Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulay
Mục lục Mục lục Thông tin kết nghiên cứu Phần mở đầu Kiến thức chuẩn bị Chuẩn bị chiều Krull 1.2 Đa thức Hilbert-Samuel số bội 13 1.3 Chuẩn bị dãy quy độ sâu 16 1.1 Môđun Cohen-Macaulay môđun giả Cohen-Macaulay Môđun Cohen-Macaulay 2.2 Môđun giả Cohen-Macaulay 2.3 Tính catenary dãy thu gọn 2.4 Trờng hợp không địa phơng 2.1 20 23 30 34 Vành thơng vành Cohen-Macaulay Tính bão hòa nguyên tố i 3.2 Linh hóa tử Hm (M ) 3.3 Vành thơng vành Cohen-Macaulay Tài liệu tham khảo 3.1 20 38 38 43 49 52 Thông tin kết nghiên cứu Thông tin chung Tên đề tài: Nghiên cứu số mở rộng lớp vành mô đun Cohen-Macaulay Mã số: Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nông Quốc Chinh Thời gian thực hiên: 1/2014-6/2016 Mục tiêu Đề tài nghiên cứu cấu trúc số mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay Ba toán đặt đề tài là: a) Đặc trng cấu trúc lớp vành môđun giả Cohen-Macaulay b) Mở rộng nghiên cứu toán a) cho trờng hợp không địa phơng, từ tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho lớp vành môđun đặc biệt c) Nghiên cứu cấu trúc vành thơng vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòa nguyên tố linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phơng Kết nghiên cứu - Trong mục tiêu nghiên cứu a), cải tiến số kết báo Cờng-Nhàn [CN] đặc trng tính giả Cohen-Macaulay vành môđun - Trong mục tiêu nghiên cứu b), mở rộng kết mục a) cho trờng hợp không địa phơng, từ tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay vành chuỗi lũy thừa hình thức vành đa thức - Trong mục tiêu nghiên cứu c), cải tiến kết hai báo Nhàn-An [NhA] Bahmanpour-Azami- Ghasemi [BAG] cấu trúc vành thơng vành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử tính bão hòa nguyên tố môđun đối đồng điều địa phơng Sản phẩm 4.1 Sản phẩm khoa học - Chủ nhiệm đề tài (Nong Quoc Chinh) đồng tác giả báo đợc đăng nhận đăng tạp chí quốc tế có uy tín ISI: N Q Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan) N Q Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules, Bull Korean Math Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang) - Hai thành viên đề tài (Phạm Hồng Nam, Trần Đỗ Minh Châu) đồng tác giả báo tạp chí SCI (1 đăng, sửa lại theo góp ý phản biện) P H Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of Koszul complexes of d-sequences, J Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung Cuong) T D M Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung) 4.2 Sản phẩm đào tạo Hỗ trợ luận án tiến sĩ thành viên nghiên cứu đề tài (Phạm Hồng Nam) Chủ nhiệm đề tài hớng dẫn 05 luận văn thạc sĩ bảo vệ thành công năm 2014, 2015, 2016 Hiệu Hoàn thành mục tiêu đề thuyết minh Khả áp dụng phơng thức chuyển giao kết nghiên cứu - Về khoa học: Công bố đợc số kết mới, có ý nghĩa khoa học tạp chí quốc tế có uy tín ISI, mà nội dung báo nằm chủ đề nghiên cứu đề tài Cấu trúc số mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay - Về giáo dục đào tạo: Hớng dẫn thạc sĩ, hỗ trợ luận án tiến sĩ thành viên đề tài, phục vụ hiệu cho công tác giảng dạy sau đại học chuyên ngành Toán Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên - Góp phần nâng cao lực nghiên cứu thành viên nhóm thực đề tài, mở rộng hợp tác nghiên cứu Summary General information Project title: A study of certain extensions of the class of Cohen-Macaulay modules Code number: Duration: From 1/2014 to 6/2016 Project Investigator: Associate Professor Nong Quoc Chinh Objectives The purpose of this project is to study the structure of certain extensions of the class of Cohen-Macaulay rings and modules: a) Study the structure of pseudo Cohen-Macaulay modules; b) Extend the research topic a) to the non-local case, and then study the pseudo Cohen-Macaulayness for some specific rings and modules c) Study the structure of local rings which are quotients of a local Cohen-Macaulay rings in terms of the prime saturation and the annihilator of local cohomology modules Main results - In the research topic a), we improve some results in the paper by Cuong-Nhan [CN] on the pseudo Cohen-Macaulayness of rings and modules - In the research topic b), we extend the results to the non-local case, then we