Chương 2. Môđun và vành bất biến lũy linh
2.2. Một số tính chất của môđun bất biến lũy linh
Định lý 2.2.1. Mỗi môđun bất biến lũy linh là một C3-môđun.
Chứng minh. Cho M là một môđun bất biến lũy linh và A, B là hai hạng tử trực tiếp của M với A∩B = 0.
VìA, B là hai hạng tử trực tiếp củaM nên ta có thể viếtM = A⊕A0 và M = B ⊕B0, trong đó A0, B0 là các môđun con nào đó của M.
Xét phép chiếu chính tắc π1 : M → A và π2 : M −→A0. Khi đó tồn tại một đẳng cấu φ : B −→ π2(B).
Đặt ϕ = (π1)|B ◦ (φ)−1 : π2(B) −→ A. Vì vậy, tồn tại một đồng cấu ϕ : E(A0) −→ E(A) sao cho ϕ là một mở rộng của ϕ. Chú ý rằng E(M) = E(A0)⊕E(A).
Xét ánh xạ ψ : E(M) −→ E(M) xác định bởi ψ(x+y) =ϕ(x), với mọi x ∈ E(A0) và y ∈ E(A). ψ|E(A) = ϕ và ψ2 = 0. Vì M là môđun bất biến lũy linh nên ψ(M) ≤ M. Hơn nữa, với mỗi phần tử a ∈ A0, ta có ψ(a0) = ϕ(a0) ∈ M TE(A) = A. Điều này chỉ ra rằng, ψ(A0) ≤ A và ψ ◦(π2)|B = (π1)|B.
Đặt M0 = {a0+ψ(a0)|a0 ∈ A0}. Khi đó, chúng ta có M = M0⊕A và B ≤ M0. Do đóM0 = B⊕(M0∩B0) và vì vậy M = (A⊕B)⊕(M0∩B0).
Mệnh đề 2.2.2. Giả sử rằng M là một môđun bất biến lũy linh, E(M) = E1 ⊕E2 và π1 : E(M) −→ E1 là phép chiếu chính tắc. Khi đó π1(M) là một môđun bất biến lũy linh. Hơn nữa, lớp các môđun bất biến lũy linh là đóng dưới hạng tử trực tiếp.
Chứng minh. Giả sử rằng M là một môđun bất biến lũy linh và E(M) = E1⊕E2. Gọiπ1 : E(M) −→E1 là phép chiếu chính tắc. Khi đóπ1(M) ≤e
E1 và E1 là bao nội xạ của π1(M). Cho f : E1 −→ E1 là một đồng cấu lũy linh. Suy ra đồng cấu π : E(M) −→ E(M) xác định bởi π(x+y) = f(x),∀x ∈ E1, y ∈ E2 là một đồng cấu lũy linh.
Mặt khác với mọi x ∈ π1(M),∃x ∈ M và x2 ∈ E2 mà x = x1 + x2. Điều đó chứng tỏ rằng π(x) = f(x1) ∈ M ∩ E1 ≤ π1(M). Vì vậy f(π(M)) ≤ π1(M).
Hệ quả 2.2.3. Giả sử M là một môđun bất biến lũy linh và E(M) = E1 ⊕E2. Khi đó M ∩Ei là môđun bất biến lũy linh, với i = 1,2.
Định lý 2.2.4. Cho M là môđun bất biến lũy linh. Khi đó, chúng ta có (1) Nếu M = M1 ⊕M2, và f : E(M1) −→ E(M2) là đồng cấu thì f(M1) ≤ M2, tức là M1 và M2 nội xạ tương hỗ.
(2) Nếu M = M1 ⊕ M2 và g : M1 −→ M2 là một đồng cấu thì g(M ∩M1) ≤M ∩M2.
Chứng minh. (1) Chú ý rằng E(M) = E(M1)⊕E(M2).
