Một số bài toán về IĐÊAN trong vành đa thức

1 Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh khoa toán ------------ Phạm thị thanh bình Một số bài toán về idean ------- ------- khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học Giáo viên hớng dẫn: TS. Nguyễn Thị Hồng Loan Sinh viên thực hiện : Phạm Thị Thanh Bình Lớp: 41B 1 Khoa toán- Đại học Vinh VINH, THNG 5 - 2004 lời nói đầu Vành đa thức là một lớp vành quen thuộc. Nó là đối tợng mà ngời ta th- ờng lấy làm ví dụ minh hoạ cho các vấn đề trong nhiều ngành toán học nh Hình học, Đại số, Giải tích, Mặt khác, đối với mỗi vành, khái niệm iđêan là khái niệm quan trọng nhất để nghiên cứu cấu trúc của vành. Cho R=K[x 1 ,,x n ] là vành đa thức n biến trên trờng K. Trong vành này ngời ta quan tâm đến các bài toán sau. 1. Bài toán thành viên: Cho f R và I= (f 1 ,,f s ) R là một iđêan của vành. Xác định xem f I ? 2. Giải hệ phơng trình đại số : Tìm nghiệm của hệ phơng trình f 1 (x 1 ,,x n )==f s (x 1 ,,x n )=0 3. Bài toán tìm giao và thơng và thơng: Cho I = (f 1 ,,f r ) và J = (g 1 ,,g s ). Tìm h 1 ,, h p R, l 1 ,,l q R, sao cho I J = (h 1 ,,h p ). I : J=(l 1 ,,l q ). 4. Bài toán khử biến: Cho I = (f 1 ,,f r ) là iđêan của R và m < n. Tìm h 1 , ,h p K[x 1 ,,x m ] để I K[x 1 ,,x m ] =(h 1 ,,h p ). 5. Bài toán phân tích một iđêan thành giao của các iđêan bất khả qui. Khi n 2, ngay cả trong những ví dụ tởng nh đơn giản, cũng không thấy có lời giải hiển nhiên cho các bài toán này. Dùng lý thuyết cơ sở Grobner chúng ta có thể giải quyết đợc những bài toán trên (xem [1]). Nh ta đã biết, lớp các iđêan đơn thức đóng một vai trò hết sức quan trọng trong vành đa thức, mặc dù chúng là những iđêan khá đơn giản, iđêan sinh bởi các đơn thức. Mục đích của luận văn này là tìm lời giải cho một số trong những bài toán nói trên trong trờng hợp iđêan đơn thức. Nội dung của luận văn đợc viết thành hai chơng. Chơng I, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về lý thuyết vành, lý thuyết iđêan và một số kiến thức về vành đa thức. Đặc biệt trong chơng này 2 chúng tôi đã giải quyết đợc bài toán tìm phần tử sinh cho iđêan trong vành đa thức một biến. Chơng II, chúng tôi tìm lời giải cho bài toán thành viên, Bài toán tìm giao và thơng, Bài toán phân tích iđêan thành giao của các iđêan bất khả qui. Đặc biệt đối với mỗi bài toán chúng tôi đều đa ra khá nhiều ví dụ minh hoạ. Để hoàn thành luận văn này tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình của Tiến sỹ Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sỹ Nguyễn Thị Hồng Loan, cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là tổ Đại số đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này. Mặc dầu đã hết sức cố gắng nhng không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong muốn nhận đợc ý kiến góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn. Vinh, 4/2004 3 Chơng I. vành đa thức Đ.1. một số kiến thức cơ bản về vành 1.1 Khái niệm vành 1.1.1 Định nghĩa. Ta gọi vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi đã cho trong R kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu cộng và nhân gọi là phép cộng và nhân sao cho các điều kiện sau thoả mãn. 1) R cùng với phép cộng là một nhóm aben. 2) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm. 3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng. x(y+z)=x.y+x.z (y+z)x=y.x+z.x x,y,z R - Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không của vành. - Phần tử đối xứng (đối với phép cộng ) của một phần tử x, kí hiệu là - x và gọi là đối của x. Nếu phép nhân là giao hoán thì bảo vành R là vành giáo hoán. Nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi đó là phần tử đơn vị của vành R và thờng kí hiệu là e hoặc 1(nếu không sợ nhầm lẫn). 