Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại trong vành giao hoán

Mở đầu Cấu tạo của iđêan là cấu trúc quan trọng nhất của một vành, trong vành giao hoán nó nh là nhóm con chuẩn tắc của một nhóm. Đúng vậy, cho một nhóm G, một tập con N của G là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu và chỉ nếu tồn tại một nhóm H và đồng cấu nhóm f : G H sao cho hạt nhân của nó bằng N. Chúng ta thấy rằng cho một vành giao hoán R, một tập con I của R là một iđêan của R nếu và chỉ nếu tồn tại vành giao hoán S và một đồng cấu g : R S sao cho hạt nhân của nó bằng I. Hơn nữa những khái niệm của iđêan nguyên tố và iđêan cực đại là trung tâm các ứng dụng của lý thuyết vành giao hoán trong hình học đại số, và lớp iđêan nguyên tố là lớp iđêan quan trọng nhất của lý thuyết vành giao hoán. iđêan nguyên tố của vành giao hoán có nhiều tính chất tơng tự ở trong miền iđêan chính (vành chính), chẳng hạn chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố trong vành giao hoán với phần tử nguyên tố của một miền iđêan (sẽ nói ở trong khoá luận) mà iđêan nguyên tố của vành bất kỳ không có tính chất đó. Mục đích chính của khoá luận là nghiên cứu lớp các iđêan nguyên tố và iđêan cực đại trong vành giao hoán, đa ra những vấn đề thiết yếu mà chúng cung cấp. Dới sự hớng dẫn nhiệt tình của Th.S. Đào Thanh Hà tôi đã tự tin để nghiên cứu giải quyết bài toán này. Qua đây tôi gửi lời cảm ơn chân thành tới, các thầy cô giáo, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và rèn luyện tại trờng Đại học Vinh. Bớc đầu tập nghiên cứu, khoá luận tốt nghiệp không tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn. Vinh, 5/2002 Tác giả 3 Trong luận văn nếu nh không nói gì thêm thì ta hiểu R là vành giao hoán có đơn vị, ký hiệu 1. 1. Định nghĩa. Cho I là iđêan của vành giao hoán R. Khi đó (i) I đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu: - I là iđêan thực sự của R - Với mọi x,y R mà x,y I thì x I hoặc y I. (ii) I đợc gọi là iđêan cực đại nếu: - I là iđêan thực sự của R. - Nếu có iđêan J của R sao cho I J R thì J = I hoặc J = R. (iii) Căn của I, ký hiệu I hoặc Rad(I): I = {x R| n : x n I} cũng là iđêan của R và gọi là iđêan căn của I. iv) I đợc gọi là iđêan nguyên sơ nếu - I là iđêan thực sự của R. - Với mọi x,y R mà xy I nhng xI thì tồn tại n sao cho y n I có nghĩa là x,y R và xy I kéo theo x I hoặc y I . Ví dụ: Xét vành số nguyên . Khi đó: - I = p m là iđêan nguyên sơ của (p là số nguyên tố, m ). - I = p là iđêan nguyên tố đồng thời là iđêan cực đại của . - Với I = 1 1 n p . k n k p (p 1 , ., p k là các số nguyên tố, n 1 , ., n k thì I = p 1 . p k Giả sử K là một trờng và R = K[X 1 , ., X n ] là vành đa thức trên K với các biến X 1 , ., X n ; a 1 , ., a n K. Khi đó (0) (X 1 - a 1 ) (X 1 - a 1 , X 2 - a 2 ) . (X 1 - a 1 , ., X n - a n ) là một dãy tăng ngặt các iđêan nguyên tố của R, trong đó (X 1 - a 1 , ., X n - a n ) là iđêan cực đại của R. 4 2. Định nghĩa. - Một phần tử 0 x R đợc gọi là lũy linh nếu tồn tại n sao cho x n = 0. - Tập hợp tất cả các phần tử lũy linh của R lập thành một iđêan, ký hiệu R hoặc (R). 