Phổ nối và sự tồn tại các đồng cấu phức trên đại số banach không giao hoán

Mục lục Trang Mở đầu 1 Chơng 1 - Các ví dụ về đại số Banach không giao hoán có các đồng cấu phức. 1.1. Một số khái niệm cơ bản .4 1.2. Đồng cấu phức trên đại số con của các đại số các toán tử 10 Chơng II - Phổ nối trái , phổ nối phải, phổ nối và các đồng cấu phức. 2.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản .18 2.2. Định lý ánh xạ phổ .23 Kết luận 33 tài liệu tham thảo .34 1 Mở đầu Lý thuyết phổ của các toán tử tuyến tính liên tục hay tổng quát hơn phổ của các phần tử trong một đại số Banach có nhiều ứng dụng trong giải tích phức và giải tích hàm. Nó cho chúng ta hiểu rõ hơn cấu trúc của chính đại số đó và mô tả tờng minh hơn cấu trúc của không gian các ideal cực đại cũng nh sự tồn tại hay không các đồng cấu phức trên đại số Banach. Trong [2] , A.Soltysiak đã giới thiệu các khái niệm phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối của hữu hạn các phần tử trong đại số Banach. Một vấn đề đợc đặt ra một cách tự nhiên là, có thể mở rộng các khái niệm, các kết quả ở trên cho một họ tuỳ ý các phần tử hay không. Chúng tôi đã định nghĩa phổ nối trái, phổ nối phải và phổ nối cho một họ tuỳ ý các phần tử và chứng minh các kết quả trong [2] vẫn còn đúng trong trờng hợp này.Với mục đích trên luận văn đợc viết thành 2 chơng. Chơng 1, giới thiệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến luận văn, sau đó đa ra một số ví dụ về đại số Banach không giao hoán có các đồng cấu phức.Từ đó đa ra một điều kiện đủ cho sự tồn tại đồng cấu phức trên một đại số con của đại số các toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert hữu hạn chiều. Chơng 2, trình bày khái niệm phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối của một họ tuỳ ý các phần tử trong đại số Banach và chứng minh một số kết quả tơng tự nh trong [2]. Kết quả chính của chơng là chứng minh một số tính chất cơ bản của phổ nối và mối quan hệ giữa phổ nối và đồng cấu phức, đặc biệt là điều kiện cần và đủ để một đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức. 2 Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng đại học Vinh dới sự h- ớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy giáo hớng dẫn. Tác giả cũng xin đợc gửi lời cảm ơn chân thành cuả mình tới tất cả các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đại học Trờng đại học Vinh và các bạn bè đồng nghiệp đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Vinh, tháng 12 năm 2005 Tác giả 3 Chơng I Các ví dụ về đại số banach không giao hoán có các đồng cấu phức Trong chơng này, chúng tôi sẽ đa ra những khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến luận văn. Các khái niệm, các ví dụ và các ký hiệu chúng tôi chủ yếu dựa theo A.Soltysiak [2]. Các đại số Banach luôn đợc giả thiết là đại số Banach trên trờng số phức C . Phần tử đơn vị của đại số Banach A đợc ký hiệu là A 1 hoặc là 1 . Chuẩn của A đợc ký hiệu bởi . ( nếu không nói gì thêm ). 