characterize the pseudo Cohen-Macaulayness of the formal power series rings and the polynomial rings - In the research topic c), we study the structure of local rings which are quotients of Cohen-Macaulay local rings in terms of prime saturation and the annihilator of local cohomology modules These generalize the known results in the two papers by Nhan-An [NhA] and by Bahmanpour-Azami- Ghasemi [BAG] Results 4.1 Scientific publications - The principal investigator (Nong Quoc Chinh) is the co-author of the two papers published or accepted in international reputed journals listed by ISI: N Q Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan) N Q Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules, Bull Korean Math Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang) - The two members of the project (Pham Hong Nam, Tran Do Minh Chau) are the co-authors of the two papers, one is already published and the other is revised for publication in an SCI journal: P H Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of Koszul complexes of d-sequences, J Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung Cuong) T D M Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung) 4.2 Training results To support a Ph.D thesis of a investigator of the project (Pham Hong Nam) The principal investigator instructed 05 master theses successfully defended in 2014, 2015, 2016 Effectiveness All the objectives of the project are completed Applications - On the scientific aspect: Publishing some scientific results in ISI journals of mathematics (in the research topic of the project) - On educational aspect: Instructing master theses, supporting a PhD thesis, teaching undergraduate students and graduate students in mathematics at Thai Nguyen University of Sciences - Strengthening the research capacity for the investigators of the projects, deepening the cooperation in scientific research with domestic and international research institutions Phần mở đầu Lớp vành môđun Cohen-Macaulay đối tợng nghiên cứu trung tâm Đại số giao hoán Vành môđun Cohen-Macaulay xuất nhiều lĩnh vực khác toán học nh Hình học Đại số, Đại số Tổ hợp, Lí thuyết bất biến Lí thuyết vành môđun Cohen-Macaulay đợc trình bày đầy đủ sách chuyên khảo Bruns-Herzog [BH], cấu trúc lớp vành môđun đợc làm rõ đợc đặc trng qua lí thuyết quen biết nh lí thuyết địa phơng hóa, đầy đủ hóa, lí thuyết đối đồng điều địa phơng Đặc biệt, môđun Cohen-Macaulay đợc đặc trng qua lí thuyết số bội nh sau: môđun hữu hạn sinh M vành Noether địa phơng (R, m) Cohen-Macaulay độ dài R (M/xM) số bội e(x, M) với hệ tham số x M (xem Chơng 2, Tiết 2.1) Từ năm 1960 kỉ trớc, số mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay đợc khám phá Mở đầu từ giả thuyết tiéng D A Buchsbam khác độ dài R (M/xM) số bội e(x, M), hai nhà toán học W Vogel J Struckrad đa phản ví dụ cho giả thuyết từ lớp vành môđun Buchsbaum đời, lớp vành môđun thỏa mãn điều kiện giả thuyết D A Buchsbaum, tức khác độ dài R (M/xM) số bội e(x, M) số không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x M Năm 1978, mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay đợc giới thiệu N T Cờng, P Schenzel, N V Trung, lớp vành môđun Cohen-Macaulay suy rộng, chúng thỏa mãn điều kiện: khác độ dài R (M/xM) số bội e(x, M) bị chặn số không phụ thuộc vào hệ tham số x M Năm 2003, báo đăng Tạp chí Đại số (Journal of Algebra), N T Cờng L T Nhàn giới thiệu lớp vành môđun mới, mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay theo hớng khác, gọi vành môđun giả Cohen-Macaulay Chúng thỏa mãn điều kiện độ dài R (M/Q(x, M)) số bội e(x, M) với hệ tham số x (xem Chơng 2, Tiết 2.2) Mục đích đề tài nghiên cứu cấu trúc số mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay Ba toán cụ thể đề tài là: a) Đặc trng cấu trúc lớp vành môđun giả Cohen-Macaulay b) Mở rộng nghiên cứu toán a) cho trờng hợp không địa phơng, từ tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho lớp vành môđun đặc biệt c) Nghiên cứu cấu trúc vành thơng vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòa nguyên tố linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phơng Các kết thu đợc cải tiến mở rộng không tầm thờng cho kết trớc báo Cờng-Nhàn [CN], Nhàn-An [NhA] BahmanpourAzami- Ghasemi [BAG] đặc trng tính giả Cohen-Macaulay vành môđun; tính giả Cohen-Macaulay vành chuỗi lũy thừa hình thức vành đa thức; cấu trúc vành thơng vành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử tính bão hòa nguyên tố môđun đối đồng điều địa phơng Các kết đề tài đợc viết báo đợc công bố, đợc nhận đăng đợc sửa (revised) tạp chí quốc tế có uy tín xếp hạng ISI Đề tài đợc viết thành chơng Trong Chơng 1, nhắc lại số kiến thức chuẩn bị chiều, đa thức Hilbert-Samuel, số bội độ sâu để tiện cho việc trình bày kết chơng sau Chơng Chơng trình bày kết đề tài cấu trúc số mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay Chơng Kiến thức chuẩn bị Trớc trình bày kết đề tài, cần nhắc lại số kiến thức chuẩn bị chiều độ sâu để tiện cho việc theo dõi Các khái niệm, kí hiệu, nội dung trình bày chơng đợc viết dựa theo tài liệu [Mat], [BH], [BS1] Trong suốt chơng này, giả thiết R vành giao hoán Noether M R-môđun hữu hạn sinh 1.1 Chuẩn bị chiều Krull 1.1.1 Định nghĩa Một dãy nguyên tố độ dài n R dãy p0 p1 pn iđêan nguyên tố R thỏa mãn pi = pi+1 với i Chiều (Krull) R, kí hiệu dim R, cận độ dài dãy nguyên tố R 1.1.2 Ví dụ Chiều vành Z số nguyên dãy {0} 2Z dãy iđêan nguyên tố độ dài Hơn nữa, I iđêan nguyên tố Z I = {0} I có dạng pZ với p số nguyên tố Do dãy nguyên tố dài Z có dạng pZ với p số nguyên tố Vì dim Z = Đặt AnnR M = {a R | aM = 0} Khi AnnR M iđêan R 1.1.3 Định nghĩa Chiều (Krull) M, kí hiệu dim M, đợc định nghĩa chiều vành thơng R/ AnnR M 1.1.4 Ví dụ Xét R := Z vành số nguyên M := Z/12Z Z-môđun hữu hạn sinh Ta có AnnZ M = 12Z Vì dim M chiều vành thơng Z/12Z Vành thơng có iđêan nguyên tố 3Z/12Z 2Z/12Z Do dim M = Tiếp theo, trình bày số tính chất chiều Với iđêan I R ta kí hiệu Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I 1.1.5 Định nghĩa Tập giá M, kí hiệu SuppR M, đợc cho công thức Supp M = {p Spec(R) | Mp = 0} Khi L R-môđun (không cần hữu hạn sinh) ta có SuppR L Var(AnnR L) Vì M hữu hạn sinh, ta có thêm bao hàm thức ngợc lại Vì ta tính chiều M qua tập giá M 1.1.6 Bổ đề Ta có SuppR M = Var(AnnR M) Hơn nữa, dim M = sup{dim(R/p) | p SuppR M} Kế quan trọng sau cho ta công thức tính chiều vành đa thức 1.1.7 Mệnh đề ([Mat, Định lí 15.4]) Kí hiệu R[x1 , , xn ] vành đa thức n biến với hệ số R Khi dim R[x1 , , xn ] = n + dim R Tiếp theo, quan tâm đến chiều vành chuỗi lũy thừa hình thức aixi | R, i Mỗi phần tử R[[x]] đợc 1.1.8 Định nghĩa Đặt R[[x]] = i=0 gọi chuỗi lũy thừa hình thức biến x với hệ số R Định nghĩa phép i cộng x + i=0 i (ai + bi )x phép nhân bi x = i=0 ck = i i=0 x i=0 i j ck x k , bj x = j=0 k=0 aibj Khi R[[x]] vành giao hoán Noether Vành R[[x]] i+j=k đợc gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức biến x R Vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến x1, , xn với hệ số R, kí hiệu R[[x1, , xn ]], đợc định nghĩa tơng tự quy nạp theo n 10 Mệnh đề sau cho ta công thức tính chiều vành chuỗi lũy thừa hình thức 1.1.9 Mệnh đề ([Mat, Định lí 15.4]) Ta có dim R[[x1, , xn ]] = n + dim R 1.1.10 Định nghĩa Một iđêan nguyên tố p R đợc gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn = x M cho p = AnnR x Tập iđêan nguyên tố liên kết M đợc kí hiệu AssR M Vì M hữu hạn sinh nên SuppR M = Var(AnnR M) Do SuppR M = Var(AnnR M), ta kí hiệu cho tập phần tử tối thiểu theo quan hệ bao hàm Vì M hữu hạn sinh R Noether nên theo [Mat, Định lí 6.5(iii)], AssR M = SuppR M Vì ta tính chiều thông qua chiều iđêan nguyên tố liên kết nh sau 1.1.11 Bổ đề Tập iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu M tập iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR M Đặc biệt ta có dim M = max{dim(R/p) | p AssR M} 1.1.12 Ví dụ Cho K trờng Cho R = K[x, y, z, t] vành đa thức biến với hệ số K Đặt M = R/(x2 , y, t)R (z 3)R Khi AssR M = {p1 , p2}, p1 = (x, y, t)R p2 = (z) Ta có dim(R/p1 ) = dim(R/p2 ) = Vì dim M = max{1, 3} = 1.1.13 Ví dụ Cho K trờng Cho R = K[[x, y, z, t]] J = (x, y 2) (y, z 3, t5) Cho M = R/J Khi dim R = Ta có AssR M = {p1, p2 }, p1 = (x, y)R p2 = (y, z, t)R Suy dim(R/J ) = max{dim R/p1 , dim(R/p2 } = max{2, 1} = Nhắc lại vành giao hoán Noether đợc gọi vành địa phơng có iđêan tối đại 39 Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin đợc giới thiệu I G Macdonad [Mac] Lí thuyết đợc xem nh đối ngẫu với lí thuyết phân tích nguyên sơ cho môđun Noether: Nhắc lại rằng, R-môđun L đợc gọi thứ cấp phép nhân r L toàn cấu lũy linh với r R Trong trờng hợp này, tập phần tử r R cho phép nhân r L lũy linh lập thành iđêan nguyên tố p R ta gọi L p-thứ cấp I G Macdonald [Mac] môđun Artin A có biểu diễn thứ cấp A = A1 + + An Ai pi -thứ cấp với i = 1, , n Trong trờng hợp Ai không thừa (tức A = j=i Aj với i = 1, , n) iđêan nguyên tố pi phân biệt biểu diễn thứ cấp đợc gọi tối thiểu Khi tập {p1, , pn } không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu A đợc kí hiệu AttR A Tập AttR A đợc gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết A 3.1.2 Bổ đề (Xem [Mac]) Tập phần tử tối thiểu AttR A tập iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR A Đặc biệt, Rad(AnnR A) = p pAttR A Ta biết Rmôđun Artin A có cấu trúc tự nhiên R-môđun, với cấu trúc tập A R-môđun R-môđun Điều cho thấy dàn môđun A xét nh R-môđun R-môđun nh Do A R-môđun Artin Quan hệ tập AttR A AttRb A đợc cho công thức sau 3.1.3 Bổ đề (Xem [BS1]) Ta có AttR A = {p R : p AttRb A} Từ sau ta kí hiệu E(R/m) bao nội xạ R/m D(L) = HomR (L, E(R/m)) đối ngẫu Matlis R-môđun L 40 3.1.4 Chú ý Giả sử R đầy đủ theo tôpô m-adic Khi D(A), đối ngẫu Matlis A, R-môđun hữu hạn sinh Chú ý AnnR A = AnnR D(A) Vì áp dụng tính chất linh hoá tử cho môđun D(A) ta có AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p)) = AnnR (D(A)/pD(A)) = p với iđêan nguyên tố p AnnR A = AnnR D(A) Do tính chất bão hòa nguyên tố cho môđun Artin vành địa phơng đầy đủ Tiếc rằng, tính chất bão hòa nguyên tố không vành R không đầy đủ Chú ý với số nguyên i, môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá cực đại Hmi (M) M R-môđun Artin (xem [BS1]) Dới trình bày ví dụ môđun Artin không thoả mãn tính chất bão hòa nguyên tố 3.1.5 Ví dụ (Xem [NhA]) Gọi (R, m) miền Noether địa phơng chiều đợc xây dựng bới D Ferrand M Raynaud thoả mãn tính chất tồn iđêan nguyên tố nhúng q Ass R với dim R/q = Khi Hm1 (R) không thoả mãn tính chất bão hòa nguyên tố Ta có mối quan hệ sau tập Supp M Supp M môđun hữu hạn sinh M 3.1.6 Bổ đề (Xem [NhA]) Supp M = {p R : p Supp M} Vì M hữu hạn sinh nên Supp M = V (AnnR M) Tơng tự, M R-môđun hữu hạn sinh nên Supp M = V (AnnRb M) Do V (AnnR M) = {p R | p V (AnnRb (M)} Hơn nữa, nh nhắc tiết trên, R-môđun Artin A có cấu trúc tự nhiên R-môđun Artin Vì thế, tự nhiên hỏi liệu đẳng thức V (AnnR A) = {p R | p V (AnnRb A} xảy cho môđun Artin A Dới ta đẳng thức xảy A thoả mãn tính chất bão hòa nguyên tố 41 3.1.7 Mệnh đề Các điều kiện sau tơng đơng: (i) A thoả mãn tính chất bão hòa nguyên tố (ii) V (AnnR A) = {p R : p V (AnnRb A)} Chứng minh (i)(ii) Cho p V (AnnRb A) Khi tồn iđêan nguyên tố tối thiểu q chứa AnnRb A cho p q Chú ý iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnRb A iđêan nguyên tố gắn kết R-môđun Artin A, q AttRb A Hơn ta có AttR A = {p R | p AttRb A} Vì qR AttR A Suy qR V (AnnR A) ta suy pR V (AnnR A) Do V (AnnR A) {p R | p V (AnnRb A)} Ngợc lại, cho p V (AnnR A) Theo giả thiết (i), A thoả mãn tính chất bão hòa nguyên tố Vì AnnR (0 :A p) = p Rõ ràng iđêan nguyên tố chứa AnnR(0 :A p) phải chứa p, p iđêan nguyên tố bé chứa AnnR (0 :A p) Suy p AttR (0 :A p) Lại AttR (0 :A p) = {p R | p AttRb (0 :A p)} nên tồn iđêan nguyên tố p AttRb (0 :A p) cho p R = p Vì p AttRb (0 :A p) nên p AnnRb (0 :A p) Vì p V (AnnRb A) p R = p, tức V (Ann A) {p R | p V (AnnRb A)} (ii)(i) Cho p V (Ann A) Theo giả thiết (ii), tồn iđêan nguyên tố p V (AnnRb A) cho p R = p Chú ý tính chất bão hòa nguyên tố thoả mãn cho môđun Artin A vành đầy đủ R Vì ta có AnnRb (0 :A p) = p Lại pR p nên p AnnR (0 :A p) = AnnR (0 :A pR) AnnRb (0 :A p) R = p R = p Suy Ann(0 :A p) = p 42 3.1.8 Chú ý Đối với Rmôđun Artin A = Hm1 (R) Ví dụ 3.1.5, ta suy V (AnnR A) = {p R | p V (AnnRb A} Chú ý môđun đối đồng điều địa phơng với giá cực đại Hmi (M) Rmôđun Artin Vì nghiên cứu tính bão hòa nguyên tố lớp môđun Nghiên cứu cho tính bão hòa nguyên tố Hmi (M) đợc đề cập đến báo L T Nhàn T N An [NhA] Nhắc lại Hmi (M) bão hòa nguyên tố AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p với p Var(AnnR Hmi (M)) Khi R vành đầy đủ theo topô