Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại trong vành giáo hoán

Mục lục Trang Mở đầu 1 Chơng I Vành. 4 Đ1. Định nghĩa vành. 4 Đ2. Vành con, iđêan. 4 Đ3. Đồng cấu vành. 5 Đ4.Vành chính, vành nhân tử hoá. 6 Chơng II - Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại trong vành giao hoán . 8 Đ1. Iđêan ngyên tố và iđêan tối đại trong vành giáo hoán 8 Đ2. Iđêan nguyên sơ 16 Đ3. Sự phân tích nguyên sơ 19 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 24 Mở đầu Trong lý thuyết vành, các iđêan tối đại và iđêan nguyên tố đóng vai trò hết sức quan trọng. Đặc biệt là các iđêan nguyên tố. Nh ta đã biết mỗi iđêan tối đại là iđêan nguyên tố. Điều ngợc lại chỉ đúng trong vành chính. Vai trò của các iđêan nguyên tố trong vành cũng tơng tự nh vai trò của các số nguyên tố trong các số nguyên.Việc phân tích các iđêan trong vành thành tích các iđêan nguyên tố đã trở thành cần thiết khi nghiên cứu một lớp vành nào đó. Các lớp vành đặc biệt nh vành chính,vành Ơclít vành nhân tử hoá (vành Gauxơ), vành Nơ-te; nh ta đã biết có mối quan hệ bao hàm : mỗi vành chính là vành Ơclít, mỗi vành Ơclít là vành Gauxơ và mỗi vành Gauxơ là vành Nơ-te. Do đó một sự phân tích nào đó nếu đúng trong vành chính thì đúng trong các vành chứa nó và nh vậy sẽ rất có ý nghĩa. Mỗi lớp vành lại có các kết quả đa dạng, phong phú . Khoá luận này chỉ là những tìm hiểu bớc đầu làm quen với các iđêan nguyên tố iđêan tối đại trong một vành giao hoán chứa đơn vị tổng quát. Bên cạnh đó cũng đề cập vào một số lớp vành đặc biệt nh vành chính hay vành nhân tử hoá. Nội dung của khoá luận chia làm hai chơng : Chơng I : Trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết vành nh khái niệm về vành, vành con, iđêan, đồng cấu và các lớp vành đặc biệt nh vành chính, vành nhân tử hoá. Chơng II : Là nội dung cơ bản của khoá luận. Trong chơng này ở tiết 1 chúng tôi đã chứng minh đợc các kết quả chủ yếu sau đây trong một vành X chứa đơn vị : - Một iđêan A của vành X là tối đại trong X khi và chỉ khi vành thơng X/A là một trờng. - Một iđêan P của vành X là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành thơng X/P là một miền nguyên. 2 - Phần tử nguyên tố trong vành X thì sinh ra một iđêan nguyên tố của X và ngợc lại. Trong một vành chính thì hai khái niệm iđêan nguyên tố và iđêan tối đại trùng nhau. (Định lý 2.1.3). - Qua một đồng cấu vành f giữa hai vành giao hoán chứa đơn vị thì: a) Tạo ảnh toàn phần của một iđêan nguyên tố là iđêan nguyên tố. b) ảnh của một iđêan nguyên tố (hoặc tối đại) chứa hạt nhân của một toàn cấu vành là iđêan nguyên tố ( hoặc tối đại ) (Định lý 2.1.4). - Trong một vành nhân tử hoá mỗi iđêan chính sinh bởi một phần tử khác không đều phân tích thành tích của các luỹ thừa của các iđêan nguyên tố(Định lý 2.1.5). - Tiết hai của chơng II chúng tôi đề cập đến iđêan nguyên sơ. Một iđêan Q của vành A giao hoán chứa đơn vị gọi là iđêan nguyên sơ nếu Q A và nếu có x, y A thì x Q hoặc y n Q với một n N nào đó . Trong tiết này chúng tôi đã chứng minh đợc các kết quả chủ yếu sau : - Iđêan Q của vành A là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi A/Q {0} và mỗi ớc của không trong vành thơng A/Q là phần tử luỹ linh (Mệnh đề 2.2.2) - Qua một đồng cấu vành thì tạo ảnh toàn phần của một iđêan nguyên sơ là nguyên sơ. - Căn của một iđêan nguyên sơ Q là iđêan nguyên tố bé nhất chứa Q.(Mệnh đề 2.2.5). Trong tiết 3 chơng II chúng tôi đề cập đến sự phân tích nguyên sơ của các iđêan. Một iđêan A trong vành X gọi là đợc phân tích nguyên sơ nếu A biểu diễn dới dạng một giao hữu hạn các iđêan nguyên sơ. Chúng tôi đã chứng minh đợc rằng : - Nếu một iđêan A của vành có sự phân tích nguyên sơ A = 1 n i i Q = I thì các iđêan nguyên tố r(Q i ) là căn của Q i sẽ thuộc vào tập hợp các căn r(A:x) = {ax / ax A}, với x A. (Định lý 2.3.5) - Mỗi iđêan nguyên tố chứa iđêan A phân tích nguyên sơ sẽ chứa một iđêan nguyên tố cô lập liên kết với A.