1.1. Một số khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử A là một không gian véctơ trên trờng số phức C , đợc trang bị một phép nhân trong AAxA thoả mãn các điều kiện ( ) fggf , 1) ( ) ( ) hfgghf = , 2) ( ) fhfghgf +=+ ; ( ) hfgffhg +=+ , 3) ( ) ( ) ( ) fggfgf == , với mọi Ahgf ,, và mọi C . Ta gọi A là một đại số phức ( hay đại số). Một đại số phức A nếu thoả mãn thêm các điều kiện 4) A là một không gian Banach với chuẩn . , 5) gfgf với mọi Agf , 4 thì A đợc gọi là đại số Banach. Đại số Banach A đợc gọi là giao hoán nếu phép nhân trong giao hoán tức là gffg = với mọi Agf , . Đại số Banach A đợc gọi là có đơn vị nếu trong A tồn tại phần tử, ta kí hiệu là 1 sao cho fff == 11 với mọi Af . Giả sử A có đơn vị và Af . Khi đó f đợc gọi là khả nghịch nếu tồn tại Ag sao cho 1 == gffg . Các đại số Banach ta xét sau này luôn giả thiết là có đơn vị. 1.1.2. Định lí. Giả sử A là đại số Banach. Ax với 1 < x . Khi đó 1) Phần tử x 1 khả nghịch 2) Tập tất cả các phần tử khả nghịch của đại số A , ký hiệu A -1 là một tập mở. Chứng minh. 1). Giả sử Ax , 1 < x . Ta xét chuỗi trong A : 1 2 +++++ n xxx . Vì n n xx và 1 < x nên chuỗi 1 2 +++++ n xxx hội tụ tuyệt đối. Mặt khác A là không gian Banach nên chuỗi 1 2 +++++ n xxx hội tụ trong A . Giả sử = = 0n n Asx . Với mỗi 1 n ta đặt n n xxxs ++++= .1 2 . Khi đó n n ss = lim . Vì ( ) ( ) xssxx nn n == + 111 1 ; n n ss = lim và 0lim 1 = + n n x 5 nên từ tính liên tục của phép nhân ta có ( ) ( ) 111 == sxxs . Vì vậy tồn tại nghịch đảo của ( ) x 1 và ( ) sx = 1 1 . 2). Giả sử x là phần tử bất kì thuộc A -1 . Khi đó tồn tại Ax 1 sao cho 1 11 == xxxx . Rõ ràng 0 1 > x . Ta chứng minh hình cầu mở { } 1 1 1 1 1 :, <= AxyxAyxxB . Thật vậy, với 1 1 , xxBy ta có 1 1 < xyx . Do đó ( ) 1.1 1 1111 =<= xxyxxyx . Theo 1) ta có ( ) 11 11 Ayx hay 11 Ayx . Vì 1 Ax mà 1 A là nhóm nên ( ) ( ) 111 == Ayxxyxxy . Vậy 1 A là tập mở. 1.1.3.Định nghĩa. Một hàm tuyến tính CA : đợc gọi là đồng cấu phức nếu ( ) ( ) ( ) baab . = , với mọi Aba , và ( ) 11 = , với 1 là phần tử đơn vị của A . 1.1.4. Định nghĩa. Giả sử A là đại số Banach giao hoán. Tập con J của A đợc gọi là ideal nếu thoả mãn các điều kiện 1) J là một không gian vectơ con của A , 2) Jyx . , với mọi Ax , với mọi Jy . Nếu { } 0, JAJ thì J đợc gọi là ideal thực sự của A . 6 Một ideal thực sự mà không bị chứa trong một ideal thực sự nào của A đợc gọi là ideal cực đại. 1.1.5. Mệnh đề. Giả sử A là đại số Banach. Khi đó 1) Nếu J là ideal của đại số A thì J cũng là ideal của đại số A . 2) Nếu J là ideal thực sự thì J cũng là ideal thực sự của đại số Banach A . 3) Nếu CA : là đồng cấu phức thì Ker là ideal cực đại của đại số Banach A . Chứng minh. 1). Rõ ràng J là một không gian véctơ con của A . Với mọi JyAx , ta cần chứng minh Jxy .Thật vậy, vì Jy nên tồn tại { } Jy n sao cho n n yy = lim .Do { } Jy n , J là ideal nên { } Jxy n .Vì phép nhân trái liên tục nên ta có n n xyxy = lim .Từ đó suy ra Jxy . Vậy J là ideal của đại số Banach A . 