Ánh xạ tuyến tính liên lục trên không gian HILBERT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮCÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Giải Tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: THS... LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ĐÀO THỊ VÂN

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Sơn La, năm 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Giải Tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn: THS ĐOÀN THỊ CHUYÊN

Sơn La, năm 2017

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới cô Đoàn Thị Chuyên và thầy Vũ Việt Hùng, những người đã định hướng nghiên cứu và hướng

dẫn tận tình em, giúp đỡ em về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên

em có nghị lực hoàn thành khóa luận này.

Trong quá trình làm khóa luận, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Khoa Toán-Lý-Tin, đặc biệt là các thầy cô trong tổ

bộ môn Giải tích, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K54-ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành đề tài này Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu nói trên.

Sơn La, tháng 5 năm 2017 Người thực hiện

Sinh viên: ĐÀO THỊ VÂN

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị về không gian Hilbert 6

1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 6

1.1.1 Không gian định chuẩn 6

1.1.2 Không gian Banach 7

1.2 Toán tử và phổ của toán tử trong không gian Banach 7

1.2.1 Toán tử trong không gian Banach 7

1.2.2 Phổ của toán tử tuyến tính 10

1.3 Không gian Hilbert và toán tử trong không gian Hilbert 12

1.3.1 Không gian Hilbert 12

1.3.2 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 13

1.3.3 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert 14

1.4 Ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm 16

1.4.1 Nguyên lý bị chặn đều 16

1.4.2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng 17

1.4.3 Định lý Hahn-Banach 18

1.5 Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục 19

1.6 Phép chiếu trực giao 20

2 Toán tử trong không gian Hilbert 21 2.1 Một số kí hiệu 21 2.2 Các kết quả quan trọng về hạt nhân và miền giá trị của toán tử 28

2.3 Mối quan hệ giữa một số toán tử thông dụng 332.4 Phổ của một số toán tử trong không gian Hilbert 35

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN

Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các khônggian vectơ được trang bị thêm một cấu trúc topo phù hợp và các toán tửtuyến tính liên tục giữa chúng Chính việc nghiên cứu phổ của các toán tử

đã dẫn đến việc nghiên cứu các đại số topo, một đối tượng khác của giảitích hàm Các kết quả và phương pháp của nó thâm nhập vào nhiều ngànhkhác nhau như lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạohàm riêng, lý thuyết của bài toán cực trị và biến phân, phương pháp tính, lýthuyết biểu diễn, Ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từcác công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm, , đến naygiải tích hàm tích lũy được những thành tựu quan trọng và nó đã trở thànhchuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học.Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm:

- Không gian vectơ topo lồi địa phương Đây có lẽ là loại không gian tổngquát nhất trong giải tích hàm (các không gian Frechet, định chuẩn, Banach,Hilbert là các trường hợp riêng quan trọng của các không gian vectơ topo)

- Các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian (còn gọi là đồngcấu) Hai trường hợp đặc biệt quan trọng là các phiếm hàm tuyến tính liêntục(dạng tuyến tính liên tục) và các tự đồng cấu

- Giống như các không gian, ta có các đại số tương ứng Các đại số này dựatrên mô hình của đại số các tự đồng cấu, vì thế nên lý thuyết tổng quát vềcác đại số còn được gọi là lý thuyết đại số toán tử Chú ý là khác với cáckhông gian, các đại số thường chỉ wets trên trường số phức Điều này là

tự nhiên vì các tự đồng cấu chỉ có thể nghiên cứu ”tốt” khi trường cơ sở làđóng đại số Ngoài ra, dựa trên các tự đồng cấu tự liên hợp người ta địnhnghĩa một lớp một đại số định chuẩn rất quan trọng cácC∗- đại số, không

có sự tương ứng với các không gian

Ngày nay, nghiên cứu một số toán tử tuyến tính trong không gian định

chuẩn được nghiên cứu nhiều trong giải tích hàm Với mong muốn tìmhiểu bộ môn Giải tích hàm cũng như những ứng dụng đẹp của bộ môntrong sự phát triển toán học nói chung và trong giải tích hàm nói riêng.

