ideal bất khả quy mạnh trong vành giao hoán

Trong luậnvăn này, chúng tôi khảo sát những tính chất của ideal bất khảo quy mạnh và mối liên hệ giữa ideal bất khả quy mạnh với ideal bất khả quy, ideal nguyên sơ và ideal nguyên tố tro

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-W@X -

TRƯƠNG TẤN DUY

IDEAL BẤT KHẢ QUY MẠNH TRONG VÀNH GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TP HỒ CHÍ MINH - 2009

Trước tiên em xin gởi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô trong khoa Toán - Tin họctrường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, nhất là những thầy trong bộ môn Đại số, nhữngngười đã tận tình chỉ dạy cho em trong suốt thời gian em học tại trường Chính nhữngkiến thức mà em học trong suốt thời gian qua là nền tảng hết sức quan trọng để em cóthể hoàn thành được luận văn này trong hiện tại và có thể là một quá trình nghiên cứukhoa học lâu dài sau này.

Hơn ai hết, em xin chân thành cảm ơn thầy TS Trần Ngọc Hội, là người trực tiếphướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn này Thầy thường xuyên quantâm và động viên và truyền đạt những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng nhưtrong nghiên cứu khoa học cho học trò của mình, trong đó có em Qua đó em đã tiếpthu được nhiều kiến thức và học được nhiều kinh nghiệm đáng quý trong quá trìnhnghiên cứu Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn thầy

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn TS Nguyễn Viết Đông và PGS TS Mỵ VinhQuang đã dành thời gian đọc, góp ý và chỉnh sửa luận văn của em

Xin cảm ơn gia đình và những người thân đã tạo mọi điều kiện về mọi mặt để emhoàn thành luận văn Cuối cùng xin cảm ơn các bạn Giang, Trí, Bá, Lợi đã cộng tác,giúp đỡ cũng như tất cả bạn bè khác đã động viên rất nhiều trong suốt quá trình họctập và làm luận văn này

ii

3 Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán đặc biệt 203.1 Ideal bất khả quy mạnh trong vành Noether giao hoán 203.2 Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán khác 273.3 Tôpô trên tập tất cả ideal bất khả quy mạnh 33

i

Spec(R) : Tôpô Zariski

Jac(R) : Căn Jacobson

Zdv(R) : Tập hợp ước của 0

iv

LỜI NÓI ĐẦU

Như chúng ta đã biết, trong vành giao hoán R ideal thật sự I được gọi là ideal là idealbất khả quy nếu nó không là giao của hai ideal thật sự chứa nó Ta có một kết quảthú vị là trong vành R, nếu I bất khả quy, J, K là hai ideal khác thỏa (J ∩ K) + I =(J + I) ∩ (K + I) và J ∩ K ⊆ I thì J ⊆ I hoặc K ⊆ I Vậy bài toán đặt ra là với ideal thật

sự I bất kì, J, K là hai ideal thỏa J ∩K ⊆ I thì liệu J ⊆ I hoặc K ⊆ I hay không? Từ bàitoán này chúng ta đi đến định nghĩa ideal bất khả quy mạnh của vành R Trong luậnvăn này, chúng tôi khảo sát những tính chất của ideal bất khảo quy mạnh và mối liên

hệ giữa ideal bất khả quy mạnh với ideal bất khả quy, ideal nguyên sơ và ideal nguyên

tố trong một số vành giao hoán đặc biệt như vành Noether, Lasker, dẹt tuyệt đối, hầunhân, ZPI-vành và miền Pr¨ufer, miền UFD, PID

Luận văn gồm ba chương:

+ Chương 1 Một số vấn đề cơ bản

Tóm tắt một số tính chất, định nghĩa, định lý cần thiết của đại số giao hoán nhằmphục vụ cho Chương 2, 3, bạn đọc có thể tìm thấy phần chứng minh trong các tàiliệu tham khảo của luận văn

+ Chương 2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành giao hoán

Chúng tôi trình bày một số tính chất của ideal bất khả quy mạnh và mối liên

hệ giữa ideal bất khả quy mạnh với ideal bất khả quy, ideal nguyên sơ và idealnguyên tố trong vành giao hoán nói chung

+ Chương 3 Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán đặc biệtTrong phần đầu của chương này, chúng tôi tiếp tục trình bày tính chất của idealbất khả quy mạnh và mối liên hệ giữa nó với ideal bất khả quy, nguyên sơ vànguyên tố trong một số vành giao hoán đặc biệt như: vành Noether, vành Lasker,vành số học, miền UFD Trong phần cuối của chương, chúng tôi giới thiệu vàtrình bày một số tính chất của tôpô trên tập các ideal bất khả quy mạnh

Luận văn này ta chỉ xét vành giao hoán có đơn vị Cho nên khi nói đến vành mà khôngnói gì thêm thì ta hiểu đó là vành giao hoán có đơn vị

iii

Một số vấn đề cơ bản

1.1 Ideal trong vành giao hoán

Định nghĩa 1.1.1 ([12], Định nghĩa 3.46) Cho Ilà ideal của vành R Khi đó tập hợp{x ∈ R|xn ∈ I với n > 0} là ideal của R và được gọi là căn (radical) của I, kí hiệu làRad(I) hay√

