai đẳng thức chứng tỏ U khả nghịch trái khả nghịch phải Do U song ánh Mặt khác, theo phần A U U = IH1 nên U đẳng cự Vậy U unita 2.4 Phổ số toán tử không gian Hilbert Bổ đề 2.2 Cho H1 , H2 không gian Hilbert Cho toán tử T ∈ B(H1 , H2 ), khẳng định sau tương đương: (i) T khả nghịch; (ii) Tồn số α > 0, cho T T ≥ αIH1 TT ≥ αIH2 Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử T khả nghịch, T : H2 → H1 khả nghịch, với ( T )−1 = ( T −1 ) Số α = T −1 α = ( T ) −1 −2 −2 Theo Mệnh đề 2.1, ta có Hơn nữa, ξ ∈ H1 ξ = T −1 ( Tξ ) ≤ T −1 · Tξ Tξ ≥ T −1 −1 · ξ Vì vậy, ta có ( T Tξ |ξ )H1 = ( Tξ | Tξ )H2 = Tξ ≥ T −1 −2 ξ = α ( ξ | ξ ) H1 Điều chứng tỏ ( T T − αIH1 )ξ |ξ H1 ≥ 0, ∀ξ ∈ H1 , T T − αIH1 ∈ B(H1 ) dương Tương tự ta chứng minh TT − αIH2 ∈ B(H2 ) dương (ii)⇒(i) Giả sử tồn α ≥ cho T T ≥ αIH1 TT ≥ αIH2 Ta phải chứng minh T khả nghịch Thật vậy, từ bất đẳng thức T T ≥ αIH1 , ta có Tξ = ( Tξ | Tξ ) = ( T ξ |ξ ) ≥ α(ξ |ξ ) = α ξ , 35 Tξ ≥ √ α ξ , ∀ ξ ∈ H1 Một mặt, ta phải T đơn ánh Mặt khác,Ran T không gian Banach, với chuẩn H2 , Ran T đóng H2 Cụ thể, từ Mệnh đề 2.2 ta có Ran T = Ran T = (Ker T )⊥ Thật vậy, ta có T η ≥ √ (2.12) α η , ∀ η ∈ H2 , T đơn ánh, nghĩa Ker T = 0, từ đẳng thức (2.12) ta có Ran T = H2 , T toàn ánh Nhận xét 2.4 Với kí hiệu trên, điều kiện T khả nghịch tương đương với điều kiện: (iii) Cả hai toán tử T T ∈ B(H1 ) TT ∈ B(H2 ) khả nghịch Thật vậy, T T, TT khả nghịch, đặt X = ( T T )−1 Y = ( TT )−1 ta có ( XT ) T = IH1 T ( T Y ) = IH2 , T khả nghịch trái khả nghịch phải Mệnh đề 2.6 Cho H không gian Hilbert (i) Mỗi toán tử tự liên hợp T ∈ B(H) có phổ thực, nghĩa SpecH ( T ) ⊂ R (ii) Mỗi toán tử dương T ∈ B( H ) có phổ không âm, nghĩa SpecH ( T ) ⊂ [0; ∞) Chứng minh (i) Cho T ∈ B(H) toán tử tự liên hợp Ta chứng minh với số phức λ ∈ C \ R toán tử X = λI − T khả nghịch Đăt λ = a + bi, ( a, b ∈ R, b = 0) Áp dụng Bổ đề 2.2, xét toán tử X X XX , ta có X X = XX = |λ|2 I − 2(Re λ) T + T , 36 ta cần xét tồn số α ≥ cho X X ≥ αI Dễ thấy X X = ( a2 + b2 ) I − 2aT + T = b2 I + ( aI − T )2 , tính dương ( aI − T )2 = ( aI − T ) ( aI − T ) (Mệnh đề 2.2.E) nên X X ≥ b2 I (ii) Từ (i) ta cần chứng minh với số a ∈ (−∞; 0) toán tử X = aI − T khả nghịch Ta có X X = XX = a2 I − 2aT + T , theo tính dương −2aT T = T T (Nhận xét 2.2.F) X X ≥ a2 I Vì a = nên theo Bổ đề 2.2 suy X khả nghịch Mệnh đề 2.7 (Bán kính phổ toán tử tự liên hợp) Cho H không gian Hilbert Với toán tử tự liên hợp T ∈ B(H), có radH ( T ) = T Chứng minh Nếu T = hiển nhiên ta có đẳng thức Vì ta giả sử T = Vì radH ( T ) ≤ T = 1, ta phải chứng minh SpecH ( T ) chứa số ±1 Điều tương đương với việc ta chứng minh − I − T I − T không khả nghịch (Xem Nhận xét 2.2.D) xét ánh xạ dương X = T , ta có X − I = (− I − T )( I − T ) = ( I − T )(− I − T ), nghĩa ta phải chứng minh X − I không khả nghịch Ta chứng minh phản chứng Giả sử X − I khả nghịch, theo Bổ đề 2.2, tồn số α ∈ (0; 1) cho αI ≤ ( X − I ) ( X − I ) = ( X − I )2 (2.13) Vì T = nên ≤ ( T ξ |ξ ) = T ξ ≤ ( T · Tξ )2 ≤ T 37 = ( T ξ | ξ ), ∀ ξ ∈ H , hay X ≥ X ≥ Khi ( I − X ) − ( X − I )2 = X − X ≥ 0, ta có ( I − X ) ≥ ( X − I )2 Từ (2.13) ta