Lớp môđun bất biến và đối bất biến lũy linh

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LỚP MÔĐUN BẤT BIẾN VÀ ĐỐI BẤT BIẾN LŨY LINH Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng - Năm 2020 LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo PGS TS Trương Công Quỳnh, cảm ơn động viên, hướng dẫn nhiệt tình thầy suốt q trình tơi thực luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến quý thầy cô giảng dạy lớp cao học “Đại Số Và Lý thuyết Số khóa 36”, tơi xin bày tỏ biết ơn chân thành đến q thầy khoa Tốn trường ĐH Sư Phạm - ĐH Đà Nẵng nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐH Sư Phạm - ĐH Đà Nẵng tạo điều kiện, môi trường học tập tốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiên luận văn tránh khỏi sai sót tơi thật mong nhận ý kiến đóng góp q thầy để luận văn tơi hồn thiện tốt ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn .ii Mục lục iv MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị .6 1.1 Một số định nghĩa liên quan đến lý thuyết vành 1.2 Một số kiến thức liên quan đến lý thuyết môđun 1.2.1 Môđun xạ ảnh mở rộng môđun nội xạ 11 1.2.2 Một số kết liên quan 12 Chương Môđun vành bất biến lũy linh 15 2.1 Một số khái niệm ví dụ 15 2.2 Một số tính chất môđun bất biến lũy linh 18 2.3 Môđun bất biến lũy linh vành Goldie nguyên tố 30 Chương Môđun đối bất biến lũy linh 35 3.1 Định nghĩa 35 3.2 Một số tính chất ví dụ mơđun đối bất biến lũy linh 36 iii KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm môđun bất biến lũy linh đối bất biến lũy linh nghiên cứu, khái qt hóa từ khái niệm mơđun tựa nội xạ Khái niệm ngày biết đến nhiều sử dụng để mô tả cấu trúc môđun, vành khác Một môđun gọi mơđun bất biến lũy linh bất biến qua tự đồng cấu bao nội xạ Nghiên cứu mơđun bất biến lũy linh đưa mối quan hệ môđun bất biến lũy linh môđun tựa nội xạ nghiên cứu Chính điều thúc đẩy chúng tơi tìm hiểu mơđun Mơđun tựa nội xạ bất biến qua tự đồng cấu bao nội xạ Trên sở có nhiều cơng trình nghiên cứu khác thu nhận nhiều tính chất quan trọng khác Cũng nghiên cứu đến môđun bất biến đẳng cấu người ta dễ dàng x tự đồng cấu lũy linh mơđun M + x tự đẳng cấu M Và người ta tất môđun bất biến đẳng cấu bất biến lũy linh điều ngược lại không trường hợp tổng quát Cho M R-môđun phải Người ta mơđun M có phủ xạ ảnh P → M môđun đối bất biến đẳng cấu Ker(P → M ) bất biến qua tự đẳng cấu P Tiếp tục qua trình nghiên cứu vành Goldie nguyên tố người ta thu kết không phần quan trọng khác là: cho R vành Goldie nguyên tố, M R-môđun phải bất biến lũy linh khơng suy biến Khi đó, tất mơđun đóng thực M nội xạ M R-mơđun phải M môđun nội xạ Từ kết này, có M mơđun vành Goldie phải nguyên tố có udim(M/Z(M )) > M mơđun đối bất biến lũy linh M môđun nội xạ Và cuối nghiên cứu môđun đối bất biến đẳng cấu môđun đối bất biến lũy linh Một số đặc tính quan trọng chúng tìm Nếu tự đồng cấu lũy linh môđun M lên tự đồng cấu lũy linh M M có phủ xạ ảnh M đối bất biến lũy linh Do với mục đích tìm hiểu mơđun bất biến lũy linh, mơđun tựa nội xạ mối liên hệ chúng Theo hướng dẫn PGS TS Trương Công Quỳnh, chọn đề tài “Lớp môđun bất biến đối bất biến lũy linh” để thực luận văn Mục tiêu nghiên cứu 