I

Định lý 1.1.2 ([10], Định lý 9, trang 147]) Cho I, J là hai ideal của R Khi đó:i) √

I là ideal chứa I của R;

ii) Nếu Ik⊂ J, với k là số nguyên dương thì√I⊂√J;

Định nghĩa 1.1.4 Cho đồng cấu vành f : R −→ S Khi đó:

i) Nếu J là ideal của vành S thì f−1(J) = {x ∈ R| f (x) ∈ J} là ideal của R và được gọi

là ideal thu hẹp (contraction ideal) của J tới R, kí hiệu J ∩ R hoặc Jc

ii) Nếu I là ideal của R thì f (I)S là ideal của S được sinh bởi f (I) và được gọi là ideal

mở rộng (extension ideal ) của I tới S, kí hiệu IS hoặc Ie

Bổ đề 1.1.5 [[12], 2.43 ] Cho I, J là hai ideal của R và L, K là hai ideal của S Khiđó:

i) (I + J)e= Ie+ Je;

ii) (IJ)e= IeJe;

1

1.1 Ideal trong vành giao hoán 2

IDEAL NGUYÊN SƠ VÀ IDEAL NGUYÊN TỐ

Định nghĩa 1.1.7 Cho R là vành và Q là ideal thật sự trong R Khi đó, Q được gọi làideal nguyên sơ của R nếu ∀a,b ∈ R,ab ∈ Q,b /∈ Q thì ∃n ∈ N sao cho an

∈ Q

Định lý 1.1.8 ([10], Định lý 12, trang 152) Cho Q là ideal nguyên sơ của R Khi đó,nếu P = Rad(Q) thì P là ideal nguyên tố Hơn nữa, nếu ab ∈ Q và b /∈ Q thì a ∈ P Mặtkhác, nếu I và J là hai ideal thỏa mãn IJ ⊆ Q và J * Q thì I ⊆ P

Định lý 1.1.9 ([10], Định lý 13, trang 153) Cho Q và P là các ideal của R Khi đó Q

là ideal nguyên sơ và P là căn của Q khi và chỉ khi các điều sau thỏa:

Định lý 1.1.12 ([12], Định lý 3.60) Cho P1, P2, , Pn, với n > 2 là những ideal của R,sao cho có không quá hai ideal trong số P1, P2, , Pn không nguyên tố Cho S là nhómcon cộng của R và S đóng dưới phép nhân Nếu

S⊆

n [ i=1

Pi

thì tồn tại j, 1 6 j 6 n sao cho S ⊆ Pi

Mệnh đề 1.1.13 ([12],Mệnh đề 4.9) Cho Q là ideal của vành R và Q thỏa √Q = M,với M là ideal nguyên tố tối đại của R Khi đó Q là ideal nguyên sơ (hay M-nguyên sơ)của R Ngược lại, mọi lũy thừa Mncủa ideal tối đại M là ideal M-nguyên sơ

Định lý 1.1.14 [12], Hệ quả 8.25 Cho I là ideal của vành Noether R, và I ⊆ Jac(R).Khi đó

∞

\ n=1

Mệnh đề 1.1.17 ([12], Mệnh đề 5.2) Cho S là một tập con nhân của vành giao hoán

R Ta định nghĩa một quan hệ∼ trên R × S như sau: với mỗi (a;s) và (b;t) thuộc R × S

ta viết (a; s) ∼ (b;t) nếu và chỉ nếu tồn tại u thuộc S sao cho u(at − bs) = 0 Khi đóquan hệ ∼ là quan hệ tương đương và lớp tương đương chứa (a;s) kí hiệu là a/s hoặca

s và tập tất cả các lớp tương đương của ∼ kí hiệu là S−1R Hơn nữa, S−1R là vànhgiao hoán với hai phép toán sau:

1, phần tử đơn vị của S−1R là1

1 Vành S−1R gọi là vành các thương của R

Từ định nghĩa vành các thương, ta xác định một ánh xạ

f : R−→ S−1R

1.1 Ideal trong vành giao hoán 4

r7−→ r

1Khi đó f là một đồng cấu vành Hơn nữa f là toàn cấu và gọi là đồng cấu tự nhiên

Bổ đề 1.1.18 ([12], Bổ đề 5.20) Cho P là ideal nguyên tố của R Khi đó S = R − P làtập con nhân của R và vành các thương S−1R (ký hiệu là RP) là vành địa phương vớiideal tối đại là

Bổ đề 1.1.22 ([12], Bổ đề 5.31) Cho I, J là những ideal của R và đồng cấu vành

ii) Nếu P ∈ Spec(R) và P ∩ S = /0 thì Pe∈ Spec(S−1R)

iii) Nếu P ∈ Spec(S−1R) thì Pc∩ S = /0 Hơn nữa, Pce= Q

iv) Tồn tại một tương ứng 1-1 giữa tập tất cả ideal nguyên tố của S−1R và tập tất cảideal nguyên tố của R không giao với S