(Mệnh đề 2.3.6) 3 Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của Thầy giáo Th.S. Nguyễn Văn Giám. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, hớng dẫn, tận tình chu đáo của thầy. Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy, cô giáo trong tổ Đại Số, trong Khoa Toán Đại Học Vinh đã quan tâm giúp đỡ, dạy dỗ tác giả trong quá trình học tập cũng nh trong lúc làm khoá luận . Khoá luận chắc không tránh khỏi nhữmg sai sót. Rất mong đợc sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn . Vinh, tháng 4 năm 2005 Tác giả 4 CHƯƠNG I. vành Đ1. Định nghĩa vành 1.1.1. Định nghĩa. Tập X đợc gọi là vành nếu trên X có hai phép toán cộng và nhân thoả mãn điều kiện sau : 1) X cùng với phép cộng là một nhóm aben. 2) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm. 3) Phép nhân phân phối với phép cộng: với các phần tử tuỳ ý x, y, z X ta có : x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx. Chú ý. Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi vành X là vành giao hoán. Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử đó gọi là phần tử đơn vị của X và thờng kí hiệu là e hay 1. Ví dụ. Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép cộng và phép nhân thông thờng là một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành số nguyên. Đ2. VàNH CON - IĐÊAN 1.2.1. Định nghĩa vành con. Giả sử X là vành, A là một bộ phận của X ổn định với hai phép toán trong X, nghĩa là x + y A, xy A với mọi x, y A. A là một vành con của vành X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. 1.2.2. Định lý về tiêu chuẩn vành con. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành X. Các điều kiện sau là tơng đơng: a) A là một vành con của vành X. b) Với mọi x, yA : x + y A, xy A, -x A. c) Với mọi x, yA, x-yA, xyA. 1.2.3.Định nghĩa iđêan. Ta gọi là iđêan trái (iđêan phải) của một vành X, một vành con A của X thoả mãn điều kiện xa A ( ax A), với mọi a A và với mọi x X. 5 Một vành con A của vành X gọi là một iđêan của X nếu và chỉ nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của X. 1.2.4. Định lý tiêu chuẩn về iđêan. Một bộ phận A khác rỗng của một vành X gọi là iđêan nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thoả mãn : 1) a - b A, với mọi a, b A. 2) xa A và ax A, với mọi a A và mọi x X. Đ3. ĐồNG CấU VàNH 1.3.1. Định nghĩa. Một đồng cấu (vành) là một ánh xạ từ một vành X đến một vành Y sao cho : f (a+b) = f(a) + f(b) ; f (ab) = f(a).f(b) ; với mọi a, b X. Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của vành X. 1.3.2. Định lý. Giả sử X, Y, Z là những vành, các ánh xạ f: X Y và g: Y Z là những đồng cấu vành. Thế thì tích ánh xạ gf : X Z cũng là một đồng cấu vành. Đặc biệt tích của hai đẳng cấu vành là một đẳng cấu vành. 1.3.3. Định lý. Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ một vành X đến một cấu vành Y. Thế thì : (i) f(0) = 0; (ii) f(-x) = - f(x), với mọi x X. 1.3.4. Định lý. Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y, A là vành con của X và là một vành con của Y. Thế thì : (i) f (A) là một vành con của Y. (ii) f -1 ( ) là một vành iđêan của X. 1.3.5. Hệ quả. Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ một vành X đến vành Y. Thế thì Imf là một vành con của Y và kerf là một iđêan của X. 1.3.6. Định lý. Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ vành X đến một vành Y P: X X / kerf là toàn cấu chính tắc từ vành X đến vành thơng của X trên kerf. Thế thì 6 (i) Có một đồng cấu duy nhất f : X / kerf Y sao cho biểu đồ sau giao hoán, tức là f = f P (ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Im f = f(X). 1.3.6. Hệ quả. Với mọi toàn cấu vành f: X Y từ một vành X đến một vành Y ta có: f(X) X/kerf . Đ4. Vành chính, vành nhân tử hoá 1.4.1. Định nghĩa vành chính. Một miền nguyên A gọi là vành chính nếu mọi iđêan của nó là iđêan chính. 