2.1 Mục tiêu tổng quát Luận văn tập trung nghiên cứu lớp môđun bất biến đối bất biến lũy linh qua tự đồng cấu 2.2 Mục tiêu cụ thể Nghiên cứu khái niệm, tính chất các ví dụ liên quan đến lớp vành mơđun bất biến lũy linh vành R vành Goldie nguyên tố Nghiên cứu khái niệm, tính chất các ví dụ liên quan đến lớp môđun đối bất biến lũy linh Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Phạm trù môđun vành cho trước Lớp vành môđun bất biến, đối bất biến lũy linh 3.2 Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu phạm vi lớp môđun vành R vành Goldie nguyên tố Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu Nghiên cứu qua giáo trình, sách chuyên khảo, báo khoa học có nội dung liên quan đến đề tài luận văn Tổng hợp, hệ thống, phân tích tài liệu thu thập để hệ thống kết liên quan 4.2 Phương pháp chứng minh khoa học Đây đề tài lý thuyết nên sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu lập luận logic để chứng minh 4.3 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày theo nội dung sau: LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháo nghiên cứu Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương tơi trình bày số định nghĩa, tính chất liên mơđun phải f : M → M1 ⊕ M2 , mà M1 ∼ = M2 Đặt π1 : P1 → M1 , π2 : P2 → M2 phủ xạ ảnh môđun M1 M2 tương ứng Khi π ⊕ π2 : P1 ⊕ P2 → M1 ⊕ M2 phủ xạ ảnh M1 ⊕ M2 P1 ∼ = P2 Theo tính xạ ảnh P , tồn tự đồng cấu g P mà (π1 ⊕ π )◦ g = f ◦ π Từ Ker(π1 ⊕ π2 ) P1 ⊕ P2 với g tự đồng cấu Từ suy P1 ⊕ P2 đẳng cấu với tổng trực tiếp P , mâu thuẫn với điều kiện (2) Do M đối khơng phương Như từ điều kiện (2) ta suy M/J (M ) ∼ = P/J (P ) mà môđun cyclic Chúng ta suy M mơđun cyclic, J(M ) bé M Định lý 3.2.8 Cho R vành hồn chỉnh cho M R-mơđun phải đối bất biến đẳng cấu Khi M có phân tích: M = P ⊕ (⊕ni=1 Qi ), n n i=1 i=1 P mơđun tựa xạ ảnh, End( ⊕ Qi )/J( ⊕ Qi ) vành n Boolean hữu hạn ⊕ Qi mơđun cyclic đối khơng phương, mà i=1 Qi khơng phương, với ≤ i ≤ n Chứng minh Gọi π : P −→ M phủ xạ ảnh M Theo nghiên cứu Định lý 1.2.35 P có phân tích P = (⊕i∈I Pi ) ⊕ (⊕j∈I P j ) Pj , i ∈ I , j ∈ (I ∪ I )\ {i}, với i ∈ I có số j ∈ I , mà i = j Pi ∼ = Pj Đặt Trong I tập hữu hạn, Pi πi :(⊕i∈I Pi ) ⊕ (⊕j∈I P j ) → Pi phép chiếu tắc với i ∈ I ∪ I Từ Bổ đề 3.2.5 cho ta π i (Ker (π)) ⊂ Ker (π) với i ∈ I Nó suy e (Ker (π)) ⊂ Ker (π), e : (⊕i∈I Pi ) ⊕ (⊕j∈I Pj ) → ⊕j∈I P j phép chiếu tắc Khi đó, ta có M∼ = P/Ker (π) ∼ = [⊕ i∈I Ta có Pi Pi ∩K er(π) Pi ⊕j∈I P j ]⊕[ ] P i ∩ Ker (π) (⊕j∈I P j ) ∩ Ker (pi) môđun đối bất biến đẳng cấu địa phương với i ∈ I theo Mệnh đề 1.2.33 Mặt khác ⊕ , [Pi /(Pi ∩ Ker (π))] i∈I 40 môđun tựa xạ ảnh Vì (⊕j∈I P j )/J(⊕j∈I P j ) mơđun nửa đơn có chiều hữu hạn, ta có phân tích sau ⊕j∈I Pj n = (⊕m i=1 Fi ) ⊕ (⊕j=1 Qj ) (⊕j∈I Pj ∩ Ker (π) Trong Fi địa phương với ≤ i ≤ m Qj không địa phương khơng thể phân tích với ≤ j ≤ n Ta lại có Pi ) ⊕ (⊕m (⊕i ∈ I P i ∩Ker(π) i=1 Fi ) môđun tựa xạ ảnh Theo Định lý 2.2.6 ⊕ i∈I P i tổng trực tiếp môđun không đẳng cấu Cho cặp môđun đẳng cấu sau n End(⊕ni=1 Qn )/J(⊕ni=1 Qn ) ∼ = Z2 i=1 Vậy ⊕ni=1 Qi môđun cyclic đối không phương theo Bổ đề 3.2.7 Hệ 3.2.9 Nếu M môđun phải đối bất biến đẳng cấu không phân