Định lý 1.1.24 ([12], Định lý 5.37) Cho S là tập con nhân của R và đồng cấu tự nhiên

f : R−→ S−1R Khi đó:

i) Nếu Q là ideal nguyên sơ của R sao cho Q ∩ S 6= /0 thì Qe= S−1R

ii) Nếu Q là P-nguyên sơ của R sao cho Q ∩ S = /0 thì Qe là Pe-nguyên sơ của S−1R.iii) Nếu Q là P-nguyên sơ của S−1R thì Qclà Pc-nguyên sơ của R sao cho Qc∩ S = /0.Hơn nữa, Qce = Q

iv) Tồn tại một tương ứng 1-1 giữa tập tất cả ideal nguyên sơ của S−1R và tập tất cảideal nguyên sơ của R mà không giao với S

Mệnh đề 1.1.25 ([15], Mệnh đề 3.13) Cho A và B là hai ideal của vành R Khi đó

A= B khi và chỉ khi ARP = BRP với mọi ideal nguyên tố P của R

Định lý 1.1.28 ([10], Định lý 34, trang 248) Cho (R,M) là vành địa phương Noether

và Q là ideal M-nguyên sơ Khi đó những khẳng định sau tương đương:

i) Q bất khả quy;

ii) (Q :RM)/Q là một R/M-không gian vectơ và có chiều bằng 1;

iii) (Q :RM) là phần tử nhỏ nhất trong tập tất cả ideal thật sự chứa Q của R ;

iv) giả sử J là ideal bất kỳ của R thỏa mãn Q ⊆ J Khi đó tồn tại ideal K của R saocho K 6= Q và J = (Q :RK)

PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ

Định nghĩa 1.1.29 ([12], Định nghĩa 4.15) Cho I là ideal thật sự của vành R Ideal Iđược gọi là có phân tích nguyên sơ nếu I được phân tích thành giao của hữu hạn cácideal nguyên sơ của R, tức là I =T n

i=1Qi trong đó Qi là Pi-nguyên sơ với 1 6 i 6 n.Một sự phân tích của I như sau I =T n

i=1Qitrong đó Qilà Pi-nguyên sơ với 1 6 i 6 n,được gọi là phân tích tối tiểu hay chuẩn tắc nếu

i) P1, P2, , Pn là các ideal nguyên tố khác nhau của R;

1.1 Ideal trong vành giao hoán 6

ii) Với mọi j = 1, , n, ta có Qj +T n

Cụ thế hơn, tất cả các ideal nguyên tố tối tiểu của I thuộc vào tập ass(I) Do đó

I chỉ có hữu hạn ideal nguyên tố tối tiểu Và nếu P1 ∈ Spec(R) và I ⊆ P1 thì tồn tại

P2∈ ass(I) sao cho P2 ⊆ P1

Định lý 1.1.32 ([12], Định lý 3.52) Cho I là ideal thật sự của vành R Khi đó tậpVar(I) có phần tử tối tiểu theo quan hệ bao hàm và mỗi phần tử tối tiểu này được gọi

là ideal nguyên tố tối tiểu của I Trong trường hợp R 6= 0, ideal nguyên tố tối tiểu của(0) được gọi là ideal nguyên tố tối tiểu của R

Định lý 1.1.33 ([10], Định lý 11, trang 214) Cho R là vành Noether giao hoán, I và

J là hai ideal của R sao cho I 6= R Khi đó (I : J) = I khi và chỉ khi không có idealnguyên tố liên kết nào của I chứa J

Hệ quả 1.1.34 ([10], Hệ quả 1, trang 214) Cho I, J là hai ideal của vành Noethergiao hoán R và I 6= R Khi đó (I : J) 6= I khi và chỉ khi tồn tại ideal nguyên tố liên kếtcủa I chứa J

Hệ quả 1.1.35 ([10], Hệ quả 2, trang 214) Cho vành Noether R và phần tử x ∈ R Khi

đó x thuộc ideal nguyên tố nào đó liên kết của ideal I khi và chỉ khi tồn tại y ∈ R − I

và xy ∈ I

Hệ quả 1.1.36 ([10], Hệ quả 3, trang 214) Trong vành Noether R, tập các ước của 0

là hội của mọi ideal nguyên tố liên kết của ideal (0)

LŨY THỪA HÌNH THỨC

Định nghĩa 1.1.37 ([10], Định nghĩa, trang 232) Cho vành có đơn vị R, Q là idealP-nguyên sơ và số tự nhiên n6= 0 Khi đó ideal (QnRP) ∩ R được gọi là lũy thừa hìnhthức thứ n của Q và được kí hiệu bởi Q(n)

Định lý 1.1.38 ([10], Định lý 23, trang 232) Cho Q là ideal P-nguyên sơ của vành R.Khi đó

i) Q(n)là ideal P-nguyên sơ;

ii) nếu Qncó một sự phân tích nguyên sơ thì P là ideal nguyên tố tách duy nhất và Q(n)

là thành phần nguyên sơ tương ứng;

iii) nếu P hữu hạn sinh thì với mọi ideal I P-nguyên sơ, ta đều có ∃n0, Q(n 0 )⊆ I;iv) nếu R là vành Noether thì P là ideal nguyên tố tách duy nhất của Q(n)Q(m)và thànhphần nguyên sơ tương ứng là Q(n+m)

