Chương 3. Môđun đối bất biến lũy linh
3.2. Một số tính chất và ví dụ của môđun đối bất biến lũy linh
Định lý 3.2.1. Cho M là R-môđun phải.
(1) Nếu M = X ⊕Y thỏa mãn tính chất (N∗) thì X là Y-xạ ảnh và Y là X-xạ ảnh.
(2) Nếu M = X⊕Y là môđun đối bất biến lũy linh với X, Y có phủ xạ ảnh, thì X là Y-xạ ảnh và Y là X-xạ ảnh.
Chứng minh. Cho N là môđun con của M, N +Y = M và A = N ∩Y. Khi đó, tồn tại đồng cấu f :X −→Y /Asao cho N = {(x+y)|x ∈ X, y ∈ f(x) +A}. Gọi π : M −→ M/A là phép chiếu tự nhiên, M = M/A và kí hiệu S = (S + A)/A, với S ≤ M bất kì. Khi đó M = X ⊕Y. Đặt f : X → Y là đồng cấu sinh ra bởi f. Khi đó đồng cấu g : M → M với g(x+y) = f (y), (x ∈ X, y ∈ Y) là một tự đồng cấu lũy linh không của M mà lên đến một tự đồng cấu lũy linh h của M, đặc biệt h(x) + A = f (x), với mọi x ∈ X. Chúng ta có thể kiểm tra rằng M =< h > ⊕Y với < h > = {(x, h(x)) : x ∈ M} một môđun con của N. Từ đó suy ra được X là Y-xạ ảnh. Và Y là X-xạ ảnh được chứng minh hoàn toàn tương tự.
(2) Giả sử p1 : P1 → X, p2 : P2 → Y là các phủ xạ ảnh và M = X ⊕ Y. Khi đó p1 ⊕ p2 : P1 ⊕ P2 → M là phủ xạ ảnh của M. Cho g : P1 → P2 là một đồng cấu. Gọi g0 : P1 ⊕ P2 → P1 ⊕ P2 là một đồng cấu được xác định bởi g0 = 0 0
g 0
!
và cũng có g02 = 0. Vì X ⊕Y là đối bất biến lũy linh nên tồn tại một f0 ∈ End(X ⊕ Y) sao cho f0◦(p1⊕p2) = (p1⊕p2)◦g0. Lấy f = π2 ◦f o ι1, với ι1 : X →X ⊕Y là đẳng cấu và π2 : X ⊕Y → Y là phép chiếu chính tắc. Chúng ta có thể kiểm tra được rằng f ◦, p1 = p2◦g. Điều này chứng minh rằng X làY-xạ ảnh. Tương tự như vậy ta cũng chứng minh được Y là X-xạ ảnh.
Định lý 3.2.2. Nếu M thỏa mãn tính chất (N∗) và có phủ xạ ảnh thì M
là một môđun đối bất biến lũy linh.
Chứng minh. Giả sử M thỏa mãn tính chất (N∗) và α : P −→ M là một phủ xạ ảnh của M. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng M = P/Ker(α). Cho f là một đồng cấu lũy linh của P khi đó tồn tại một số nguyên dương n sao cho fn = 0. Chúng ta sẽ chứng minh rằng f (Ker(α)) ≤ Ker(α). Để có được điều này, chúng ta sẽ chỉ ra f (Ker(α)) ≤ Ker(α). Chúng ta sẽ chứng minh quy nạp theo n. Với n = 1 là hiển nhiên. Giả sử rằng khẳng định của chúng đúng cho n−1. Chúng ta có (f2)n−1 = 0 và theo giả thiết về quy nạp, ta cũng có được rằng, f2(Ker(α)) ≤ Ker(α).
