Chương 2. Môđun và vành bất biến lũy linh
2.3. Môđun bất biến lũy linh trên vành Goldie nguyên tố
Bổ đề 2.3.1. Nếu M là môđun bất biến lũy linh, A là môđun con đóng của M và B là một môđun con của M mà A∩B = 0 thì A là B-nội xạ.
Hơn nữa, cho đồng cấu h : A → M bất kì, thỏa mãn A∩h(A) = 0, khi đó h(A) là một môđun con đóng của M.
Chứng minh. Giả sử rằng M là một môđun bất biến lũy linh. Gọi C là phần bù của A trong M chứa B, và vì vậy ta suy ra được C ⊕A ≤e M. Gọi f : H → A là một đồng cấu, với H là một môđun con của C. Khi đó tồn tại một đồng cấu g : E(C) → E(A) và một tự đồng cấu lũy linh φ của E(M) sao cho φ(M) ≤ M, φ|C = g|C v`a φ|H = f. Từ g(C) = ϕ(C) ≤ M ∩E(A) = A suy ra được A là C-nội xạ hoặc A là B-nội xạ.
Giả sử h : A → M là một đồng cấu và A ∩ h(A) = 0. Gọi K là mở rộng cốt yếu h(A). Khi đó A∩ K = 0. Theo chứng minh trên, A là K-nội xạ và do đó tồn tại k : K → A sao cho k là phần mở rộng của h−1 : h(A) → A, với mọi a ∈ A. Ta có a = h−1h(a) = kh(a) và thu được h : A → K là một đồng cấu chẻ ra, và do đó h(A) = K là một môđun con đóng của M.
Bổ đề 2.3.2. ([16], Bổ đề 4.2) Cho R là vành Goldie phải nguyên tố và cho M là một R-môđun phải khác không, không suy biến. Nếu N là một R môđun phải M-nội xạ thì N là một R-môđun phải nội xạ.
Bổ đề 2.3.3. Cho M là một môđun bất biến lũy linh phải không suy biến trên một vành R là vành Goldie phải nguyên tố.
(1) Nếu N là một môđun con đóng thực sự của M thì N là một R-môđun phải nội xạ.
(2) Nếu M là một R-môđun phải không đều thì M là một môđun nội xạ.
Chứng minh. (1) Gọi N là môđun con đóng thực sự của R môđun phải không suy biếnM. Khi đó, tồn tại một môđun con N0 củaM màN∩N0 = 0. Kết hợp Bổ đề 2.3.1 và Bổ đề 2.3.2 ta suy ra được rằng N là một R- môđun phải nội xạ.
(2) Giả sử rằng M là R-môđun phải không suy biến không đều. Khi đó M là mở rộng cốt yếu củaM1⊕M2, trong đó M1 và M2 là các môđun con đóng của M khác không và không suy biến. Từ kết quả của (1) ta suy ra được M1, M2 là một R-môđun phải nội xạ và cũng suy ra được rằng M = M1 ⊕ M2 là nội xạ.
Hệ quả 2.3.4. Mỗi môđun phải bất biên lũy linh không suy biến trên vành Goldie phải nguyên tố là tựa liên tục (nó bất biến qua tất cả các tự đồng cấu lũy đẳng của bao nội xạ của nó).
Một môđun khác không M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên dương n sao cho M chứa một mụđun con cốt yếu cú dạng U1⊕U2 ã ã ã ⊕Un với Ui của M là các môđun con đều. Hơn nữa, số nguyên n không đổi của môđun M được gọi là chiều đều hoặc chiều Goldie (Goldie rank) và ký hiệu là udim(M). Nếu M = 0 ta quy ước udim(M) = 0.
Định lý 2.3.5. Cho R là một vành Goldie phải nguyên tố và cho M là R-môđun phải với udim(M/Z(M)) > 1. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(1) M là một môđun bất biến lũy linh.
(2) M là một môđun nội xạ.
Chứng minh. Giả sử rằng R là một vành Goldie phải nguyên tố và M là một R-môđun phải bất biến lũy linh có udim(M/Z(M)) > 1. Chú ý rằng các môđun con không suy biến của các R-môđun phải trên vành Goldie phải nửa nguyên tố phải bất kì là đóng. Từ chú ý này và giả thiết đã cho, chúng ta có Z(M) là một môđun con phải đóng thực sự của M. Khi đó, theo Bổ đề 2.3.3 ta suy ra được Z(M) là một môđun nội xạ và sự phân
tích M = Z(M) ⊕ M0, với M0 là một R-môđun phải không suy biến.
Do đó suy ra udim(M0) > 1, và ta cũng suy ra được M0 không phải là R-môđun phải đều. Theo Bổ đề 2.3.3(2) thì M0 là nội xạ. Như vậy ta đã chứng minh được M là một R-môđun phải.
Ví dụ sau đây cho thấy điều kiện udim(M/Z (M)) > 1 trong định lý trên là không thể bỏ được.
Ví dụ 2.3.6. Cho R là một miền nguyên iđêan chính và không phải là trường. Khi đó R là một vành Goldie phải nguyên tố và là một R-môđun bất biến lũy linh với udim(R/Z (R)) = 1. Tất nhiên, R không phải là nội xạ.