Với những lý do trên, em đã chọn khóa luận ”Ánh xạ tuyến tính liên tục trên

không gian Hilbert” thuộc Bộ môn Giải tích hàm để làm đề tài nghiên cứucho mình nhằm góp phần vào việc nâng cao hiệu quả học tập môn học Giảitích hàm nói riêng và môn toán nói chung

2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu tính chất của một số toán tử tuyến tính trong không gianBanach, không gian Hilbert, phổ của toán tử

- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu lý thuyết các tính chất cơ bản của toán tử tuyến tính trongkhông gian Banach, không gian Hilbert, phổ của toán tử

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu và nghiên cứu và trình bày các khái niệm và tính chất cơ bảntoán tử tuyến tính trong không gian Banach, không gian Hilbert, phổ củatoán tử

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức

- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như seminarvới tổ bộ môn, giáo viên hướng dẫn khóa luận từ đó tổng hợp kiến thức vàtrình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và hoànthành khóa luận

6 TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA KHÓA LUẬN

6.1 Tính mới mẻ của khóa luận

Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân trong giải tích hàm Đồngthời đây cũng là một vấn đề còn chưa được tiếp cận nhiều đối với các bạnsinh viên ĐHSP Toán hiện nay

6.2 Hướng phát triển của khóa luận

- Nghiên cứu tính chất của một số toán tử và toán tử tuyến tính liên tụctrong không gian Banach, không gian Hilbert

- Nghiên cứu các tính chất về phổ của các toán tử trong không giankhông gian Banach, không gian Hilbert

7 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN

Đề tài đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản đầy đủ về các tính chất cơ bảncủa toán tử tuyến tính trong không gian Banach, không gian Hilbert, phổcủa toán tử

8 CẤU TRÚC KHÓA LUẬN

Với mục đích như vậy đề tài này được chia thành 2 chương với nhữngnội dung chính sau đây:

Chương 1: Nội dung chương này em trình bày một số kiến thức quantrọng của giải tích hàm như các khái niệm về không gian định chuẩn, khônggian Banach, không gian thương, không gian hữu hạn chiều Ba nguyên

lí cơ bản của giải tích hàm: Nguyên lí bị chặn đều, Định lí ánh xạ mở và

đồ thị đóng, Định lí Hahn - Banach cùng với các kết quả liên quan được sửdụng cho chứng minh chương 2

Chương 2:Trình bày nội dung chính của đề tài, trình bày các định nghĩa

và các tính chất cơ bản nhất của toán tử tuyến tính trong không gian

Banach, không gian Hilbert Ngoài ra còn trình bày phổ của toán tử pact cùng với một số ví dụ của chúng

1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach

1.1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1. Hàm ρ xác định trên không gian vector E được gọi là một chuẩn trên E nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa 1.2. Không gian vector E cùng với chuẩn ρ xác định trên E

được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn

Một không gian tuyến tính định chuẩn thường gọi ngắn gọn là khônggian định chuẩn

Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn ρ thì với mỗi x ∈ E ta viết

ρ(x) = ||x||và gọi số||x||là chuẩn của vector x

1.1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.3. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là khônggian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gianmetric đầy

Định nghĩa 1.4. Tập con X trong không gian định chuẩn E được gọi là:a) Tập bị chặn nếu: sup{||x||x∈X} < +∞

b) Tập hoàn toàn bị chặn nếu: Với mọi ε>0 tồn tại tập hữu hạn A⊂ Esao cho

(∀x∈ X)(∃y∈ A)| kx−yk<ε⇔⊂ [

y ∈ A

B(y, ε).Tập con hữa hạn A⊂Ethỏa mãn b) được gọi là một ε- lưới hữu hạn của

X

c) Tập compact nếu: mọi dãy {xn} ⊂ X có một dãy con {xnk} hội tụ tớimột phần tử x∈ X