Đặt N = Ker(α) +f (Ker(α)) và α : P/Ker(α) → P/N là đồng cấu chính tắc. Chúng ta có f (Ker(N)) ≤ Ker(N) và dễ dàng có được rằng tồn tại đồng cấu f0 : P/N → P/N với α0 ◦α◦f = f0◦α0◦α. Theo lập luận trên có một tự đồng cấu f00 : P/Ker(α) → P/Ker(α) sao cho f0◦α0 = α0◦f00. Mặt khác, từ tính xạ ảnh của P, chúng ta có α◦g = f00◦α cho một số tự đồng cấug củaP. Từα0◦α◦f = f0◦α0◦αvàα◦α◦g = f ◦α◦α cho (f −g) (P) ≤ N. Với phần tử p ∈ P bất kì chúng ta có đẳng thức f (p)−g(p) = f(p1) +p2 với p1, p2 ∈ Ker(α).
Ta có α(f −g) (p − p1) = α(p2 + g(p1)) = 0 và thu được p ∈ Ker(α(f −g))+Ker(α). Ta suy ra đượcP = Ker(α(f −g))+Ker(α) = Ker(α(f −g)) và (f −g) (P) ≤ Ker(α). Mặt khác, chúng ta cũng có g(Ker(α)) ≤ Ker(α) và vì vậy f (Ker(α)) ≤ (f −g) (Ker(α)) + g(Ker(α)) ≤ Ker(α).
Vậy M là một môđun đối bất biến lũy linh.
Hệ quả 3.2.3. Cho M là một R-môđun phải trên vành nửa nguyên tố R. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
(1) M là môđun đối bất biến lũy linh.
(2) M thỏa mãn tính chất (N∗).
Chứng minh. (2) ⇒(1) theo Định lý 3.2.2.
(1) ⇒ (2). Cho M là một môđun đối bất biến lũy linh, K là một môđun con của M và f là một tự đồng cấu lũy linh của M/K. Chúng ta sẽ chứng minh rằng f là tự đồng cấu lũy linh của M. Thật vậy, đặt p : P → M là phủ xạ ảnh của M và α : M → M/K là một phép chiếu tự nhiên. Từ tính xạ ảnh của P, chúng ta có sự phân tích P = P1 ⊕P2. Do đó p(P2) = 0 và đồng cấu α◦p◦ι là một phủ xạ ảnh của M/K, mà ι : P1 → P là phép nhúng chính tắc. Vì P1 là một môđun xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu f0 của P1 mà α◦p◦ι◦f0 = f◦α◦p◦ι. Mặt khác, vì f là lũy linh nên tồn tại số tự nhiên n mà fn = 0. Ta có thể kiểm tra lại rằng (f0)n(P1) ⊂Ker(α◦p◦ι) ⊂P1J(R).
Ta đã biết, căn Jacobson của R là một iđêan lũy linh. Điều này có nghĩa là tồn tại m ∈ N với J(R)m = 0 và (f0)mn(P1) ⊂ P1J(R)m = 0. Khi đó đồng cấu f0 ⊕ 0 : P1 ⊕ P2 → P1 ⊕ P2 là lũy linh. Vì M là một môđun đối bất biến lũy linh nên có một đồng cấu g : M → M mà g◦p = p(f0 ⊕ 0). Ta có thể kiểm tra được rằng gmn = 0. Từ α◦p◦(f0 ⊕ 0) = f◦α◦p và g◦p = p◦(f0 ⊕ 0) nên f◦α◦p = α◦g◦p. Điều này chứng tỏ rằng f◦α = α◦g.
Môđun M gọi là đối không suy biến nếu với mỗi môđun N khác không và mỗi đồng cấu khác không f : M → N, Im(f) không là môđun con bé của N.
Hệ quả 3.2.4. Cho M là một R-môđun phải đối không suy biến R. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
(1) M là môđun đối bất biến lũy linh.
(2) M thỏa mãn điều kiện (N∗).
Bổ đề 3.2.5. Cho π : P → M là bao xạ ảnh của R-môđun phải M đối bất biến lũy linh và P = P1 ⊕ P2 ⊕ P3. Nếu P1 ∼= P2, thì Ker(π) = (P1 ∩Ker(π))⊕(P2 ∩Ker(π)) ⊕(P3 ∩Ker(π)).
Chứng minh. Theo giả thiết của bổ đề, tồn tại một đẳng cấuf : P1 → P2.