HẠNG CỦA IDEAL

Định nghĩa 1.1.39 ([12], Định nghĩa 14.17) Cho R là một vành Một dãy tăng ngặthữu hạn của n + 1 ideal nguyên tố P0 ⊂ P1⊂ ⊂ Pn được gọi là một chuỗi nguyên tố

có chiều dài n

Định nghĩa 1.1.40 ([12], Định nghĩa, trang 277) Cho P ∈ Spec(R), ideal P được gọi

là có chiều cao h hay hạng h (h > 0), ký hiệu là htP hay rank(P) nếu tồn tại ít nhấtmột chuỗi P0 ⊂ P1⊂ ⊂ Ph = P với Pi là các ideal nguyên tố phân biệt và không tồntại một chuỗi nào có chiều dài lớn hơn h

Định nghĩa 1.1.41 Cho R là vành Noether và I là ideal thật sự của R Chiều cao của

I được ký hiệu htI

htI= min{htP|P ∈ Spec(R),P ⊇ I}

dimR= sup{n : tồn tại chuỗi các ideal nguyên tố có chiều dài n},

nếu supremun này tồn tại và ∞ nếu ngược lại

Định lý 1.1.45 ([12], Định lý 15.4) Cho R là vành Noether và I là ideal thật sự của Rđược sinh bởi n phần tử Khi đó htP 6 n với mọi ideal nguyên tố tối tiểu P của I.Mệnh đề 1.1.46 ([12], Chú ý 14.8) Cho R là vành giao hoán và P ∈ Spec(R) Khi đóhtP= htRPPRP= dimRP

1.1 Ideal trong vành giao hoán 8

Định lý 1.1.47 ([12], Định lý 15.13) Cho R là vành Noether và P ∈ Spec(R); giả sửhtP= n Khi đó tồn tại ideal I của R được sinh bởi n phần tử thỏa htI = n và I ⊆ P

BỔ ĐỀ NAKAYAMA

Bổ đề 1.1.48 [[12], Bổ đề NAKAYAMA 8.24] Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh, và I

là ideal của R sao cho I ⊆ Jac(R) Nếu M = IM thì M = 0

Hệ quả 1.1.49 [[12], Hệ quả 9.2] Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh, và I là ideal của

R sao cho I ⊆ Jac(R) Cho N là R-mô đun con của M, sao cho N + IM = M Khi đó

N = M

VÀNH ĐỊA PHƯƠNG

Mệnh đề 1.1.50 ([8], Mệnh đề 1) Cho I là ideal của vành địa phương A Nếu tồn tại

t∈ N∗ sao cho v(It) = 1 thì v(Ik) = 1, ∀k ∈ N∗ hoặc I là tập các ước không Nếu tồntại t ∈ N, t > 1 và v(It) = 2 thì v(Ik) = 2, ∀k ∈ N∗ hoặc I là tập các ước của không.VÀNH LASKER

Định nghĩa 1.1.51 Cho R là vành giao hoán có đơn vị Khi đó R được gọi là vànhLasker nếu ideal bất kỳ của R có phân tích nguyên sơ chuẩn tắc

ii) R là miền ideal chính địa phương, và không là trường.

iii) R là vành địa phương Noether, dimR> 0 và ideal tối đại của R là ideal chính.iv) R là vành chuẩn địa phương Noether có chiều bằng 1

MIỀN PR ¨UFER

Định nghĩa 1.1.56 ([15], Định nghĩa 6.5) Một miền nguyên R là miền Pr¨ufer nếuideal hữu hạn sinh khác không bất kỳ của R khả nghịch

Mệnh đề 1.1.57 ([15], Hệ quả 6.7) Một miền nguyên R là miền Pr¨ufer nếu và chỉ nếu

RP là vành chuẩn với mọi ideal nguyên tố P 6= 0 của R

ii) R đóng nguyên và ideal nguyên tố bất kỳ của R là ideal tối đại

iii) Ideal bất kỳ khác không của R được sinh bởi hai phần tử là ideal khả nghịch.iv) A∩ (B +C) = A ∩ B + A ∩C, với ideal A,B,C là ideal bất kỳ của R

v) Nếu P là ideal tối đại của R thì không tồn tại ideal của R thật sự nằm giữa P và P2.vi) Nếu P là ideal tối đại của R thì tập hợp gồm những ideal P-nguyên sơ của R có thứ

tự toàn phần theo quan hệ bao hàm

1.1 Ideal trong vành giao hoán 10

MIỀN HẦU DEDEKIND

Định nghĩa 1.1.60 ([15], Định nghĩa 9.1) Một miền nguyên R là miền hầu Dedekindnếu RM là miền Dedekind với M là ideal tối đại bất kỳ của R