1.2 Toán tử và phổ của toán tử trong không gian Banach

1.2.1 Toán tử trong không gian Banach

Định nghĩa 1.5. Giả sử E là không gian định chuẩn Ta gọi không gian liênhợp topo E0 = L(E,K)của E là không gian liên hợp thứ nhất của E Khônggian liên hợp của E0 được kí hiệu là E00 và gọi là không gian liên hợp thứhai của E Như vậy:

E00 = (E0)0 = L(E0,K)

Mệnh đề 1.1 Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó ánh xạ:

ηE: E→E00

xác định bởi công thức:

ηE(x)(f) = f(x), x ∈E, f ∈ E0

là đơn cấu giữ nguyên chuẩn từ E vào E00 Nói cách khác ηE là phép nhúng đẳng

cự không gian E vào E00.

Chứng minh Trước hết, dễ dàng kiểm tra thấy ηE là toán tử tuyến tính.Mặt khác, với mỗi x ∈E, x 6=0, theo hệ quả của Định lý Hahn-Banach tacó

Định nghĩa 1.6. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn và

f ∈ L(E, F) Khi đó toán tử tuyến tính f0: F0 →E0 xác định bởi

f0(u) = u◦ f , u ∈ F0, được gọi là toán tử liên hợp thứ nhất của f Toán tử

f00= (f0)0 : E00→ F00 được gọi là toán tử liên hợp thứ hai của f

Mệnh đề 1.2 Nếu f ∈ L(E, F) thì f0 ∈ L(E0, F0) và||f0|| = ||f|| Đồng thời,

ηF◦ f = f00◦ηE Ở đó ηE: E→E00là phép nhúng đẳng cự E vào không gian liên hợp thứ hai E00 của E, ηF : F→F00 là phép nhúng đẳng cự F vào không gian liên hợp thứ hai F00 của F.

Mệnh đề 1.3 Nếu f , g : E→ F là các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không

gian định chuẩn E và F thì với mọi α, β∈K ta có:

(α f +βg)0 =α f0 +βg0

Chứng minh. Thật vậy, với mọi u∈ F0 ta có

α f +βg)0(u) =u◦ (α f +βg) = αu◦ f +βu◦g=α f0(u) +βg0(u)

= (α f0+βg0)(u)

Mệnh đề 1.4 a) Nếu f ∈ L(E, F), g∈ L(F, G)thì(g◦ f)0 = f0◦g0.

b) (1E)0 =1E0.

Mệnh đề 1.5 Giả sử E và F là các không gian Banach và f ∈ L(E, F) Khi đó

f : E→ F là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f0 : F0 → E0 là đẳng cấu Đồng thời ta có

Thật vậy, giả sử Im f 6=F theo Hệ quả của Định lý Hahn-Banach, tồn tại

v∈F0, v6=0 sao cho v |Im f=0 Suy ra f0(v) =v◦ f =0

Do f0là đơn ánh nên từ f0(v) =0 suy ra v=0 Điều này trái với giả thiết

v6=0.

Vậy Im f =Fvà f : E'F

Định nghĩa 1.7. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn Toán tử tuyếntính f : E → F được gọi là toán tử compact nếu f(B[0; 1]) là tập compacttrong F Ở đó

B[0, 1] = {x∈ E :||x|| 61}

Mệnh đề 1.6 Giả sử E vào F là các không gian định chuẩn Khi đó đối với toán

tử tuyến tính f : E→F, các khẳng định sau là tương đương:

a) f là toán tử compact.

b) Nếu A là tập bị chặn trong E thì f(A)là tập compact tương đối trong F.

c) Với mọi dãy bị chặn {xn} ⊂ E, tồn tại một dãy con {xnk} để {f(xnk)} hội

tụ trong F.

Mệnh đề 1.7 Nếu f , g là các toán tử compact từ không gian định chuẩn E đến

không gian định chuẩn F thì α f +βg cũng là toán tử compact.

Mệnh đề 1.8 Nếu f ∈ L(E, F), g∈ L(F, G)ở đây E, F, G là các không gian định chuẩn , thì g◦ f : E→G là compact nếu f hoặc g là compact.