Đặtπi : P → Pi(i = 1,2,3)là phép chiếu chính tắc. Xét các tự đồng cấu sau
φ1 : P → P, xác định bởi ϕ(x1 + x2 +x3) = f(x1),∀x1 ∈ P1, x2 ∈ P2, x3 ∈ P3
φ2 :P →P, xác định bởi φ(x1+x2+x3) =f−1(x2),∀x1 ∈ P1, x2 ∈ P2, x3 ∈ P3
Ta có thể kiểm tra lại rằng φ1 và φ2 là tự đồng cấu lũy linh của P. Vì M là một môđun đối bất biến lũy linh, φ1(Ker(π)) ⊆ Ker(π) và φ2(Ker(π)) ⊆ Ker(π). Lấy m là phần tử tùy ý của Ker(π). Khi đó phần tử x1 ∈ P1, x2 ∈ P2 và x3 ∈ P3 sao cho m = x1 +x2 +x3. Khi đó ta có
φ2φ1(m) = x1, φ1φ2(m) = x2
và dễ dàng chỉ ra được x1, x2, x3 ∈ Ker(π) suy ra
Ker(π) = (P1 ∩Ker(π))⊕(P2 ∩Ker(π)) ⊕(P3 ∩Ker(π)).
Định lý 3.2.6. ([18], Định lý 3.12) Cho R là một vành hoàn chỉnh phải và cho M là một R-môđun phải đối bất biến đẳng cấu không phân tích được, với π : P → M là một phủ xạ ảnh của M. Nếu M không là tựa xạ ảnh thì P có một phân tích P = ⊕
i∈IP, với {Pi}i∈I là các môđun xạ ảnh không phân tích được đôi một không đẳng cấu, |I| > 1 và End(Pi)/J(End(Pi)) ∼= Z2,∀i ∈ I.
Bổ đề 3.2.7. Cho R là một vành hoàn chỉnh phải và cho M là một R- môđun phải mà π : P → M là phủ xạ ảnh của M. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(1) M là một môđun cyclic đối không chính phương.
(2) P là tổng trực tiếp của các môđun địa phương đôi một không đẳng cấu.
Chứng minh. (1) ⇒(2) là hiển nhiên.
(2) ⇒ (1) Giả sử rằng có một tự đồng cấu khác không của các R
môđun phải f : M → M1 ⊕M2, mà M1 ∼= M2. Đặt π1 : P1 → M1, π2 : P2 → M2 là các phủ xạ ảnh của môđun M1 và M2 tương ứng. Khi đó π1 ⊕π2 : P1 ⊕P2 →M1 ⊕M2 là phủ xạ ảnh của M1 ⊕M2 và P1 ∼= P2. Theo tính xạ ảnh của P, khi đó tồn tại một tự đồng cấu g của P mà (π1 ⊕π2)◦g = f◦π.Từ Ker(π1⊕π2) P1⊕P2 vớig là một tự đồng cấu.
Từ đó suy ra P1 ⊕P2 đẳng cấu với tổng trực tiếp của P, mâu thuẫn với điều kiện của (2). Do đó M là đối không chính phương. Như vậy từ điều kiện của (2) ta suy ra được rằng M/J(M) ∼= P/J(P) mà một môđun cyclic. Chúng ta cũng suy ra rằng M là một môđun cyclic, vì J(M) là bé trong M.
Định lý 3.2.8. ChoRlà một vành hoàn chỉnh và cho M làR-môđun phải đối bất biến đẳng cấu. Khi đó M có sự phân tích: M = P0 ⊕(⊕ni=1Qi), trong đó P0 là môđun tựa xạ ảnh, End(⊕n
i=1Qi)/J(⊕n
i=1Qi) là một vành Boolean hữu hạn và ⊕n
i=1Qi là môđun cyclic đối không chính phương, mà Qi là không chính phương, với mỗi 1 ≤ i ≤n.