m-adic, theo Đối ngẫu Matlis ta suy Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố, nhng trờng hợp không Ngay vành không catenary phổ dụng, có thớ hình thức không Cohen-Macaulay Hmi (M) không bão hòa nguyên tố Sau ví dụ 3.1.9 Ví dụ (Xem [NhA, Ví dụ 4.3]) Tồn miền Noether địa phơng (R, m) với thớ hình thức không Cohen-Macaulay miền Noether địa phơng (S, n) không catenary phổ dụng cho Hmi (R) Hnj (S) không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố với số nguyên dơng i, j > Tiếp theo nhắc lại khái niệm tập giả giá định nghĩa M Brodmann R.Y Sharp [BS2] 3.1.10 Định nghĩa Cho i số nguyên không âm Tập giả giá thứ i M đợc kí hiệu PsuppiR (M) đợc định nghĩa nh sau idim R/p PsuppiR (M) = {p Spec R | HpRp (Mp ) = 0} Sau đặc trng thú vị tính bão hòa nguyên tố Hmi (M) đợc chứng minh L T Nhàn T N An [NhA, Định lí 3.1] thông qua tập giả giá 43 3.1.11 Bổ đề Các phát biểu sau (i) Psuppi (M) Var(AnnR Hmi (M)) (ii) Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Psuppi (M) = Var(AnnR Hmi (M)) Theo [BS2], R vành catenary phổ dụng thớ hình thức R CohenMacaulay Psuppi (M) = Var(AnnR Hmi (M)) Vì ta có kết quan trọng sau đây, xem [NhA, Hệ 3.2] 3.1.12 Hệ Nếu R vành catenary phổ dụng thớ hình thức R Cohen-Macaulay Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố với R-môđun hữu hạn sinh M số nguyên i 3.2 Linh hóa tử Hmi (M ) Một toán quan trng môđun đối đồng điều địa phơng Hmi (M) xác định linh hóa tử môđun Đã có nhiều kết linh hóa tử Hmi (M) đợc công bố gần đây, xem [BAG], [L], [NhA] Khi vành sở R đầy đủ theo topô m-adic Hmi (M) không R-môđun hữu hạn sinh, K Bahmanpour, J Azami and G Ghasemi [BAG] trình bày công thức biểu diễn linh hóa tử Hmi (M) thành giao họ iđêan nguyên tố giả giá thứ i M với chiều Một hai kết chơng mở rộng kết K Bahmanpour, J Azami and G Ghasemi, biểu diễn linh hóa tử Hmi (M) trờng hợp giả thiết yếu hẳn, cần Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Ngoài ra, cong thức chúng tôi, Rad(AnnR Hmi (M)) tính thông qua iđêan nguyên tố giá thứ i M với chiều k, k chọn số từ đến chiều nhỏ iđêan nguyên tố gắn kết tối thiểu 3.2.1 Định nghĩa (Xem [Na]) Một tập X Spec(R) đợc gọi đóng với phép 44 đặc biệt hóa với p, q Spec(R) thỏa mãn p q, điều kiện p X kéo theo điều kiện q X 3.2.2 Bổ đề (Xem [BS2, Bổ đề 2.2]) Nếu R catenary PsuppiR (M) đóng với phép đặc biệt hóa Giả sử Hmi (M) không hữu hạn sinh Đặt ik S(i)k = {p Spec(R) | HpR (Mp ) = 0, dim R/p = k} p ci = min{dim R/p | p Att Hmi (M)} Chú ý ci Hmi (M) không hữu hạn sinh Đặt Xi = {1, 2, , ci } 3.2.3 Định lý Giả sử Hmi (M) không hữu hạn sinh Với kí hiệu ta có (i) Rad(AnnR (Hmi (M))) p với k Xi pS(i)k (ii) Nếu Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Rad(AnnR (Hmi (M))) = p pS(i)k với k Xi (iii) Ngợc lại, Rad(AnnR(Hmi (M))) = S(i)k tập hữu hạn R catenary p với k Xi thỏa mãn pS(i)k Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Chứng minh (i) Cho k Xi , cho x Rad(AnnR (Hmi (M))) p S(i)k Khi tồn n N cho xn AnnR(Hmi (M)) Theo [NhA, Định lí 3.1] ta có S(i)k Psuppi (M) Var(AnnR (Hmi (M))) Suy p Var(AnnR (Hmi (M))) Vì xn p Do p iđêan nguyên tố nên x p Vì x p pS(i)k 45 (ii) Cho Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố giả sử phản chứng p Rad(AnnR (Hmi (M))) pS(i)k p cho x Rad(AnnR (Hmi (M))) Chú ý iđêan Khi tồn x pS(i)k nguyên tố tối thiểu chứa AnnR (Hmi (M)) iđêan nguyên tố gắn kết tối thiểu Hmi (M) nh nên ta có Rad(AnnR (Hmi (M)) = q i (M )) qmin AttR (Hm Do tồn q AttR (Hmi (M)) cho x q Suy dim(R/q) ci theo định nghĩa số ci Giả sử rừng dim R/q = t Khi AssR (R/q) = {q} Vì x q, nên x phần tử tham số R/q Vì thế, tồn phần tử x1, x2 , , xt1 m cho lập thành hệ tham số R/(q + xR) Suy x, x1, x2, , xt1 hệ tham số R/q Vì t ci k 1, nên ta suy (x1, x2, , xtk ) phần hệ tham số R/q Vì dim R/ (q + (x1, x2 , , xtk )R) = k Do tồn p Ass R/ (q + (x1, x2 , , xtk )R) cho dim R/p = k Suy q p Vì q AttR (Hmi (M)), nên ta suy q Var(AnnR(Hmi (M))) Vì ta có p Var(AnnR (Hmi (M))) Do Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên theo [NhA, Định lí 3.1] ta có PsuppiR (M) = Var(AnnR (Hmi (M))) Vì p PsuppiR (M) Suy x p Vì ta có q + (x, x1, x2, , xtk ) p Điều có nghĩa k = dim R/p dim(R/ (q + (x, x1, x2 , , xtk )R)) = k 1, 46 điều vô lí Vì p