Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THẾ HẢI MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ VÀ VÀNH LIÊN QUAN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 62460104 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học 1: GS.TS LÊ VĂN THUYẾT Người hướng dẫn khoa học 2: TS BÀNH ĐỨC DŨNG HUẾ - NĂM 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu viết riêng viết chung với đồng tác giả Các kết nghiên cứu nêu luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình khác PHAN THẾ HẢI LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết, Đại học Huế TS Bành Đức Dũng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh, người Thầy nghiêm khắc mẫu mực, người tận tình dạy bảo, hướng dẫn, cổ vũ động viên suốt trình học tập nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban Đào tạo Đại học Huế; Trường Cao đẳng Sư phạm Bà Rịa-Vũng Tàu tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, nghiên cứu hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh Tôi xin cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học công nghệ Gebze, Thổ Nhĩ Kỳ Khoa Đại số-Logic Toán thuộc Viện Toán-Cơ Lobachevsky, Trường Đại học Kazan, Liên bang Nga tạo điều kiện thuận lợi cho sang thực tập, nghiên cứu thời gian từ 20/4/2015 đến 20/6/2015 (tại Thổ Nhĩ Kỳ) từ 01/5/2016 đến 06/7/2016 (tại Liên bang Nga) Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Trương Công Quỳnh, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng có nhiệt tình giúp đỡ trao đổi chuyên môn trình học tập, nghiên cứu trình viết chỉnh sửa luận án Tôi xin chân thành cảm ơn tất bạn bè anh chị em nghiên cứu sinh động viên cổ vũ trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình đồng cảm chia sẻ khó khăn suốt thời gian làm nghiên cứu sinh hoàn thành luận án Cảm ơn hy sinh vợ hai con, họ chỗ dựa tinh thần vững giúp vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án PHAN THẾ HẢI MỤC LỤC Kiến thức chuẩn bị 16 1.1 Một số kí hiệu khái niệm 16 1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh số mở rộng môđun nội xạ 19 1.3 Vành Artin, Noether số lớp vành quan trọng khác 23 1.4 Môđun nửa đơn vành Artin nửa đơn 26 Môđun giả nội xạ cốt yếu 30 2.1 Định nghĩa ví dụ 30 2.2 Các kết liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu 32 Môđun ADS tổng quát 48 3.1 Định nghĩa ví dụ 48 3.2 Các kết liên quan đến môđun ADS tổng quát 50 Môđun thỏa mãn điều kiện (C) 4.1 Môđun thỏa mãn điều kiện (C) 4.2 Đặc trưng số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn điều kiện (C) Tài liệu tham khảo 64 64 82 94 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU KÝ HIỆU NGHĨA CỦA KÝ HIỆU [1] Tài liệu số mục "Tài liệu tham khảo" N Tập hợp số tự nhiên Z Vành số nguyên Q, R Trường số hữu tỷ, số thực (tương ứng) |X| Bản số tập hợp X E(M ) Bao nội xạ môđun M EndR (M ) Vành tự đồng cấu R-môđun M Im(f ), Ker(f ) Ảnh, hạt nhân đồng cấu f (tương ứng) Mn (R) Vành ma trận vuông cấp n lấy hệ tử vành R MR (R M ) M R-môđun phải, trái (tương ứng) M (I) M (tổng trực tiếp |I| môđun M ) i∈I MI M (tích trực tiếp |I| môđun M ) i∈I N ≤M N môđun môđun M N [...]... gốc là môđun C -nội xạ, đế nội xạ mạnh, giả nội xạ, FP -nội xạ, vv Các mở rộng của môđun nội xạ theo tiêu chuẩn Baer là môđun F -nội xạ, P -nội xạ, GP -nội xạ, nội xạ cực tiểu, nội xạ bé, vv Vì mục đích riêng của luận án, chúng tôi chỉ quan tâm đến một mở rộng của môđun nội xạ, đó là môđun giả nội xạ Cho R là một vành và M , N là các R -môđun phải Khi đó, theo [25], một môđun M được gọi là N -giả nội xạ nếu... nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả nội xạ Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ và N là M -giả nội xạ Một vành R được gọi là giả nội xạ phải nếu RR là một môđun giả nội xạ Mặt khác, theo [6], một môđun M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con... yếu A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M Môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và N là M -giả nội xạ cốt yếu Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một môđun giả nội xạ cốt yếu Nhiều kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt... là: Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ và CS Ngoài các tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu đã được đưa ra ở trên, việc nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó cũng được chúng tôi đề cập trong Định lý 2.2.14, đó là: Khi M là môđun tự sinh thì M là giả nội xạ cốt yếu nếu vành EndR (M ) là giả nội xạ cốt yếu phải Cho R là một vành. .. là M -giả nội xạ cốt yếu (4) Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một môđun giả nội xạ cốt yếu 30 Từ Định nghĩa 2.1.1 ta có, nếu M là N -giả nội xạ thì M là N -giả nội xạ cốt yếu Sau đây là ví dụ về môđun giả nội xạ cốt yếu Ví dụ 2.1.2 Xét các Z -môđun Zp2 , Zp3 và Zn trong đó p là một số nguyên tố và 2 ≤ n ∈ N Khi đó: (1) Zn là môđun giả nội xạ cốt yếu (2) Zp3 là Zp2 -giả nội xạ cốt... về môđun giả nội xạ Mệnh đề 2.2.6 Cho M và N là các môđun Khi đó: (1) M là N -giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu M là K -giả nội xạ cốt yếu với mọi K là môđun con cốt yếu của N 34 (2) Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và K N , thì M là K -giả nội xạ cốt yếu (3) Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và K M thì K là N -giả nội xạ cốt yếu (4) Giả sử M và N là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ Nếu tồn tại một. .. là Mj -nội xạ với mọi i, j = 1, 2, , n M n là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là tựa nội xạ với mọi 1 ≤ n ∈ N Bao nội xạ của môđun M là một môđun nội xạ N cùng với một đơn cấu cốt yếu ι : M → N Lúc này, người ta vẫn thường gọi N là bao nội xạ của M và ký hiệu là N = E(M ) Hơn nữa, mọi môđun được nhúng cốt yếu vào một môđun nội xạ nên mọi môđun luôn có bao nội xạ Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun. .. trọng của vành nửa đơn liên quan đến phạm trù Mod-R, sự phân tích thành tổng trực tiếp vành, vành chính quy và vành Artin 27 Định lý 1.4.5 (Osofsky) Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R -môđun phải (trái) xiclic là nội xạ Định lý 1.4.6 (Wedderburn-Artin) Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp vành của một số hữu hạn các vành ma trận trên một thể Định lý 1.4.7 Vành R là nửa đơn khi và chỉ... với mọi i ∈ N Một R -môđun phải M được gọi là Noether nếu tập tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC và M được gọi là môđun Artin nếu tập tất cả các môđun con của M thỏa mãn DCC 1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của môđun nội xạ Cho M , N là các môđun, A là một môđun con của M và các đồng cấu f : A → N , f¯ : M → N Khi đó người ta gọi f¯ là một mở rộng của đồng cấu f hoặc f mở rộng được đến... với vành R: (1) R là vành di truyền phải (2) Mọi môđun thương của một R -môđun phải nội xạ là nội xạ (3) Mọi môđun con của một R -môđun phải xạ ảnh là xạ ảnh Lý thuyết vành tựa Frobenius (hay gọi là vành QF) có nguồn gốc từ lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn và được Nakayama giới thiệu vào năm 1939 Cho đến nay, đã có rất nhiều đặc trưng của lớp vành này được chỉ ra Lớp vành tựa Frobenius có vai trò quan