Phổ nối điểm xấp xỉ và sự tồn tại đồng cấu phức trong đại số banach không giao hoán

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC TRONG ĐẠI SỐ BANACH KHÔNG GIAO HOÁN 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.2 Đồng cấu phức đại số đại số toán tử 1.3 Phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối tồn đồng cấu phức 14 Chương PHỔ NỐI ĐIỂM XẤP XỈ VÀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC 19 2.1 Định nghĩa tính chất phổ nối điểm xấp xỉ 19 2.2 Định lí ánh xạ phổ 31 2.3 Sự tồn đồng cấu phức 34 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 LỜI NÓI ĐẦU Lí thuyết phổ toán tử tuyến tính liên tục hay tổng quát phổ phần tử đại số Banach có nhiều ứng dụng giải tích phức giải tích hàm Nó cho hiểu rõ cấu trúc đại số mô tả tường minh cấu trúc không gian ideal cực đại tồn hay không đồng cấu phức đại số Banach Như biết đại số Banach giao hoán có đồng cấu phức Tuy nhiên đại số Banach không giao hoán điều không Do vấn đề đặt với điều kiện tồn đồng cấu phức đại số Banach không giao hoán Vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm R E Harte, V Mller, A Soltysiak, Trong [7], A Soltysiak giới thiệu nghiên cứu tính chất, phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối điểm xấp xỉ phần tử đại số Banach không giao hoán Thông qua tính chất loại phổ nói để tìm điều kiện cần đủ để đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức Trong [1], Đặng Thị Hiếu nghiên cứu tính chất phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối họ tuỳ ý phần tử đại số Banach tồn đồng cấu phức đại số Banach không giao hoán Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo nghiên cứu phổ nối điểm xấp xỉ tồn đồng cấu phức đại số Banach không giao hoán Với mục đích luận văn viết thành chương Chương Sự tồn đồng cấu phức đại số Banach không giao hoán Mục chương dành cho việc trình bày số khái niệm kết đại số Banach đồng cấu phức cần dùng luận văn Trong mục thứ 2, trình bày số ví dụ đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức Trong mục thứ 3, dựa vào tài liệu tham khảo [1] trình bày số tính chất phổ nối tồn đồng cấu phức cần dùng chương sau Chương Phổ nối điểm xấp xỉ tồn đồng cấu phức Chương nội dung luận văn Trong mục 1, dựa vào tài liệu tham khảo trình bày khái niệm phổ nối điểm xấp xỉ trái, phổ nối điểm xấp xỉ phải phổ nối điểm xấp xỉ Sau đó, đưa đặc trưng phổ nối điểm xấp xỉ (Mệnh đề 2.1.2) từ đưa vài tính chất đơn giản phổ nối ví dụ phổ nối (Hệ 2.1.3, Ví dụ 2.1.6, Mệnh đề 2.1.7) Đặc biệt, từ Mệnh đề 2.1.2, chứng minh phổ nối điểm xấp xỉ trái, phải phổ nối điểm xấp xỉ tập compact, Mệnh đề 2.1.4 Mệnh đề tài liệu tham khảo chứng minh Trong mục 2, dựa vào Định lí số dư Mệnh đề 2.1.2 chứng minh định lí ánh xạ phổ cho phổ nối điểm xấp xỉ (Định lí 2.2.3) Trong mục 3, dựa vào tính chất phổ nối điểm xấp xỉ, trình bày tồn đồng cấu phức đại số Banach không giao hoán, chứng minh kết có [7] Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô giáo tổ giải tích, Khoa Toán, Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh tất bạn bè động viên, giúp đỡ tác giả thời gian qua Tuy nhiên, điều kiện thời gian lực hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong quí thầy cô bạn bè đóng góp ý kiến Vinh, tháng 