Rad(AnnR (Hmi (M))) pS(i)k Do Rad(AnnR (Hmi (M))) = p pS(i)k với k Xi (iii) Giả sử vành sở R catenary Để chứng minh Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố, theo [NhA, Định lí 3.1], ta cần chứng minh PsuppiR (M) Var(AnnR (Hmi (M))) Cho q Var(AnnR (Hmi (M)) Khi theo giả thiết ta có q Rad(AnnR (Hmi (M)) = p pS(i)k với số nguyên i k Xi thỏa mãn S(i)k tập hữu hạn Suy q p với iđêan nguyên tố p S(i)k Điều có nghĩa p PsuppiR (M) dim(R/p) = k Vì R catenary, nên PsuppiR (M) đóng với phép đặc biệt hóa Suy q PsuppiR (M) Ví dụ dới giả thiết tính bão hòa nguyên tố Hmi (M) Định lí 3.2.3(ii) bỏ đợc Trớc hết có ý sau 3.2.4 Chú ý Theo tính chất tập iđêan nguyên tố gắn kết ta có AttR Hmi (M) = {P R | P AttRb Hmi (M)} Vì ta suy dim R/ AnnRb (Hmi (M)) dim(R/ AnnR Hmi (M)) Giả sử Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Đặt dim(R/ AnnR Hmi (M)) = t Vì PsuppiR (M) = Var(AnnR Hmi (M)) theo [NhA, Định lí 3.1] nên ta có t = max{dim(R/p | p PsuppiR (M)} 47 Cho p PsuppiR (M) cho dim(R/p) = t Khi tồn P Ass(R/pR) cho idim(R/p) dim(R/P) = t Vì HpRp b idim(R/P) HPRb P (Mp ) = 0, nên ta có idim(R/p) (MP ) (Mp ) RP = 0, = HpRp tức P PsuppiRb (M ) Suy P AnnRb Hmi (M) t = dim(R/P) dim(R/ AnnRb Hmi (M)) Vì vậy, từ ý ta có kết sau 3.2.5 Bổ đề Nếu Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố dim R/ AnnRb (Hmi (M)) = dim(R/ AnnR Hmi (M)) 3.2.6 Ví dụ Cho (R, m) miền nguyên Noether chiều đợc xây dựng bới D Ferrand M Raynaud [FR] cho R có iđêan nguyên tố liên kết nhúng Q với dim R/Q = Vì Q Ass R, nên ta có Q R Ass R = {0} Chú ý Q AttRb Hm1 (R) theo [BS1, 11.3.9] Suy AttR Hm1 (R) Suy Hm1 (R) không hữu hạn sinh AnnR Hm1 (R) = Vì dim R/ AnnR Hm1 (R) = Theo [BS2, 11.3.5], ta có dim R/ AnnRb Hm1 (R) = Theo ý ta suy Hm1 (R) không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Kí hiệu c1 , X1 S(1)k đợc định nghĩa nh Định lí 3.2.3 Khi Psupp1R (R) = {m} Suy S(1)1 = S(1)2 = Vì AttR Hm1 (R), nên ta có c1 = Suy X1 = {1, 2} p = R Hơn nữa, Rad(Ann Hm1 (R)) = Vì Với k X1 ta có pS(1)k Rad(Ann Hm1 (R)) = p pS(1)k với k X1 Tổng quát hơn, ta có kết sau 48 3.2.7 Mệnh đề Cho R miền nguyên chiều s > cho R có iđêan nguyên tố liên kết nhúng P Khi tồn số nguyên không âm t < s k Xt cho Hmt (R) không hữu hạn sinh Hmt (R) không thỏa mãn tính bão nguyên tố Rad(AnnR (Hmt (R))) = p, pS(t)k Xt = {1, , ct} với S(t)k = {p Psuppt (R) | dim R/p = k}, ct = min{dim R/p | p Att Hmt (R)} Chứng minh Từ giả thiết ta suy tồn P Ass R cho dim(R/P) = t < s Vì P Ass R, nên ta có PR Ass R Vì R miền nguyên nên ta suy PR = Chú ý P AttRb Hmt (R) theo [BS1, 11.3.9] Do = P R AttR Hmt (R) Vì ta có Rad(AnnR (Hmt (R))) = ct = s Suy Xt = {1, , s} Nếu t = P = mR = P R = m, điều vô lí Vì thế, dim(R/P) = t Suy t Xt Ta có S(t)t = {p Spec(R) | HpR (Rp ) = 0, dim R/p = t} p Nếu S(t)t = tồn p S(t)t Suy HpR (Rp ) = Do Rlà miền nguyên nên p Rp miền nguyên Suy dim Rp = ta có p Ass R = {0} Do dim R/p = s Điều mâu thuẫn với giả thiết t < s Suy S(t)t = Do Rad(AnnR (Hmt (R))) = = R = p pS(t)t 49 Từ kết gần L.T Nhàn P H Quý [NQ, Định lí 1.1] ta suy dim R/ AnnRb Hmt (R) t Vì AttR Hmt (R), nên ta có dim R/ AnnR Hmt (R) = s > t Do Hmt (R) không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Kết chí R xấu, chẳng hạn R không catenary, linh hóa tử môđun đối đồng điều địa phơng cấp cao thỏa mãn công thức biểu diễn nh Định lí 3.2.3(iii) 3.2.8 Mệnh đề Cho d > Với giả thiết kí hiệu nh Định lí 3.2.3, ta có Rad(AnnR(Hmd (M))) = p pS(d)d Chứng minh Ta có S(d)d = {p Spec(R) | HpR (Mp ) = 0, dim R/p = d} p = {p AssR M | dim R/p = d} = AttR Hmd (M) Vì Rad(AnnR (Hmd (M))) = p= d (M ) pAttR (Hm p pS(d)d 3.3 Vành thơng vành Cohen-Macaulay Định lí sau đây, kết thứ hai chơng này, công thức linh hóa tử nh tính bão hòa nguyên tố môđun đối đồng điều địa phơng phản ánh cấu trúc vành sở Kết rõ cấu trúc vành thơng vành Cohen-Macaulay 50 3.3.1 Định lý Với giả thiết kí hiệu nh Định lí 3.2.3, phát biểu sau lf tơng đơng: (i) R thơng vành Cohen-Macaulay địa phơng; (ii) R catenary phổ dụng thớ hình thức R Cohen-Macaulay; (iii) Rad(AnnR (Hmi (M))) = p với i 1, k Xi R-môđun hữu pS(i)k hạn sinh M cho Hmi (M) không hữu hạn sinh Chứng minh (i) (ii) suy từ [K] (i) (iii) Vì R catenary phổ dụng thớ hình thức R Cohen-Macaulay