Bao lồi hữu tỉ và không gian các đồng cấu phức của các đại số đều trên các tập compact trong c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH  TỐNG MỸ THANH BAO LỒI HỮU TỈ VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC CỦA CÁC ĐẠI SỐ ĐỀU TRÊN CÁC TẬP COMPACT TRONG Χ n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. ĐINH HUY HOÀNG VINH – 2009 1 MỤC LỤC Trang Mở đầu 1 Chương 1.Các đại số đều trên tập compact trong Χ và không gian các đồng cấu phức . 4 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . 4 1.2. Đại số các hàm liên tục . 8 1.3. Các đại số đều trên tập compact trong Χ và không gian các đồng cấu phức . 11 Chương 2. Các đại số đều trên tập compact trong Χ n và bao lồi hữu tỉ . 19 2.1. Các đại số đều trên tập compact trong Χ n . 19 2.2. Bao lồi hữu tỉ 20 2.3. Phổ nối và tính lồi hữu tỉ 27 2.4. Các tập tròn và tính lồi hữu tỉ 31 Kết luận . 35 Tài liệu tham khảo . 36 2 MỞ ĐẦU Đại số đều là một trong những lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu nhiều trong giải tích hàm và giải tích phức. Nó có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán về xấp xỉ các hàm liên tục bởi các hàm chỉnh hình,… Khi nghiên cứu đại số đều người ta thường quan tâm tới việc mô tả không gian các ideal cực đại, tức là không gian các đồng cấu phức và biên Shilov của các đại số đặc biệt nào đó . Trong [3], đã giới thiệu và nghiên cứu các đại số đều trên tập compact K trong £ n và nghiên cứu không gian các đồng phức trên các đại số đó.Trong [2], đã trình bày các đại số đều P(K), R(K) và mô tả không gian các đồng cấu phức của P(K), R(K) với K là tập compact trong £ , của P(K) với K là tập compact trong £ n , n >1.Vấn đề được đặt ra là trong trường hợp n >1, việc mô tả không gian các đồng cấu phức của R(K) như thế nào? có tương tự như của P(K) hay không ? Để giải quyết vấn đề này người ta phải dùng khái niệm bao lồi hữu tỉ của các tập trong £ n và một số kết quả khác về hàm chỉnh hình nhiều biến. Mục đích của luận văn là tìm hiểu, nghiên cứu khái niệm, tính chất của bao lồi hữu tỉ của các tập bị chặn trong £ n và mô tả không gian các đồng cấu phức của đại số đều R(K) với K là tập compact trong £ n , n >1. Với mục đích đó luận văn được trình bày thành hai chương. Chương 1. Các đại số đều trên tập compact trong £ và không gian các đồng cấu phức. Phần đầu của chương này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả về hàm chỉnh hình nhiều biến, về đại số Banach,…cần dùng trong luận văn. 3 Phần thứ 2, trình bày về đại số C(X) các hàm giá trị phức liên tục trên không gian compact X và mô tả không gian các đồng cấu phức của nó. Phần thứ 3, trình bày các đại số đều P(K), R(K) với K là tập compact trong £ và mô tả không gian các đồng cấu phức của các đại số này. Chương 2. Các đại số đều trên tập compact trong £ n và bao lồi hữu tỉ. Phần đầu, trình bày các đại số đều P(K), R(K), A(K) với K là tập compact trong £ n và bao lồi đa thức của các tập bị chặn trong £ n . Từ đó chứng minh không gian các đồng cấu phức của đại số P(K) là bao lồi đa thức của K (Định lý 2.1.5). Phần thứ 2, trình bày khái niệm và các tính chất của bao lồi hữu tỉ của các tập bị chặn trong £ n . Từ đó chứng minh không gian các đồng cấu phức của đại số P(K) là bao lồi hữu tỉ của K (Định lý 2.2.5). Phần thứ 3, trình bày khái niệm phổ nối và chứng minh tính lồi hữu tỉ của phổ nối trong đại số Banach hữu hạn sinh (Định lý 2.3.3). Phần cuối cùng, trình bày khái niệm tập tròn và mô tả bao lồi hữu tỉ của tập tròn, compact trong £ n (Định lý 2.4.3). Các kết quả trong luận văn chủ yếu đã có trong tài liệu tham khảo nhưng chúng chỉ được chứng minh vắn tắt hoặc không chứng minh. Chúng tôi đã chứng minh chi tiết, hệ thống và trình bày theo bố cục của mình. Bên cạnh đó chúng tôi cũng đưa ra và chứng minh một số kết quả như Mệnh 2.2.2, Mệnh 2.2.3, Bổ đề 2.2.4, Hệ quả 2.2.6 . Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng, cùng với sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong tổ Giải tích, Khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, của trường Đại học Đồng Tháp và các đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo và các bạn. 4 Qua đây tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn Trường Cao đẳng kinh tế - kỹ thuật Cần Thơ và gia đình đã quan tâm, tạo mọi điều kiện cho tác giả hoàn thành khóa học. Vinh, tháng 5 năm 2009 Tác giả 5 CHƯƠNG 1 CÁC ĐẠI SỐ ĐỀU TRÊN TẬP COMPACT TRONG Χ VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC 1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử D là tập mở trong £ n , f: D→ £ với f = u + iv, trong đó u = Ref, v =Imf. Với mỗi z = (z 1 , , z n )∈D; z j = x j + iy j ∈ £ , j = 1,n ; Ta ký hiệu j j j 1 2 f f f i z x y   ∂ ∂ ∂ = −  ÷  ÷ ∂ ∂ ∂   , j j j 1 2 f f f i x y z   ∂ ∂ ∂ = +  ÷  ÷ ∂ ∂ ∂   . Hàm f được gọi là khả vi tại điểm z∈D nếu các hàm u, v khả vi tại (x 1 , y 1 ,….x n , y n ) và j ( ) 0 f z z ∂ = ∂ , với mọi j = 1,…., n. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z nếu f khả vi tại mọi điểm thuộc một lân cận nào đó của z. Hàm f được gọi là chỉnh hình trên D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm thuộc D. Hàm f: K→ £ được gọi là chỉnh hình trên tập con K của Χ n nếu tồn tại tập mở D trong £ n và hàm ° f chỉnh hình trên D sao cho K⊂D và ° K f = f. Hàm f : £ n → £ được gọi là hàm hữu tỉ nếu nó được biểu diễn dưới dạng thương của hai đa thức n-biến phức : f (z) = ( ) ( ) p z q z . Các không điểm của đa thức q được gọi là các điểm cực của f. Tập tất cả các không điểm của q được gọi là tập cực của f . Nếu f là hàm hữu tỉ thì f chỉnh hình trên £ n trừ tập cực của nó. 6 1.1.2. Định lý. (Nguyên lý mô đun cực đại của hàm chỉnh hình). Giả sử D là miền bị chặn trong £ n . Khi đó nếu f là hàm chỉnh hình trên D và liên tục trên D thì f đạt cực đại trên biên của D hoặc f là hàm hằng. 1.1.3. Định lý. (Weierstrass). Nếu { } n f là dãy các hàm chỉnh hình trên tập con D của £ n và hội tụ đều tới hàm f trên mọi tập compact trong D thì f chỉnh hình trên tập D. 1.1.4. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là chuẩn tắc nếu mọi cặp tập hợp đóng không giao nhau A và B của X đều tồn tại các tập mở không giao nhau U và V trong X sao cho , A U B V⊂ ⊂ . 1.1.5. Bổ đề. (Urysohn). Với hai tập con đóng không giao nhau A và B của không gian chuẩn tắc X tồn tại hàm liên tục f trên X lấy giá trị trong đoạn [ ] 0,1 và bằng không trên A, bằng một trên B. 1.1.6. Định nghĩa. Họ F các hàm xác định trên tập X lấy giá trị trong tập Y được gọi là phân biệt các điểm của X nếu với hai điểm bất kỳ a, b khác nhau của X đều tồn tại f∈F sao cho f (a) ≠ f (b). 1.1.7. Định nghĩa. Giả sử A là một không gian véc tơ trên £ được trang bị thêm một phép nhân trong thỏa mãn các điều kiện 1) x(yz)=(x y)z, 2) x(y+z) = xy +xz, (x+y)z = xz +yz 3) ( α x)y = x( α y) = α (xy). Với mọi x,y,z∈A, với mọi α ∈ £ . Khi đó, ta gọi A là một đại số phức và nói gọn là đại số. Nếu đại số phức A vừa là không gian Banach và chuẩn trên nó thỏa mãn .xy x y ≤ với mọi x,y∈A thì A được gọi là đại số Banach. Đại số A được gọi là giao hoán nếu phép nhân trong giao hoán. Đại số Banach A được gọi là có đơn vị nếu tồn tại e∈A sao cho xe = ex = x với mọi x∈A và e = 1. 7 Trong Luận văn này, các đại số được xét luôn giả thiết là đại số Banach giao hoán có đơn vị, ta nói gọn là đại số Banach. 1.1.8. Định nghĩa. Phần tử x của đại số Banach A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại y∈ A sao cho xy = e. Lúc đó ta viết y = x -1 và gọi x -1 là phần tử khả nghịch của x. 1.1.9. Định nghĩa. Giả sử f là phần tử của đại số Banach A và λ là một số phức. Ta viết λ thay cho λe. Ta gọi tập tất cả các số phức λ sao cho ( λ - f ) không khả nghịch là phổ của f và ký hiệu tập này là σ ( f ). 