Iđêan nguyên tố trong vành giao toán

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======***====== LÊ THị MAI PHƯƠNG IĐÊAN NGUYÊN Tố TRONG VàNH GIAO HOáN Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: Đại số Giáo viên hớng dẫn: TS. nguyễn thị hồng loan Sinh viên thực hiện : lê thị mai phơng Lớp : 44b - toán Vinh, 05/2007 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======***====== LÊ THị MAI PHƯƠNG IĐÊAN NGUYÊN Tố TRONG VàNH GIAO HOáN Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: Đại số Vinh, 05/2007 MụC LụC Lời nói đầu 2 Chơng 1. Phổ nguyên tố 3 Đ1. Iđêan nguyên tố 3 Đ2. Phổ nguyên tố 7 Đ3. Độ cao của iđêan nguyên tố 13 Chơng 2. Iđêan nguyên tố trong một số lớp vành 20 Đ1. Iđêan nguyên tố trong vành các thơng 20 Đ2. Iđêan nguyên tố trong vành Noether 23 Đ3. Iđêan nguyên tố trong vành Artin 26 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 28 Lời nói đầu Khái niệm iđêan nguyên tố đóng vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán cũng nh trong việc nghiên cứu cấu trúc vành. Vì thế việc tìm hiểu và nghiên cứu về iđêan nguyên tố là rất cần thiết. Luận văn nghiên cứu về phổ nguyên tố của một vành tức là tập tất cả các iđêan nguyên tố của một vành và tìm hiểu về phổ nguyên tố trong một số lớp vành cụ thể. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo luận văn đợc chia làm hai chơng. Chơng I trình bày về phổ nguyên tố. Trong chơng này chúng tôi nêu định nghĩa khái niệm iđêan nguyên tố và chứng minh một số tính chất của iđêan nguyên tố. Trong Chơng II chúng tôi nghiên cứu về iđêan nguyên tố trong vành các thơng và trong các lớp vành nh vành Noether và vành Artin. Trong toàn bộ luận văn luôn giả thiết vành là giao hoán và có đơn vị. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình, tận tâm của cô giáo, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Đại số và các bạn sinh viên cùng khóa đã động viên em hoàn thành bản luận văn này. Sinh viên Lê Thị Mai Phơng Chơng I. Phổ nguyên tố Đ 1. iđêAN NGUYÊN Tố 1.1.Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán, P là một iđêan thực sự của R. Ta nói P là iđêan nguyên tố của R nếu với a,b R mà ab P thì hoặc a P hoặc b P. 1.2.Ví dụ. 1) Xét vành các số nguyên Z, P=pZ là một iđêan của Z. Khi đó P là iđêan nguyên tố của Z khi và chỉ khi p là số nguyên tố. Thật vậy: i) Giả sử P là iđêan nguyên tố củaZ, chứng minh p là số nguyên tố. Giả sử ngợc lại p là hợp số suy ra p=ab, với a,b Z , 1<a,b<p. Suy ra a,b pZ=P. Mặt khác p=p.1=ab pZ tức ab pZ nhng a,b pZ, điều này là vô lý. Vậy p là số nguyên tố. ii) Giả sử p là số nguyên tố, chứng minh P=pZ là iđêan nguyên tố. Điều này là hiển nhiên vì giả sử ab P= pZ mà a P . Khi đó ab pM mà a p / M do vậy b pM , hay b P . Vậy P=pZ là iđêan nguyên tố. 2) Cho K là một trờng, K [ ] x là vành đa thức trên trờng K, f(x) K [ ] x là một đa thức bất khả quy trong vành K [ ] x . Khi đó iđêan sinh bởi f(x) là iđêan nguyên tố. 1.3. Mệnh đề. