Các họ khả tổng và không gian các họ khả tổng

Lời mở đầu Không gian ơclit nhiều chiều đợc mở rộng từ không gian ơclit 3 chiều lần đầu tiên vào năm 1920 bởi nhà toán học Ba Lan Banach. Việc nghiên cứu các toán tử tuyến tính trong không gian ơclit hữu hạn chiều trên trờng K, cũng tơng tự nh việc nghiên cứu các toán tử tuyến tính trên không gian hữu hạn chiều nói chung, thờng đợc đặc trng bởi ma trận biểu diễn của chúng. Thông qua ma trận biểu diễn ngời ta nghiên cứu các tính chất của toán tử tuyến tính và ngợc lại. Một số hớng quan trọng khi nghiên cứu các toán tử tuyến tính là tìm dạng đơn giản nhất của ma trận biểu diễn của chúng, phân tích không gian đang xét thành tổng trực tiếp của các không gian con bất biến có chiều bé nhất có thể đợc . Khóa luận này nghiên cứu một lớp các toán tử tuyến tính của không gian ơclit hữu hạn chiều, đó là lớp các toán tử đối xứng. Một toán tử của không gian ơclit E hữu hạn chiều gọi là đối xứng nếu (x), y = x, (y) với mọi x, y E. Khóa luận cũng đi theo hớng tìm hiểu ma trận biểu diễn của các toán tử đối xứng, phân tích E thành tổng trực tiếp các không gian con bất biến, tìm sự t- ơng đơng của các toán tử đối xứng hay ma trận của các toán tử đối xứng, và một số các tính chất khác của toán tử đối xứng. Khóa luận bao gồm Đ1. Toán tử tuyến tính. Đ2. Dạng tuyến tính, không gian đối ngẫu. Đ3. Dạng song tuyến tính. Đ4. Không gian ơclit. Đ5. Toán tử đối xứng. Trong Đ1 chủ yếu chứng minh các cấu trúc của tập L(E) các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ E nh cấu trúc không gian vectơ, cấu trúc vành, cấu 1 trúc nhóm các tự đẳng cấu của E, sự đẳng cấu giữa hai vành L(E) và vành M n (K) các ma trận vuông cấp n trên trờng K. Đ2, Đ3, Đ4 chủ yếu là trình bày các kiến thức cơ sở cho Đ5. Trong Đ5 chúng tôi đã chứng minh các kết quả chủ yếu sau đây Nếu là toán tử đối xứng của không gian ơclit hữu hạn chiều E thì mọi nghiệm của đa thức đặc trng f (t) đều là số thực (Định lý 5.8); Một toán tử của không gian ơclit n chiều E là toán tử đối xứng khi và chỉ khi ma trận của trong một cơ sở định chuẩn thích hợp là ma trận chéo (Định lý 5.10). Định lý 5.14 chứng minh đợc rằng: Không gian ơclit E có một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ đồng thời là các vectơ riêng của hai phép biến đổi đối xứng , khi và chỉ khi = . Khóa luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo của thầy giáo Th.S. Nguyễn Văn Giám, sự góp ý chỉ bảo của các thầy, cô giáo trong tổ Đại số khoa Toán, Đại học Vinh và sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo hớng dẫn cùng các thầy cô và bạn bè. Vì năng lực có hạn và thời gian không nhiều chắc rằng khóa luận còn những hạn chế hay thiếu sót. Rất mong đợc sự góp ý của các thầy, cô giáo cùng các bạn. Vinh, tháng 5 năm 2005 Tác giả Đ1. Toán tử tuyến tính 2 Định nghĩa 1.1. Một ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ E vào E gọi là một toán tử tuyến tính của E. Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính của E, kí hiệu là L(E). Một toán tử tuyến tính của E là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu tùy theo nó là đơn ánh hay toàn ánh hay song ánh. Định lý 1.2. Tập L(E) các toán tử tuyến tính của không gian E trên trờng K với 2 phép toán: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) với mọi g, f thuộc L(E), x E, k K sẽ lập thành một không gian vectơ trên trờng K. Chứng minh - Tổng 2 toán tử tuyến tính của E là một toán tử tuyến tính của E. Thật vậy, với mọi f, g L(E); x, y E; a,b K ta có (f + g)(ax + by) = f(ax + by) + g(ax + by) = af(x) + bf(y) + ag(x) + bg(y) = af(x) + ag(x) + bf(y) + bg(y) = a[f(x) + g(x)] + b[f(y) + g(y)] = a(f + g)(x) + b(f + g)(y). - Với mọi k K, với mọi f L(E) thì kf là một toán tử tuyến tính của E. Thật vậy, với mọi x, y E; a,b K ta có (kf)(ax + by) = k[f(ax + by)] = k[af(x) + bf(y)] = kaf(x) + kbf(y) = akf(x) + bkf(y) = a(kf)(x) + b(kf)(y). - Ngoài ra trên L(E) thỏa mãn 8 tiên đề của không gian vectơ. Với mọi f,g,h L(E), k, K thì 1) f + g = g + f. 2) f + (g + h) = (f + g) + h. 3 3) Tồn tại phần tử không là toán tử : E E x 0 sao cho f + = + f = f. 4) Với mọi f L(E) thì tồn tại - f : E E x -f(x) cũng là toán tử tuyến tính của E, sao cho f + (-f) = (-f) + f = . 