Định lý 1.1 Nếu {fn} ∈ L(E, F) là dãy các toán tử compact từ không gian Banach E vào không gian Banach F hội tụ tới f trongL(E, F) thì cũng là toán

Định nghĩa 1.8. Cho E, F là các không gian định chuẩn và f : E→Flà ánh

xạ tuyến tính Ta nói f là toán tử hữu hạn chiều nếu Im f là không gian conhữu hạn chiều của F

Mệnh đề 1.9 Mọi toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều đều là toán tử

1.2.2 Phổ của toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.9. Giả sử E là không gian định chuẩn và f ∈ L(E)là toán tử

trong E Ta nói số λ∈K là một giá trị chính quy của f nếu toán tử λ1E− f

là khả nghịch trongL(E) Trái lại, λ được gọi là giá trị phổ của f

Tập tất cả các giá trị chính quy của f được kí hiệu là s(f)và tập các giá trị

phổ của f dược kí hiệu là σ(f)

Sau đây là các định lý cơ bản về đặc trưng phổ của một toán tử tuyếntính liên tục giữa các không gian Banach

Định lý 1.3 Cho E là không gian Banach trên trường K, khi đó, tập hợp phổ σ(f)

của f ∈ L(E) là tập compact trong K và hàm λ7→ (λ− f)−1 giải tích trên tập

s(f)các giá trị chính quy của f Ngoài ra nếu K=C thì σ(f) 6=φ.

Định nghĩa 1.10. Cho E là không gian Banach và f ∈ L(E) Ta gọi số

rf =sup{|λ|: λ∈σ(f)}

là bán kính phổ của toán tử tuyến tính f

Định lý 1.4 Cho E là không gian Banach phức và f ∈ L(E) Khi đó bán kính phổ của f là:

rf = lim

n → ∞||f

n||1n

Mệnh đề 1.11 Cho E là không gian Banach và A∈ L(E) Khi đó

σ(A) = σ(A0), ở đó A0 là toán tử liên hợp của A.

Một vấn đề về phổ của toán tử compact trong không gian Banach thựchoặc không gian Banach phức E

Định lý 1.5 Cho E là không gian Banach và A∈ L(E) là toán tử compact Khi

đó với mỗi λ∈ K,λ6=0 thì N λ :=ker(λ−A) là không gian con hữu hạn chiều

và R λ= Im(λ−A)là không gian con đóng của E.

Định nghĩa 1.11. Số λ∈K gọi là giá trị riêng của toán tử A∈ L(E)nếu tồntại x∈ E, x 6=0 để Ax=λx Vectơ x như vậy gọi là vectơ riêng của A ứng

với giá trị riêng λ Không gian N λ := ker(λ− A) gọi là không gian riêng

của giá trị riêng λ.

Mệnh đề 1.12 Nếu λ là giá trị riêng của toán tử A∈ L(E) thì λ là giá trị phổ của A Hơn nữa, nếu dimE<∞ thì tập các giá trị phổ của A chính là tập các giá

Định lý 1.6 Cho E là không gian Banach và A∈ L(E) là toán tử compact Khi

đó, nếu số λ6=0 là giá trị phổ của A thì λ là giá trị riêng của A.

Hệ quả 1.1 Nếu E là không gian Banach vô hạn chiều và A∈ L(E) là toán tử compact thì tập phổ σ(A)của A chỉ gồm số 0 và tất cả các giá trị riêng của A.

Định lý 1.7 Cho E là không gian Banach và A∈ L(E)là toán tử compact Khi đó tập phổ σ(A)chỉ gồm một số hữu hạn hay đếm được các giá trị Trong trường hợp

σ(A) gồm một số đếm được các giá trị có thể viết thành dãy σ(A) = {λn}n∈N∗

với|λ1| > > |λn| > và lim

n → ∞λn =0.

1.3 Không gian Hilbert và toán tử trong không gian Hilbert1.3.1 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.12. Không gian vectơ E cùng với một tích vô hướng h., i đã

cho trên E được gọi là Không gian tiền Hilbert Nếu với chuẩn sinh bởi tích

vô hướng mà E là không gian Banach thì không gian tiền Hilbert đó được

gọi là không gian Hilbert.