3. Mệnh đề. Khi I là iđêan nguyên sơ của vành giao hoán R thế thì P = I là iđêan nguyên tố của R và ta nói I là P- nguyên sơ. Chứng minh. Vì I là iđêan thực sự của R nên 1I, do đó 1 I , vậy I R. Giả sử với x,y R mà xy I nhng x I , ta chứng minh y I . Vì xy I nên tồn tại n N sao cho (xy) n I, suy ra x n y n I. Theo giả thiết x I nên x n I, mà I nguyên sơ nên y n I tức tồn tại m sao cho (y n ) m I, hay y I . Vậy I nguyên tố. 4. Mệnh đề. Giả sử P là iđêan nguyên tố của vành giao hoán R. Thế thì n P = P, với mọi n . Chứng minh. Với x n P , ta thấy tồn tại m N sao cho x m P n hay x m = x 1 x 2 .x n trong đó x i P với i = 1, 2, ., n. Vì vậy x 1 x 2 .x n P (vì P là iđêan của P) hay x m P, mà P nguyên tố nên x P. Ngợc lại, với x P ta có x n P n hay x n P . Vậy mệnh đề đợc chứng minh. 5. Mệnh đề. Giả sử I là một iđêan của vành giao hoán R sao cho I = M là một iđêan cực đại của R. Thế thì I là iđêan nguyên sơ của R (I là M- nguyên sơ). 5 Vì vậy tất cả các lũy thừa dơng M n (n ) của iđêan cực đại M là M- nguyên sơ Chứng minh. Từ I I = M R, rõ ràng I là iđêan thực sự của R (vì M cực đại nên M là iđêan thực sự của R). Giả sử a,b R mà ab I nhng b I . Ta chứng minh a I. Vì I = M là iđêan cực đại và b M nên M + Rb = R, do đó I + Rb = R. Mặt khác Rb Rb nên I + Rb I + Rb R = I + Rb hay I + Rb = R. Theo2.25 (iv) [3]: Nếu P, Q là các iđêan của vành giao hoán R mà P + Q = R thì P + Q = R, ta có I + Rb = R. Do đó tồn tại d I, c R sao cho d + cb = 1, nên a = a.1 = a(d + cb) = ad + c(ab) I (vì d, ab I). Vậy ta có a I hay I là iđêan nguyên sơ. Vì M là iđêan cực đại nên M nguyên tố, do đó theo 4 mệnh đề ta có n M = M, với mọi n . Nên theo chứng minh trên ta có M n (n ) là iđêan M- nguyên sơ. 6. Định nghĩa và mệnh đề. Một iđêan I của vành giao hoán R đợc gọi là bất khả quy nếu I = I 1 I 2 trong đó I 1 , I 2 là các iđêan của R thì hoặc I = I 1 hoặc I = I 2 . Ta có mọi iđêan nguyên tố đều bất khả quy. Chứng minh. Giả sử I là iđêan nguyên tố và I = I 1 I 2 , giả sử I I 1 ta chứng minh I = I 2 . Vì I I 1 , I I 1 nên tồn tại phần tử x I 1 , x I. Gọi phần tử bất kỳ y I 2 , ta có xy I 1 (vì I 1 là iđêan của R); xy I 2 ( vì I 2 là iđêan của R), suy ra xy I 1 I 2 hay xy I, mà I là iđêan nguyên tố, x I nên y I. Nh vậy với phần tử bất kỳ y I 2 ta đều suy ra y I nên I 2 I, mặt khác I I 2 (vì I = I 1 I 2 ), do đó I = I 2 . 