Gọi f : E(M1) −→E(M2) là một đồng cấu. Xét s := if π, trong đó i : E(M2) −→ E(M) là phép nhúng chính tắc và π : E(M) −→ E(M1) là phép chiếu chính tắc. Khi đó, ta có
s(EM)) = (if π(E(M))
= (if)(E(M1)) ≤ i(E(M2)) = E(M2) và s2(E(M)) ≤ s(E(M2)) = (if π)(E(M2)) = 0
Điều này có nghĩa là s2 = 0. Vì M là bất biến lũy linh, nên ta thu được s(M) ≤M.
Mặt khác, với mọi m1 ∈ M1, ta có s(m1)f(m1) và do đó f(m1) = x1 + x2,∀x1 ∈ M1, x2 ∈ M2. Vì f(m1) ∈ E(M2), chúng ta thu được f(m1) =x2 ∈ M2, nghĩa là F(M1) ≤ M2. Do đó M2 là M1-nội xạ.
(2) Định nghĩa θ : E(M) −→ E(M) xác định bởi: θ(m1 + m2) = g(m1). Rõ ràng θ2 = 0 và θ|M1 = g. Do đó θ(M) ≤ M, do đó ta suy ra được g(M ∩M1) = θ(M ∩M1) ≤ M ∩M2.
Như một hệ quả của định lý trên, chúng ta có kết quả sau:
Hệ quả 2.2.5. Một môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M ⊕M là bất biến lũy linh.
Định lý 2.2.6. Cho M là R-môđun.
(1) Nếu M là môđun bất biến lũy linh và A ⊕B ≤e M thì bất kỳ đồng cấu nào từ một môđun con của A đến B đều có thể mở rộng đến một tự đồng cấu lũy linh của M.
(2) Các điều kiện sau là tương đương:
(a) M là bất biến lũy linh.
(b) Mọi đồng cấu từ một môđun con cốt yếu của M vào M có một tự đồng cấu lũy linh mở rộng của E(M), khi đó nó là mở rộng một tự đồng cấu lũy linh của M.
(c) Đối với bất kỳ tự đồng cấu lũy linh nào của E(M), (1 +f)(M) = M.
Chứng minh. (1) Giả sử rằng A⊕B ≤e M và f : H −→ B với H ≤ A. Khi đó E(M) = E(A) ⊕E(B) và tồn tại đồng cấu g : E(A) −→ E(B) sao cho g|H = f.
Xét φ : E(M) −→E(M) là đồng cấu được xác định bởi φ(x+y) = g(x),∀x ∈ E(A). Rõ ràng, φ|H = f và φ2 = 0. Vì M là bất biến lũy linh, φ(M) ≤ M. Do đó φ|M : M → M một tự đồng cấu lũy linh của M mà là mở rộng của f.
(2) (a) =⇒ (b) Gọi f là một tự đồng cấu lũy linh của E(M) và đặt N := f−1(M)∩M. Rõ ràng, f(N) ≤M và N là một môđun con cốt yếu của M. Xét g : N −→ M là ánh xạ xác định bởi g(n) = f(n),∀n ∈ N. Theo (2), g mở rộng đến một tự đồng cấu lũy linh, gọi h, của M. Lấy m ∈ (h−f)(M)∩M và viết m = (h−f)(m1) với m1 ∈ M. Khi đó ta có f(m1) = h(m1) − m ∈ M, do đóm1 ∈ f−1(M)TM = N. Bây giờ h(m1) = g(n) = f(m1) = 0. Điều này cho thấy(h−f)(M)∩M = 0. Và từ đó ta suy ra được M là bất biến lũy linh.
(c) =⇒ (a) điều này là hiển nhiên.
(a) =⇒ (c) Giả sử f là một tự đồng cấu lũy linh của E(M), tức
là có một số tự nhiên k mà fk = 0. Theo nhận xét trước đây, ta có (1 +f)(M) ≤ M.
Mặt khác ta cũng có
M ≤ (1 +f)−1(M) = (1−x+x2 −x3 + ...+ (−1)k−1xk−1)(M) ≤ M
Do đó ((1 +f)−1)(M) = M hoặc (1 +f)(M) = M.
