BCTT ĐỀ TÀI: Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun Cohen MacaulayBCTT ĐỀ TÀI: Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun Cohen MacaulayBCTT ĐỀ TÀI: Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun Cohen MacaulayBCTT ĐỀ TÀI: Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun Cohen MacaulayBCTT ĐỀ TÀI: Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun Cohen Macaulay
Mục lục Mục lục Thông tin kết nghiên cứu Phần mở đầu Kiến thức chuẩn bị Chuẩn bị chiều Krull 1.2 Đa thức Hilbert-Samuel số bội 1.3 Chuẩn bị dãy quy độ sâu 1.1 Môđun Cohen-Macaulay môđun giả Cohen-Macaulay Môđun Cohen-Macaulay 2.2 Môđun giả Cohen-Macaulay 2.3 Tính catenary dãy thu gọn 2.4 Trờng hợp không địa phơng 2.1 9 11 13 13 Tính bão hòa nguyên tố i 3.2 Linh hóa tử Hm (M ) 3.3 Vành thơng vành Cohen-Macaulay Tài liệu tham khảo Vành thơng vành Cohen-Macaulay 3.1 15 15 17 20 21 Thông tin kết nghiên cứu Thông tin chung Tên đề tài: Nghiên cứu số mở rộng lớp vành mô đun Cohen-Macaulay Mã số: Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nông Quốc Chinh Thời gian thực hiên: 1/2014-6/2016 Mục tiêu Đề tài nghiên cứu cấu trúc số mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay Ba toán đặt đề tài là: a) Đặc trng cấu trúc lớp vành môđun giả Cohen-Macaulay b) Mở rộng nghiên cứu toán a) cho trờng hợp không địa phơng, từ tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho lớp vành môđun đặc biệt c) Nghiên cứu cấu trúc vành thơng vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòa nguyên tố linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phơng Kết nghiên cứu - Trong mục tiêu nghiên cứu a), cải tiến số kết báo Cờng-Nhàn [CN] đặc trng tính giả Cohen-Macaulay vành môđun - Trong mục tiêu nghiên cứu b), mở rộng kết mục a) cho trờng hợp không địa phơng, từ tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay vành chuỗi lũy thừa hình thức vành đa thức - Trong mục tiêu nghiên cứu c), cải tiến kết hai báo Nhàn-An [NhA] Bahmanpour-Azami- Ghasemi [BAG] cấu trúc vành thơng vành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử tính bão hòa nguyên tố môđun đối đồng điều địa phơng Sản phẩm 4.1 Sản phẩm khoa học - Chủ nhiệm đề tài (Nong Quoc Chinh) đồng tác giả báo đợc đăng nhận đăng tạp chí quốc tế có uy tín ISI: N Q Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan) N Q Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules, Bull Korean Math Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang) - Hai thành viên đề tài (Phạm Hồng Nam, Trần Đỗ Minh Châu) đồng tác giả báo tạp chí SCI (1 đăng, sửa lại theo góp ý phản biện) P H Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of Koszul complexes of d-sequences, J Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung Cuong) T D M Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung) 4.2 Sản phẩm đào tạo Hỗ trợ luận án tiến sĩ thành viên nghiên cứu đề tài (Phạm Hồng Nam) Chủ nhiệm đề tài hớng dẫn 05 luận văn thạc sĩ bảo vệ thành công năm 2014, 2015, 2016 Hiệu Hoàn thành mục tiêu đề thuyết minh Khả áp dụng phơng thức chuyển giao kết nghiên cứu - Về khoa học: Công bố đợc số kết mới, có ý nghĩa khoa học tạp chí quốc tế có uy tín ISI, mà nội dung báo nằm chủ đề nghiên cứu đề tài Cấu trúc số mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay - Về giáo dục đào tạo: Hớng dẫn thạc sĩ, hỗ trợ luận án tiến sĩ thành viên đề tài, phục vụ hiệu cho công tác giảng dạy sau đại học chuyên ngành Toán Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên - Góp phần nâng cao lực nghiên cứu thành viên nhóm thực đề tài, mở rộng hợp tác nghiên cứu 4 Summary General information Project title: A study of