Chứng minh. Gọi π : P −→ M là phủ xạ ảnh của M. Theo nghiên cứu trong Định lý 1.2.35 chỉ ra rằng P có sự phân tích
P = (⊕i∈IPi)⊕(⊕j∈I0Pj)
Trong đó I0 là tập hữu hạn, Pi Pj, nếu i ∈ I0, j ∈ (I ∪I0)\ {i}, và với mỗi i ∈ I có một chỉ số j ∈ I, mà i 6= j và Pi ∼= Pj. Đặt πi:(⊕i∈IPi)⊕(⊕j∈IPj) → Pi là phép chiếu chính tắc với mỗi i ∈ I ∪I0. Từ Bổ đề 3.2.5 cho ta πi(Ker(π)) ⊂ Ker(π) với mỗi i ∈ I. Nó suy ra e(Ker(π)) ⊂ Ker(π), trong đó e : (⊕i∈IPi) ⊕(⊕j∈I0Pj) → ⊕j∈I0Pj là phép chiếu chính tắc. Khi đó, ta có
M ∼= P/Ker(π) ∼= [⊕
i∈I
Pi
Pi ∩Ker(π)]⊕[ ⊕j∈IPj
(⊕j∈I0Pj)∩Ker(pi)]
Ta cũng có P Pi
i∩Ker(π) là môđun đối bất biến đẳng cấu địa phương với mỗi i ∈ I theo Mệnh đề 1.2.33. Mặt khác ⊕
i∈I,[Pi/(Pi ∩Ker(π))] là
môđun tựa xạ ảnh. Vì (⊕j∈I0Pj)/J(⊕j∈I0Pj) là môđun nửa đơn có chiều hữu hạn, khi đó ta có sự phân tích sau
⊕j∈I0Pj
(⊕j∈I0Pj ∩Ker(π) = (⊕mi=1Fi)⊕(⊕nj=1Qj)
Trong đó Fi là địa phương với mỗi 1 ≤ i ≤ m và Qj không địa phương và không thể phân tích được với mỗi 1≤ j ≤ n. Ta lại có
(⊕i ∈ IP Pi
i∩Ker(π))⊕(⊕mi=1Fi) là một môđun tựa xạ ảnh. Theo Định lý 2.2.6 và ⊕ i∈IPi là một tổng trực tiếp của các môđun không đẳng cấu.
Cho các cặp môđun đẳng cấu sau đây
End(⊕ni=1Qn)/J(⊕ni=1Qn) ∼=
n
Y
i=1
Z2
Vậy ⊕ni=1Qi là môđun cyclic đối không chính phương theo Bổ đề 3.2.7 Hệ quả 3.2.9. Nếu M là môđun phải đối bất biến đẳng cấu không phân tích được, trên một trên vành đầy đủ phải, khi đó M là một môđun cyclic đối không chính phương.
Chứng minh. tương tự như chứng minh Định lý 3.3.7.
Định lý 3.2.10. Cho R là một vành hoàn chỉnh và cho M là R-môđun phải đối bất biến lũy linh. Khi đó M có sự phân tích M = P ⊕Q, với P là môđun tựa xạ ảnh, Q là môđun cyclic tự do đầy đủ và mọi tổng trực tiếp khác không của Q không là tựa xạ ảnh.
Hệ quả 3.2.11. Nếu M là một môđun phải đối bất biến lũy linh không phân tích được trên vành đầy đủ, thì M là môđun cyclic đối không chính phương.
Định lý 3.2.12. Cho R là một vành hoàn chỉnh và M là R-môđun phải đối bất biến lũy linh hữu hạn sinh. Nếu M/J(M) là một môđun chính phương đầy đủ, thì M là môđun tựa xạ ảnh.