12 năm 2006 Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC TRONG ĐẠI SỐ BANACH KHÔNG GIAO HOÁN Chúng ta biết rằng, đại số Banach giao hoán tồn đồng cấu phức Tuy nhiên đại số Banach không giao hoán điều không Trong chương này, dựa vào tài liệu tham khảo, đưa ví dụ đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức Sau đó, trình bày điều kiện để đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức, cách dựa vào khái niệm phổ nối, phổ nối trái, phổ nối phải 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN Mục dành cho việc trình bày số khái niệm kết đại số Banach đồng cấu phức cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa Giả sử A không gian véctơ trường số phức C, trang bị phép nhân A × A −→ A (f, g) −→ f g thoả mãn điều kiện 1) f (gh) = (f g)h, 2) f (g + h) = f g + f h, (g + h)f = gf + hf , 3) (αf )g = f (αg) = α(f g), với g, f, h ∈ A α ∈ C Ta gọi A đại số phức (hay đại số ) Một đại số phức A thoả mãn thêm điều kiện: 4) A không gian Banach với chuẩn , 5) f.g ≤ f g với f, g ∈ A, gọi đại số Banach Đại số Banach A gọi giao hoán phép nhân giao hoán, tức f g = gf với f, g ∈ A Đại số Banach A gọi có đơn vị A tồn phần tử, ta kí hiệu e cho ef = f e = f với f ∈ A Giả sử A có đơn vị f ∈ A f gọi khả nghịch tồn g ∈ A cho f g = gf = e Khi ta kí hiệu g = f −1 Các đại số Banach ta xét sau giả thiết có đơn vị 1.1.2 Định lí Giả sử A đại số Banach, x ∈ A với x < Khi 1) Phần tử (e − x) khả nghịch 2) Tập tất phần tử khả nghịch đại số A, kí hiệu A−1 tập mở 1.1.3 Định nghĩa Một hàm tuyến tính φ : A −→ C gọi đồng cấu phức nhân tính, nghĩa φ(ab) = φ(a).φ(b) với a, b ∈ A, φ(e) = 1, với e phần tử đơn vị A 1.1.4 Định nghĩa Giả sử A đại số Banach giao hoán Tập J A gọi ideal thoả mãn điều kiện: 1) J không gian véc tơ A, 2) x.y ∈ J, với x ∈ A, với y ∈ J Nếu J ideal A, J = A J = {0}, J gọi ideal thực A Một ideal thực mà không bị chứa ideal thực A gọi ideal cực đại 1.1.5 Mệnh đề Giả sử A đại số Banach Khi 1) Nếu J ideal đại số A J ideal đại số A 2) Nếu J ideal thực J ideal thực đại số Banach A 3) Nếu φ : A −→ C đồng cấu phức, Kerφ ideal cực đại đại số Banach A 1.1.6 Định nghĩa Giả sử A không gian Banach Kí hiệu L(A) không gian Banach toán tử tuyến tính liên tục từ A vào A L(A) không không gian Banach mà đại số với phép nhân phép hợp thành ánh xạ thoả mãn g.f ≤ g f với g, f ∈ L(A) Đại số gọi đại số Banach toán tử Đại số có phần tử đơn vị toán tử đồng kí hiệu eA 1.1.7 Định nghĩa Giả sử X không gian Banach, L(X) không gian toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X M không gian đóng X M gọi không gian bất biến toán tử T ∈ L(X) M = {0}, M = X T (M ) ⊆ M 1.1.8 Định nghĩa Giả sử H không gian Hilbert phức hữu hạn chiều A đại số có đơn vị L(H) Một không gian N H gọi nửa bất biến A có không gian N1 N2 , hai bất biến tất toán tử A cho N1 ⊂ N2 N2 = N N1 1.2 ĐỒNG CẤU PHỨC TRÊN ĐẠI SỐ CON CỦA ĐẠI SỐ CÁC TOÁN TỬ Trong mục trình bày ví dụ đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức 1.2.1 Ví dụ ([1]) Lấy A = M2 , đại số gồm tất ma trận vuông phức cấp Ta biết A đẳng cấu với L(C2 )-đại số Banach toán tử tuyến tính liên tục từ C2 vào C2 Đặt a1 = 0 , 0 a2 = Ta có 1 0 a21 = a1 a1 = 0 0 = 0 = 0, 0 0 0 a22 = a2 a2 = = 0 = 0 0 a1 a2 + a2 a1 = 0 + 0 0 = 0 + 1 = = e Khi đó, có đồng cấu phức A Thật vậy, có đồng cấu phức φ : A −→ C, φ phải thoả mãn hai điều kiện i) φ(ab) = φ(a).