certain extensions of the class of Cohen-Macaulay modules Code number: Duration: From 1/2014 to 6/2016 Project Investigator: Associate Professor Nong Quoc Chinh Objectives The purpose of this project is to study the structure of certain extensions of the class of Cohen-Macaulay rings and modules: a) Study the structure of pseudo Cohen-Macaulay modules; b) Extend the research topic a) to the non-local case, and then study the pseudo Cohen-Macaulayness for some specific rings and modules c) Study the structure of local rings which are quotients of a local Cohen-Macaulay rings in terms of the prime saturation and the annihilator of local cohomology modules Main results - In the research topic a), we improve some results in the paper by Cuong-Nhan [CN] on the pseudo Cohen-Macaulayness of rings and modules - In the research topic b), we extend the results to the non-local case, then we characterize the pseudo Cohen-Macaulayness of the formal power series rings and the polynomial rings - In the research topic c), we study the structure of local rings which are quotients of Cohen-Macaulay local rings in terms of prime saturation and the annihilator of local cohomology modules These generalize the known results in the two papers by Nhan-An [NhA] and by Bahmanpour-Azami- Ghasemi [BAG] Results 4.1 Scientific publications - The principal investigator (Nong Quoc Chinh) is the co-author of the two papers published or accepted in international reputed journals listed by ISI: N Q Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan) N Q Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules, Bull Korean Math Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang) - The two members of the project (Pham Hong Nam, Tran Do Minh Chau) are the co-authors of the two papers, one is already published and the other is revised for publication in an SCI journal: P H Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of Koszul complexes of d-sequences, J Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung Cuong) T D M Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung) 4.2 Training results To support a Ph.D thesis of a investigator of the project (Pham Hong Nam) The principal investigator instructed 05 master theses successfully defended in 2014, 2015, 2016 Effectiveness All the objectives of the project are completed Applications - On the scientific aspect: Publishing some scientific results in ISI journals of mathematics (in the research topic of the project) - On educational aspect: Instructing master theses, supporting a PhD thesis, teaching undergraduate students and graduate students in mathematics at Thai Nguyen University of Sciences - Strengthening the research capacity for the investigators of the projects, deepening the cooperation in scientific research with domestic and international research institutions Phần mở đầu Lớp vành môđun Cohen-Macaulay đối tợng nghiên cứu trung tâm Đại số giao hoán Vành môđun Cohen-Macaulay xuất nhiều lĩnh vực khác toán học nh Hình học Đại số, Đại số Tổ hợp, Lí thuyết bất biến Lí thuyết vành môđun Cohen-Macaulay đợc trình bày đầy đủ sách chuyên khảo Bruns-Herzog [BH], cấu trúc lớp vành môđun đợc làm rõ đợc đặc trng qua lí thuyết quen biết nh lí thuyết địa phơng hóa, đầy đủ hóa, lí thuyết đối đồng điều địa phơng Đặc biệt, môđun Cohen-Macaulay đợc đặc trng qua lí thuyết số bội nh sau: môđun hữu hạn sinh M vành Noether địa phơng (R, m) Cohen-Macaulay độ dài R (M/xM) số bội e(x, M) với hệ tham số x M (xem Chơng 2, Tiết 2.1) Từ năm 1960 kỉ trớc, số mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay đợc khám phá Mở đầu từ giả thuyết