1.3.2 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert

Cho E là không gian Hilbert, theo định lý Riesz, tồn tại song ánh bảo tồn

chuẩn θE: E→E0 và thỏa mãn:

(θ x)(y) = hy, xivới mọi x, y∈ Evà||θ x|| = ||x||với mọi x∈E

Dễ dàng kiểm tra thấy rằng:

xạ liên hợp A0 : E0 → F0 xác định bởi A0(f) = f ◦Avới mọi f ∈ F0 Khi E, F

là các không gian Hilbert, nhờ biểu đồ sau:

Ở đó, do θE: E→E0 và θF: F→F0 là các phép đẳng cấu phản tuyến tínhbảo toàn chuẩn nên ta có thể thay toán tử liên hợp A0 : F0 → E0 của A bởitoán tử

A∗=θE−1◦A0◦θF : F→E

Và vẫn gọi A∗là toán tử liên hợp của toán tử A : E→ F Từ định nghĩa của

θ , θF và của A0 ta có: Với a∈E, θE(a) = fa∈ E0 xác định bởi :

θ (a)(x) − fa(x) = hx, ai = hx, θ−E1(fa)i, x∈ E

Từ đó ta có các nhận xét sau:

a)hAx, yi = hx, A∗yivới mọi x∈E, y∈ F

Thật vậy: theo định nghĩa ta có :

hx, A∗yi = hx,(θ−E1A0θF)(y)i = [A0θF(y)](x)

= [θF(y)](Ax) = hAx, yivới mọi x∈ E, y∈F

b)(λA)∗=λA∗với mọi λ∈K.

Thật vậy, với mọi x∈ E, y∈ F, do a) ta có:

hx,(λA)∗yi = h(λA)x, yi =λhAx, yi =λhx, A∗yi = hx,(λA∗)yi.Suy ra(λA)∗=λA∗

c) NếuA, B : E → F, C : F → G là các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa cáckhông gian Hilbert thì

(A+B)∗=A∗+B∗ và(C◦ A)∗ =C∗◦ A∗.Thật vậy, với mọi x∈E, y∈ Fta có:

1.3.3 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.13. Cho E là không gian Hilbert và A ∈ L(E) Ta nói A làtoán tử tự liên hợp nếu A= A∗

Mệnh đề 1.13 Nếu A, B∈ L(E)là toán tử tự liên hợp thì A+B và λA,(λ∈R)

cũng là toán tử tự liên hợp Ngoài ra, nếu AB=BA thì AB là toán tử tự liên hợp.

Chứng minh. Ta có(A+B)∗= A∗+B∗=A+Bvà(λA)∗=λA∗=λA Với

x, y∈ Eta có :

h(AB)x, yi = hBx, A∗yi = hx,(BA)yi = hx,(AB)yi.Suy ra AB là toán tử tự liên hợp

Mệnh đề 1.14 Giả sử A∈ L(E)là tự đẳng cấu Khi đó A là toán tử tự liên hợp nếu và chỉ nếu A−1 là toán tử tự liên hợp.

Chứng minh. Thật vậy, do(A−1)∗= (A∗)−1nên nếu A là toán tử tự liên hợpthì A−1 là toán tử tự liên hợp vì :

Chứng minh. Nếu A tự liên hợp thì hAx, xi = hx, Axi = hAx, xinên

hAx, xi ∈R với mọi x∈ E

Ngược lại, giả sửhAx, xi ∈R với mọi x∈ E Từ các đẳng thức sau:

hA(x+y), x+yi = hAx, xi + hAx, yi + hAy, xi + hAy, yi

hA(x+iy), x+iyi = hAx, xi −ihAx, yi +ihAy, xi + hAy, yi

hAx, yi + hAy, xi = hA(x+y), x+yi − hAx, xi − hAy, yi =2s∈R

−ihAx, yi +ihAy, xi = hA(x+iy), x+iyi − hAx, xi − hAy, yi =2t∈R

Giải hệ phương trình này với các ẩn làhAx, yivàhAy, xita được:

với mọi x, y∈R nên A= A∗ , tức là A là toán tử tự liên hợp.