φ(b) với a, b ∈ A ii) φ(e) = Từ ta có φ(a21 ) = φ(a1 a1 ) = φ(a1 ).φ(a1 ), hay = φ(0) = φ(a1 )φ(a1 ) Do φ(a1 ) = Tương tự φ(a2 ) = Vì = φ(e) = φ(a1 a2 + a2 a1 ) = φ(a1 a2 ) + φ(a2 a1 ) = φ(a1 ).φ(a2 ) + φ(a2 ).φ(a1 ) = Đây điều mâu thuẫn Như vậy, có đồng cấu phức A 1.2.2 Ví dụ ([1]) Ví dụ 1.2.1 tổng quát cho đại số Mn gồm tất ma trận vuông phức cấp n (n ≥ 1) Lấy A = Mn , đại số gồm tất ma trận vuông phức cấp n (n > 1)  0 a1 =   0  an−1 =  0 0 0 0 0 0   0 0  ; a2 =  0   0 0 0    ; an =  0 0 0 0 0 0 0  0   0   0 Ta có a21 = a22 = = a2n = 0, a1 an + an a1 + a2 an−1 + an−1 a2 + = e Từ lí luận tương tự Ví dụ 1.2.1, ta chứng minh có đồng cấu phức A Tuy nhiên đại số đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức 1.2.3 Ví dụ ([1]) Giả sử A đại số ma trận vuông phức tam giác cấp n, ma trận dạng  a11 a12  a22  0  a1n a2n   ann Khi A có đồng cấu phức φj (a) = ajj , với j = 1, 2, , n Thật vậy, với a, b ∈ A    b11 b12 a11 a12 a1n  b22  a22 a2n  a =   , b =  0 0 ann  b1n b2n   bnn Khi  a11 a12  a22 ab =  0  a11 b11 ∗   a22 b22   =    0   a1n b11 b12 a2n   b22   ann 0  ∗  ∗        anm bnm  b1n b2n   bnn Do φj (ab) = ajj bjj , φj (a) = ajj ; φj (b) = bjj Như φj (ab) = φj (a).φj (b), với j = 1, 2, , n Mặt khác  0 =  0 10 0  0  λ = tồn (a1 − λ)−1 , tức λ ∈ / σ(a1 ) Từ suy σ(a1 ) = {0} Chứng minh tương tự cho σ(a2 ) = {0} Từ σH (a1 , a2 ) ⊂ σH (a1 ) × σH (a2 ) ta có σH (a1 , a2 ) ⊂ {(0, 0)} Lấy  1  a3 = 0 0 0 0 0   0 0 0 −1 0   0 0 , a4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 0  −1 0  0  1 0 Ta có a1 a3 + a2 a1 = e a2 a1 + a4 a2 = e Do (0, 0) ∈ / σH (a1 , a2 ) Kết hợp với σH (a1 , a2 ) ⊂ {(0, 0)} ta kết luận σH (a1 , a2 ) = ∅ Kí hiệu B đại số A sinh phần tử a1 , a2 (B đại số đóng nhỏ A chứa {a1 , a2 } phần tử đơn vị e A) Để phổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ (a1 , a2 ) đại số B ta B (a , a ), τ B (a , a ) kí hiệu σH 2 Ta xác định hàm Φ : B −→ C cách đặt tương ứng b ∈ B với số hạng b nằm dòng thứ cột thứ Rõ ràng Φ tuyến tính, Φ(e) = Φ(a1 ) = Φ(a2 ) = Ngoài ra, ta chứng minh Φ(b1 , b2 ) = Φ(b1 )Φ(b2 ), ∀b1 , b2 ∈ B Như Φ đồng cấu phức B Theo Định lí 1.3.6 ta có B (0, 0) = (Φ(a1 ), Φ(a2 )) ∈ σH (a1 , a2 ) Từ B ⊂ A suy τ B (a1 , a2 ) ⊂ τ (a1 , a2 ) Thật vậy, giả sử (λ1 , λ2 ) ∈ τ B (a1 , a2 ) Khi tồn {xk } B với xk = với k = 1, 2, lim k−→∞ (aj − λj )xk = với j = 1, Vì {xk } ⊂ B ⊂ A nên (λ1 , λ2 ) ∈ τ (a1 , a2 ) Mặt khác σH (a1 , a2 ) = ∅ theo Chú ý 2.1.5 τ (a1 , a2 ) ⊂ σH (a1 , a2 ) nên từ τ B (a1 , a2 ) ⊂ τ (a1 , a2 ) suy τ B (a1 , a2 ) = ∅ B (a , a ) = ∅ τ B (a , a ) = ∅ Vậy σH 2 2.1.7 Mệnh đề Giả sử A = L(C) đại số ánh xạ tuyến tính liên tục từ C vào C Khi 27 1) Với f ∈ A ta có σ(f ) = σH (f ) = σl (f ) = σr (f ) = τl (f ) = τr (f ) = τ (f ) = {f (1)} 2) Với f1 , , fn ∈ A ta có τl (f1 , , fn ) = τr (f1 , , fn ) = τ (f1 , , fn ) = σl (f1 , , fn ) = σr (f1 , , fn ) = σH (f1 , , fn ) = {(α1 , , αn )} αj = fj (1); j = 1, , n Chứng minh Vì f ánh xạ tuyến tính nên ta có f (z) = f (z.1) = zf (1) = α.z với z ∈ C, α = f (1) Đầu tiên ta chứng minh σ(f ) = {α} Với λ ∈ C ta có (λ − f )(z) = λz − αz = (λ − α)z, ∀z ∈ C (1) Từ suy λ = α λ − f không đơn ánh nên λ − f ánh xạ ngược Do α ∈ σ(f ) Ngược lại, giả sử λ = α Khi ánh xạ g(w) = w, w ∈ C λ−α tuyến tính liên tục, nghĩa g ∈ L(C) Mặt khác, g(λ − f )(z) = z, (λ − f )g(z) = z, ∀z ∈ C, nên g = (λ − f )−1 Do λ ∈ / σ(f ) Vậy σ(f ) = {α} Tiếp theo ta chứng minh τl (f ) = {α} Thật vậy, với g ∈ L(C) ta có (f − α)g ≤ f − α g = từ (f − α)(z) = αz − αz = 0, ∀z ∈ C 28 suy f − α = Do với {gk } ⊂ L(C) mà gk = với k ta có lim k−→∞ (f − α)gk = Như α ∈ τl (f ) Ngược lại, giả sử λ ∈ τl (f ) Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.2, ta có inf{ (f − λ)g : g ∈ L(C), g = 1} = (1) Mặt khác (f − λ)(z) = (α − λ)z, với z ∈ C Với g ∈ L(C) mà g = tồn z ∈ C cho |z| ≤ ≥ |g(z)| > Khi |(f − λ)g(z)| = |(α − λ)g(z)| = |α − λ||g(z)| > |α − λ| |α − λ| Điều mâu thuẫn với (1) |α − λ| > Do ta có λ = α Vậy τl (f ) = {α} Do (f − λ)g ≥ Tương tự, ta chứng minh τr (f ) = {α} Do τ (f ) = τl (f ) ∪ τr (f ) = {α} Cuối cùng, theo Mệnh đề 1.3.3 chương 1, ta có σH (f ) = σ(f ) = {α}, {α} = τl (f ) ⊂ σl (f ) ⊂ σH (f ) = {α}, {α} ⊂ τr (f ) ⊂ σr (f ) ⊂ σH (f ) = {α} Từ ta suy điều phải chứng minh 2) Theo Mệnh đề 1.3.3 (chương 1) khẳng định 1) ta có n σH (f1 , , fn ) ⊂ σH (fi ) = {(α1 , , αn )} (2) i=1 29 Theo Hệ 2.1.3 khẳng định 1) ta có n τl (fj ) = {(α1 , , αn )} τl (f1 , , fn ) ⊂ j=1 Với j = 1, , n ta có (fj − αj )(z) = αj z − αj z = với z ∈ C Do fj −αj = Từ suy với {gk } ⊂ A, gk = với k = 1, 2, ta có lim k−→∞ (fj − αj )gk = 0, j = 1, 2, , n Vì (α1 , , αn ) ∈ τl (f1 , , fn ) ta có τl (f1 , , fn ) = {(α1 , , αn )} (3) Chứng minh tương tự ta có τr (f1 , , fn ) = {(α1 , , αn )} (4) Mặt khác theo Chú ý 2.1.5 ta có τl (f1 , , fn ) ⊂ σl (f1 , , fn ) ⊂ σH (f1 , , fn ), τr (f1 , , fn ) ⊂ σr (f1 , , fn ) ⊂ σH (f1 , , fn ) Từ bao hàm thức bao hàm thức (2), (3) (4) ta suy hệ thức cần phải chứng minh 30 2.2 ĐỊNH LÍ ÁNH XẠ PHỔ Trong mục ta chứng minh định lí ánh xạ phổ cho phổ nối điểm xấp xỉ 2.2.1 Đa thức ([1]) Giả sử P (z1 , , zn ) đa thức n biến phức z1 , , zn với hệ số lấy C Trong đa thức P (z1 , , zn ) thay z1 , , zn a1 , , an thuộc đại số Banach A tương ứng ta P (a1 , , an ) ∈ A Ta gọi P (a1 , , an ) đa thức biến a1 , , an ∈ A với hệ số phức Sau không sợ hiểu nhầm ta nói gọn P (a1 , , an ) đa thức n biến hay gọn đa thức Giả sử E ⊆ A Ta kí hiệu Pn (E) tập tất đa thức n biến a1 , , an thuộc E Mỗi phần tử P ∈ Pn (E) viết cách dạng αi1 , ,in ai11 ainn , tổng lấy theo (i1 , , in ) ∈ Nn , hệ số αi1 , ,in ∈ C chúng không hầu hết trừ số hữu hạn; (a1 , , an ) ∈ E n Ta quy ước a0 = e, a ∈ A Để chứng minh định lí ánh xạ phổ ta cần định lí sau đây, mà chứng minh [4] 2.2.2 Định lí (Về số dư) ([4]) Giả sử P = P (z1 , , zn ) đa thức n biến phức Khi với (a1 , , an ) ∈ An , (λ1 , , λn ) ∈ Cn , ta có  n P (a1 , , an )−P (λ1 , , λn ) ∈    A(aj − λj )  j=1  n (aj − λj )A j=1 2.2.3 Định lí (Ánh xạ phổ) Giả sử P = (P1 , , Pm ) m đa thức n biến A Khi đó, với (a1 , , an ) ∈ An ta có P (τl (a1 , , an )) ⊂ τl (P (a1 , , an )), 31 P (τr (a1 , , an )) ⊂ τr (P (a1 , , an )), P (τ (a1 , , an )) ⊂ τ (P (a1 , , an )) Chứng minh Giả sử (λ1 , , λn ) ∈ Cn cho P (λ1 , , λn ) = (P1 (λ1 , , λn ), , Pm (λ1 , , λn )) ∈ / τl (P (a1 , , an )) Khi từ Mệnh đề 2.1.2 suy tồn δ > cho với b ∈ A ta có n [Pj (a1 , , an ) − Pj (λ1 , , λn )]b ≥ δ b j=1 Với j = 1, , m, theo Định lí số dư, tồn phần tử cji ∈ A, i = 1, , n cho n Pj (a1 , , an ) − Pj (λ1 , , λn ) = (aj − λj )cji j=1 Đặt max{ cji : j = 1, , m; i = 1, , n} = M Ta có M > m m n n (ai − λi )b cji ≥ j=1 i=1 (ai − λi )cji b j=1 i=1 m n ≥ (ai − λi )cji b j=1 m i=1 [Pj (a1 , , an ) − Pj (λ1 , , λn )]b = j=1 ≥δ b với b ∈ A Do n m n (ai − λi )b ≥ m.M i=1 (ai − λi )b j=1 i=1 32 cij ≥ δ b hay n (ai − λi )b ≥ i=1 δ b m.M với b ∈ A Theo Mệnh đề 2.1.2, (λ1 , , λn ) ∈ / τl (a1 , , an ) Từ P (λ1 , , λn ) ∈ / P (τl (a1 , , an )) Vậy P (τl (a1 , , an )) ⊂ τl (P (a1 , , an )) Tương tự ta chứng minh P (τr (a1 , , an )) ⊂ τr (P (a1 , , an )) Cuối cùng, từ hai bao hàm thức chứng minh ta có P (τ (a1 , , an )) ⊂ τ (P (a1 , , an )) 33 2.3 SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC Ta biết rằng, đại số Banach không giao hoán A có đồng cấu phức với tập hữu hạn {a1 , , an } ⊂ A σr (a1 , , an ) σl (a1 , , an ) σ(a1 , , an ) khác rỗng (Định lí 1.3.7) Trong mục này, ta chứng minh kết tương tự với phổ nối điểm xấp xỉ 2.3.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử S tập A S gọi bao gồm ước tôpô liên kết trái (tương ứng, phải) với tập hữu hạn {a1 , , an } S tồn dãy {xk } ⊂ A cho xk = với k lim k−→∞ aj xk = (tương ứng, lim k−→∞ xk aj = 0), với j = 1, , n 2.3.2 Nhận xét Nếu S bao gồm ước tôpô liên kết trái (tương ứng, phải), với tập hữu hạn {a1 , , an } ⊂ S ta có (0, , 0) ∈ τl (a1 , , an ) (tương ứng, (0, , 0) ∈ τr (a1 , , an )) 2.3.3 Mệnh đề ([7]) Nếu Φ đồng cấu phức A cho ker Φ bao gồm ước tôpô liên kết trái 0, với tập hữu hạn {a1 , , an } A có (Φ(a1 ), , Φ(an )) ∈ τl (a1 , , an ) Chứng minh Từ Φ đồng cấu suy aj − Φ(aj ) ∈ ker Φ, với j = 1, , n Vì ker Φ bao gồm ước tôpô liên kết trái nên tồn {xk } ⊂ A cho xk = lim k−→∞ [aj − Φ(aj )]xk = 0, j = 1, , n Do (Φ(a1 ), , Φ(an )) ∈ τl (a1 , , an ) 34 Chú ý Mệnh đề 2.3.3 cho phổ nối điểm xấp xỉ phải Từ Mệnh đề 2.3.3 nảy sinh câu hỏi: Điều ngược lại Mệnh đề có hay không? Định lí sau trả lời câu hỏi cho ta điều kiện đủ để đại số A có đồng cấu phức 2.3.4 Định lí ([7]) Nếu τl (a1 , , an ) (tương ứng, τr (a1 , , an )) khác rỗng với n-phần tử a1 , , an đại số Banach A với n = 1, 2, , A có đồng cấu phức Φ với ker Φ bao gồm ước tôpô liên kết trái (tương ứng, liên kết phải) Để chứng minh Định lí ta cần Bổ đề sau 2.3.5 Bổ đề ([7]) Giả sử A đại số Banach Nếu hàm Φ : A −→ C thoả mãn (Φ(a), Φ(b), Φ(c)) ∈ τl (a, b, c) τr (a, b, c) với a, b, c ∈ A, Φ tuyến tính nhân tính Chứng minh Ta chứng minh Bổ đề cho trường hợp phổ nối điểm xấp xỉ trái Đối với phổ nối điểm xấp xỉ phải chứng minh tương tự Với a ∈ A ta viết λa thay cho Φ(a) Giả sử a, b ∈ A α, β ∈ C Ta cần chứng minh Φ(αa + βb) = αλa + βλb , Φ(ab) = λa λb Từ giả thiết Bổ đề ta suy (λαa+βb , λa , λb ) ∈ τl (αa + βb, a, b) Do tồn {xk } ⊂ A cho xk = với k (αa + βb − λαa+βb )xk −→ 0, (a − λa )xk −→ (b − λb )xk −→ k −→ ∞ Với k ta có 35 ≤ |λαa+βb − αλa − βλb | = |λαa+βb − αλa − βλb | xk = (λαa+βb − αλa − βλb )xk = [λαa+βb − (αa + βb)]xk + α(a − λa )xk + β(b − λb )xk ≤ (λαa+βb − αa − βb)xk + |α| (a − λa )xk + |β| (b − λb )xk Vì vế phải bất đẳng thức dần tới k −→ ∞ nên |λαa+βb − αλa − βλb | = hay Φ(αa + βb) = αΦ(a) + βΦ(b) Do hàm Φ tuyến tính