tiéng D A Buchsbam khác độ dài R (M/xM) số bội e(x, M), hai nhà toán học W Vogel J Struckrad đa phản ví dụ cho giả thuyết từ lớp vành môđun Buchsbaum đời, lớp vành môđun thỏa mãn điều kiện giả thuyết D A Buchsbaum, tức khác độ dài R (M/xM) số bội e(x, M) số không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x M Năm 1978, mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay đợc giới thiệu N T Cờng, P Schenzel, N V Trung, lớp vành môđun Cohen-Macaulay suy rộng, chúng thỏa mãn điều kiện: khác độ dài R (M/xM) số bội e(x, M) bị chặn số không phụ thuộc vào hệ tham số x M Năm 2003, báo đăng Tạp chí Đại số (Journal of Algebra), N T Cờng L T Nhàn giới thiệu lớp vành môđun mới, mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay theo hớng khác, gọi vành môđun giả Cohen-Macaulay Chúng thỏa mãn điều kiện độ dài R (M/Q(x, M)) số bội e(x, M) với hệ tham số x (xem Chơng 2, Tiết 2.2) Mục đích đề tài nghiên cứu cấu trúc số mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay Ba toán cụ thể đề tài là: a) Đặc trng cấu trúc lớp vành môđun giả Cohen-Macaulay b) Mở rộng nghiên cứu toán a) cho trờng hợp không địa phơng, từ tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho lớp vành môđun đặc biệt c) Nghiên cứu cấu trúc vành thơng vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòa nguyên tố linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phơng Các kết thu đợc cải tiến mở rộng không tầm thờng cho kết trớc báo Cờng-Nhàn [CN], Nhàn-An [NhA] BahmanpourAzami- Ghasemi [BAG] đặc trng tính giả Cohen-Macaulay vành môđun; tính giả Cohen-Macaulay vành chuỗi lũy thừa hình thức vành đa thức; cấu trúc vành thơng vành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử tính bão hòa nguyên tố môđun đối đồng điều địa phơng Các kết đề tài đợc viết báo đợc công bố, đợc nhận đăng đợc sửa (revised) tạp chí quốc tế có uy tín xếp hạng ISI Đề tài đợc viết thành chơng Trong Chơng 1, nhắc lại số kiến thức chuẩn bị chiều, đa thức Hilbert-Samuel, số bội độ sâu để tiện cho việc trình bày kết chơng sau Chơng Chơng trình bày kết đề tài cấu trúc số mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay Chơng Kiến thức chuẩn bị Trớc trình bày kết đề tài, cần nhắc lại số kiến thức chuẩn bị chiều độ sâu để tiện cho việc theo dõi Các khái niệm, kí hiệu, nội dung trình bày chơng đợc viết dựa theo tài liệu [Mat], [BH], [BS1] 1.1 Chuẩn bị chiều Krull 1.2 Đa thức Hilbert-Samuel số bội 1.3 Chuẩn bị dãy quy độ sâu Chơng Môđun Cohen-Macaulay môđun giả Cohen-Macaulay Chơng trình bày kết đề tài lớp vành môđun giả Cohen-Macaulay Các kết Tiết 2.2, 2.3, 2.4 đợc viết dựa theo báo [NCh] Trong suốt chơng này, giả thiết (R, m) vành Noether địa phơng M R-môđun hữu hạn sinh với chiều dim M = d Các thuật ngữ, kí hiệu chơng đợc lấy theo sách chuyên khảo [Mat], [BS1], [Na], [BH] 2.1 Môđun Cohen-Macaulay 2.1.1 Hệ dim M depth M 2.1.2 Định nghĩa Môđun M đợc gọi môđun Cohen-Macaulay M = depth M = dim M Vành R đợc gọi vành Cohen-Macaulay R R-môđun Cohen-Macaulay 2.1.3 Ví dụ Cho K trờng x, y, z biến R = K[[x, y, z, t]] Đặt M1 = R/((x2 , z, t) (y, z, t)) M2 = R/((x2 ) (y, z 2)) Khi R vành địa phơng Noether, M1 , M2 R-môđun hữu hạn sinh (i) R vành Cohen-Macaulay; (ii) M1 R-môđun Cohen-Macaulay; (iii) M2 không R-môđun Cohen-Macaulay 10 2.1.4 Mệnh đề (Xem [BH]) M Cohen-Macaulay M CohenMacaulay 2.1.5 Mệnh đề (Xem [BH]) Cho (x1, , xr ) m M-dãy quy Khi M R-môđun Cohen-Macaulay chiều d M/(x1 , , xr )M R-môđun Cohen-Macaulay chiều d r Đặc biệt, dãy quy phần hệ tham số 2.1.6 Định nghĩa (Xem Nagata [Na]) Môđun M đợc gọi không trộn lẫn dim(R/P ) = dim M với P AssRb (M ) 2.1.7 Mệnh đề (Xem [BH]) Giả sử M môđun Cohen-Macaulay