5) k(f +g) = kf + kg. 6) (k + )f = kf + f. 7) k(f) = (k)f. 8) 1.f = f. Việc kiểm tra mỗi tiên đề trên là không khó khăn. Vậy L(E) là một không gian vectơ trên trờng K. Định lý 1.3. Tập hợp L(E) với 2 phép toán xác định bởi (f +g)(x) = f(x) + g(x) (fg)(x) = f[g(x)] sẽ là một vành có đơn vị. Chứng minh.Theo chứng minh trong Định lý 1.2 thì L(E) với phép cộng xác định nh trên là một nhóm Aben. Hơn nữa tích hai toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính. Ngoài ra phép cộng và phép nhân trên thỏa mãn các tính chất: Với mọi f, g, h L(E) thì + f(gh) = (fg)h. + f(g + h) = fg + fh; (g + h)f = gf + hf. + Tồn tại đơn vị là toán tử đồng nhất i : E E x x cũng là một toán tử tuyến tính của E, sao cho f.i = if = f. Vậy L(E) là một vành có đơn vị. Định lý 1.4. Tập hợp A(E) các tự đẳng cấu của không gian E lập thành một nhóm với phép nhân ánh xạ. 4 Chứng minh - Ta có tích hai toán tử tuyến tính của E là một toán tử tuyến tính của E. Tích hai song ánh là một song ánh. Do đó tích các ánh xạ là một phép toán Đại số 2- ngôi trên A(E). - Do tích các ánh xạ có tính chất kết hợp nên tích các toán tử trên A(E) cũng có tính chất kết hợp. - Tồn tại phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất i : E E thì i cũng là toán tử x x tuyến tính của E và là một song ánh nên i A(E) và thỏa mãn f.i = i.f = f, với mọi f thuộc A(E). - Với mỗi toán tử f A(E) thì f là đẳng cấu tuyến tính của E nên tồn tại ánh xạ ngợc của nó là f -1 : E E cũng là một đẳng cấu tuyến tính của E, tức là f -1 A(E) sao cho f.f -1 = f -1 .f = i. Vậy A(E) lập thành một nhóm. Định lý 1.5. Nếu E là một không gian vectơ n chiều trên trờng K thì vành L(E) đẳng cấu với vành M n (K) các ma trận vuông cấp n trên trờng K. Chứng minh. Trong không gian vectơ E ta lấy một hệ cơ sở tùy ý x 1 , x 2 , ., x n (1) Mỗi toán tử f thuộc L(E) sẽ xác định một ma trận của f đối với hệ cơ sở (1) là A = [a ij ] ( n ì n ) Ta lập một ánh xạ D : L(E) M n (K) f D(f) = A. Khi đó do ma trận của tổng 2 ánh xạ tuyến tính đối với mỗi cơ sở nào đó bằng tổng các ma trận của mỗi ánh xạ tuyến tính và ma trận của tích hai ánh xạ tuyến tính là tích của các ma trận của các ánh xạ tuyến tính, nên giả sử có thêm toán tử g L(E) có ma trận đối với hệ cơ sở (1) là B = [b ij ] ( n ì n ) thì ta có D(f +g) = A + B = D(f) + D(g). D(fg) = A.B = D(f).D(g). Vậy D là một đồng cấu vành. 5 Hơn nữa D là một đơn ánh, vì nếu có f,g L(E) mà D(f) = D(g) thì A = B nên từ công thức [f(x)] = A[x] = B[x] = [g(x)], x E, [x] là tọa độ của x trong cơ sở (1) nên f = g. Mặt khác, với mọi A = [a ij ] ( n ì n ) thuộc M n (K) thì ta xác định đợc f thuộc L(E) theo công thức [f(x)] = A[x], với [x] là tọa độ của vectơ x trong hệ cơ sở (1). Vậy D là một đẳng cấu vành. Nhận xét. ánh xạ D xác định trong chứng minh của Định lý 1.5 ở trên cũng là một ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, với mọi f, g L(E); a,b K, A = [a ij ] ( n ì n ) , B = [b ij ] ( n ì n ) lần lợt là ma trận của f, g đối với cơ sở (1) thì D(af + bg) = aA + bB = a.D(f) + b.D(g). Từ đó ta có hệ quả sau Hệ quả 1.6. Nếu E là không gian vectơ n chiều trên trờng K thì không gian L(E) đẳng cấu với không gian M n (K) các ma trận vuông cấp n trên trờng K. 6 Đ2. Dạng tuyến tính, không gian đối ngẫu Mỗi trờng số K đều có thể xem là một không gian vectơ trên chính nó. Cho E là một không gian