Hệ quả 2.2.7. Giả sử M là một môđun bất biến lũy linh và A là một môđun con bất biến lũy linh của M. Nếu B là môđun con của M mà A⊕B ≤e M thì chỉ có đồng cấu không từ một môđun của A đến B. Suy ra B là A-nội xạ.
Chứng minh. Đặt f : H −→ B là một đồng cấu với H ≤ A. Theo Định lý 2.2.6, tồn tại một tự đồng cấu lũy linh φ của M mà φ|H = f. Nhưng A là một môđun con bất biến lũy linh của M, chúng ta có φ(A) ≤A. Do đó f(H) ≤ B ∩A và cũng có f = 0.
Bổ đề 2.2.8. Giả sử rằng bao nội xạ của một môđun bất biến lũy linh M có phân tích E(M) = E1 ⊕ E2 ⊕E3. Nếu tồn tại U ≤ E1, V ≤ E2 mà U ∼= V và U ⊕V ≤e E1⊕E2 thì M = (E1∩M)⊕(E2∩M)⊕(E3∩M).
Chứng minh. Giả sử tồn tạiU ≤ E1,V ≤E2 sao cho U ∼= V vàU⊕V ≤e E1⊕E2. Đặt E10 = E(U), E20 = E(V). Khi đó E10 ⊕E20 = E1⊕E2 và tồn tại một đẳng cấu f : E10 −→ E20. Điều này suy ra E(M) =E10 ⊕E20 ⊕E30 với E30 = E3.
Gọi πi : E(M) → Ei0 là phép chiếu chính tắc. Dễ ràng có được M ∩Ei0 ≤πi(M),∀i = 1,2,3.
Xét các ánh xạ sau:
φ1 :E(M) −→ E(M)
x1 +x2 +x3 7→ f(x1),∀x1 ∈ E10, x2 ∈ E20, x3 ∈ E30. φ2 :E(M) −→ E(M)
x1 +x2 +x3 7→ f−1(x2),∀x1 ∈ E10, x2 ∈ E20, x3 ∈ E30.
Rõ ràng φ1, φ2 là các tự đồng cấu lũy linh của E(M). Vì M là bất biến lũy linh nên φ1(M) ≤ M và φ2(M) ≤ M. Điều này suy ra
φ2φ1(M) ≤ M và φ1φ2(M) ≤M
Với m ∈ M bất kì, tồn tại x1 ∈ E10, x2 ∈ E20 và x3 ∈ E30 sao cho m = x1+x2+x3. Chúng ta có φ2φ1(M) ≤ M, φ1φ2(M) ≤ M và dễ dàng có rằng x1, x2 ∈ M, suy ra x3 ∈ M. Điều này chứng tỏ rằng πi(M) ≤M và M ∩ Ei0 = πi(M),∀i = 1,2,3. Do đó ta có được
M = π1(M)⊕π2(M)⊕π3(M)
= (E10 ∩ M)⊕(E20 ∩M)⊕(E30 ∩M)
= (E1 ∩ M)⊕(E2 ∩M)⊕(E3 ∩M) ≤ M.
Vậy M = (E1 ∩M)⊕(E2 ∩M)⊕(E3 ∩M).
Từ bổ đề trên ta có kết quả sau
Định lý 2.2.9. Cho M là một môđun bất biến lũy linh và E(M) = E1⊕E2⊕E3. Nếu E1 ∼= E2 thì M = (E1∩M)⊕(E2 ∩M)⊕(E3∩M).
Hệ quả 2.2.10. Giả sử rằng M là một môđun bất biến lũy linh không phân tích được. Khi đó Soc(M) là một môđun không chính phương.
Hệ quả 2.2.11. Cho R là đại số hữu hạn chiều trên một trường F có nhiều hơn hai phần tử. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(1) Mỗi R môđun phải không thể phân tích được là bất biến đẳng cấu.
(2) Mỗi R môđun phải không thể phân tích được là bất biến lũy linh.
Chứng minh. Chứng minh được suy ra từ hệ quả trên và Định lý 1.2.24.