chiều d Khi depth(M) = dim M = dim(R/p) = d với p AssR (M) 2.1.8 Chú ý Nếu M mô đun Cohen-Macaulay M không trộn lẫn Thật vậy, M Cohen-Macaulay nên M Cohen-Macaulay Do dim(R/P ) = d với P AssRb M 2.1.9 Mệnh đề (Xem [Mat]) Môđun M Cohen-Macaulay Mp Cohen-Macaulay với p SuppR M 2.1.10 Định nghĩa (Xem [Na]) Một dãy p0 p1 pn iđêan nguyên tố R đợc gọi dãy bão hòa độ dài n với i ta có pi = pi+1 không tồn iđêan nguyên tố q R cho pi q pi+1 Vành R đợc gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố q p, tồn dãy nguyên tố bão hòa q p dãy nguyên tố bão hòa q p có chung độ dài 2.1.11 Chú ý Trong chơng ta giả thiết R vành địa phơng Do theo kết Tiết 1.2, ta có dim R < Suy ra, với cặp iđêan nguyên tố q p, tồn dãy nguyên tố bão hòa q p Vì thế, R catenary với cặp iđêan nguyên tố q p, dãy nguyên tố bão hòa q p có chung độ dài 11 2.1.12 Định nghĩa (Xem [Na]) Vành R đợc gọi catenary phổ dụng đại số hữu hạn sinh R catenary 2.1.13 Chú ý Giả sử S đại số hữu hạn sinh R Khi tồn a1, , an S cho S = R[a1 , , an ] Do ta có toàn cấu vành R[x1, , xn ] R[a1, , an ] cho f(x1 , , xn ) = f(a1 , , an ) Vì S vành thơng vành đa thức R[x1, , xn ] Vì vành thơng vành catenary catenary nên vành R catenary phổ dụng vành đa thức R[x1 , , xn ] catenary 2.1.14 Mệnh đề Nếu M Cohen-Macaulay vành thơng R/ AnnR M catenary phổ dụng 2.1.15 Mệnh đề (Xem [BH], [BS1]) Cho d = dim M Các phát biểu sau tơng đơng: (i) M Cohen-Macaulay (ii) Hmi (M) = với i < d (ii) Tồn hệ tham số x = (x1, , xd ) M cho e(x, M) = R (M/xM) (ii) e(x, M) = R (M/xM) với hệ tham số x = (x1 , , xd ) M 2.2 Môđun giả Cohen-Macaulay Cho a = (a1 , , ad ) hệ tham số M Đặt t+1 t t (at+1 , , ad )M :M a1 ad QM (a) = t>0 2.2.1 Bổ đề (Xem [CM, Bổ đề 3.1]) Kí hiệu e(a; M) số bội M ứng với a Khi QM (a) môđun M chứa (a1, , ad )M R (M/aM) e(a; M) R (M/QM (a)) Với d số nguyên dơng n = (n1, , nd ), đặt a(n) = (an1 , , and d ) Đặt JM (a(n)) = n1 nd e(a; M) (M/QM (a(n))), e(a; M) số bội M ứng với hệ tham số a 12 2.2.2 Bổ đề (Xem [CM, Định lí 3.2]) Bậc nhỏ đa thức chặn hàm JM (a(n)) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số a M 2.2.3 Định nghĩa (Xem [CN, Định nghĩa 2.2]) Môđun M đợc gọi giả CohenMacaulay tồn hệ tham số a M cho e(a; M) = R (M/QM (a)) 2.2.4 Hệ Nếu M Cohen-Macaulay M giả Cohen-Macaulay 2.2.5 Hệ Môđun M giả Cohen-Macaulay e(a; M) = R (M/QM (a)) với hệ tham số a M 2.2.6 Bổ đề M giả Cohen-Macaulay M giả Cohen-Macaulay 2.2.7 Bổ đề (Xem [CN]) Gọi UM c(0) môđun lớn M có chiều nhỏ d Khi M giả Cohen-Macaulay M/UM c(0) Cohen-Macaulay 2.2.8 Bổ đề (Xem [CN, Hệ 3.4]) Cho a m phần tử tham số thu gọn M Nếu M giả Cohen-Macaulay M/aM giả Cohen-Macaulay 2.2.9 Bổ đề Cho r d số nguyên không âm Nếu (a1 , , ar ) dãy M-thu gọn dim UM (0) + (a1, , ar )M/(a1 , , ar )M d r 2.2.10 Định lý Kí hiệu M := M/UM (0) thành phần không trộn lẫn M Cho a m phàn tử tham số thu gọn M Giả thiết rừng R/p không trộn lẫn với p Spec(R) Khi phát biểu sau tơng đơng: (i) M giả Cohen-Macaulay; (ii) M Cohen-Macaulay; (iii) M giả Cohen-Macaulay; (iv) M/aM giả Cohen-Macaulay M/aM không trộn lẫn 2.2.11 Chú ý Giả sử = N(p) phân tích nguyên sơ thu gọn môđun pAssR M M Khi UM (0) biểu diễn dới dạng sau, xem [Sch, Mệnh đề 2.2] UM (0) = N(p), 13 giao lấy tập iđêan nguyên tố p AssR M với dim(R/p) = d 2.2.12 Ví dụ Cho d số nguyên dơng, tồn môđun hữu hạn sinh M có chiều d vành địa phơng Noether đầy đủ (R, m) phần tử tham số thu gọn a M cho M/aM giả, nhng M không giả Cohen-Macaulay Trong trờng hợp này, M/aM trộn lẫn 2.3 Tính catenary dãy thu gọn Đặt M = M/UM (0), UM (0) môđun lớn M có chiều nhỏ d Tập SuppR M có tính chất đặc biệt, chẳng hạn nh chiều tất phần tử d, ta gọi tập giá không trộn