6 7. Chú ý. - Vì ở đây ta xét R là vành có đơn vị nên mỗi iđêan cực đại của R đều là iđêan nguyên tố. Thật vậy, giả sử P là iđêan cực đại của R. Giả sử u,v R sao cho uv P và u P, khi đó P + Ru là một iđêan chứa P và khác P (khác P vì 0 + 1.u P nhng 0 + 1.u P + Ru) do đó P + Ru = R, mặt khác 1 R 1 P + Ru 1 = a + ru, a P, r R. Nhân hai vế với v ta có v = av + ruv, aP suy ra avP; uvP suy ra ruvP, từ đó ta có av + ruv P hay v P. Vậy P là iđêan nguyên tố. Hoặc ta có thể chứng minh điều trên nhờ kết quả sau: Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó ta có: I nguyên tố khi và chỉ khi R/I là miền nguyên. I cực đại khi và chỉ khi R/I là một trờng. Vậy một iđêan cực đại của vành có đơn vị luôn là iđêan nguyên tố. - Có những vành chứa iđêan cực đại mà không nguyên tố (dĩ nhiên là vành không có đơn vị). Thật vậy, gọi X = p là tập hợp các lớp đồng d theo môđunp, với p là số nguyên tố. Ta định nghĩa phép cộng trên X là phép cộng thông th- ờng trên p , có nghĩa là baba +=+ , định nghĩa phép nhân trong X nh sau: a ì b = 0 , với mọi a , b p . Khi đó dễ dàng thấy rằng (X, +, ì) là một vành. Ta có (0) = { 0 } là iđêan cực đại của X nhng không phải là iđêan nguyên tố. (0) là iđêan cực đại của X. Giả sử có một iđêan I của X sao cho (0) I X và giả sử I (0), ta chứng minh I = X. Vì I (0) nên tồn tại a I, 0 < a < p. Vì I là iđêan của X nên a + a = 2 a I, 2 a + a = 3 a I, ., ap )1( I, do đó A = { 0 , a , 2 a , ., ap )1( } I. Ta thấy các phần tử trong A đôi một khác nhau, vì với hai phần tử 7 ma , na bất kỳ thuộc A mà m > n, ta có p > m > n > 0 0 < m - n < p (m-n)a / p hay ma na . Vậy tập A gồm p lớp đồng d khác nhau theo môđun p, nên A = X. Theo trên ta có A I X mà A = X nên ta có I = X. (0) không phải là iđêan nguyên tố của X . Vì với a , b 0 của X ta có a . b = 0 (0) nhng a (0) và b (0). - Một iđêan nguyên tố cha hẳn đã là iđêan cực đại, chẳng hạn iđêan 0 của vành là nguyên tố nhng 0 2 nên 0 không phải là iđêan cực đại của . Trong một vành chính, các iđêan nguyên tố khác 0 là các iđêan cực đại. Giả sử X là vành chính, P là iđêan nguyên tố khác 0 của vành X, thế thì P = (a) với 0 a X. Giả sử P I X, I là iđêan của X và P I. Vì X là vành chính nên mọi iđêan của X là iđêan chính, do đó I = (b). Vì a P suy ra a I hay a = bc P. Ta có b (a) vì nếu b (a) khi đó (b) (a), vô lý vì P I, P I. Nh vậy b P mà P nguyên tố nên c P = (a), suy ra c = ax, x X, từ đó ta có bc = bax hay a = bax, vì vậy bx = 1, mà I = (b) nên bx = 1 I. Vậy iđêan I của vành X chứa đơn vị nên I = X. Do đó P là iđêan cực đại của X. 8. Mệnh đề. Giả sử I là iđêan của vành giao hoán R, giả sử J là iđêan của R với J I, thế thì iđêan I J của I R là nguyên tố khi và chỉ khi J là iđêan nguyên tố của R. Ta có đẳng cấu vành f : I J I R J R (r + I) + I J r + J 8 Vì vậy I J I R là miền nguyên khi và chỉ khi R/J là miền nguyên có nghĩa là J/I là iđêan nguyên tố của R/I khi và chỉ khi J là iđêan nguyên tố của R. áp dụng mệnh đề 8 ta có thể xác định các iđêan nguyên tố của vành /60 = 60 gọi là vành các lớp thặng d của tập các số nguyên theo môđun 60 nh sau: Ta có 60 m với m là ớc của 60 và m /60 là iđêan của /60 , /60 là iđêan nguyên tố của /60 khi và chỉ khi m là iđêan nguyên tố của khi và chỉ khi m là số nguyên tố. Vậy m là số nguyên tố, m là ớc của 60, cho nên m = 2, 3, 5. Do đó ta có các iđêan nguyên tố trong vành /60 là 2 /60 , 3 /60 và 5 /60 . 