MIỀN KRULL

Định nghĩa 1.1.61 ([9], Miền Krull, trang 86) Cho A là miền nguyên và K là trườngphân thức của A Miền nguyên A được gọi là miền Krull nếu tồn tại một họ {Rλ ∈Λ} lànhững DVR của K thõa mãn hai điều kiện sau:

Định lý 1.1.63 ([9], Định lý 12.5) Miền Dedekind chính là miền Krull có chiều bằng1

gọi là vành số học nếu I ∩ (J + K) = (I ∩ J) + (I ∩ K) với I,J và K là những ideal bất

kỳ của R

Định lý 1.1.68 ([5], Định lý 1) Cho R là vành giao hoán có đơn vị R là vành số họckhi và chỉ khi tập các ideal trong vành RM có thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm,với M là ideal tối đại bất kỳ của R

Định lý 1.1.69 ([5], Định lý 6) Cho R là vành số học Khi đó ideal nguyên sơ là idealbất khả quy

Định lý 1.1.70 ([5], Định lý 6’) Giả sử trong miền nguyên R mọi ideal nguyên tố khác

0 đều tối đại Khi đó R là vành số học khi và chỉ khi mọi ideal nguyên sơ đều bất khảquy

Mệnh đề 1.1.71 Cho R là vành số học và P là ideal nguyên tố bất kỳ của R Khi đó,tập hợp gồm các ideal của vành RPđược sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm

Định nghĩa 1.1.76 Vành R được gọi là vành dẹt tuyệt đối nếu mọi R-mô đun đều dẹt

Bổ đề 1.1.77 Cho R là vành dẹt tuyệt đối Khi đó:

i) Mọi ideal chính lũy đẳng

1.2 Không gian tôpô 12

ii) Mọi ideal nguyên sơ là ideal tối đại

Chứng minh i) Cho x ∈ R thì R/(x) là R-mô đun dẹt Theo đó trong biểu đồ sau

ánh xạ α là đơn ánh Suy ra Im(β ) = 0, kéo theo (x) = (x2)

ii) Cho M là ideal nguyên sơ bất kỳ của R, và a ∈ R − M Khi đó M + aR = M + a2R(do i)) Từ đó m1− a = a2r với m1, m2 ∈ M và r ∈ R Suy ra a(1 − ar) ∈ M Bởi vì alũy đẳng và a /∈ M, cho nên 1 − ar ∈ M (do M nguyên sơ) Do đó 1 ∈ M + aR Vậy M

là tối đại

MỞ RỘNG DẸT TRUNG THÀNH TRÊN VÀNH

Định nghĩa 1.1.78 ([9], trang 45–46) Cho f : A −→ B là một đồng cấu vành và B làmột A-mô đun dẹt Khi đó chúng ta nói f là một đồng cấu dẹt hoặc B là một A-đại sốdẹt

Định nghĩa 1.1.79 ([9], trang 45–46) R-đại số A được gọi là vành dẹt trung thànhtrên R nếu A là R-mô đun dẹt và từ A ⊗ M = 0 ta có M = 0

Định lý 1.1.80 ([9], Định lý 7.5) Cho f : A −→ B là một đồng cấu vành dẹt trungthành Khi đó:

i) Với mọi A-mô đun M, ánh xạ M −→ M ⊗AB được xác định m7→ m ⊗ 1 là đơn ánh.Đặc biệt f : A −→ B là đơn ánh

ii) Nếu I là ideal của A thì IB ∩ A = I

Định lý 1.1.81 ([9], Định lý 7.4) Cho f : A −→ B là một đồng cấu vành dẹt và I,J làhai ideal của A Khi đó

(I ∩ J)B = IB ∩ JB

1.2 Không gian tôpô

Định nghĩa 1.2.1 ([20], Định nghĩa 5.1, trang 164) Cho X là một tập hợp, ta ký hiệuP(X )là tập tất cả các tập con của X và τ là một tập con của P(X ) Ta nói τ là mộttôpô trên X nếu và chỉ nếu

i) X và tập /0 chứa trongτ;

ii) cho một họ bất kỳ {Oα}α ∈Λ các phần tử trong τ thìS

α ∈ΛOα chứa trong τ;

iii) cho một họ hữu hạn {Ok}n

k=1 các phần tử trong τ thì T n

k=1Ok chứa trong τ

Lúc đó ta gọi τ là một tôpô trên X, (X, τ) là một không gian tôpô và các phần tử của

τ là các tập mở hoặc vắn tắt là một mở trong không gian tôpô (X , τ) Một tập hợp con

F của X được gọi là một tập đóng trong không gian tôpô (X , τ) nếu và chỉ nếu X − F

là một tập mở trong không gian tôpô (X, τ)

Định nghĩa 1.2.2 ([20], Định nghĩa 5.14, trang 175) Cho (X,τ) là một không giantôpô Ta nói X là một không gian compac nếu và chỉ nếu với mọi họ tập mở {Oα}α ∈Λ

trong X vớiS

α ∈ΛOα = X ( lúc đó {Oα}α ∈Λ được gọi là một phủ mở ) thì có một tậpcon hữu hạn I của Λ sao cho S