lẫn M kí hiệu UsuppR M 2.3.1 Chú ý Chú ý UsuppR M tập đóng theo tôpô Zariski Chúng ta kiểm tra UsuppR(M) hợp tập Var(p) với p AssR M Chúng ta có UsuppR (M) hợp tập Var(p) với p AssR M dim(R/p) = d, ta kí hiệu Var(p) tập iđêan nguyên tố R chứa p 2.3.2 Mệnh đề Cho p UsuppR M cho dim(R/p) + dim Mp = d Nếu M giả Cohen-Macaulay Mp giả Cohen-Macaulay 2.3.3 Hệ Giả sử R catenary Khi M giả Cohen-Macaulay Mp giả Cohen-Macaulay với p UsuppR M 2.3.4 Mệnh đề Giả sử M giả Cohen-Macaulay Cho p UsuppR M thỏa mãn dim R/p = d r Nếu tồn dãy thu gọn (a1 , , ar ) M p Mp giả Cohen-Macaulay 2.4 Trờng hợp không địa phơng Từ hết tiết này, cho S vành Noether (không thiết địa phơng) L S-môđun hữu hạn sinh Kí hiệu UL (0) môđun lớn L có chiều 14 nhỏ dim L Đặt UsuppS L = SuppS (L/UL (0)), ta gọi thành phần không trộn lẫn L Mệnh đề 2.3.2 gợi ý định nghĩa tính giả Cohen-Macaulay trờng hợp không thiết địa phơng nh sau 2.4.1 Định nghĩa Ta nói L giả Cohen-Macaulay Lp giả Cohen-Macaulay với iđêan nguyên tố p UsuppS L 2.4.2 Định lý Cho (R, m) vành Noether địa phơng Khi (i) R giả Cohen-Macaulay R[[x1, , xn ]] giả Cohen-Macaulay (ii) Nếu R[x1 , , xn ] giả Cohen-Macaulay R giả Cohen-Macaulay Điều ngợc lại R vành catenary phổ dụng Chơng Vành thơng vành Cohen-Macaulay Trong suốt chơng này, cho (R, m) vành Noether địa phơng với iđêan tối đại m, cho A R-môđun Artin M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Các kết chơng đợc viết dựa theo báo [HC] 3.1 Tính bão hòa nguyên tố Theo suy nghĩ đối ngẫu, N T Cuong L T Nhàn năm 2002 xét tính chất sau môđun Artin A: AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p AnnR A () Tuy nhiên tính chất (*) lại không cho môđun Artin A Vì ta có khái niệm bão hòa nguyên tố nh sau 3.1.1 Định nghĩa Môđun Artin A đợc gọi bão hòa nguyên tố tính chất (*) cho môđun A Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin đợc giới thiệu I G Macdonad [Mac] I G Macdonald [Mac] môđun Artin A có biểu diễn thứ cấp tối thiểu A = A1 + + An Ai pi -thứ cấp với i = 1, , n Tập {p1, , pn } không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu A đợc kí hiệu AttR A 15 16 3.1.2 Bổ đề (Xem [Mac]) Tập phần tử tối thiểu AttR A tập iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR A Đặc biệt, Rad(AnnR A) = p pAttR A 3.1.3 Bổ đề (Xem [BS1]) Ta có AttR A = {p R : p AttRb A} 3.1.4 Chú ý Giả sử R đầy đủ theo tôpô m-adic Khi D(A), đối ngẫu Matlis A, R-môđun hữu hạn sinh Chú ý AnnR A = AnnR D(A) Vì áp dụng tính chất linh hoá tử cho môđun D(A) ta có AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p)) = AnnR (D(A)/pD(A)) = p với iđêan nguyên tố p AnnR A = AnnR D(A) Do tính chất bão hòa nguyên tố cho môđun Artin vành địa phơng đầy đủ 3.1.5 Ví dụ (Xem [NhA]) Gọi (R, m) miền Noether địa phơng chiều đợc xây dựng bới D Ferrand M Raynaud thoả mãn tính chất tồn iđêan nguyên tố nhúng q Ass R với dim R/q = Khi Hm1 (R) không thoả mãn tính chất bão hòa nguyên tố 3.1.6 Bổ đề (Xem [NhA]) Supp M = {p R : p Supp M} 3.1.7 Mệnh đề Các điều kiện sau tơng đơng: (i) A thoả mãn tính chất bão hòa nguyên tố (ii) V (AnnR A) = {p R : p V (AnnRb A)} 3.1.8 Chú ý Đối với Rmôđun Artin A = Hm1 (R) Ví dụ 3.1.5, ta suy V (AnnR A) = {p R | p V (AnnRb A} 3.1.9 Ví dụ (Xem [NhA, Ví dụ 4.3]) Tồn miền Noether địa phơng (R, m) với thớ hình thức không Cohen-Macaulay miền Noether địa phơng (S, n) không catenary phổ dụng cho Hmi (R) Hnj (S) không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố với số nguyên dơng i, j > 17 3.1.10 Định nghĩa Cho i số nguyên không âm Tập giả giá thứ i M đợc kí hiệu PsuppiR (M) đợc định nghĩa nh sau idim R/p PsuppiR (M) = {p Spec R | HpRp (Mp ) = 0} 3.1.11 Bổ đề Các phát biểu sau (i) Psuppi (M) Var(AnnR Hmi (M)) (ii) Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Psuppi (M) = Var(AnnR Hmi (M)) 3.1.12 Hệ Nếu R vành catenary phổ dụng thớ hình thức R Cohen-Macaulay Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố với R-môđun hữu hạn sinh M số nguyên i 3.2 Linh hóa tử Hmi (M ) Một toán quan trng môđun đối đồng điều địa phơng Hmi (M) xác định linh hóa tử môđun 3.2.1 Định nghĩa (Xem [Na]) Một tập X Spec(R) đợc gọi đóng với phép đặc biệt hóa với p, q Spec(R) thỏa mãn p q, điều kiện p X kéo theo điều kiện q X 3.2.2 Bổ đề (Xem [BS2, Bổ đề 2.2]) Nếu R catenary PsuppiR (M) đóng với phép đặc biệt hóa Giả sử Hmi (M) không hữu hạn sinh Đặt ik S(i)k = {p Spec(R) | HpR (Mp ) = 0, dim R/p = k} p ci = min{dim R/p | p Att Hmi (M)} Chú ý ci Hmi (M) không hữu hạn sinh Đặt Xi = {1, 2, , ci } 18 3.2.3 Định lý Giả sử Hmi (M) không hữu hạn sinh Với kí hiệu ta có (i) Rad(AnnR (Hmi (M))) p với k Xi pS(i)k (ii) Nếu Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Rad(AnnR (Hmi (M))) = p pS(i)k với k Xi (iii) Ngợc lại, Rad(AnnR(Hmi (M))) = S(i)k tập hữu hạn R catenary p với k Xi thỏa mãn pS(i)k Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Ví dụ dới giả thiết tính bão hòa nguyên tố Hmi (M) Định lí 3.2.3(ii) bỏ đợc Trớc hết có ý sau 3.2.4 Chú ý Theo tính chất tập iđêan nguyên tố gắn kết ta có AttR Hmi (M) = {P R | P AttRb Hmi (M)} Vì ta suy dim R/ AnnRb (Hmi (M)) dim(R/ AnnR Hmi (M)) Giả sử Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Đặt dim(R/ AnnR Hmi (M)) = t Vì PsuppiR (M) = Var(AnnR Hmi (M)) theo [NhA, Định lí 3.1] nên ta có t = max{dim(R/p | p PsuppiR (M)} Cho p PsuppiR (M) cho dim(R/p) = t Khi tồn P Ass(R/pR) cho idim(R/p) dim(R/P) = t Vì HpRp b idim(R/P) HPRb P (Mp ) = 0, nên ta có idim(R/p) (MP ) (Mp ) RP = 0, = HpRp tức P PsuppiRb (M ) Suy P AnnRb Hmi (M) t = dim(R/P) dim(R/ AnnRb Hmi (M)) 19 3.2.5 Bổ đề Nếu Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố dim R/ AnnRb (Hmi (M)) = dim(R/ AnnR Hmi (M)) 3.2.6 Ví dụ Cho (R, m) miền nguyên Noether chiều đợc xây dựng bới D Ferrand M Raynaud [FR] cho R có iđêan nguyên tố liên kết nhúng Q với dim R/Q = Vì Q Ass R, nên ta có Q R Ass R = {0} Chú ý Q AttRb Hm1 (R) theo [BS1, 11.3.9] Suy AttR Hm1 (R) Suy Hm1 (R) không hữu hạn sinh AnnR Hm1 (R) = Vì dim R/ AnnR Hm1 (R) = Theo [BS2, 11.3.5], ta có dim R/ AnnRb Hm1 (R) = Theo ý ta suy Hm1 (R) không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Kí hiệu c1 , X1 S(1)k đợc định nghĩa nh Định lí 3.2.3 Khi Psupp1R (R) = {m} Suy S(1)1 = S(1)2 = Vì AttR Hm1 (R), nên ta có c1 = Suy X1 = {1, 2} p = R Hơn nữa, Rad(Ann Hm1 (R)) = Vì Với k X1 ta có pS(1)k Rad(Ann Hm1 (R)) = p pS(1)k với k X1 Tổng quát hơn, ta có kết sau 3.2.7 Mệnh đề Cho R miền nguyên chiều s > cho R có iđêan nguyên tố liên kết nhúng P Khi tồn số nguyên không âm t < s k Xt cho Hmt (R) không hữu hạn sinh Hmt (R) không thỏa mãn tính bão nguyên tố Rad(AnnR (Hmt (R))) = p, pS(t)k Xt = {1, , ct} với S(t)k = {p Psuppt (R) | dim R/p = k}, ct = min{dim R/p | p Att Hmt (R)} 20 Kết chí R xấu, chẳng hạn R không catenary, linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao thỏa mãn công thức biểu diễn nh Định lí 3.2.3(iii) 3.2.8 Mệnh đề Cho d > Với giả thiết kí hiệu nh Định lí 3.2.3, ta có Rad(AnnR(Hmd (M))) = p pS(d)d 3.3 Vành thơng vành Cohen-Macaulay Định lí sau đây, kết thứ hai chơng này, công thức linh hóa tử nh tính bão hòa nguyên tố môđun đối đồng điều địa phơng phản ánh cấu trúc vành sở Kết rõ cấu trúc vành thơng vành Cohen-Macaulay 3.3.1 Định lý Với giả thiết kí hiệu nh Định lí 3.2.3, phát biểu sau lf tơng đơng: (i) R thơng vành Cohen-Macaulay địa phơng; (ii) R catenary phổ dụng thớ hình thức R Cohen-Macaulay; (iii) Rad(AnnR (Hmi (M))) = p với i 1, k Xi R-môđun hữu pS(i)k hạn sinh M cho Hmi (M) không hữu hạn sinh Tài liệu tham khảo [AB] M Auslander, D Buchsbaum, Codimension and multiplicity, Ann of Math., 68 (1958), 625-657 [BAG] K Bahmanpour, J Azami and G Ghasemi, On the annihilators of local cohomology modules, J Algebra, 363 (2012), 8-13 [BS1] M Brodmann and R Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [BS2] M Brodmann and R Y Sharp, On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math J., 167 (2002), 217-233 [BH] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1993 [C] N T Cuong, On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local rings, Nagoya Math J., 125 (1992), 105-114 [CDN] N T Cuong, N T Dung and L T Nhan, Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module, Comm Algebra, 35 (2007), 1691-1701 [CK] N.T Cuong and V.T Khoi, Modules whose local cohomology modules have CohenMacaulay Matlis duals, Proc Hanoi Conf on Commutative Algebra, Algebraic Geometry, and Computational Methods (Editor D Eisenbud), Springer, 1999, 223-231 [CM] N T Cuong and N D Minh, Lengths of generalized fractions of modules having small polynomial type, Math Proc Camb Phil Soc., 128 (2000), 269-282 [CNa] D.T Cuong and P H Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of Koszul complexes of d-sequences, J Algebra (ISI) 441 (2015), 125-158 [CN] N T Cuong and L T Nhan, Pseudo Cohen Macaulay and pseudo generalized Cohen Macaulay modules, J Algebra, 267 (2003), 156-177 [DJ] M T Dibaei and R Jafari, Cohen-Macaulay loci of modules, Comm Algebra, 39 (2011), 3687-3691 [FR] D Ferrand and M Raynaud, Fibres formelles dun anneau local Noetherian, Ann Sci Ecole Norm Sup., (4)3 (1970), 295-311 21 22 [HC] N T A Hang and N Q Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules, Bull Korean Math Soc (ISI), To appear [HH] M Hochter and C Huneke, Tight closure, invariant theory and the Brian con-Skoda theorem, J Amer Math Soc., (1990), 31-116 [K] T Kawasaki, On arithmetic Macaulayfication of Noetherian rings, Tran Amer Math Soc., 354 (2001), 123-149 [L] L R Lynch, Annihilators of top local cohomolgy, Comm Algebra, 40 (2012), 542-551 [Mac] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [Mat] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [Na] M Nagata, Local rings, Tracts in Pure and Appl Math., No 13 (Interscience), 1962 [NhA] L T Nhan and T N An, On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules, J Algebra, 321 (2009), 303-311 [NCh] L.T Nhan and N Q Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, Journal of Algebra and Its Applications, 14 (10), (2015), 1550142, 1-11 [NQ] L T Nhan and P H Quy, Attached primes of local cohomology modules under localization and completion, J Algebra, 420 (2014), 475-485 [Sch] P Schenzel, On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, In: Proc of the Ferrara meeting in honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Belgium, (1998), 245-264 [...]... quả Mô un M là giả Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu e(a; M) = R (M/QM (a)) với mọi hệ tham số a của M 2.2.6 Bổ đề M là giả Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu M là giả Cohen- Macaulay 2.2.7 Bổ đề (Xem [CN]) Gọi UM c(0) là mô un con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Khi đó M là giả Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu M/UM c(0) là Cohen- Macaulay 2.2.8 Bổ đề (Xem [CN, Hệ quả 3.4]) Cho a m là phần tử tham số thu gọn của. .. là giả Cohen- Macaulay nếu Lp là giả Cohen- Macaulay với mọi iđêan nguyên tố p UsuppS L 2.4.2 Định lý Cho (R, m) là vành