1.1.10. Định lý. Với mỗi f thuộc đại số Banach A, phổ σ ( f ) là tập compact và khác rỗng. 1.1.11. Định nghĩa. Giả sử A là đại số Banach,Φ : A→ £ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó Φ được gọi là một đồng cấu phức trên A nếu Φ ≠ 0 và Φ(xy) = Φ(x)Φ(y) với mọi x,y∈A. Ta ký hiệu tập tất cả các đồng cấu phức trên A là ! A . 1.1.12. Định nghĩa. Giả sử J là một tập con của đại số Banach A. J được gọi là một ideal của A nếu J là một không gian con của A và AJ ⊂ J. Nếu J là một ideal của A và J ≠ A thì J được gọi là ideal thật sự của A. Nếu J là ideal thật sự của A và nó không chứa trong một ideal thật sự nào khác thì J được gọi là ideal cực đại của A . 1.1.13. Định lý. Mỗi ideal thật sự của đại số Banach A đều được chứa trong một ideal cực đại nào đó. Mỗi ideal cực đại của A đều là tập đóng. Ta ký hiệu tập tất cả các ideal cực đại của đại số Banach A là M A . 1.1.14. Định lý. Giả sử A là đại số Banach. Khi đó ánh xạ T :! A → M A đặt tương ứng mỗi Φ ∈! A với ker Φ là một song ánh. Từ Định lý 1.1.14 ta đồng nhất M A với ! A, tức là xem mỗi phần tử thuộc M A là một đồng cấu phức trên A có hạt nhân chính là phần tử đó. 1.1.15. Định lý. Mỗi phần tử Φ∈! A là liên tục và 1Φ = . 8 1.1.16. Định nghĩa. Từ Định lý 1.1.15 suy ra ta có thể xem M A (tức là ! A ) là tập con của hình cầu đơn vị đóng trong A * , không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên A. Ta gọi tôpô trên M A được cảm sinh bởi tôpô yếu trên A * là tôpô Gelfand trên M A . Sau này, nếu không giải thích gì thêm thì luôn hiểu tôpô trên M A là tôpô Gelfand. Như vậy dãy { } α Φ trong M A hội tụ tới Φ∈M A khi và chỉ khi Φ α (x)→ Φ(x) với mọi x∈A. 1.1.17. Định lý. Không gian M A là Hausdorff và compact. 1.1.18. Định nghĩa. Giả sử A là đại số Banach, f là phần tử thuộc A. Ta gọi hàm µ f : M A → £ với µ f (Φ) = Φ( f ) với mọi Φ∈M A . là phép biến đổi Gelfand của f. 1.1.19. Định lý. Giả sử A là đại số Banach, f là phần tử thuộc A. Khi đó µ f liên tục và phổ của f trùng với miền giá trị của µ f , nghĩa là σ ( f ) = µ f (M A ). 1.1.20. Định nghĩa. Giả sử A là đại số Banach, ta ký hiệu f n là tích f. f. f…với n lần f và f 0 = e. Ta gọi hàm p : A→ A với p( f ) = λ n f n + λ n-1 f n-1 +….+λ 1 f +λ 0 , với f∈A là đa thức một biến trong A, trong đó λ j là các số phức ( j 0,n= ) và n∈Ν. Nói cách khác, nếu p(z) là đa thức của biến z∈ £ thì khi thay z bởi f∈A ta được một đa thức của biến f trong A. Đối với đa thức n-biến trong A cũng được định nghĩa tương tự. Hàm p: A n → A với p( f 1 ,f 2 ,… f n ) = 1 2 1 1 2 1 λ . ; n k i i i n i f f f = ∑ ( f 1 ,f 2 ,… f n ) ∈A n ; k∈Ν; i 1, i 2 …. . i n ∈Ν ; λ i ∈Χ với i = 1,n được gọi là một đa thức n-biến trong A. 9 1.1.21. Định nghĩa. Giả sử A là đại số Banach, f 1 ,f 2 ,…., f n ∈A. Đại số con B của A được gọi là đại số hữu hạn sinh, sinh bởi f 1 , f 2 ,…,.f n nếu một phần tử là thuộc B khi và chỉ khi nó biểu diễn được dưới dạng một đa thức n-biến p( f 1 ,f 2 ,…., f n ). Bao đóng của một đại số hữu hạn sinh được gọi là một đại số Banach hữu hạn sinh. 1.2. ĐẠI SỐ CÁC HÀM LIÊN TỤC Giả sử X là không gian Hausdorff và compact, C(X) là không gian Banach các hàm liên tục từ X vào £ với chuẩn sup: { } sup :f f x X = ∈ , f∈C(X). Trong mục này ta sẽ xây dựng C(X) trở thành một đại số Banach và mô tả các đồng cấu phức trên nó. Trong C(X) ta định nghĩa phép nhân bằng cách xem tích của hai phần tử f, g∈C(X) là hàm được ký hiệu là fg và được xác định bởi công thức fg(x) = f (x).g(x), ∀x∈X. Chúng ta đã biết C(X) là không gian tuyến tính với phép cộng hai hàm và nhân vô hướng với một hàm thông thường, tức là (f + g)(x) = f (x) + g (x), x∈X (α f )(x) = α f (x); x∈X, α∈ £ . 1.2.1. Mệnh đề. Với các phép toán vừa xác định và với chuẩn sup, C(X) là đại số Banach giao hoán có đơn vị. Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được rằng C(X) là một đại số với 3 phép toán đã cho. Với mọi f, g∈C(X) ta có { } sup ( ) ( ) :fg f x g x x X = ∈ { } { } sup ( ) : .sup ( ) : . .f x x X g x x X f g≤ ∈ ∈ = Mặt khác C(X) với chuẩn sup là không gian Banach nên C(X) là đại số Banach. 10