9. Nhắc lại. Giả sử V là một tập hợp khác . Một quan hệ trên V đợc gọi là quan hệ thứ tự trên V khi nó phản xạ (u u, với mọi u V), bắc cầu (nếu u v, v w với u, v, w Vthì kéo theo u w) và phản xứng (u v và v w với u, v V kéo theo u = v). Nếu là quan hệ thứ tự trên V thì ta viết (V, ) là tập sắp thứ tự. Tập sắp thứ tự (V, ) đợc gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu với mỗi u,v V thì một trong các trờng hợp sau phải xảy ra: u v; v u. Tất nhiên mỗi tập con W khác của tập sắp thứ tự (V, ) chúng ta có thể xem đó có phải là tập sắp thứ tự toàn phần hay không. Giả sử W là tập con khác của tập sắp thứ tự (V, ). Một phần tử u V đợc gọi là cận trên của W nếu w u, mọi w W. Nếu (V, ) là tập sắp thứ tự thì 9 với u,v V ta viết u < v nếu u v và u v. Một phần tử m V đợc gọi là phần tử cực đại của V nếu và chỉ nếu m v với v V kéo theo m = v. Bây giờ chúng ta đã có tất cả các thuật ngữ cần dùng cho bổ đề Zorn. 10. Bổ đề Zorn. Giả sử (V, ) là tập sắp thứ tự (khác rỗng) mà mọi tập con khác rỗng sắp thứ tự toàn phần của V có cận trên thuộc V. Khi đó V có phần tử cực đại. Trớc hết chúng ta sử dụng bổ đề Zorn trong khoá luận này để chứng minh có ít nhất một iđêan cực đại trong một vành giao hoán không tầm thờng tùy ý. 11. Mệnh đề. Giả sử R là vành giao hoán không tầm thờng thì R sẽ có ít nhất một iđêan cực đại. Chứng minh. Gọi là tập hợp tất cả các iđêan của R, khác R. Trên xét quan hệ thứ tự bao hàm (I, J , I J I J). Ta có vì (0) . Với mọi xích I 1 I 2 . I n Gọi A = I I n cũng là một iđêan của R và A R (vì nếu A = R thì tồn tại I n = R), cho nên A và A là cận trên của xích trên. Theo bổ đề Zorn trong có phần tử cực đại và phần tử cực đại đó chính là iđêan cực đại của R. 12. Hệ quả. Mỗi iđêan I R trong vành R 0 luôn nằm trong một iđêan cực đại. Chứng minh. Xét vành R/I, vì I R nên R/I 0. Theo mệnh đề 11, ta thấy trong vành R/I luôn tồn tại iđêan cực đại J/I. Mặt khác, theo mệnh đề 8 ta có J/I là iđêan cực đại của R/I khi và chỉ khi J là iđêan cực đại của R. Vậy I J với J là iđêan cực đại của R. 13. Định nghĩa và mệnh đề. Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của vành giao hoán R đợc gọi là phổ của vành R, ký hiệu Spec(R). P là iđêan cực đại của R khi và chỉ khi là phần tử cực đại của Spec(R). 10 Spec( ) = p (p = 0 hoặc p nguyên tố). Giả sử P là iđêan cực đại của R nhng P không phải là phần tử cực đại của Spec(R), khi đó tồn tại P Spec(R) sao cho P P, P P vì ngời ta không xem R là iđêan nguyên tố của nó nên P R, P R. Vậy P P R, P R mâu thuẫn với giả thiết P là iđêan cực đại của R. Vậy P là phần tử cực đại của Spec(R). Ngợc lại giả sử P là phần tử cực đại của Spec(R) nhng P không phải là iđêan cực đại của R. Vì P Spec(R) nên P R mà R 0 nên theo hệ quả 12 ta có P P với P là iđêan cực đại của R, từ đó ta có P Spec(R). Vì theo trên ta giả sử P không phải