Mệnh đề 2.3.7. Một môđun bất biến lũy linh trên vành chuỗi tổng quát bất kỳ là tựa nội xạ.
Chứng minh. Cho M là một môđun phải bất biến lũy linh trên một vành chuỗi tổng quát R. Khi đó M = ⊕i∈IMi, mà tất cả các R-môđun phải Mi là môđun chuỗi.
Chú ý rằng mọi R-môđun phải không phân tích được Mi là tựa nội xạ. Mặt khác, mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun bất biến lũy linh là bất biến lũy linh và Mi, Mj là các môđun nội xạ tương hỗ nếu Mi⊕Mj là môđun bất biến lũy linh. Nó chứng tỏ rằng M là tựa nội xạ theo Định lý 1.2.32.
Hệ quả 2.3.8. Cho R là một vành Nơte nguyên tố di truyền phải bị chặn và cho M là R-môđun phải với udim(M/Z (M)) 6= 1. Khi đó các điều kiện sau là tương đương
(1) M là bất biến lũy linh.
(2) M là tựa nội xạ.
Môđun M được gọi là duo yếu nếu mỗi hạng tử trực tiếp của M là một môđun con bất biến hoàn toàn. Như chúng ta đã biết bất kỳ hạng
tử trực tiếp của một môđun duo yếu là một môđun duo yếu.
Nhắc lại rằng một vànhRđược gọi là chính quy von Neumann (chính quy mạnh) nếu với mọi a ∈ R, tồn tại b ∈ R sao cho a = aba (tương ứng a = a2b).
Định lý 2.3.9. Cho môđun M không suy biến, các mệnh đề sau là tương đương
(1) M là một môđun bất biến lũy linh duo yếu.
(2) End(E(M)) là một vành chính quy mạnh.
(3) E(M) là một môđun duo yếu.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử rằng M là một môđun bất biến lũy linh không suy biến. Khi đó, E(M) cũng là một R-môđun phải không suy biến. Khi đó ta suy ra được End(E(M)) là một vành von Neumann chính quy. Mặt khác, M có sự phân tích M = X ⊕ Y, trong đó X là tựa nội xạ, Y không chính phương và X, Y là nội xạ tương hỗ và Hom(X, Y) = Hom(Y, X) = 0. Khi đó ta có được E(M) = E1 ⊕ E2, E1 = E(X), E2 = E(Y) va Hom(E` 1, E2) = Hom(E2, E1 ) = 0.
Khi đó chúng ta có vành đẳng cấu
End(E(M)) ∼= End(E1)× End(E2)
Để thể hiện tính chính quy mạnh của End(E(M)), cần phải chứng minh tính chính quy mạnh của End(E1) và End(E2). Chúng ta chứng minh End(E1) là một vành chính quy mạnh như sau:
Lấy ϕ ∈ End(E1) với ϕ2 = 0. Chú ý rằng X là tựa nội xạ, ϕ(X) ≤ X. Gọi ψ = ϕ|X ∈ End(X) và ψ2 = 0. Khi đó ψ(X) ≤ Ker(ψ). Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng Ker(ψ) không cốt yếu trong X. Lấy A là một môđun con khác không đóng của X sao cho A∩Ker(ψ) = 0. Từ đó ta suy ra được rằng A là một hạng tử trực tiếp của X và vì vậy ψ(A) ≤ A∩ψ(X) ≤ A∩Ker(ψ) = 0. Từ lập luận trên suy ra A = 0 (điều này mâu thuẫn với việc A là một môđun con khác
không đóng của X). Như vậy Ker(ψ) là cốt yếu trong X. Tuy nhiên, X là không suy biến. Để chứng minh điều này chúng ta phải có ψ = 0. Và dễ dàng ta có thể kiểm tra được rằng ϕ = 0 bởi tính không suy biến của E(X). Từ đó ta suy ra End(E1) là một vành chính quy mạnh. Từ chứng minh trên chứng tỏ mỗi môđun con đóng của Y là một môđun con bất biến hoàn chỉnh của Y. Một cách tương tự ta có thể chứng minh được End(E2) là vành chính quy mạnh.
(2) ⇒(3) là hiển nhiên vì mọi lũy đẳng của End(E(M)) là tâm.
(3) ⇒(1). Vì End(E(M)) không có các lũy linh khác không, M là bất biến lũy linh.
Tiếp theo chúng ta chứng minh rằng M là một môđun duo yếu bằng cách lấy A là một hạng tử trực tiếp của M. Khi đó A = M ∩ E(A) va E` (A) là một hạng tử trực tiếp của E(M). Lấy f một tự đồng cấu của M và f một tự đồng cấu của E(M) và là một mở rộng của f. Vì vậy
f (A) = f (A) = f (M ∩E(A)) ≤f (M)∩f (E(A)) ≤ M∩E(A) = A Điều này chỉ ra rằng A là bất biến qua tất cả các tự đồng cấu của M. Do đó ta suy ra được M là một môđun duo yếu.
Ví dụ 2.3.10. Cho R là vành số nguyên Z. Với p là số nguyên tố bất kỳ, nhóm Pr¨ufer Z(p∞) là một môđun bất biến lũy linh duo yếu. Nhưng, Z(p∞) thì không là không suy biến và End(Z(p∞)) là không chính quy mạnh.