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là một iđêan của R. Khi đó I là iđêan nguyên tố của R khi và chỉ khi R/I là miền nguyên. Chứng minh. (i) Giả sử I là iđêan nguyên tố của R, chứng minh R/I là miền nguyên. Thật vậy, vì R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan của R nên R/I là vành giao hoán có đơn vị. Do đó ta chỉ cần chứng minh R/I không chứa ớc của không. Giả sử x , y R/I sao cho x y = 0 (trong R/I) suy ra (x + I)(y+I)=I hay xy +I =I do đó xy I vì I là iđêan của R nên hoặc x I hoặc y I suy ra x = 0 hoặc y = 0 (trong R/I). Vậy R/I không chứa ớc của không hay R/I là miền nguyên. ii) Giả sử R/I là miền nguyên, chứng minh I là iđêan nguyên tố Thật vậy, x,y I mà xy I suy ra x y = 0 (trong R/I). Vì R/I là miền nguyên nên hoặc x = 0 hoặc y = 0 hay hoặc x I hoặc y I. Do đó I là iđêan nguyên tố. Vậy bổ đề đợc chứng minh. 1.4. Nhận xét. Trong vành giao hoán R, mọi iđêan cực đại của R đều là iđêan nguyên tố. Tuy nhiên điều ngợc lại không đúng, ví dụ 0 là iđêan nguyên tố của vành số nguyên Z nhng 0 không là iđêan cực đại vì 2Z là một iđêan của Z mà 2Z 0. 1.5. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán, S là một tập con của R. Khi đó ta gọi S là tập nhân đóng của R nếu 1 S và Sba , thì Sab . Chẳng hạn, nếu P là iđêan nguyên tố của R thì PRS \ = là tập nhân đóng của R, hoặc nếu f R thì { } NnfS n = : là tập nhân đóng của R. 1.6. Định lý. Cho R là vành giao hoán, I là một iđêan của R, R I là tập tất cả các iđêan của R, S là tập nhân đóng của R thoả mãn = IS ỉ. Khi đó tập hợp = { } = SJIJIJ R ,: các iđêan của R có ít nhất một phần tử cực đại và phần tử cực đại bất kỳ của là iđêan nguyên tố. Chứng minh. (i) Vì I nên . (ii) Giả sử là một tập con đợc sắp thứ tự trên . Khi đó = J JQ là một iđêan của R và = SQIQ , (vì Q đóng kín với phép cộng và ', JJ thì 'JJ hoặc JJ ' ). Nh vậy Q là một cận trên của trong . Theo Bổ đề Zorn thì có phần tử cực đại. iii) Giả sử P là phần tử cực đại bất kỳ của . Khi đó : ( ) = SdoP SP RP idean 11 . Giả sử PRaa \', , suy ra Paa ', . Vậy để chứng minh P là iđêan nguyên tố ta chứng minh Paa ' . Thật vậy: Nếu Pa , ta có aRPPI + . Do tính cực đại của P trong nên + SaRP suy ra SsRrPu ,, sao cho srau =+ . . (1) Nếu Pa ' , ta có RaPPI '.+ . Do tính cực đại của P trong nên + SRaP '. suy ra SsRrPu ',',' sao cho '''' srau =+ . (2) Từ (1) và(2) ta có '''''')''')((' rraauraaruuurauaruss +++=++= . Vì S là tập nhân đóng của R nên Sss ' , hơn nữa Puraaruuu ++ '''' (do tính chất hấp thụ của iđêan). Mà = SP cho nên Prraa '' , suy ra Paa ' . Vậy P là iđêan nguyên tố của R. 1.7. Chú ý. Cho ' : RRf là đồng cấu vành. (i) Nếu P' là iđêan nguyên tố của vành R' thì )(' 1 PfP c = là iđêan nguyên tố của vành R. Thật vậy với Rba , mà c Pab ' thì ')( Pabf . Suy ra ')()( Pbfaf . Do đó ' )( Paf hoặc ' )( Pbf (vì P' là iđêan nguyên tố) suy ra c Pa ' hoặc c Pb ' . Vậy c P ' là iđêan nguyên tố. (ii) Cho P là iđêan nguyên tố của vành R thì ))(( PfP e = là iđêan sinh bởi f(P) cha chắc là iđêan nguyên tố của vành R'. Thật vậy: Xét phép nhúng :j Z Q, giả sử pP = Z là iđêan nguyên tố của vành Z và 0 P suy ra e P =Q (vì Q chỉ có hai iđêan là 0 và Q, hơn nữa vì 0 P nên e P 0 do đó e P =Q ). Do Q không là iđêan nguyên tố nên e P không là iđêan nguyên tố. 1.8. Mệnh đề. Cho R là vành giao hoán, P là iđêan nguyên tố của vành R. Giả sử n III , .,, 21 là các iđêan của vành R. Khi đó các phát biểu sau là tơng đơng: i) , j P I với một chỉ số j nào đó thoả mãn 1 .j n ii) ; 1 n i i IP = iii) . 