có bất đẳng thức I − X ≥ αI, hay viết lại (1 − α) I ≥ X Nói cách khác, ta có (1 − α ) ξ = (1 − α)(ξ |ξ ) ≥ ( Xξ |ξ ) = ( T ξ |ξ ) = Tξ , ∀ξ ∈ H, hay Tξ ≤ √ − α · ξ , ∀ξ ∈ H Điều mâu thuẫn với giả thiết T = Mệnh đề 2.8 Cho H1 , H2 không gian Hilbert Mỗi toán tử T ∈ B(H1 , H2 ), có T T = T (2.14) Chứng minh Cho T ∈ B(H1 , H2 ) Xét ánh xạ dạng bán song tuyến tính φ : H1 × H2 (ξ |η ) −→ ( T Tξ |η )H1 ∈ C Theo Bổ đề 2.1 ta biết T T = φ Tuy nhiên, cho ξ ∈ H1 với ξ ≤ 1, có φ ≥ |φ(ξ, ξ )| = |( T Tξ |ξ )| = |( Tξ | Tξ )| = Tξ φ ≥ sup{ Tξ : ξ ∈ H1 , ξ ≤ 1} = T , ta chứng minh T T = φ ≥ T 38 , Mặt khác, T T ≤ T Vậy T T = T · T = T 2 39 KẾT LUẬN Với nhiệm vụ nghiên cứu đặt trình bày tính chất toán tử tuyến tính không gian Banach như: toán tử liên hợp, toán tử compact, toán tử hữu hạn chiều Toán tử tuyến tính không gian Hilbert: toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, toán tử chuẩn tắc, toán tử đẳng cự, toán tử Unita, toán tử chiếu, toán tử compact Ngoài ra, đề tài bước đầu nghiên cứu phổ toán tử compact giá trị riêng, vectơ riêng, không gian riêng, bán kính phổ, cấu trúc compact chuẩn tắc Các kiến thức trình bày cách logic, chặt chẽ khoa học Các định nghĩa, định lí, mệnh đề phát biểu cách xác, rõ ràng,dễ hiểu có ví dụ minh họa Do đó, khóa luận tài liệu tham khảo tốt cho bạn khoa Toán-Lý-Tin, đặc biệt bạn sinh viên chuyên ngành sư phạm Toán yêu thích môn Giải tích hàm Tuy nhiên đề tài để lại nhiều hướng phát triển cần nghiên cứu cách đầy đủ kĩ lưỡng Chẳng hạn bước đầu nghiên cứu trình bày khái niệm tính chất toán tử tuyến tính liên tục không gian Banach, không gian Hilbert, phổ toán tử Vì đặt vấn đề nghiên cứu toán tử toán tử tuyến tính không không liên tục không gian Banach, không gian Hilbert Câu trả lời đòi hỏi em phải tiếp tục nghiên cứu thời gian tới Do hạn chế kinh nghiệm khoa học thực tiễn nên trình thực đề tài, cố gắng, cẩn thận, tỉ mỉ song có nhiều hạn chế thiếu sót chưa khắc phục Em mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện 40 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê ( 2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Xuân Liêm (2001), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục [3] Phạm Minh Thông (2009), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục [4] A.N Kolmogorov, S.V.Fomine (1971 - 1981), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, Nxb Giáo dục [5] C S Kubrusly (2011), The Elements of Operator Theory, Springer Science and Business Media 41 ... Với tính chất ta nói θ E : E → E phép đẳng cấu phản tuyến tính Bây cho A : E → F ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert E vào không gian Hilbert F Xét E F không gian Banach ta có ánh xạ. .. luận - Nghiên cứu tính chất số toán tử toán tử tuyến tính liên tục không gian Banach, không gian Hilbert - Nghiên cứu tính chất phổ toán tử không gian không gian Banach, không gian Hilbert NHỮNG... E → F ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng từ không gian Banach E vào không gian Banach F Do E × F không gian Banach Γ( f ) đóng E × F nên Γ( f ) không gian Banach Xét 17 ánh xạ tuyến tính liên tục