Hệ quả 1.2 a) Giả sử A là toán tử tự liên hợp Khi đó σ(A) ⊂R.

b) Nếu p : E→ E là toán tử chiếu trực giao thì p là toán tử tự liên hợp.

Chứng minh. a) Nếu A là tự liên hợp thì hAx, xi ∈R với mọi x∈ Enên

σ(A) ⊂n(A) = {hAx, xi: x∈ E} ⊂R.

b) Nếu p là phép chiếu trực giao thì E=Im p⊕⊥ker p nên mỗi x ∈ E đềubiểu diễn duy nhất dưới dạng x=y+z∈ Evới y∈Im p, z∈ker p Khi đó

hpx, xi = hp(y+z), y+zi = hpy, yi + hpy, zi = hy, yi + hy, zi = kyk2∈R.

Vìhpx, x∈R với mọi x ∈Enên p là toán tử tự liên hợp

1.4 Ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm

Trong mục này trình bày ba định lí quan trọng xem như những nguyên lícủa Giải tích hàm Đó là nguyên lí bị chặn đều, định lí ánh xạ mở và đồ thịđóng và quan trọng nhất phải kể đến định lí Hahn- Banach và một số hệquả quan trọng của nó

1.4.1 Nguyên lý bị chặn đều

Định lý 1.9. (Nguyên lý bị chặn đều) Mọi nửa chuẩn liên tục trên không gian

Banach E nếu bị chặn điểm thì bị chặn đều.

Chứng minh. Cho{pα}α∈Jlà họ nửa chuẩn liên tục, bị chặn điểm trên khônggian Banach E:

C(x) =sup{pα(x): α∈ J} < +∞ với mọi x∈ E

E Mặt khác nếu x∈ Ethì theo giả thiết C(x) < +∞ nên tồn tại số tự nhiên

n∈N để C(x) 6n, khi đó x∈ An Như vậy E= S

n ∈NAn Theo định lý Baire,tồn tại n0∈N và x0∈ An0 để

Định nghĩa 1.14. Giả sử f : X→Ylà ánh xạ giữa các không gian metric X

và Y Ta nói f là ánh xạ mở nếu ảnh f(G)của mọi tập mở G trong X là tập

mở trong Y

Định lý 1.10. (Định lý ánh xạ mở) Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f : E→F

từ không gian Banach E lên không gian Banach F đều là ánh xạ mở.

Định lý 1.11. (Định lý đồ thị đóng) Mọi ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng giữa

các không gian Banach đều liên tục.

Chứng minh. Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng từ khônggian Banach E vào không gian Banach F Do E×F là không gian Banach

và Γ(f) là đóng trong E×F nên Γ(f) cũng là không gian Banach Xét các

ánh xạ tuyến tính liên tục

p :Γ(f) →E

(x, f(x)) 7→xvà

Định lý 1.12 Giả sử F là không gian vector con của không gian vector thực E và

p là nửa chuẩn trên E Khi đó đối với phiếm hàm tuyến tính f : F→R thỏa mãn

f(x) 6 p(x)với mọi x∈ F

đều tồn tại phiếm hàm tuyến tính f : E→R sao cho

ˆf(x) = f(x)với mọi x∈ F và ˆf(x) 6 p(x)với mọi x ∈E

Định lí Hahn - Banach phức.

Định lý 1.13. (Hahn-banach) Giả sử F là không gian vector con của không gian

vector phức E và p là một nửa chuẩn trên E Khi đó, với mọi phiếm hàm tuyến tính phức f : F→C thỏa mãn

|f(x)| 6 p(x)với mọi x ∈F

Sau đây là một số hệ quả quan trọng của các định lí Hahn - Banach:

Hệ quả 1.3 Giả sử F là không gian con của không gian định chuẩn ( thực hoặc

phức ) E và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục ˆf trên sao cho

1.5 Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục

Định nghĩa 1.15. Giả sử E và F là hai không gian vector trên cùng mộttrườngK Ánh xạ T : E→Fgọi là tuyến tính nếu: