LỜI NÓI ĐẦU Lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh là hai lớp môđun đóng vai trò trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành. Các kết quả về chúng còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tôpô đại số, đại số giao hoán… Với tầm quan trọng như vậy nên vấn đề mở rộng các lớp môđun này được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là mở rộng lớp môđun nội xạ. Trong nghiên cứu các mở rộng của lớp môđun nội xạ, người ta đã đưa ra các điều kiện sau đây đối với môđun M. (C1) Mỗi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. (C2) Với mọi A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau, nếu A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M. (C3) Với mọi A và B là các hạng tử trực tiếp của M, nếu thì cũng là hạng tử trực tiếp của M. Một môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) và (C2). M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) và (C3). Một môđun thỏa điều kiện (C1) được gọi là CS môđun hay môđun extending. Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu, nghiên cứu mối liên hệ giữa các điều kiện (Ci), môđun liên tục và chứng minh một số tính chất của chúng. Luận văn gồm hai chương: Chương 1 : Các khái niệm cơ sở. Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở bao gồm: Các định nghĩa và một số tính chất của môđun con cốt yếu, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun đều, CS môđun, môđun suy biến. Chương 2 : Về các điều kiện (Ci) của môđun và môđun liên tục. Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số tính chất, các điều kiện (Ci), mối liên hệ giữa chúng. Một số tính chất của CS môđun, (1 C1) môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục đồng thời chứng minh một cách chi tiết và chặt chẽ một số kết quả về lớp CS môđun, môđun liên tục. Luận văn được thực hiện từ tháng 3 năm 2010 và hoàn thành tại Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái. Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo của khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Vinh đã trang bị cho tôi nền kiến thức vững chắc, tạo điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 16, chuyên ngành Đại số, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp, chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả
1 LỜI NĨI ĐẦU Lớp mơđun nội xạ lớp mơđun xạ ảnh hai lớp mơđun đóng vai trò trụ cột nghiên cứu lý thuyết môđun lý thuyết vành Các kết chúng cơng cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tơpơ đại số, đại số giao hốn… Với tầm quan trọng nên vấn đề mở rộng lớp mơđun nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt mở rộng lớp môđun nội xạ Trong nghiên cứu mở rộng lớp môđun nội xạ, người ta đưa điều kiện sau môđun M (C1) Mỗi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (C2) Với A B môđun M đẳng cấu với nhau, A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M (C3) Với A B hạng tử trực tiếp M, A �B A �B hạng tử trực tiếp M Một môđun M gọi liên tục M thỏa mãn điều kiện (C1) (C2) M gọi tựa liên tục M thỏa mãn điều kiện (C1) (C3) Một môđun thỏa điều kiện (C1) gọi CS - môđun hay môđun extending Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu, nghiên cứu mối liên hệ điều kiện (Ci), môđun liên tục chứng minh số tính chất chúng Luận văn gồm hai chương: Chương : Các khái niệm sở Trong chương giới thiệu số kiến thức sở bao gồm: Các định nghĩa số tính chất mơđun cốt yếu, mơđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun đều, CS - môđun, môđun suy biến Chương : Về điều kiện (Ci) môđun môđun liên tục Trong chương giới thiệu số tính chất, điều kiện (Ci), mối liên hệ chúng Một số tính chất CS - môđun, (1 - C1) môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục đồng thời chứng minh cách chi tiết chặt chẽ số kết lớp CS - môđun, môđun liên tục Luận văn thực từ tháng năm 2010 hoàn thành Đại học Vinh hướng dẫn tận tình PGS TS Ngơ Sỹ Tùng Nhân dịp này, chúng tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người dành cho chúng tơi bảo tận tình nghiêm khắc đầy lòng nhân Tơi xin cảm ơn thầy giáo khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Vinh trang bị cho kiến thức vững chắc, tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn bạn học viên cao học khóa 16, chuyên ngành Đại số, trường Đại học Vinh giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đóng góp, bảo thầy giáo, giáo bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CÁC KÝ HIỆU Trong luận văn ngoại trừ trường hợp đặc biệt nói rõ mục lại chúng tơi ln giả thiết vành ln phát biểu vành kết hợp có đơn vị môđun môđun phải unita N �M N �e M N �� M �M i : N môđun môđun M : N môđun cốt yếu môđun M : N hạng tử trực tiếp môđun M : Tổng trực tiếp môđun Mi, i�I J(R) Soc(M) r(m) r(M) ZR(M) : Căn Jacobson R : Đế môđun M : Linh hóa tử phải phần tử m : Linh hóa tử phải mơđun M : Mơđun suy biến môđun M i�I CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ Chương chúng tơi trình bày định nghĩa, kết liên quan đến nội dung khóa luận Các khái niệm, tính chất kí hiệu chúng tơi chủ yếu dựa vào tài liệu: N.V.Dung - D.V.Huynh P.F.Smith - R.Wisbauer[3] Mohamed - Muller[6] Các vành giả thiết vành kết hợp có đơn vị, mơđun vành hiểu môđun phải unita Mơđun cốt yếu, mơđun đóng mơđun bé 1.1 Định nghĩa Cho R vành M R môđun phải Xét N môđun M (a) Môđun N gọi cốt yếu (essential) M kí hiệu N � e M với môđun K � M, K �0 K � N �0 Nếu N mơđun cốt yếu M, ta nói M mở rộng cốt yếu (essential extension) N (b) Môđun N gọi đóng (closed) M N khơng có mở rộng cốt yếu thực Nói cách khác, N gọi đóng M với môđun K M N �e K K = N (c) Mơđun K M gọi bao đóng (closure) mơđun N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K (d) Một môđun B môđun M gọi bé (Hay đối cốt yếu) M ký hiệu B