α ∈IOα = X (lúc đó{Oα}α ∈I được gọi là một phủ mởhữu hạn)

Định nghĩa 1.2.3 Không gian tôpô (X,τ) được gọi là T0-không gian nếu với hai điểmkhác nhau trong X thì sẽ tồn tại một tập mở chứa điểm này mà không chứa điểm kia

Định nghĩa 1.2.4 ([9], trang 29) Một không gian tôpô (X,τ) được gọi là Noether nếucác tập mở thỏa mãn điều kiện A.C.C

Định nghĩa 1.2.5 ([9], trang 29) Một tập con đóng khác rỗng của một không giantôpô được gọi là tập con đóng bất khả quy nếu nó không là hợp của hai tập đóng thật

sự chứa nó và gọi là khả quy nếu ngược lại

Bổ đề 2.1.3 Cho I là ideal của vành R Ta có:

i) Nếu I bất khả quy mạnh thì I bất khả quy Theo đó, nếu R là vành Noether thì I làideal nguyên sơ

ii) Nếu I là ideal nguyên tố thì I bất khả quy mạnh

iii) Nếu I bất khả quy mạnh và H là ideal của R chứa trong I thì I/H bất khả quymạnh trong R/H

iv) Nếu I bất khả quy mạnh thì I là ideal nguyên tố khi và chỉ khi I là ideal nửa nguyêntố

v) Nếu I là ideal thật sự của R thì tồn tại phần tử tối tiểu trong tập gồm những idealbất khả quy mạnh của R chứa I

vi) Điều kiện cần và đủ để I bất khả quy mạnh là nếu bR và cR là hai ideal chính bất

kỳ của R sao cho bR ∩ cR ⊆ I thì b ∈ I hoặc c ∈ I

vii) Nếu (0) bất khả quy thì bất khả quy mạnh

Chứng minh i) Giả sử I bất khả quy mạnh và H, K là hai ideal bất kỳ của R sao cho

H∩ K = I Theo đó H ∩ K ⊆ I Suy ra H ⊆ I hoặc K ⊆ I (do I bất khả quy mạnh) Mặtkhác, hiển nhiên I ⊆ H và I ⊆ K Do đó H = I hoặc K = I Vậy I bất khả quy Hơnnữa, nếu R là vành Noether thì ta thu được I là ideal nguyên sơ (do Mệnh đề 1.1.27)

14

ii) Giả sử I là ideal nguyên tố và H, K là hai ideal bất kỳ của R thỏa mãn H ∩K ⊆ I.Theo đó HK ⊆ I Vì I nguyên tố, nên H ⊆ I hoặc K ⊆ I(do Bổ đề 1.1.11) Vây I bấtkhả quy mạnh.

iii) Giả sử I bất khả quy mạnh và J, K là hai ideal bất kỳ của R thỏa mãn H ⊆

J, H ⊆ K và J/H ∩ K/H ⊆ I/H Khi đó J ⊆ I hoặc K ⊆ I (do I bất khả quy mạnh) Dovậy J/H ⊆ I/H hoặc K/H ⊆ I/H Vậy I/H bất khả quy mạnh trong R/H

iv) Giả sử I bất khả quy mạnh Nếu I là ideal nguyên tố, hiển nhiên I là ideal nửanguyên tố Ngược lại, cho H, K là hai ideal bất kỳ của R thỏa mãn HK ⊆ I Do đó

H∩ K ⊆√(H ∩ K) =√(HK) ⊆√I = I (do I là ideal nửa nguyên tố) Suy ra H ⊆ Ihoặc K ⊆ I (do I bất khả quy mạnh) Vậy I nguyên tố

v) Đặt T = {J|J bất khả quy mạnh của R và J ⊇ I}, trên T ta đặt quan hệ như sau:

H1  H2 khi và chỉ khi H1 ⊇ H2 Dễ thấy đây là quan hệ thứ tự bán phần trên T , và

T 6= /0 (do ideal tối đại là ideal bất khả quy mạnh) Cho Ω là tập con khác rỗng của

T và có thứ tự toàn phần Đặt H :=T

J ∈ΩJ Khi đó H là ideal thật sự của R, và hiểnnhiên H ⊇ I Ta cần chứng minh H bất khả quy mạnh Thật vậy, cho A và B là haiideal của R thỏa mãn A ∩B ⊆ H và A * H Khi đó tồn tại J1∈ Ω, sao cho A * J1 Cho