Noether địa phơng Khi đó (i) R là giả Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu R[[x1, , xn ]] là giả Cohen- Macaulay (ii) Nếu R[x1 , , xn ] là giả Cohen- Macaulay thì R là giả Cohen- Macaulay Điều ngợc lại cũng đúng khi R là vành catenary phổ dụng Chơng 3 Vành thơng của vành Cohen- Macaulay. .. tính bão hòa nguyên tố của mô un đối đồng điều địa phơng phản ánh cấu trúc cả vành cơ sở Kết quả này cũng chỉ rõ cấu trúc của các vành thơng của vành Cohen- Macaulay 3.3.1 Định lý Với các giả thiết và kí hiệu nh trong Định lí 3.2.3, các phát biểu sau lf tơng đơng: (i) R là thơng của một vành Cohen- Macaulay địa phơng; (ii) R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức của R là Cohen- Macaulay; (iii) Rad(AnnR... là số bội của M ứng với hệ tham số a 12 2.2.2 Bổ đề (Xem [CM, Định lí 3.2]) Bậc nhỏ nhất của những đa thức chặn trên hàm JM (a(n)) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số a của M 2.2.3 Định nghĩa (Xem [CN, Định nghĩa 2.2]) Mô un M đợc gọi là giả CohenMacaulay nếu tồn tại hệ tham số a của M sao cho e(a; M) = R (M/QM (a)) 2.2.4 Hệ quả Nếu M là Cohen- Macaulay thì M là giả Cohen- Macaulay 2.2.5 Hệ quả Mô un... = R (M/xM) với mọi hệ tham số x = (x1 , , xd ) của M 2.2 Mô un giả Cohen- Macaulay Cho a = (a1 , , ad ) là một hệ tham số của M Đặt t+1 t t (at+1 1 , , ad )M :M a1 ad QM (a) = t>0 2.2.1 Bổ đề (Xem [CM, Bổ đề 3.1]) Kí hiệu e(a; M) là số bội của M ứng với a Khi đó QM (a) là một mô un con của M chứa (a1, , ad )M và R (M/aM) e(a; M) R (M/QM (a)) Với mỗi bộ d số nguyên dơng n = (n1, ,... nghĩa (Xem [Na]) Vành R đợc gọi là catenary phổ dụng nếu mọi đại số hữu hạn sinh trên R đều catenary 2.1.13 Chú ý Giả sử S là một đại số hữu hạn sinh trên R Khi đó tồn tại a1, , an S sao cho S = R[a1 , , an ] Do đó ta có toàn cấu vành R[x1, , xn ] R[a1, , an ] cho bởi f(x1 , , xn ) = f(a1 , , an ) Vì thế S là vành thơng của vành đa thức R[x1, , xn ] Vì vành thơng của vành catenary... hòa nguyên tố nếu và chỉ nếu Psuppi (M) = Var(AnnR Hmi (M)) 3.1.12 Hệ quả Nếu R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R là Cohen- Macaulay thì Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố với mọi R -mô un hữu hạn sinh M và mọi số nguyên i 0 3.2 Linh hóa tử của Hmi (M ) Một trong những bài toán quan trng về mô un đối đồng điều địa phơng Hmi (M) là xác định linh hóa tử của các mô un này 3.2.1 Định... dim(R/p) = d 2.2.12 Ví dụ Cho d 2 là một số nguyên dơng, khi đó tồn tại một mô un hữu hạn sinh M có chiều d trên một vành địa phơng Noether đầy đủ (R, m) và một phần tử tham số thu gọn a của M sao cho M/aM là giả, nhng M không là giả Cohen- Macaulay Trong trờng hợp này, M/aM là trộn lẫn 2.3 Tính catenary và dãy thu gọn Đặt M = M/UM (0), trong đó UM (0) là mô un con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Tập SuppR... trong p thì Mp là giả Cohen- Macaulay 2.4 Trờng hợp không địa phơng Từ đây cho đến hết tiết này, cho S là một vành Noether (không nhất thiết địa phơng) và L là một S -mô un hữu hạn sinh Kí hiệu UL (0) là mô un con lớn nhất của L có chiều 14 nhỏ hơn dim L Đặt UsuppS L = SuppS (L/UL (0)), và ta gọi nó là thành phần không trộn lẫn của L Mệnh đề 2.3.2 gợi ý chúng ta định nghĩa tính giả Cohen- Macaulay trong trờng... catenary là catenary nên vành R là catenary phổ dụng nếu và chỉ nếu mọi vành đa thức R[x1 , , xn ] là catenary 2.1.14 Mệnh đề Nếu M là Cohen- Macaulay thì vành thơng R/ AnnR M là catenary phổ dụng 2.1.15 Mệnh đề (Xem [BH], [BS1]) Cho d = dim M Các phát biểu sau là tơng đơng: (i) M là Cohen- Macaulay (ii) Hmi (M) = 0 với mọi i < d (ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x1, , xd ) của M sao cho e(x, M) =