2) Giả sử J là ideal thực sự của đại số Banach A . Ta chứng minh J cũng là ideal thực sự của A . Giả sử ngợc lại, J không là ideal thực sự của A . Khi đó tồn tại 1 AJx với 1 A là tập các phần tử khả nghịch trong A . Do 1 A là tập mở nên tồn tại lân cận U của x sao cho 1 AU . Mặt khác do Jx nên = JU . Giả sử JUy . Vì Uy nên 1 Ay .Từ đó ta có Jyye = , 1 . Vậy AJ = . Điều này mâu thuẫn với J là ideal thực sự. 3) Giả sử CA : là đồng cấu phức. Khi đó ( ) 0 1 là ideal trong A .Vì là phiếm hàm tuyến tính liên tục khác 0 nên ( ) 0 1 là siêu phẳng trong A . Do đó ( ) 0 1 là ideal cực đại của A . 7 1.1.6. Đại số thơng. Giả sử A là một đại số Banach có đơn vị và J là một ideal đóng, thực sự của A . Khi đó { } AaJa J A += : là một không gian tuyến tính với các phép toán đợc xác định bởi ( ) ( ) JbaJbJa ++=+++ ( ) JaJa +=+ với mọi Aba , , với mọi C . Mặt khác, vì A là không gian Banach và J đóng nên J A là không gian Banach với chuẩn { } JxxaJa =+ :inf với mọi Ja . Ta gọi J A là không gian thơng của A theo J . Ta định nghĩa thêm phép nhân trong trên A bởi ( )( ) JabJbJa +=++ với mọi Aba , . Với phép nhân này và với chuẩn đã xác định ở trên J A trở thành đại số Banach có đơn vị là J A + 1 . Ta gọi J A là đại số thơng của A theo ideal đóng J . Phép chiếu chính tắc J A A : Jxx + là một đồng cấu. Ta gọi là đồng cấu chính tắc hay ánh xạ thơng. 8 1.1.7. Định nghĩa. Giả sử A là không gian Banach. Kí hiệu ( ) AL là không gian Banach các toán tử liên tục trong A . ( ) AL không chỉ là không gian Banach mà còn là đại số với phép nhân là phép hợp thành thoả mãn fgfg với mọi ( ) Afg L , . Đại số nh vậy gọi là đại số Banach các toán tử. Đại số này có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất A 1 . 1.1.8. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian Banach, ( ) XL là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X và M là không gian con đóng của X . M đợc gọi là không gian con bất biến đối với toán tử ( ) XT L nếu { } XMM ,0 và ( ) MMT . 1.1.9. Định nghĩa. Giả sử H là một không gian Hilbert phức hữu hạn chiều. Giả sử A là đại số con có đơn vị của ( ) HL . Một không gian con N của H đợc gọi là nửa bất biến đối với A nếu có các không gian con 1 N và 2 N , cả hai bất biến đối với tất cả các toán tử trên A sao cho 21 NN và 12 NNN = . 1.2. Đồng cấu phức trên đại số con của đại số các toán tử Nếu A là đại số Banach giao hoán thì tồn tại ít nhất một đồng cấu phức trên nó. Nhng trong đại số Banach không giao hoán thì điều này không còn đúng nữa. 9 Đại số các toán tử là không giao hoán, do đó có thể không có đồng cấu phức trên nó. 1.2.1. Ví dụ. Lấy 2 MA = , đại số gồm tất cả các ma trận vuông phức cấp 2. Ta đã biết A đẳng cấu với ( ) 2 CL - đại số Banach các toán tử tuyến tính liên tục từ A vào A . Đặt = 00 10 1 a ; = 01 00 2 a . Ta có == 00 10 00 10 11 2 1 aaa 0 00 00 = = , == 01 00 01 00 22 2 2 aaa 0 00 00 = = và + =+ 00 10 01 00 01 00 00 10 1221 aaaa + = 10 00 00 01 1 10 01 = = . Khi đó A không thể có một đồng cấu phức. Thật vậy, nếu A có một đồng cấu phức CA : , thì phải thoả mãn hai điều kiện i) ( ) ( ) ( ) baab . = với mọi Aba , . ii) ( ) 11 = . Từ đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 2 1 . aaaaa == , 10