J∈ Ω Khi đó J ⊆ J1 hoặc J1 ⊆ J Nếu trường hợp đầu tiên xảy ra, khi đó A * J Theo

đó B ⊆ J (do J bất khả quy mạnh) Nếu trường hợp thứ hai xảy ra, khi đó B ⊆ J1 ⊆ J(do J1 bất khả quy mạnh) Bởi vì J là phần tử bất kỳ của Ω, do đó B ⊆ H Theo đó Hbất khả quy mạnh Suy ra H là chận trên của Ω Theo bổ đề Zorn, T có phần tử tối đạitheo quan hệ , nghĩa là có phần tử tối tiểu theo theo quan hệ bao hàm

vi) Điều kiện cần là hiển nhiên

Điều kiện đủ, giả sử I là ideal thật sự của R và thỏa tính chất nêu trên Cho J, K làhai ideal của R sao cho J ∩ K ⊆ I Giả sử J * I Tồn tại b ∈ J và b /∈ I Với mọi c ∈ K,

ta có bR ∩ cR ⊆ I Theo đó c ∈ I Vậy K ⊆ I Cho nên I bất khả quy mạnh

vii) Cho J, K là hai ideal bất kỳ của R thỏa mãn J ∩ K ⊆ (0) Khi đó J ∩ K = (0),kéo theo J = (0) hoặc K = (0) (do (0) bất khả quy) Vậy (0) bất khả quy mạnh

Nhận xét 2.1.4 Trong vành Noether thì một ideal nguyên sơ không nhất thiết bất khảquy và do đó không nhất thiết bất khả quy mạnh

Ví dụ 2.1.5 Cho R = K[X,Y], K là trường và M = (X,Y) Khi đó M2= (X2, XY,Y2)

là ideal M-nguyên sơ nhưng không bất khả quy

Chứng minh Vì √M2= M và M tối đại nên M2là ideal M-nguyên sơ Ta chứng minh

M2 = (X ,Y2) ∩ (X2,Y )

Thật vậy, M2 ⊆ (X,Y2) ∩ (X2,Y ) là hiển nhiên Ngược lại, cho f ∈ (X,Y2) ∩ (X2,Y )

Do f ∈ (X2,Y ) nên những đơn thức có bậc 1 của f thì chứa Y và thành phần còn lại

có dạng là đa thức g Trong đa thức g, đơn thức có bậc không nhỏ hơn 2 thì chứa X2

2.1 Định nghĩa và những tính chất cơ bản 16

hoặc XY Theo đó g ∈ M2

Kéo theo f − g = aY với a ∈ K Giả sử a 6= 0 Khi đó

Y = a−1.aY ∈ (X,Y2) ∩ (X2,Y ) + M2= (X ,Y2) ∩ (X2,Y ) ⊆ (X,Y2) Hay Y ∈ (X,Y2),điều này không thể Do đó a = 0, suy ra M2= (X ,Y2) ∩(X2,Y ) Dễ thấy (X ,Y2)* M2

và (X2,Y )* M2 nên M2 khả quy

Mệnh đề 2.1.6 Giả sử trong vành R mọi ideal nguyên sơ đều bất khả quy mạnh Khi

đó, phân tích nguyên sơ tối tiểu nếu có của một ideal là duy nhất

Qt 6= Q1 và t 6= 1 Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử t = 2 Tương tự như thế, tathu được n = m, Q0i = Qi, ∀i,1 6 i 6 n

Bổ đề 2.1.7 Cho vành R Khi đó những khẳng định sau tương đương:

i) Mọi ideal thật sự của R bất khả quy mạnh

ii) Mọi ideal của R đều so sánh được với nhau

Chứng minh i)⇒ ii) Cho I, J là hai ideal thật sự của R Khi đó I ∩J là ideal bất khả quymạnh của R (giả thiết) Mặt khác I ∩ J ⊆ I ∩ J Do đó I ⊆ I ∩ J ⊆ J hoặc J ⊆ I ∩ J ⊆ I.Vậy I ⊆ J hoặc J ⊆ I

ii) ⇒ i) Cho I là ideal thật sự của R Giả sử J, K là những ideal bất kỳ của R thỏamãn J ∩ K ⊆ I Theo giả thiết, ta có J ⊆ K hoặc K ⊆ J Khi đó J = J ∩ K ⊆ I hoặc

K = J ∩ K ⊆ I Hay J ⊆ I hoặc K ⊆ I Vậy I bất khả quy mạnh

Hệ quả 2.1.8 Trong vành chuẩn hoặc địa phương hóa của vành số học mọi ideal thật

sự đều bất khả quy mạnh

Chứng minh Trong địa phương hóa của vành số học hoặc vành chuẩn, mọi ideal đều

so sánh được với nhau Theo Bổ đề 2.1.7, mọi ideal thật sự đều bất khả quy mạnh

Bổ đề 2.1.9 Cho b và c là hai phần tử của R Khi đó bR∩cR = b(cR :RbR) = c(bR :R

cR) Hơn nữa, nếu I là ideal của R thỏa mãn I ⊆ bR thì I = b(I :R bR)

Chứng minh Giả sử I là ideal của R thỏa mãn I ⊆ bR Khi đó b(I :RbR) ⊆ I Mặt khác,nếu x ∈ I ⊆ bR thì x = rb với r ∈ R Do đó

r∈ (xR :R bR) ⊆ (I :RbR)

iii) Với J là ideal bất kỳ của R, ta có J ⊆ I hoặc (I :RM) ⊆ J.