tích được, trên vành đầy đủ phải, M mơđun cyclic đối khơng phương Chứng minh tương tự chứng minh Định lý 3.3.7 Định lý 3.2.10 Cho R vành hoàn chỉnh cho M R-môđun phải đối bất biến lũy linh Khi M có phân tích M = P ⊕ Q, với P môđun tựa xạ ảnh, Q môđun cyclic tự đầy đủ tổng trực tiếp khác không Q không tựa xạ ảnh Hệ 3.2.11 Nếu M mơđun phải đối bất biến lũy linh khơng phân tích vành đầy đủ, M mơđun cyclic đối khơng phương Định lý 3.2.12 Cho R vành hồn chỉnh M R-mơđun phải đối bất biến lũy linh hữu hạn sinh Nếu M/J(M ) mơđun phương đầy đủ, M môđun tựa xạ ảnh 41 Chứng minh Gọi π : P −→ M phủ xạ ảnh M e = e2 ∈ End (P ), tồn môđun xạ ảnh địa phương P1 , P2 , , Pn với phân tích eP = P1 ⊕ P2 ⊕ · · · ⊕ Pn0 , (1 − e)P = Pn0 +1 ⊕ Pn0 +2 ⊕ · · · ⊕ Pn với ≤ n0 ≤ n Đặt πi : P ⊕ ⊕ P n → P i phép chiếu tắc cho ≤ i ≤ n Mặt khác, với ≤ i ≤ n, tồn ≤ j ≤ n với i = j Pi ∼ = Pj Theo Bổ đề 3.2.4 có πi (Ker (π)) chứa Ker (π) với i ∈ {1, 2, , n} Nó e(Ker(π)) ⊂ Ker(π) Theo giả thiết, đồng cấu môđun M/J (M ) = P/J (P ) có độ dài lớn 1, End (P ) /J(End (P )) ∼ = Mn1 (T1 ) × × Mnk (Tk ), = End (P/J (P )) ∼ Ti thể ni > với ≤ i ≤ n Xét tự đồng cấu f P theo Hệ 1.2.34 ta có phương trình f + J (End (P )) = F (e1 , , em ), e1 , , em ∈ End (P ) /J (End (P )) lũy đẳng F ∈ Z < x1 , , xm > Vì P R-môđun phải hữu hạn sinh J(End(P )) iđêan lũy linh, nên e1 = f1 + J (End (P )) , e2 = f2 + J (End (P )) , , em = fm + J(End(P )) số lũy đẳng f1 , f2 , , fm ∈ End (P ) Do f = F (f1 , f2 , , fm ) + α, α phần tử lũy linh End(P ) Vì M R-mơđun phải đối bất biến lũy linh F (f1 , , fm )(Ker(π)) ⊂ Ker(π), f (Ker (π)) chứa Ker (π) Nó cho thấy Ker (π) môđun đối bất biến đầy đủ P , M mơđun tựa xạ ảnh (theo Mệnh đề 1.2.33) Ví dụ 3.2.13 Gọi H đại số bậc bốn trường số thực R, R = H H 0 iR ,e= S = Chúng ta kiểm tra R 0 0 eRR /S R-môđun phải đối bất biến lũy linh đối bất biến đẳng cấu Như Định lý 3.3.12 không M/J (M ) khơng phải mơđun phương đầy đủ Một vành R gọi bất biến phải iđêan phải R iđêan Hệ 3.2.14 Cho R vành hoàn chỉnh phải bất biến M 42 R-môđun phải hữu hạn sinh Các điều kiện sau tương đương (1) M môđun đối bất biến đẳng cấu (2) M môđun đối bất biến lũy linh (3) M môđun tựa xạ ảnh Chứng minh Trực Định lý 3.2.11 thực tế môđun phải cyclic vành bất biến phải tựa xạ ảnh Hệ 3.2.15 Cho R vành hoàn chỉnh phải bất biến phải Các điều kiện sau tương đương: (1) Mỗi R-môđun phải cyclic môđun đối bất biến đẳng cấu (2) Mỗi R-môđun phải cyclic môđun đối bất biến lũy linh (3) Mỗi R-môđun phải cyclic môđun tựa xạ ảnh (4) R vành bất biến phải Chứng minh (1) ⇒ (2) theo Hệ 3.2.14 (4) ⇒ (3) (3) ⇒ (2) rõ ràng (1) ⇒ (4) Cần xem xét trường hợp R vành địa phương Cho A iđêan phải R cho r ∈ R Vì R vành địa phương, r khả nghịch − r khả nghịch Suy rA ⊆ A (1 − r) A ⊆ A Điều chứng tỏ rA ⊆ A Do A iđêan trái R Do R vành bất biến phải 43 KẾT LUẬN Luận văn “Lớp môđun bất biến đối bất biến lũy linh” hồn thành mục đích nghiên cứu đưa Cụ thể đề tài đã tổng quan vấn đề sau: Tổng quan khái niệm môđun bất biến đối bất biến lũy linh Trình bày định lý, tính chất liên quan đến mơđun bất biến đối bất biến lũy linh Tổng quan định lý, tính chất liên quan đến mơđun bất biến đối bất