nên Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố với i Do khẳng định (iii) đợc suy từ Định lí 3.2.3 (iii) (ii) Nhắc lại phần tử x R đợc gọi chặn cho linh hóa tử đối đồng điều địa phơng M x p với p AssR M xHmi (M) = với i dim M (xem [HH]) Theo [DJ, Hệ 4.3], khẳng định (ii) đợc chứng minh ta chứng minh đợc R/p có chặn cho linh hóa tử đối đồng điều địa phơng với p Spec(R) Cho p Spec(R) đặt s = dim R/p Cho i < s Đặt = AnnR Hmi (R/p) Rõ ràng ta có p Ta khẳng định dim(R/ai ) < s Thật vậy, p , nên ta có dim(R/ai ) dim(R/p) = s Giả thiết phản chứng dim(R/ai ) = s Nếu p = ta có dim(R/ai ) < dim R/p = s Điều vô lí Vì ta có p = Suy Att Hmi (R/p) = {p} Do ci = s Vì p = , nên ta có p = rad(ai ) Vì thế, từ giả thiết (iii) ta suy p = rad(ai ) = q qS(i)ci 51 Do S(i)s = , tức S(i)s = Vì thế, tòn q PsuppiR (R/p) cho dim R/q = s Chú ý q p dim R/p = s Suy q = p Vì p PsuppiR (R/p), nên ta có is HpR (R/p)p = Suy i s Điều trái với giả thiết i < s Vì thế, dim R/ai < s p với i < s Đặt a = s1 i=0 Khi ta có dim R/a < s a p Suy ra, tồn x a \ p Điều suy xHmi (R/p) = với i < s Nh vậy, R/p có chặn cho linh hóa tử đối đồng điều địa phơng Vậy, R catenary phổ dụng thớ hình thức củ R Cohen-Macaulay Tài liệu tham khảo [AB] M Auslander, D Buchsbaum, Codimension and multiplicity, Ann of Math., 68 (1958), 625-657 [BAG] K Bahmanpour, J Azami and G Ghasemi, On the annihilators of local cohomology modules, J Algebra, 363 (2012), 8-13 [BS1] M Brodmann and R Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [BS2] M Brodmann and R Y Sharp, On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math J., 167 (2002), 217-233 [BH] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1993 [C] N T Cuong, On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local rings, Nagoya Math J., 125 (1992), 105-114 [CDN] N T Cuong, N T Dung and L T Nhan, Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module, Comm Algebra, 35 (2007), 1691-1701 [CK] N.T Cuong and V.T Khoi, Modules whose local cohomology modules have CohenMacaulay Matlis duals, Proc Hanoi Conf on Commutative Algebra, Algebraic Geometry, and Computational Methods (Editor D Eisenbud), Springer, 1999, 223-231 [CM] N T Cuong and N D Minh, Lengths of generalized fractions of modules having small polynomial type, Math Proc Camb Phil Soc., 128 (2000), 269-282 [CNa] D.T Cuong and P H Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of Koszul complexes of d-sequences, J Algebra (ISI) 441 (2015), 125-158 [CN] N T Cuong and L T Nhan, Pseudo Cohen Macaulay and pseudo generalized Cohen Macaulay modules, J Algebra, 267 (2003), 156-177 [DJ] M T Dibaei and R Jafari, Cohen-Macaulay loci of modules, Comm Algebra, 39 (2011), 3687-3691 [FR] D Ferrand and M Raynaud, Fibres formelles dun anneau local Noetherian, Ann Sci Ecole Norm Sup., (4)3 (1970), 295-311 52 53 [HC] N T A Hang and N Q Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules, Bull Korean Math Soc (ISI), To appear [HH] M Hochter and C Huneke, Tight closure, invariant theory and the Brian con-Skoda theorem, J Amer Math Soc., (1990), 31-116 [K] T Kawasaki, On arithmetic Macaulayfication of Noetherian rings, Tran Amer Math Soc., 354 (2001), 123-149 [L] L R Lynch, Annihilators of top local cohomolgy, Comm Algebra, 40 (2012), 542-551 [Mac] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [Mat] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [Na] M Nagata, Local rings, Tracts in Pure and Appl Math., No 13 (Interscience), 1962 [NhA] L T Nhan and T N An, On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules, J Algebra, 321 (2009), 303-311 [NCh] L.T Nhan and N Q Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, Journal of Algebra and Its Applications, 14 (10), (2015), 1550142, 1-11 [NQ] L T Nhan and P H Quy, Attached primes of local cohomology modules under localization and completion, J Algebra, 420 (2014), 475-485 [Sch] P Schenzel, On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, In: Proc of the Ferrara meeting in honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Belgium, (1998), 245-264 [...]