là iđêan cực đại của R mà P là iđêan cực đại của R nên P P, vậy P P, P P, P Spec(R) nên trái với giả thiết P là phần tử cực đại của Spec(R). Vậy P là iđêan cực đại của R. 14. Mệnh đề. Một phần tử của vành giao hoán R là khả nghịch khi và chỉ khi nó không nằm trong iđêan cực đại nào cả. Chứng minh. Trớc hết ta thấy rằng, với a R thì a khả nghịch khi và chỉ khi aR = R hay (a) = (1 R ). Thật vậy, nếu a khả nghịch khi đó với mọi x (a) thì x = ar, r R, ta có ar = 1.(ar) (1 R ). Vậy (a) (1 R ), với mọi x (1 R ) thì x = 1.x mà a khả nghịch nên tồn tại a R sao cho aa = 1, do đó x = 1.x = (aa)x = a(a x ) (a), vậy (1 R ) (a). Từ đó ta có (a) = (1 R ). Ngợc lại, nếu (a) = (1 R ) thì 1 (a), suy ra 1 = aa, a R hay a khả nghịch. Nếu a M với M là iđêan cực đại nào đó của R thì ta có aR M R, vì M là iđêan cực đại của R nên M R, vậy aR R. Do đó theo chứng minh trên a không khả nghịch, trái với giả thiết. Vậy nếu a khả nghịch thì a không nằm trong iđêan cực đại nào của R. Ngợc lại nếu a không nằm trong iđêan cực đại nào của R, ta chứng minh a khả nghịch. Giả sử a không khả nghịch, khi đó aR R mà aR R nên R 11 0, theo hệ quả 12 thì aR nằm trong iđêan cực đại của R, suy ra a.1 = a nằm trong iđêan cực đại đó, trái với giả thiết, vậy a khả nghịch. Có một tên gọi đặc biệt cho vành giao hoán nào mà có đúng một iđêan cực đại. 15. Định nghĩa. Một vành giao hoán R có đúng một iđêan cực đại M đợc gọi là vành địa phơng. Trong trờng hợp này, trờng R/M đợc gọi là trờng thặng d của R. Một trờng là ví dụ của vành giao hoán có đúng một iđêan cực đại, đó là iđêan 0 và là iđêan thực sự duy nhất. 16. Mệnh đề. Giả sử R là vành giao hoán. Thế thì R là vành địa phơng nếu và chỉ nếu tập hợp tất cả các phần tử không khả nghịch của R là một iđêan. Chứng minh. () Giả thiết R là vành địa phơng với iđêan cực đại M. Theo mệnh đề 14 thì M là tập hợp không chứa các phần tử khả nghịch của R. Khi đó M chính là tập hợp tất cả các phần tử không khả nghịch của R. Thật vậy, lấy một phần tử không khả nghịch bất kỳ a R ta chứng minh a M. Giả sử a M thì vì M là iđêan cực đại duy nhất của R nên a không thuộc iđêan cực đại nào cả, do đó theo định lý 14 thì a khả nghịch, trái với giả thiết ở trên. Vậy tập hợp tất cả các phần tử không khả nghịch của R là iđêan M. () Giả sử tập hợp tất cả những phần tử không khả nghịch của R là iđêan I của R. Từ đó ta có 0 I, do đó 0 không phải là phần tử khả nghịch, hơn nữa ta luôn xét vành R có phần tử đơn vị cho nên 0 1, vì vậy R không tầm thờng. Theo mệnh đề 11 thì R có ít nhất một iđêan cực đại. Gọi M là iđêan cực đại của R. Khi đó M chỉ chứa các phần tử không khả nghịch của R nên M I R. Vì 1 I nên I R mà M cực đại nên M = I. Nh vậy mọi iđêan cực đại của R đều bằng I, hay R có iđêan cực đại duy nhất là I. Do đó R là vành địa phơng. Khái niệm iđêan cực đại của vành giao hoán ngay lập tức đa đến khái niệm rất quan trọng là căn Jacobson của vành giao hoán. 12