Chứng minh. Gọi π : P −→ M là phủ xạ ảnh của M và e = e2 ∈ End(P), tồn tại môđun xạ ảnh địa phương P1, P2, ..., Pn với sự phân tích eP = P1⊕P2 ⊕ ã ã ã ⊕Pn0, (1−e)P = Pn0+1⊕Pn0+2⊕ ã ã ã ⊕Pn với mỗi 1 ≤ n0 ≤ n. Đặt πi : P1⊕...⊕Pn → Pi là phép chiếu chính tắc cho mỗi 1 ≤ i ≤ n. Mặt khác, với mỗi 1 ≤ i ≤ n, tồn tại 1 ≤ j ≤ n với i 6= j và Pi ∼= Pj. Theo Bổ đề 3.2.4 có πi(Ker(π)) chứa trong Ker(π) với mỗi i ∈ {1,2, ..., n}. Nó chỉ ra rằng e(Ker(π)) ⊂ Ker(π). Theo giả thiết, các đồng cấu của môđun M/J(M) = P/J(P) có độ dài lớn hơn 1, và vì vậy End(P)/J(End(P)) ∼= End(P/J(P)) ∼= Mn1(T1) × ... × Mnk(Tk), trong đó Ti là một thể và ni > 1 với 1 ≤ i ≤ n.
Xét một tự đồng cấu f bất kì của P theo Hệ quả 1.2.34 ta có phương trình f + J(End(P)) = F (e1, ..., em), trong đó e1, ..., em ∈ End(P)/J (End(P)) là các lũy đẳng và F ∈ Z < x1, ..., xm >. Vì P là R-môđun phải hữu hạn sinh và J(End(P)) là iđêan lũy linh, nên e1 = f1+J(End(P)), e2 = f2+J (End(P)), ..., em = fm+J(End(P)) đối với một số lũy đẳng f1, f2, ..., fm ∈ End(P).
Do đó f = F(f1, f2, ..., fm) + α, trong đó α là một phần tử lũy linh trong End(P). Vì M là một R-môđun phải đối bất biến lũy linh và F(f1, ..., fm)(Ker(π)) ⊂ Ker(π), f(Ker(π)) được chứa trong Ker(π). Nó cho thấy Ker(π) là một môđun con đối bất biến đầy đủ của P, và do đó M là môđun tựa xạ ảnh (theo Mệnh đề 1.2.33).
Ví dụ 3.2.13. Gọi H là đại số bậc bốn trên trường số thực R, R = H H
0 R
!
, e = 1 0 0 0
!
và S = 0 iR 0 0
!
. Chúng ta có thể kiểm tra rằng eRR/S là R-môđun phải đối bất biến lũy linh và không phải là đối bất biến đẳng cấu. Như vậy Định lý 3.3.12 không đúng nếu M/J(M) không phải là một môđun chính phương đầy đủ.
Một vành R được gọi là bất biến phải nếu mỗi iđêan phải của R là một iđêan.
Hệ quả 3.2.14. Cho R là một vành hoàn chỉnh phải và bất biến. M là
R-môđun phải hữu hạn sinh. Các điều kiện sau là tương đương (1) M là môđun đối bất biến đẳng cấu.
(2) M là môđun đối bất biến lũy linh.
(3) M là môđun tựa xạ ảnh.
Chứng minh. Trực tiếp theo Định lý 3.2.11 và thực tế là mọi môđun phải cyclic trên một vành bất biến phải là tựa xạ ảnh.
Hệ quả 3.2.15. Cho R là một vành hoàn chỉnh phải bất biến phải. Các điều kiện sau tương đương:
(1) Mỗi R-môđun phải cyclic là một môđun đối bất biến đẳng cấu.
(2) Mỗi R-môđun phải cyclic là một môđun đối bất biến lũy linh.
(3) Mỗi R-môđun phải cyclic là một môđun tựa xạ ảnh.
(4) R là một vành bất biến phải.
Chứng minh. (1) ⇒(2) theo Hệ quả 3.2.14.
(4) ⇒(3) và (3) ⇒(2) là rõ ràng.
(1) ⇒(4). Cần xem xét trường hợp khi R là vành địa phương.
Cho A là một iđêan phải của R và cho r ∈ R. Vì R là một vành địa phương, hoặc r là khả nghịch hoặc 1−r là khả nghịch. Suy ra rA ⊆ A hoặc (1 − r) A ⊆ A. Điều này chứng tỏ rằngrA ⊆ A. Do đóAlà iđêan trái của R. Do đó R là một vành bất biến phải.