... t)) và M2 = R/((x2 ) (y, z 2)) Khi đó R là vành địa phơng Noether, M1 , M2 là các R -mô un hữu hạn sinh và (i) R là vành Cohen- Macaulay; (ii) M1 là R -mô un Cohen- Macaulay; (iii) M2 không là R -mô un Cohen- Macaulay Từ tính chất về chiều và độ sâu trong Chơng 1, chúng ta suy ra tính Cohen- Macaulay của mô un khi chuyển qua đầy đủ m-adic 2.1.4 Mệnh đề (Xem [BH]) M là Cohen- Macaulay khi và chỉ khi M là CohenMacaulay... là CohenMacaulay Sau đây là đặc trng tính Cohen- Macaulay khi chia cho một dãy chính quy 2.1.5 Mệnh đề (Xem [BH]) Cho (x1, , xr ) m là một M-dãy chính quy Khi đó M là R -mô un Cohen- Macaulay chiều d nếu và chỉ nếu M/(x1 , , xr )M là R -mô un Cohen- Macaulay chiều d r Đặc biệt, mỗi dãy chính quy là một phần hệ tham số Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính không trộn lẫn của vành và mô un CohenMacaulay... mỗi mô un Cohen- Macaulay là mô un giả Cohen- Macaulay Đặc biệt, ta có quan hệ sau đây giữa tính giả Cohen- Macaulay của M và tính Cohen- Macaulay của thành phần không trộn lẫn của M 25 2.2.7 Bổ đề (Xem [CN]) Gọi UM c(0) là mô un con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Khi đó M là giả Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu M/UM c(0) là Cohen- Macaulay Theo Auslander-Buchsbaum [AB], một phần tử a m đợc gọi là một. .. M depth M 2.1.2 Định nghĩa Mô un M đợc gọi là mô un Cohen- Macaulay nếu M = 0 hoặc depth M = dim M Vành R đợc gọi là vành Cohen- Macaulay nếu R là R -mô un Cohen- Macaulay Sử dụng các tính chất về chiều và độ sâu trong Chơng 1, chúng ta có thể kiểm tra tính Cohen- Macaulay và không Cohen- Macaulay trong Ví dụ sau đây 20 21 2.1.3 Ví dụ Cho K là một trờng và x, y, z là các biến và R = K[[x, y, z, t]] Đặt M1... nhất của vành địa phơng SM Chú ý rằng vành đầy đủ N-adic của SM là vành các chuỗi lũy thừa hình thức R[[x]] Theo Bổ đề 2.2.6 ta suy ra SM là giả Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu R[[x]] là giả Cohen- Macaulay Hơn nữa, chúng ta suy ra từ khẳng định (i) và Bổ đề 2.2.6 rằng R[[x]] là giả Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu R là giả Cohen- Macaulay Suy ra, R là giả Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu SM là giả Cohen- Macaulay. .. mọi hệ tham số a của M Vì thế ta có hệ quả sau 2.2.6 Bổ đề M là giả Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu M là giả Cohen- Macaulay Từ đây đến hết chơng này, luôn kí hiệu UM (0) là mô un con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Đặt M = M/UM (0) và gọi nó là phần không trộn lẫn của M Nh đã chỉ ra trong [CN], các tính chất của mô un giả Cohen- Macaulay vẫn tốt và rất gần với tính chất của các mô un Cohen- Macaulay modules... chỉ ra một ví dụ về một mô un giả Cohen- Macaulay M trên vành Noether địa phơng đầy đủ (R, m) và một iđêan nguyên tố p SuppR M sao cho Mp không là giả Cohen- Macaulay Vì thế, chúng ta cần tìm các điều kiện để tính giả Cohen- Macaulayness bảo toàn qua địa phơng hóa Đặt M = M/UM (0), trong đó UM (0) là mô un con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Theo Định lí 2.2.10, mô un M là giả Cohen- Macaulay nếu và chỉ... M/aM là giả Cohen- Macaulay, nên chúng ta có thể áp dụng mệnh đề (i)(ii) đối với mô un M/aM để suy ra rằng mô un (M/aM) UM/aM (0) là Cohen- Macaulay Vì M/aM là Cohen- Macaulay, tức là M/aM là Cohen- Macaulay Do a thế (UM (0) + aM)/aM là M -chính quy, nên M là Cohen- Macaulay Suy ra M là giả Cohen- Macaulay 2.2.11 Chú ý Giả sử 0 = N(p) là một phân tích nguyên sơ thu gọn của mô un pAssR M con 0 của M Khi đó... sâu của mô un đợc bảo toàn qua đầy đủ hóa 1.3.15 Mệnh đề (Xem [Mat]) depth(I, M) = depth(I R, M) Đặc biệt depth(M) = depth(M ) Cuối cùng, chúng ta đa ra mối liên hệ giữa độ sâu và chiều của các iđêan nguyên tố liên kết 1.3.16 Bổ đề (Xem [Mat]) depth(M) dim(R/p) với mọi p AssR (M) Chơng 2 Mô un Cohen- Macaulay và mô un giả Cohen- Macaulay Chơng này trình bày kết quả mới của đề tài về lớp vành và mô un... giả Cohen- Macaulay với mọi iđêan nguyên tố p UsuppS L Cho (R, m) là vành Noether địa phơng Kết quả sau đây cho ta một đặc trng về tính giả Cohen- Macaulay cho vành các chuỗi lũy thừa hình thức R[[x1, , xn ]] và vành đa thức S = R[x1 , , xn ] Chú ý rằng vành đa thức R[x1, , xn ] không là vành địa phơng 2.4.2 Định lý Cho (R, m) là vành Noether địa phơng Khi đó (i) R là giả Cohen- Macaulay nếu và