Định lý 2.2.12. Cho M là một môđun bất biến lũy linh. Khi đó
(1) M là môđun vô hạn hoàn toàn khi và chỉ khi E(M) là một môđun
vô hạn hoàn toàn.
(2) M là môđun hữu hạn trực tiếp khi và chỉ khi E(M) là một môđun hữu hạn trực tiếp.
Chứng minh. (1) Giả sử rằng E(M) =E1⊕E2 với E1 ∼= E2. Theo Định lý 2.2.9, M = M ∩E1 ⊕M ∩E2. Hơn nữa, M ∩E1 và M ∩E2 là nội xạ tương hỗ và E(M ∩ E1) = E1, E(M ∩E2) = E2. Điều này chỉ ra rằng M ∩E1 ∼= M ∩E2. Do đó M là vô hạn hoàn toàn.
(2) Giả sử rằng E(M) không phải là môđun hữu hạn trực tiếp. Khi đóE(M) =A⊕B, trong đóAlà môđun vô hạn hoàn toàn và B là môđun hữu hạn trực tiếp. Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng A = A1⊕A2 với A1 ∼= A2. Theo Định lý 2.2.9, ta có M = (M∩A1)⊕(M∩A2)⊕(M∩ B). Mặt khác, M ∩A là một môđun bất biến lũy linh theo Hệ quả 2.2.7.
Do đó M∩A= (M∩A1)⊕(M∩A2), và vì vậyM = (M∩A)⊕(M∩B). Mặt khác, vì A là vô hạn hoàn toàn nên M ∩A cũng vô hạn hoàn toàn theo (1). Từ đó suy ra M không phải là môđun hữu hạn trực tiếp. Vậy M là vô hạn hoàn toàn.
Hệ quả 2.2.13. Bất kỳ môđun bất biến lũy linh M nào cũng có sự phân tích M = M1⊕M2, trong đó M1 là hữu hạn trực tiếp, M2 là vô hạn hoàn toàn, M1 và M2 nội xạ tương hỗ và trực giao.
Chú ý 2.2.14. Nếu M là môđun bất biến lũy linh, thì M = X⊕Y, trong đó X là tựa nội xạ, Y không chính phương và X, Y nội xạ tương hỗ và trực giao.
Chú ý 2.2.15. Giả sử M là một môđun bất biến lũy linh không chính quy, với sự phân tích M = X ⊕Y như trong Chú ý 2.2.14. Khi đó:
(1) Bất kì môđun con U, V củaY với U∩V = 0 thìHom(U, V) = 0.
(2)Hom(X, Y) = Hom(Y, X) = 0.
Chú ý 2.2.16. Mỗi môđun con đóng của môđun M không suy biến là một môđun con bất biến hoàn toàn của M.
Chú ý 2.2.17. Nhắc lại rằng một môđun con K của M là đóng trong M nếu K không có mở rộng cốt yếu chính trong M. Tức là, với bất kì môđun con L của M mà K là cốt yếu trong L thì K = L.
Bổ đề 2.2.18. Giả sử rằng M là một môđun bất biến lũy linh, không chính phương không suy biến và {Ki}i∈I là một họ các môđun con đóng của M. Khi đó, P
IKi là một môđun bất biến lũy linh.
Chứng minh. Đặt A = PIKi ≤ M. Tồn tại môđun B ≤ M sao cho A ⊕ B ≤e M và do đó E(M) = E(A) ⊕ E(B). Bất kì tự đồng cấu lũy linh γ của E(A), có ánh xạ γ : E(M) −→ E(M) được xác định bởi γ(x + y) = γ(x), với mọi phần tử x ∈ E(A), y ∈ E(B) là một đồng cấu lũy linh. Vì M là bất biến lũy linh nên γ(M) ≤ M. Khi đó γ(Ki) ≤Ki,∀i ∈ I theo Chú ý 2.2.15. Từ đó suy ra γ(A) ≤ A.
Định lý 2.2.19. Giả sử rằng R là một vành bất biến lũy linh phải không suy biến phải. Khi đó R ∼= R1 ×R2, với R1, R2 là các vành và thỏa mãn các tính chất sau:
(1) R1 là tự nội xạ phải.
(2) R2 không chính phương như là một R2 môđun phải.
(3) Tổng bất kì của iđêan phải đóng của R2 là một iđêan hai phía và bất biến lũy linh như một R2-môđun phải.
Chứng minh. Theo giả thiết, chúng ta có sự phân tích R = eR⊕(1−e)R, với e ∈ R lũy đẳng. Trong đó eR là tựa nội xạ, (1−e)R không suy biến và Hom(eR,(1−e)R) = Hom((1−e)R, eR) = 0 (theo Chú ý 2.2.15 và 2.2.16). Khi đó, R1 = eR và R2 = (1−e)R là các iđêan. Do đó ta suy ra được (1) và (2), mặt khác (3) được suy ra từ Chú ý 2.2.17 và Bổ đề 2.2.18.
Hệ quả 2.2.20. Nếu R là một vành bất biến lũy linh phải đơn thì R là tự nội xạ phải hoặc RR không chính phương đều.
Chứng minh. Ta có sự phân tích của R = R1⊕R2 trong đóR1, R2 là các iđêan của R mà R1 là tự nội xạ phải và R2 là không chính phương. Khi đó R2 bằng 0 hoặc R. Nếu R2 = 0, thì R = R1 là tự nội xạ phải. Ngược lại nếu R = R2 là môđun không chính phương.
Giả sử R không đều. Khi đó tồn tại các iđêan phải khác không A, B của R mà A∩B = 0. Gọi U là môđun đóng của A và V là môđun đóng của B. Khi đó U∩V = 0. Vì vậy ta có U, V là các iđêan phải khác không của R, mà chúng nội xạ tương hỗ. Do đó R là tự nội xạ phải.
Định nghĩa 2.2.21. Một môđun M được gọi là thỏa mãn tính chất (N) nếu tất cả các tự đồng cấu lũy linh của các môđun con của M đều mở rộng đến tự đồng cấu lũy linh của M.
Mệnh đề 2.2.22. Cho M là môđun có tính chất (N) và cho f là một tự đồng cấu lũy linh của E(M). Nếu f(N) ≤ N với N = M ∩f−1(M) thì f(M) ≤ M.
Chứng minh. Giả sử rằng tất cả các tự đồng cấu lũy linh của các môđun con củaM có thể mở rộng đến các tự đồng cấu lũy linh củaM. Khi đó tồn tại một tự đồng cấu g của M sao cho (f −g)(N) = 0. Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng g(m) = f(m), với mọi m ∈ M. Giả sử rằng g(m0) 6= f(m0), với m0 ∈ M nào đó.
Đặtx = g(m0)−f(m0) ∈ E(M). VìM ≤e E(M) nên tồn tạir ∈ R sao cho 0 6= xr = g(m0r)−f(m0r) ∈ M. Mặt khác, ta có g ∈ End(M) nên ta suy ra được f(m0r) ∈ M. Điều đó cũng có nghĩa là m0r ∈ N do đó ta suy ra được g(m0r) = f(m0r) hoặc xr = 0 (điều này mâu thuẫn với giả sử). Từ đó ta có f(M) ≤M.
Hệ quả 2.2.23. Cho M là môđun thỏa mãn tính chất (N) và cho f là một tự đồng cấu lũy linh của E(M) với n là chỉ số lũy linh của f. Khi đó, ta có fn−1(M) ≤ M. Đặc biệt, fk(M) ≤ M, với mọi k ≥ n−1.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng n ≥ 2.
Đặt N = M ∩ (f(n−1)−1(M). Khi đó với mọi m ∈ N thì fn−1(m) ∈ M. Vì fn(m) = 0 nên fn−1(fn−1(m)) = 0 ∈ M. Ta có fn−1(m) ∈ (fn−1)−1(M) và thu được fn−1(m) ∈ (fn−1)−1(M) ∩M. Điều đó chứng tỏ fn−1(N) ≤ N. Áp dụng mệnh đề trên với tự đồng cấu fn−1, chúng ta có fn−1(M) ≤ M. Theo tính lũy linh của f, fk(M) ≤ M, với mọi k ≥ n−1 là hiển nhiên.