biến lũy linh vành Goldie nguyên tố 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Trương Cơng Quỳnh, Lê Văn Thuyết (2013), Giáo trình lý thuyết vành môđun, NXB Đại học Huế Tiếng anh [2] Abyzov A.N, Quynh T.C, Tai D.D (2017), Dual automorphism-invariant modules over perfect rings, Siberian Math J, 58:5, 743-751 [3] Anderson F W., Fuller K R (1992) Ring and Categories of Modules Secondditon GTM, Vol 13 New Yord: Springer-Verlag [4] Clark J., Lomp C., Vanaja N., Wisbauer R (2006), Liftig Modules: Supplements and projectivity in module theory, Frontiers in Mathematices, Birhauser Verlag, Basel [5] Dickson, S E., Fuller, K R (1969) Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelope Pacizic J Math 31(3):655–658 [6] Facchini, A (1998), Module Theory Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in some Classes of Modules, Progress in Mathematices, Vol 167 Basel: Birkhauser Verlag [7] Hans H Bass, (1967), On quasi projectives, Illinois Journal of Mathematics 11, 439-448 [8] Ko¸san M T, Quynh T C, and Srivastava A K (2016), Rings with each right ideal automorphism-invariant, J Pure Appl Algebra 220 (4): 1525–1537 [9] Ko¸san M T, Ha N T T, Quynh T C (2016), Rings for which every cyclic module is dual automorphism-invariant, J Algebra Appl 15(5): 1650078 (11 pages) [10] Ko¸san, M T, Quynh T C (2015), On automorphism-invariant modules, J Algebra Appl.14(5):1550074 (11 pages) 45 [11] Kosan, M T., Quynh, T C (2017), Nilpotent-invariant modules and rings, Commun Algebra 45(7):2775–2782 [12] K R Fuller (1986), On indecomposable injectives over Artinian rings, Pacific J Math 29 115-136 [13] Lee, T K., Zhou, Y (2013) Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls J Algebra Appl 12(2):1250159 (9 pages) [14] Mohamed, S H, Mă uller, B J (1990), Continuous and Discrete Modules, London Mathematical Soc 147: Cambridge Univ Press [15] Nicholson, W K, Yousif, M F (2003),Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Tracts in Mathematics, Vol 158 Cambridge: Cambridge University Press [16] Quynh, T C., Ko¸san, M T (2015), On automorphism-invariant modules, J Algebra Appl.14(5):11 pages [17] Tuganbaev A A (2017), Automorphism-invariant non-singular rings and modules, J Algebra 485, 247-253 [18] Tuganbaev A A (2013), Characteristic submodules of injective modules, Discrete Math Appl, 23(2): 203–209 [19] Ulrich Albrecht (2008), Finitely Presented Modules Over Right NonSingular Rings Mat Univ Padova, Vol 12 [20] Wisbauer R, (1991), Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Reading 46 ... mơđun đối bất biến lũy linh môđun đối bất biến đẳng cấu Mặt khác, đưa số điều kiện thấy trùng khớp lớp môđun đối bất biến lũy linh lớp môđun mà tất tự đồng cấu lũy linh yếu tố lên tự đồng cấu lũy. .. M đối bất biến lũy linh Do với mục đích tìm hiểu môđun bất biến lũy linh, môđun tựa nội xạ mối liên hệ chúng Theo hướng dẫn PGS TS Trương Công Quỳnh, chọn đề tài ? ?Lớp môđun bất biến đối bất biến. .. biến lũy linh M môđun nội xạ Và cuối nghiên cứu môđun đối bất biến đẳng cấu môđun đối bất biến lũy linh Một số đặc tính quan trọng chúng tìm Nếu tự đồng cấu lũy linh môđun M lên tự đồng cấu lũy