1.4.2. Định nghĩa vành nhân tử hoá. Miền nguyên D gọi là một miền nhân tử hoá hay miền Gauss nếu mỗi phần tử khác không khác ớc của đơn vị, có một nhân tử hoá duy nhất trong D. Mối quan hệ. Miền nguyên D là một miền nhân tử hoá khi và chỉ khi D thoả mãn điều kiện dây chuyền dừng những iđêan chính và điều kiện có ớc chung lớn nhất. Nhận xét. a) Vành thơng của một vành chính có thể không là một vành chính. b) Tích trực tiếp của hai vành chính là một vành chính. Thật vậy: a) Vành thơng của một vành chính có thể không là một vành chính. Ví dụ. là một vành chính 6 ; /6 = 6 không là vành chính vì chứa ớc của không. 7 f f X Y X/Kerf P b) Tích của hai vành chính là vành chính Thật vậy, giả sử A 1 và A 2 là hai vành chính. Khi đó lấy một iđêan I bất kỳ của A 1 ì A 2 thì I = I 1 ì I 2 với I 1 , I 2 là các iđêan tơng ứng của A 1 , A 2 . Do A 1 , A 2 là các vành chính nên I 1 = (a 1 ), I 2 = (a 2 ) với a 1 A 1 và a 2 A 2 . Khi đó I= I 1 ì I 2 = ((a 1 , a 2 )) là một iđêan chính của A 1 ì A 2 . Ta có đpcm. 8 Chơng II. Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại trong vành giao hoán Đ1. Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại trong vành giao hoán. 2.1.0. Định nghĩa. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị khác không. Iđêan M của A gọi là tối đại trong A nếu M A và các iđêan của A chứa M chỉ là bản thân M và A. Iđêan P của A gọi là nguyên tố nếu P A và nếu tích ab P thì a P hoặc b P. 2.1.1. Định lý. a) Iđiêan M là tối đại trong A khi và chỉ khi vành thơng A/M là trờng. b) Iđêan P là nguyên tố trong A khi và chỉ khi vành thơng A/P là một miền nguyên. Chứng minh. a) Iđêan M là tối đại trong A khi và chỉ khi vành thơng A/M là một trờng. () Giả sử M là một iđêan tối đại, ta chứng minh A/M là một trờng. Thật vậy, M là một iđêan tối đại của A thì M A, do đó A/M có nhiều hơn một phần tử. Vì A là một vành giao hoán có đơn vị nên A/M cũng là một vành giao hoán có đơn vị. Giả sử (a + M) là một phần tử khác không hay a + M M. Vậy a M. Xét iđêan I của A mà I = M + aA. Khi đó M I và a I. Vì M là tối đại nên I = A . Suy ra e I do đó e = m 1 + aa 1 , a 1 A và m 1 M hay e + M = m 1 + aa 1 + M = aa 1 + M = ( a+M)(a 1 +M). Suy ra a 1 + M là nghịch đảo của a+M. Do đó A/M là một trờng. () Giả sử vành thơng A/M là một trờng, ta chứng minh iđêan M là tối đại trong A. Thật vậy, A/M là một trờng khi đó A/M có nhiều hơn một phần tử, do đó A M. Gọi I là iđêan của A mà M I. 9 Nh vậy có một phần tử a I - M. Ta xét a + M A/M vì a M nên a + M khả nghịch nghĩa là có một phần tử a 0 + M sao cho (a 0 + M) (a + M) = a 0 a + M = e + M hay e = a 0 a + m. Vì a I và m M I nên e I. Do đó I = A. Vậy M là iđêan tối đại của A. b) Iđêan P nguyên tố trong A khi và chỉ khi vành thơng A/P là một miền nguyên. () Giả sử iđêan P nguyên tố trong A ta chứng minh vành thơng A/P là một miền nguyên. Thật vậy P là iđêan nguyên tố của vành A, xét A/P ={a + P / a A} là vành thơng của A theo iđêan P. Vì P nguyên tố nên P A do đó A/P có nhiều hơn một phần tử. Đơn vị của A/P là e + P với e là đơn vị của A. Do A là vành giao hoán nên A/P cũng là vành giao hoán. Giả sử a + P và b + P là hai phần tử tuỳ ý của A/P nếu (a + P)(b + P) = 0 + P = P thì ab + P = P hay ab P. Vì P nguyên tố nên a P hoặc b P suy ra a + P = P = 0 + P hoặc b + P = P = 0 + P. Vậy A/P không có ớc của không. Do đó A/ P là một miền nguyên . () Giả sử A/P là một miền nguyên ta chứng minh P là iđêan nguyên tố. Thật vậy A/P là một miền nguyên khi đó A/P có nhiều hơn một phần tử, do dó A P, gọi a,b là các phần tử thuộc A sao cho ab P. Khi đó: ab + P = (a + P)(b + P) = P = 0 + P. Vì A/P không có ớc của không suy ra a + P = P hoặc b + P = P hay a P hoặc b P. Vậy P là iđêan nguyên tố Hệ quả. Mọi iđêan tối đại đều nguyên tố. Chứng minh. Thật vậy P là iđêan tối đại của vành A suy ra A /P là một trờng. Do đó A/P là một miền nguyên suy ra P là iđêan nguyên tố. Điều ngợc lại không đúng. Tuy nhiên ta có: 10