vectơ trên trờng K. Định nghĩa 2.1. Mỗi ánh xạ tuyến tính f : E K gọi là một dạng tuyến tính trên E. Tập hợp tất cả các dạng tuyến tính trên E, kí hiệu là L(E, K). Định lý 2.2. Cho s = {x 1 , x 2 , ., x n } là một cơ sở của không gian E trên tr- ờng K. ánh xạ f : E K là một dạng tuyến tính trên E khi và chỉ khi tồn tại một hệ cơ sở {c 1 , c 2 , ., c n } trên K sao cho f(e i ) = n i 1 = a i c i , trong đó x = n i 1 = a i x i . Khi đó f(x i ) = c i với mọi i = 1, ., n và f là dạng tuyến tính duy nhất thỏa mãn điều kiện trên. Chứng minh. Định lý trên là trờng hợp riêng của định lý về sự xác định ánh xạ tuyến tính. Tập hợp L(E, K) tất cả các dạng tuyến tính của không gian vectơ E trên tr- ờng K với 2 phép toán (f +g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) cũng lập thành một không gian vectơ trên trờng K, ta có định nghĩa: Định nghĩa 2.3. Không gian L(E, K) gọi là không gian đối ngẫu của không gian vectơ E và kí hiệu là E . Nhận xét: Từ Định lý dimL(E, F) = dimE.dimF thì dimE = dimL(E, K) = dimE.dimK = dimE.1 = dimE. 7 Từ đó, nếu E là không gian n chiều thì E cũng là không gian n chiều và do đó E đẳng cấu với không gian đối ngẫu E của nó. Cho S = {x 1 , x 2 , ., x n } là một cơ sở của E. Gọi i x là dạng tuyến tính trên E xác định bởi i x (x j ) = ij = = ji ji 1 0 , với mọi i,j = 1, 2, ., n. Kí hiệu S = { n xxx , .,, 21 } ta có kết quả sau Bổ đề 2.4. Nếu S = {x 1 , ., x n } là cơ sở của E thì S = { n xxx , .,, 21 } là một cơ sở của E . Chứng minh. - Trớc hết ta chứng minh S là hệ sinh của E . Cho f E và z E tùy ý. Do S là cơ sở của E nên ta có z biểu thị tuyến tính qua S, nên z = n j 1 = a j x j . Ta có i x (z) = n j 1 = a j i x (x j ) = n j 1 = a j ij = a i , với mọi i = 1, 2, ., n. Do đó f(z) = n j 1 = a j f(x j ) = n j 1 = x * j (z)f(x j ) = [ n j 1 = f(x j )( j x )](z) Vậy f = n j 1 = f(x j ) j x là một tổ hợp tuyến tính của S . - Ta chứng minh S độc lập tuyến tính. Thật vậy, xét tổ hợp tuyến tính n i 1 = a i i x = 0. 8 Khi đó ( n i 1 = a i i x )(x j ) = 0, với mọi j = 1, ., n. Khai triển vế bên trái ta thấy = = = == n i n i ijijiij n i ii axxaxxa 1 11 )()( = a j = 0 Do đó a i = 0, với mọi i = 1, ., n. Đ3. Dạng song tuyến tính Cho E, F đều là các không gian vectơ trên trờng K. Định nghĩa 3.1. Một ánh xạ f : E ì F K, (x, y) f(x,y) gọi là một dạng song tuyến tính trên E ì F nếu thỏa mãn các điều kiện sau 1) f(x 1 + x 2 , y) = f(x 1 , y) + f(x 2 , y) 2) f(kx, y) = kf(x,y) 3) f(x, y 1 + y 2 ) = f(x, y 1 ) + f(x, y 2 ) 4) f(x, ky) = kf(x, y). Các điều kiện trên cũng có nghĩa là nếu ta cố định một biến thì f tuyến tính đối với biến còn lại. Một dạng song tuyến tính trên E ì E là đối xứng nếu f(x, y) = f(y, x), với mọi x,y thuộc E. Một dạng song tuyến tính trên E ì E gọi là thay phiên nếu f(x, y) = - f(y, x), với mọi x, y thuộc E. Định nghĩa 3.2. Trong không gian E và F cho các hệ cơ sở tơng ứng S = {e 1 , e 2 , ., e n } T = {f 1 , f 2 , ., f m } f là một dạng song tuyến tính trên E ì F. 9 Đặt a ij = f(e i , f j ) thì ma trận A = [a ij ] ( n ì m ) gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f đối với cặp cơ sở S, T. Nhận xét: 1) Nếu f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E ì E, với E là không gian n chiều thì ma trận của f đối với một cơ sở S nào đó của E là ma trận đối xứng: a ij = a ji , i,j = 1, ., n. 2) Ma trận của một dạng song tuyến tính thay phiên trên không gian n chiều E là ma trận phản đối xứng: a ij = - a ji , i,j = 1, ., n. 10 . vectơ E nh cấu trúc không gian vectơ, cấu trúc vành, cấu 1 trúc nhóm các tự đẳng cấu của E, sự đẳng cấu giữa hai vành L(E) và vành M n (K) các ma trận vuông. Giả sử E là một không gian ơclit n - chiều và E 1 là một không gian con của E. Khi đó tập hợp E 2 các vectơ trực giao với E 1 là một không gian con bù của