1.1.2. Ví dụ : +) Tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân thông th- ờng là một vành giao hoán, có đơn vị gọi là vành các số nguyên. Ta cũng có vành các số hữu tỷ Q, vành các số thực R, vành các số phức C đối với phép cộng và nhân thông thờng. +)Tập hợp các số tự nhiên N cùng với phép cộng và phép nhân không phải là một vành vì không tồn tại phần tử đối của phần tử a 0. Để thuận tiện, từ nay về sau ta luôn giả thiết vành là giao hoán và có đơn vị. 1.2. Iđêan. 1.2.1. Định nghĩa. i) một iđêan trái của vành R là một vành con A R có tính hấp thụ đối vơí phép nhân từ bên trái tức là : ra A, r R. a A. 4 ii) Một iđêan phải của vành R là một vành con A R có tính hấp thụ đối với phép nhân từ bên phải, tức là: ar A, r R, a A. iii) Nếu vành con A R vừa là một iđêan trái vừa là một iđêan phải thì nó đ- ợc gọi là một iđêan Đối với vành giao hoán các khái niệm iđêan, iđêan trái, iđêan phải là trùng nhau. 1.2.2. Ví dụ a) Bộ phận {0} và bộ phận R là hai iđêan của vành R. b) Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trớc là một iđêan của vành các số nguyên Z 1.2.3. Một số khái niệm khác. 1.2.3.1. Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh. Cho R là một vành và S là một tập con của R. Khi đó giao của tất cả các iđêan của R chứa S là iđêan bé nhất của R chứa S. Iđêan đó đợc gọi iđêan sinh bởi S. Ký hiệu là I = < S >. Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì iđêan sinh bởi S đợc gọi là iđêan hữu hạn sinh. Giả sử S = {s 1 ,s 2 , s n }thì I = < S >= <s 1 s 2 > = { = n 1i ii sr r i R,s i s}. Chú ý: (i) Cho I = (a 1 , a n ) và J = (b 1 b n ) là hai iđêan hữu hạn sinh của vành R. Khi đó I J nếu và chỉ nếu a i J, i = 1,,n. từ đó suy ra I = J khi và chỉ khi a i J và b j I i = 1,, n và j = 1,, m. (ii) Iđêan I = R khi và chỉ khi 1I. 1.2.3.2. Iđêan nguyên sơ. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, F là một iđêan của vành R, F đợc gọi là iđêan nguyên sơ nếu x,y R, xy F và nếu x F thì tồn tại số tự nhiên n sao cho y n F. 5 1.2.3.3. Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại. Iđêan P của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu P R và với mọi x,y R mà xy P thì suy ra hoặc x P hoặc y P. Iđêan M của vành R đợc gọi là cực đại nếu M R và không tồn tại iđêan I M sao cho I M và I R. Nói cách khác M là cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập các iđêan thực sự của vành R. Ví dụ: Trong miền chính Z, iđêan nZ là nguyên tố nếu và chỉ nếu n là một số nguyên tố. Thật vậy, giả sử nZ là iđêan nguyên tố. Ta có n nZ. Nếu n là một hợp số thì n = r.s (1 < r, s < n). Tuy nhiên r nZ và s nZ. Do đó nZ không phải là iđêan nguyên tố. Mâu thuẫn suy ra n nguyên tố. Ngợc lại nếu n = p là một số nguyên tố và xy pZ, thì xy chia hết cho p. Khi đó hoặc x chia hết cho p, hoăc y chia hết cho p, có nghĩa là x pZ hoặc y pZ . Vậy pZ là một iđêan nguyên tố hay nZ là iđêan nguyên tố. Chú ý rằng : P là iđêan nguyên tố của vành R khi và chỉ khi R/P là miền nguyên. M là iđêan cực đại của vành R khi và chỉ khi R/M là một trờng 1.2.3.4. Iđêan chính. iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính. Ví dụ: Trong vành các số nguyênZ, mọi iđêan đều có dạng mZ,với m là một số nguyên nào đó nên chúng là iđêan chính :mZ =(m). 1.2.3.5. Iđêan bất khả qui. Cho I là một iđêan, ta nói rằng iđêan I bất khả qui nếu I=I 1 I 2 với I 1 , I 2 là 2 iđêan của vành R thì I 1 = I hoặc I 2 = I, nghĩa là I không phân tích đợc thành giao của 2 iđêan thực sự chứa nó 1.3. Vành Noether. 