Định lý 2.2.24. Nếu M thỏa mãn tính chất (N) thì M là môđun bất biến lũy linh.
Chứng minh. Giả sử rằng tất cả các tự đồng cấu lũy linh của các môđun con của một R-môđun phải M có thể được mở rộng thành các tự đồng cấu lũy linh của M.
Gọi f là một tự đồng cấu lũy linh của E(M), và do đó fn = 0 với một số nguyên dương n là chỉ số lũy linh. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng f(M) ≤ M. Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n. Giả sử n = 2. Đặt N = {m ∈ M : f(m) ∈ M}. Khi đó f(N) ≤ N. Theo giả thiết suy ra được tồn tại một tự đồng cấu lũy linh g của M sao cho g(x) = f(x) với mọi x ∈ N. Suy ra g(m) = f(m), với mọi m ∈ M. Mặt khác, tồn tại một m0 ∈ M sao cho g(m0) 6= f(m0). Chọn x = g(m0) − f(m0) ∈ E(M). Vì M ≤e E(M) nên tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr = g(m0)−f(m−0). Suy ra f(m0r) ∈ M. Điều đó có nghĩa là m0r ∈ N. Suy ra f(m0r) = g(m0r) và vì vậy xr = 0 (điều này mâu thuẫn với lập luận trên). Như vậy f(M) ≤ M.
Giả sửn > 2và khẳng định trên là đúng vớin−1. Ta có (f2)n−1 = 0 và theo giả thiết về quy nạp ta có f2(M) ≤ M. Bằng cách lập luận tương tự ta chứng minh được f(M) ≤ M. Do đó M là một môđun bất biến lũy linh.
Hệ quả 2.2.25. Cho M là R-môđun phải M. Các mệnh đề sau đây là tương đương:
(1) M là môđun bất biến lũy linh.
(2) M thỏa mãn tính chất (N).
Chứng minh. (2) =⇒ (1) Theo Định lý 2.2.25.
(1) =⇒ (2) Cho M là môđun bất biến lũy linh. Gọi f là một tự đồng cấu lũy linh của môđun con N của M. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng f mở rộng đến một đồng cấu lũy linh của M. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử N cốt yếu trong M. Gọi g ∈ End(E(M)) sao cho g|N = f. Vì f là lũy linh và M là một R môđun phải không chính quy, g là một tự đồng cấu lũy linh của E(M). Suy ra g(M) ≤ M.
Hệ quả 2.2.26. Mỗi môđun không suy biến đều có tính chất (N). Ví dụ 2.2.27. Đặt R =
( z t 0 z
!
:z, t ∈ Z )
là mở rộng tầm thường của vành Z với Z như là Z-môđun. Khi đó R là một vành giao hoán.
Thật vậy, gọi H =
( 0 t 0 0
!
: t∈ Z )
là một iđêan phải của R. Khi đó, H là iđêan phải cốt yếu đều của R, nên suy ra R là đều.
Tiếp theo ta sẽ chứng tỏ rằng R không có tính chất (N). Ta xét I =
( 2z t 0 2z
!
: z, t ∈ Z )
.
Và xét ánh xạ ϕ : I −→ I xác định bởi ϕ 2z t 0 2z
!
= 0 z
0 0
! , với 2z t
0 2z
!
∈ I. Với mỗi 2z t 0 2z
!
∈ I và x y 0 x
!
∈ R, ta có
ϕ
"
2z t 0 2z
! x y 0 x
!#
= ϕ 2zx 2zy +tx
0 2zx
!
= 0 zx 0 0
! .
và
ϕ
"
2z t 0 2z
!# x y 0 x
!
= 0 z 0 0
! x y 0 x
!
= 0 zx 0 0
! .