Từ (λab , λa , λb ) ∈ τl (ab, a.b) suy tồn {xk } ⊂ A cho xk = với k (ab−λab )xk −→ 0, (a − λa )xk −→ 0, (b − λb )xk −→ k −→ ∞ Với k ta có |λab − λa λb | = |λab − λa λb | xk = (λab − λa λb )xk = (λab − ab)xk + a(b − λb )xk + λb (a − λa )xk ≤ (λab − ab)xk + a (b − λb )xk + |λb | (a − λa )xk Vì vế phải bất đẳng thức dần tới k −→ ∞ nên λab = λa λb hay Φ(ab) = Φ(a)Φ(b) Do Φ nhân tính Bổ đề chứng minh Chứng minh Định lí 2.3.4 Giả sử τl (a1 , , an ) = ∅ với họ hữu hạn {a1 , , an } A Đặt K= σ(a), σ(a) phổ a a∈A 36 Vì σ(a) tập compact nên theo Định lí Tikhonov, K tập compact tôpô tích Kí hiệu γ(a1 , , an ) = {(λa )a∈A ∈ K : (λa1 , , λan ) ∈ τl (a1 , , an )} Từ tính compact τl (a1 , , an ) τl (a1 , , an ) ⊂ σ(a1 )× .×σ(an ) suy γ(a1 , , an ) tập compact khác rỗng Giả sử a1 , , an ; b1 , , bm phần tử A Khi γ(a1 , , an , b1 , , bm ) ⊂ γ(a1 , , an ) ∩ γ(b1 , , bm ) Thật vậy, giả sử (λa )a∈A ∈ γ(a1 , , an , b1 , , bm ) Theo cách xây dựng γ(a1 , , an , b1 , , bm ) (λa1 , , λan , λb1 , , λbm ) ∈ τl (a1 , , an , b1 , , bm ) Do đó, từ định nghĩa phổ nối điểm xấp xỉ trái suy (λa1 , , λan ) ∈ τl (a1 , , an ), (λb1 , , λbm ∈ τl (b1 , , bm ) Điều kéo theo (λa )a∈A ∈ γ(a1 , , an ) (λa )a∈A ∈ γ(b1 , , bm ), nghĩa (λa )a∈A ∈ γ(a1 , , an ) ∩ γ(b1 , , bm ) Như γ(a1 , , an , b1 , , bm ) ⊂ γ(a1 , , an ) ∩ γ(b1 , , bm ) Từ hệ thức suy họ {γ(a1 , , an )} với (a1 , , an ) chạy qua tất tập hữu hạn A họ tập K có tính giao hữu hạn Mặt khác, γ(a1 , , an ) compact nên tập đóng Từ tính compact K suy họ {γ(a1 , , an )} có giao khác rỗng, giả sử (λa )a∈A phần tử thuộc giao họ Ta xác định hàm Φ : A −→ C cho Φ(a) = λa , a ∈ A Với a, b, c ∈ A, từ (λx )x∈A ∈ γ(a, b, c) ta có (Φ(a), Φ(b), Φ(c)) = (λa , λb , λc ) ∈ τl (a, b, c) 37 Do theo Bổ đề 2.3.5 hàm Φ tuyến tính nhân tính Mặt khác, theo Ví dụ 2.1.6 ta có τl (e) = {1} nên Φ(e) ∈ τl (e) = {1} Vì Φ(e) = Φ đồng cấu phức Cuối cùng, (Φ(a1 ), , Φ(an )) ∈ τl (a1 , , an ) nên (a1 , , an ) ⊂ kerΦ, (0, , 0) ∈ τl (a1 , , an ) Do tồn {xk } ⊂ A cho xk = với k lim k−→∞ aj xk = 0, j = 1, , n Theo định nghĩa, kerΦ bao gồm ước tôpô liên kết trái Đối với trường hợp τr (a1 , , an ) = ∅ chứng minh tương tự 2.3.6 Hệ ([7]) Phổ nối điểm xấp xỉ τ (a1 , , an ) = ∅ với tập hữu hạn {a1 , , an } A tồn đồng cấu phức Φ A cho kerΦ bao gồm ước tôpô liên kết trái liên kết phải Chứng minh Điều kiện đủ suy từ Mệnh đề 2.3.3 ý sau Bây ta chứng minh điều kiện cần Giả sử τ (a1 , , an ) = ∅ với n - phần tử (a1 , , an ) An ; n = 1, 2, Khi τl (a1 , , an ) = ∅ τr (a1 , , an ) = ∅ Nếu τl (a1 , , an ) luôn khác rỗng, kết luận suy từ Định lí 2.3.4 Giả sử tồn (a1 , , an ) ∈ An mà τl (a1 , , an ) = ∅ Lúc τr (a1 , , an ) = ∅ Từ ta có τr (a1 , , an , b1 , , bm ) = ∅, 38 (1) với m - phần tử (b1 , , bm ) ∈ Am , m = 1, 2, Thật vậy, giả sử tồn (b1 , , bm ) ∈ Am cho τr (a1 , , an , b1 , , bm ) = ∅ Khi đó, từ giả thiết τ (a1 , , an , b1 , , bm ) = ∅ suy τl (a1 , , an , b1 , , bm ) = ∅ Do tồn (λ1 , , λn , β1 , , βm ) ∈ Cn+m {xk } ⊂ A cho xk = với k lim k−→∞ (aj − λj )xk = lim k−→∞ (bi − βi )xk = 0, với j = 1, 2, , n; i = 1, 2, , m Từ ta có (λ1 , , λn ) ∈ τl (a1 , , an ) Điều mâu thuẫn với τl (a1 , , an ) = ∅ Như (1) với m - phần tử (b1 , , bm ) ∈ Am , m = 1, 2, Lại tiếp tục lí luận tương tự trên, từ (1) ta