Chứng minh i) Do I ⊂ (I :RM), nên tồn tại x ∈ (I :RM) −I Giả sử (I :RM) 6= xR Khi

đó với mọi y ∈ (I :R M) − xR, ta đều có (xR :R yR) là ideal thật sự của R (do y /∈ xR)

Do y ∈ (I :RM)) nên y(xR :RyR) ⊆ I Theo Bổ đề 2.1.9

y(xR :RyR) = xR ∩ yR

Dẫn đến xR ∩yR ⊆ I Hơn nữa I bất khả quy mạnh kéo theo xR ⊆ I hoặc yR ⊆ I Từ đó

y∈ I Đưa đến

(I :RM) = xR ∪ I

Theo Định lý 1.1.12, (I :RM) ⊆ xR hoặc (I :R M) ⊆ I , mâu thuẫn Vậy (I :RM) = xR

ii) Theo i) I ⊂ (I :RM) = xR Suy ra M ⊆ (I :RxR) Mặt khác (I :RxR) là ideal thật

sự của R (do x /∈ I) Vì R là vành địa phương nên (I :RxR) = M Theo Bổ đề 2.1.9

2.2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành địa phương hóa 18

2.2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành địa phương hóa

Định lý 2.2.1 Cho S là tập con nhân của R Đặt C = {I ∩R|I là ideal của S−1R} Khi

đó tập tất cả ideal bất khả quy mạnh của S−1R tương ứng 1-1 với tập tất cả ideal bấtkhả quy mạnh của R thuộc C và không giao với S

Chứng minh Cho I là ideal bất khả quy mạnh của S−1R Khi đó I ∩ R 6= R,I ∩ R ∈ C

và (I ∩R) ∩S = /0 Giả sử A và B là hai ideal bất kỳ của R thỏa mãn A∩B ⊆ I ∩R Khi

đó do Bổ đề 1.1.22

S−1A∩ S−1B= S−1(A ∩ B) ⊆ S−1(I ∩ R) = I

Vì I bất khả quy mạnh nên S−1A⊆ I hoặc S−1B⊆ I Vì vậy do Bổ đề 1.1.6

A⊆ (S−1A) ∩ R ⊆ I ∩ Rhoặc

B⊆ (S−1B) ∩ R ⊆ I ∩ R

Theo đó I ∩ R bất khả quy mạnh trong R

Ngược lại, cho I là ideal bất khả quy mạnh trong R thỏa mãn I ∩S = /0 và I ∈ C Từ

đó S−1I6= S−1R Giả sử C, D là hai ideal bất kỳ của S−1Rthỏa mãn C ∩D ⊆ S−1I Khi

D= S−1(D ∩ R) ⊆ S−1I

Vậy S−1I là ideal bất khả quy mạnh trên vành S−1R

Hệ quả 2.2.2 Cho S là tập con nhân của R Khi đó

i) Nếu I là ideal nguyên sơ bất khả quy mạnh và không giao với S của R thì S−1I làideal bất khả quy mạnh của S−1R

ii) Nếu R là vành Noether thì có một tương ứng 1-1 giữa tập tất cả ideal bất khả quymạnh của S−1R và tập tất cả ideal bất khả quy mạnh của R mà không giao với S.Chứng minh i) Do I nguyên sơ và I ∩S = /0 Do Bổ đề 1.1.21 nên S−1I∩ R = I Do đó

I∈ C( C trong Định lý 2.2.1) Theo Định lý 2.2.1, ta thu được S−1I bất khả quy mạnhtrong S−1R

ii) Ta đã biết trong vành Noether, ideal bất khả quy mạnh là ideal nguyên sơ (theo

Bổ đề 2.1.3 i)) Do đó theo i), nếu I bất khả quy mạnh trong R thì S−1I bất khả quymạnh trong S−1R Ngược lại, nếu I bất khả quy mạnh trong S−1R thì theo định lý trên

ta cũng thu được I ∩ R bất khả quy mạnh trong R

Bổ đề 2.2.3 Cho vành R Những khẳng định sau tương đương:

i) Mọi ideal nguyên sơ của R bất khả quy mạnh

ii) Cho P là ideal nguyên tố bất kỳ của R Khi đó mọi ideal nguyên sơ của RP bất khảquy mạnh

iii) Cho M là ideal tối đại bất kỳ của R Khi đó mọi ideal nguyên sơ của RM bất khảquy mạnh

Chứng minh i) ⇒ ii) Cho I là ideal nguyên sơ của RP Khi đó I ∩R là ideal nguyên sơcủa R, (I ∩R) ∩(R− P) = /0 và I ∩R ∈ C (C trong Định lý 2.2.1) Theo đó I ∩R bất khảquy mạnh (do I bất khả quy mạnh)

ii) ⇒ iii) Hiển nhiên

iii) ⇒ i) Cho I là ideal nguyên sơ của R, và M là ideal tối đại của R chứa I Khi

đó IRM là ideal nguyên sơ của RM Theo đó IRM bất khả quy mạnh trong RM Suy ra

IRM∩ R là ideal bất khả quy mạnh của R Và do I là ideal nguyên sơ, nên IRM∩ R = I.Vậy I bất khả quy mạnh trong R