KẾT LUẬN
Luận văn “Lớp môđun bất biến và đối bất biến lũy linh”
đã hoàn thành mục đích nghiên cứu đã đưa ra. Cụ thể đề tài đã đã tổng quan được các vấn đề sau:
1. Tổng quan các khái niệm môđun bất biến và đối bất biến lũy linh.
2. Trình bày được các định lý, tính chất liên quan đến môđun bất biến và đối bất biến lũy linh.
3. Tổng quan các định lý, tính chất liên quan đến môđun bất biến và đối bất biến lũy linh trên vành Goldie nguyên tố.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng việt
[1] Trương Công Quỳnh, Lê Văn Thuyết (2013), Giáo trình lý thuyết vành và môđun, NXB Đại học Huế.
Tiếng anh
[2] Abyzov A.N, Quynh T.C, Tai D.D (2017),Dual automorphism-invariant modules over perfect rings, Siberian Math. J, 58:5, 743-751.
[3] Anderson F. W., Fuller K. R. (1992). Ring and Categories of Modules.
Secondditon GTM, Vol. 13. New Yord: Springer-Verlag.
[4] Clark J., Lomp C., Vanaja N., Wisbauer R. (2006), Liftig Modules:
Supplements and projectivity in module theory, Frontiers in Mathemat- ices, Birhauser Verlag, Basel.
[5] Dickson, S. E., Fuller, K. R. (1969). Algebras for which every inde- composable right module is invariant in its injective envelope. Pacizic J.
Math. 31(3):655–658.
[6] Facchini, A. (1998), Module Theory. Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in some Classes of Modules, Progress in Mathemat- ices, Vol. 167. Basel: Birkhauser Verlag.
[7] Hans H. Bass, (1967), On quasi projectives, Illinois Journal of Mathe- matics 11, 439-448.
[8] Koásan M. T, Quynh T. C, and Srivastava A. K. (2016), Rings with each right ideal automorphism-invariant, J. Pure Appl. Algebra 220 (4):
1525–1537.
[9] Koásan M. T, Ha N. T. T, Quynh T. C. (2016), Rings for which every cyclic module is dual automorphism-invariant, J. Algebra Appl. 15(5):
1650078 (11 pages).
[10] Koásan, M. T, Quynh T. C. (2015), On automorphism-invariant mod- ules, J. Algebra Appl.14(5):1550074 (11 pages).
[11] Kosan, M. T., Quynh, T. C. (2017), Nilpotent-invariant modules and rings, Commun. Algebra 45(7):2775–2782.
[12] K. R Fuller. (1986), On indecomposable injectives over Artinian rings, Pacific J. Math 29 . 115-136.
[13] Lee, T. K., Zhou, Y. (2013). Modules which are invariant under au- tomorphisms of their injective hulls. J. Algebra Appl. 12(2):1250159 (9 pages).
[14] Mohamed, S. H, M¨uller, B. J. (1990), Continuous and Discrete Mod- ules, London Mathematical Soc. 147: Cambridge Univ. Press.
[15] Nicholson, W. K, Yousif, M. F. (2003),Quasi-Frobenius Rings, Cam- bridge Tracts in Mathematics, Vol. 158. Cambridge: Cambridge Univer- sity Press.
[16] Quynh, T. C., Koásan, M. T. (2015),On automorphism-invariant mod- ules, J. Algebra Appl.14(5):11 pages.
[17] Tuganbaev A. A. (2017), Automorphism-invariant non-singular rings and modules, J. Algebra 485, 247-253.
[18] Tuganbaev A. A. (2013), Characteristic submodules of injective mod- ules, Discrete Math. Appl, 23(2): 203–209.
[19] Ulrich Albrecht. (2008), Finitely Presented Modules Over Right Non- Singular Rings. Mat Univ Padova, Vol. 12 .
[20] Wisbauer R, (1991), Foundations of Module and Ring Theory, Gor- don and Breach. Reading.