suy τr (b1 , , bm ) = ∅, với (b1 , , bm ) ∈ Am , m = 1, 2, Theo Định lí 2.3.4, ta có điều cần chứng minh 39 KẾT LUẬN Luận văn giải đạt kết sau - Tìm hiểu hệ thống lại khái niệm tính chất phổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ tồn đồng cấu phức đại số Banach không giao hoán - Chứng minh chi tiết nhiều định lí có tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt - Đưa ví dụ phổ nối điểm xấp xỉ: Ví dụ 2.1.6 - Đưa đặc trưng phổ nối điểm xấp xỉ số tính chất phổ nối, Mệnh đề 2.1.2, Hệ 2.1.3 Mệnh đề 2.1.7 - Chứng minh kết có tài liệu tham khảo chứng minh: Mệnh đề 2.1.4 Định lí 2.2.3 cách dựa vào Mệnh đề 2.1.2 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Thị Hiếu (2005), Phổ nối tồn đồng cấu phức đại số Banach không giao hoán, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh [2] C -K Fong, (1983) Multiplicative functionals and joint spectra, Mimeographed notes of a lecture presented to the Seminer on Operator Theory, University of Toronto [3] T W Gamelin, (1969) Uniform algebras, Prentice - Hall, Englewood Cliffs N J [4] R E Harte, (1972) Spectral mapping theorems, Proc Roy Irish Acad Sect A 72, 89 - 107 [5] V Muller and A Soltysiak, (1982) Spectrum of generators of a noncommutative Banach algebra, Studia Math, 74, 97 - 104 [6] Walter Rudin, (1991) Functional analysis, International Edition [7] A Soltysiak, (1988) Joint Speatra and Multiplicative Linear Fuctionals in Non - commutative Banach algebras, Poznan, Poland 41 [...]... phải, phổ nối điểm xấp xỉ của một số hữu hạn các phần tử trong một đại số Banach và nghiên cứu các tính chất của chúng Từ đó, A Soltysiak đã đưa ra điều kiện cần và đủ để cho một đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức Trong mục này, dựa vào [1] chúng tôi trình bày định nghĩa phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối của một họ tuỳ ý các phần tử trong một đại số Banach và trình bày lại một số kết... đủ cho sự tồn tại đồng cấu phức trên một đại số con của đại số các toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert hữu hạn chiều Do đó một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là, tìm điều kiện cần và đủ để cho một đại số Banach không giao hoán có một đồng cấu phức xác định trên nó Trong [7], A Soltysiak đã giới thiệu các khái niệm phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ trái,... tuyến tính và φ(e) = 1 Giả sử S ∈ A Khi đó S là ma trận có dạng (1), trong đó các aij được thay thế bằng bij Vì thế ta có φ(T S) = ak+1,k+1 bk+1,k+1 = φ(T )φ(S) Như vậy, φ là một đồng cấu phức trên A 13 1.3 PHỔ NỐI TRÁI, PHỔ NỐI PHẢI, PHỔ NỐI VÀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC Trong các mục trước, ta đã thấy rằng nếu A là một đại số Banach không giao hoán thì có thể không tồn tại đồng cấu phức trên A... của đại số Banach A Khi đó σl (S) = σr (S) = σH (S) = {(φ(ai ))i∈Λ : φ ∈ M (A)} , 17 trong đó M (A) kí hiệu là không gian các đồng cấu phức trên đại số Banach A 1.3.7 Định lí ([1]) Đại số Banach A có đồng cấu phức khi và chỉ khi với mọi tập chỉ số Λ, với mọi họ E = {ai : i ∈ Λ} ⊂ A đều có σH (E), (σl (E) hoặc σr (E)) khác rỗng 18 CHƯƠNG 2 PHỔ NỐI ĐIỂM XẤP XỈ VÀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC Trong mục... CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC Trong mục 3 chương 1, từ sự nghiên cứu tính chất của phổ nối ta đã đưa ra điều kiện cần và đủ để tồn tại các đồng cấu phức trên đại số Banach không giao hoán Trong chương này, vấn đề tương tự như thế được xét cho phổ nối điểm xấp xỉ 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHỔ NỐI ĐIỂM XẤP XỈ 2.1.