Suy ra
ϕ
"
2z t 0 2z
! x y 0 x
!#
= ϕ
"
2z t 0 2z
!# x y 0 x
! .
Chúng ta dễ dàng chứng minh được ϕ là một đồng cấu và ϕ2 = 0.
Tiếp theo, chúng ta giả sử rằng ϕ được mở rộng thành một tự đồng cấu của R. Khi đó tồn tại phần tử z0 t0
0 z0
!
∈ R mà ϕ
"
2z t 0 2z
!#
=
z0 t0 0 z0
! 2z t 0 2z
!
với mọi 2z t 0 2z
!
∈ I. Khi đó, với mỗi x, y ∈ Z ta có
0 z 0 0
!
= 2z0z z0t+ 2t0z 0 2z0z
! .
Ta có thể kiểm tra được rằng z0 = 0, và vì vậy 0 1 0 0
!
= 0 2t0
0 0
! điều này mâu thuẫn.
Hệ quả 2.2.28. Giả sử rằng M là một môđun phải trên vành nửa nguyên sơ R. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(1) M là môđun bất biến lũy linh.
(2) M thỏa mãn tính chất (N).
Chứng minh. (2) ⇒(1) theo Định lý 2.2.25
(1) ⇒ (2) Cho M0 là một môđun con của M và f : M0 → M0 là một tự đồng cấu của môđun M0 và fn = 0 với n∈ N.
Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng M0 ≤e M. Gọi f0 : E(M) →E(M) là một mở rộng của đồng cấu f. Vì R là một vành nửa nguyên sơ nên J(R)m = 0, với m là số nguyên dương nào đó. Ta có f0n(Soc(E(M))) = 0 và thu được f0nm(E(M)) = 0. Mặt khác vì M là một môđun bất biến lũy linh nên f0(M) ≤M.
Mệnh đề 2.2.29. Cho M là môđun thỏa mãn tính chất (N) và f ∈ End(E(M)) là một tự đồng cấu lũy linh. Khi đó (1 +f) (Socα(M)) =
Socα(M),∀α.
Chứng minh. ChoM là môđun thỏa mãn tính chất(N)vàf ∈ End(E(M)) là một tự đồng cấu lũy linh. Chúng ta sẽ chứng minh rằng(1 +f) (Socα(M)) = Socα(M), với mỗi α. Vì (1 +f) ∈ Aut(E(M)) nên (1 +f) (Soc(M)) = (1 +f) (Soc(E(M))) = Soc(E(M)) = Soc(M).
Bây giờ chúng ta giả sử rằng với mỗi tự số β < α, đẳng thức sau là đúng
(1 +f) (Socβ(M)) = Socβ (M).
Nếu α là một tự số giới hạn thì rõ ràng là
(1 +f) (Socα(M)) = Socα(M).
Bây giờ chúng ta giả sử rằng α không phải là một tự số giới hạn và α > 1. Theo giả thiết (1 +f) (Socα−1(M)) = Socα−1(M). Vì M có tính chất (N) nên g|Socα−1(M) = f|Socα−1(M) đối với một tự đồng cấu lũy linh g ∈ End(M) nào đó. Tồn tại một tự đồng cấu g0 ∈ E(M) sao cho g|M = (1 + g|M). Chúng ta có thể kiểm tra g0 là một tự đẳng cấu của E(M). Ta có (1 +f −g)((Socα(M)) ⊂Soc(M) và có được
(1+f)((Socα(M)) ⊂ (1+f−g0)((Socα(M))+g0(Socα(M))) = Socα(M).
Chomlà phần tử tùy ý củaSocα(M)vì vậyg0(x) = mvà(1 +f −g0) (x) = (1 +f) (x) với x, x0 là các phần tử nào đó thuộc Socα(M). Từ đó suy ra m = (1−f) (x−x0). Như vậy (1 + f) (Socα(M)) =Socα(M).
Hệ quả 2.2.30. Cho M là môđun nửa Artin thỏa mãn tính chất (N). Khi đó f (M) = M với f là phần tử uinpotent bất kì, f ∈ End(E(M)).