1 = n i i IP Chứng minh. )) iii : hiển nhiên; )) iiiii : hiển nhiên; )) iiii : Giả sử ;1:, njjIP j / Khi đó : PIja j \ ,vì vậy: PIaaa n i in \ 1 21 = (vì P là iđêan nguyên tố). Điều này mâu thuẫn với iii). Vậy bổ đề đợc chứng minh. Định lý sau đây đợc gọi là định lý tránh nguyên tố. 1.9. Định lý. (i) Cho R là vành giao hoán. Giả sử ( ) 2, .,, 21 nPPP n là các iđêan nguyên tố của R. Cho I là iđêan của R thỏa mãn n i i PI 1 = . Khi đó nii 1, sao cho i PI . ii) Giả sử m III , .,, 21 là các iđêan của vành R. Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R thoả mãn m i i IP 1= thì mii 1, sao cho i IP . Đặc biệt nếu m i i IP 1= = thì mii 1, sao cho i IP = . Chứng minh. (i) Quy nạp theo n. Với n=1, Định lý hiển nhiên đúng. Giả sử 1 > n và định lý đã đợc chứng minh với mọi số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 1 n . Ta chứng minh định lý đúng với n. Giả sử ngợc lại i PI / , ni ,1 = . Khi đó theo giả thiết quy nạp ta có ti i PI , nt ,1 = . Suy ra Ix t , it Px , ni ,1 = , ti . Nếu t sao cho tt Px thì n i it Px 1 = , do đó n i i PI 1 = / (vì Ix t mà n i it Px 1 = ). Điều này trái giả thiết nên nii 1, sao cho i PI . Do đó mệnh đề đợc chứng minh. Nếu tt Px , nt ,1 = . Xét phần tử = = n t nt xxxx 1 1 . . , khi đó Ix . Ta sẽ chứng minh tt Px , tức là cần chứng minh i Px , ni ,1 = . Thật vậy, giả sử i Pxi , suy ra int Pxxx , ., , . 1 . Khi đó it Px với it (mâu thuẫn với cách chọn phần tử t x ). Vì thế n i i Px 1 = , hay n i i PI 1 = / (trái giả thiết). Vậy nii 1, sao cho i PI . (ii) Giả sử i IP , mi ,1 = . Với mỗi mi ,1 = ta chọn PxIx iii , . Đặt m xxxx . 21 = . Ta có x P ( do x i P mi ,1 = và P nguyên tố ). Khi đó, x I 1 I 2 I m m i i I 1 = . Suy ra / P m i i I 1 = ( giả thiết ) do vậy i, 1 i m sao cho P I i . Hơn nữa nếu P = m j j I 1 = thì P = m j j I 1 = I i P. Vậy P = I i . Đ 2. PHổ NGUYÊN Tố Cho R là vành giao hoán. Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của R đợc ký hiệu là Spec(R). Cho I là tập con của R, ký hiệu V(I)= { )(RSpecP | } IP . 2.1. Ví dụ. a)Xét vành các số nguyên Z. Ta có : Spec(Z)= { pZ | p=0 hoặc p là số nguyên tố } . b) Cho K là một trờng. Xét R=K [ ] x là vành đa thức một biến trên K . Khi đó: Spec(R)= ( ){ ( )( ) xf,0 | f(x) là đa thức bất khả quy trong K[x] } . c) Cho K là một trờng. Xét R=K [ ] yx, là vành đa thức hai biến trên K. Spec(R)= ( ){ ( )( ) ( )( ) bxaxyxf ,,,0 | f(x,y) là đa thức bất khả quy, a,b K } . Cho I là một iđêan của R. Khi đó { } | , n I x R n N x I= là một iđêan của R và đợc gọi là căn của iđêan I. Rõ ràng I I . 2.2. Định lý. i) Cho E là một tập con của R và I là một iđêan sinh bởi E. Khi đó V(E)= V(I)=V ( ) I . ii) V(0)=Spec(R), V(R)=ỉ. iii) Nếu { } Ii i I là một họ bất kỳ các tập con của R thì ( ) i i i I i I V I V I = ữ U I . iv) Nếu I và J là 2 iđêan bất kỳ của R thì V ( ) JI =V ( ) IJ =V(I) V(J). Chứng minh: (i) Ta có V(E)= { )(RSpecP | } P E = { )(RSpecP | } , i i P x x E = { )(RSpecP | } , , i i i i P x a x E a R = { )(RSpecP | } , , i i i i P x a x E a R = { )(RSpecP | } P I =V(I). Mặt khác V(I)= { )(RSpecP | } P I = { )(RSpecP | } , i i P y y I = { )(RSpecP | } 2 . , i i i i P y y y y I = (do P là iđêan nguyên tố) = . = { )(RSpecP | , , n i i P y y I n N } = { )(RSpecP | } P I =V( I ). Vậy ta có V(E)=V(I)= V( I ). ii) V(0)= { )(RSpecP sao cho } 0P = spec(R). V(R)= { )(RSpecP sao cho } RP = ỉ . iii) Vì i i i I I I U nên theo định nghĩa V(I) ta có ( ) i i i I V I V I ữ U , .i I Do đó ( ) i i i I i I V I V I ữ U I . (4)