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử A là một đại số Banach, a1 , , an là các phần tử của A... kết quả này trong [1]) Trong chương 2, những vấn đề này sẽ được xét cho phổ nối điểm xấp xỉ trái, xấp xỉ phải và phổ nối điểm xấp xỉ Từ nay về sau nếu không giải thích gì thêm thì luôn hiểu A là đại số Banach không giao hoán, có đơn vị, được kí hiệu là e 1.3.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử A là đại số Banach, Λ là tập chỉ số bất kì và E = {ai , i ∈ Λ} ⊂ A Họ {λi : i ∈ Λ} ⊂ CΛ được gọi là thuộc phổ trái của... ) j=1 và ta có n τl (a1 , , an ) ⊂ τl (aj ) j=1 Các bao hàm thức còn lại được chứng minh tương tự Ta đã biết phổ nối của một họ các phần tử trong đại số Banach là một tập compact trong Cn Câu hỏi được đặt ra là điều tương tự như phổ nối còn đúng cho phổ nối điểm xấp xỉ nữa hay không? Mệnh đề sau đây trả lời câu hỏi này 2.1.4 Mệnh đề ([7]) Phổ nối điểm xấp xỉ trái, phải và phổ nối điểm xấp xỉ của... tuyến tính Vì vậy, φj là đồng cấu phức trên A với j = 1, 2, , n Tương tự, đại số gồm tất cả các ma trận vuông phức tam giác dưới cấp n có các đồng cấu phức dạng như trên Sau đây là điều kiện đủ để một đại số Banach không giao hoán có một đồng cấu phức 1.2.4 Định lí ([1]) Giả sử H là một không gian Hilbert phức hữu hạn chiều và A là một đại số con chứa đơn vị của L(H) Nếu A có một không gian con nửa bất... )) ⊂ τ (P (a1 , , an )) 33 2.3 SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC Ta đã biết rằng, đại số Banach không giao hoán A có đồng cấu phức khi và chỉ khi với mọi tập con hữu hạn {a1 , , an } ⊂ A thì σr (a1 , , an ) hoặc σl (a1 , , an ) hoặc σ(a1 , , an ) khác rỗng (Định lí 1.3.7) Trong mục này, ta sẽ chứng minh kết quả tương tự như trên vẫn đúng với phổ nối điểm xấp xỉ 2.3.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử... τlA (a1 , , an ) = {(λ1 , , λn ) ∈ Cn : tồn tại {xk } ⊂ A, xk = 1 ∀k, lim k−→∞ (aj − λj )xk = 0, ∀j = 1, , n} là phổ nối điểm xấp xỉ trái của (a1 , , an ) Đôi khi ta viết τl (a1 , , an ) thay τlA (a1 , , an ) Phổ nối điểm xấp xỉ phải của (a1 , , an ) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là τrA (a1 , , an ) hay τr (a1 , , an ) Phổ nối điểm xấp xỉ của (a1 , , an ) là tập τ (a1 , , an ) = ... CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC TRONG ĐẠI SỐ BANACH KHÔNG GIAO HOÁN Chúng ta biết rằng, đại số Banach giao hoán tồn đồng cấu phức Tuy nhiên đại số Banach không giao hoán điều không Trong chương... cực đại tồn hay không đồng cấu phức đại số Banach Như biết đại số Banach giao hoán có đồng cấu phức Tuy nhiên đại số Banach không giao hoán điều không Do vấn đề đặt với điều kiện tồn đồng cấu phức. .. )φ(S) Như vậy, φ đồng cấu phức A 13 1.3 PHỔ NỐI TRÁI, PHỔ NỐI PHẢI, PHỔ NỐI VÀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC Trong mục trước, ta thấy A đại số Banach không giao hoán không tồn đồng cấu phức A Định