1.3.1. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu I 0 I 1 I 2 I n I n+1 là 1 dãy tăng các iđêan trong R thì tồn tại một số tự nhiên n sao cho I n = I n+1 = 6 Chúng ta có thể nhận biết vành Noether qua nhiều đặc trng khác nhau thể hiện qua định lý sau đây. 1.3.2.Định lý. Giả sử R là một vành khi đó các điều kiện sau là tơng đơng (i).Mọi tập khác rỗng các iđêan trong vành R đều có phân tử cực đại (ii).Mọi iđêan trong vành R đều hữu hạn sinh (iii).Mọi dãy tăng các iđêan trong R đều dừng. Chứng minh. (i) (ii).Giả sử I là một iđêan của vành R và a 1 I nếu I = < a 1 > .(Vì I là hữu hạn sinh) Nếu I <a 1 > thì thì tồn tại a 2 I nhng a 2 <a 1 >.Tiếp tục quá trình suy luận này thu đợc dãy Iđêan : <a 1 > < a 1 ,a 2 > < a 1 ,a 2 ,a 3 > (1) theo (i) trong dãy (1) có phần tử cực đại (a 1 , ,a n ) nào đó. Rõ ràng I = < a 1 ,a n > (theo định nghĩa vành Noether). Do đó I là iđêan hữu hạn sinh. (ii) (iii). Giả sử I là hợp của tất cả iđêan trong dãy tăng I 1 I 2 . . Khi đó I là một iđêan của R và do đó nó đợc sinh ra bỡi hữu hạn phần tử x 1 ,, x k , mỗi x i đều thuộc một iđêan trong dãy tăng kể trên. Vì thế có một iđêan chứa tất cả x 1 ,,x k . Ta có I n = < x 1 ,,x k > = I. Vậy. I n =I n+1 = (iii)(i) :Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử là một họ khác rỗng các iđêan của R không có phần tử cực đại. Giả sử I 1 . Vì không có phần tử cực đại nên có I 2 và I 2 thực sự chứa I 1 . Nếu đã có iđêan I i, vì iđêan không có phần tử cực đại nên tồn tại iđêan I 1 +1 và iđêan I i+1 thực sự chứa I i . Ta thu đợc dãy tăng không dừng các iđêan con của : I 1 I 2 Điều này là mâu thuẫn với giả thiết. Vậy mệnh đề đợc chứng minh. 7 1.3.3. Một số ví dụ về vành Noether Ví dụ 1: Vành các số nguyên Z là vành Noether vì, mọi iđêan của Z có dạng mZ (m Z ) có nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh (sinh bởi một phần tử ) Ví dụ 2: Mọi trờng X đều là vành Noether Do trờng X bất kì chỉ có 2 iđêan là {0} và X. Vậy dãy tăng các iđêan chỉ là {0} X (dãy có hai phần tử ). Suy ra dãy dừng. ( Hoặc 2 iđêan đó đều hữu hạn sinh vì {0} = < 0 >, X = <1> ). Đ 2. Xây dựng vành đa thức Chúng ta có thể xây dựng vành đa thức bằng hai cách : - Xây dựng bằng phơng pháp quy nạp. - Xây dựng trực tiếp. 2.1.Xây dựng bằng phơng pháp quy nạp. Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị là 1. Gọi A là tập hợp gồm tất cả các dãy vô hạn, f = (a 0 ,a 1 a n ,) trong đó ai R, và các ai đều bằng 0 trừ ra một số hữu hạn chỉ số i. Ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân trong A nh sau. Giả sử g = (b 0 , b 1 , b m ,) A. Khi đó f +g = (a 0 +b 0 , a 1 +b 1 , ) f x g= ( c 0 , c 1 .) trong đó C k = i+j=k a i b j , , k = 1 Dễ kiểm tra lại rằng A cùng với hai phép toán đó lập nên một vành giao hoán, có đơn vị 1 = (1, 0, 0 ) phần tử 0 của vành này là : 0 = (0, 0.) Ta kí hiệu : X = ( 0, 1. , 0 ) A. Dễ thấy rằng X 2 = ( 0, 0, 1 0 .) . . . X n = ( 0, 0, , 0, 1, 0.) 8 Hơn nữa : a X n = ( 0, 0, , a, 0 ) , a R Khi đó Ta có : f = (a 0 , a 1 , a 2 .a n , 0, 0) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 +.+ a n X n Cách biểu thị nh vậy là duy nhất đối với mỗi phần tử f A. Nói cách khác f = a 0 + a 1 X + +a n X n là phần tử 0 nếu và chỉ nếu a 0 = a 1 = a 2 == a n = 0 2.1.1. Định nghĩa. Vành A nói trên vành đa thức của ẩn X (hoặc biến X) với các hệ số (hoặc hệ tử) trong R, và đợc kí hiệu là R [X]. Mỗi phần tử của R[X] đợc gọi là một đa thức của ẩn X. Đa thức dạng a n X n đợc gọi là một đơn thức. Giả sử f = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 ++ a n X n với a n 0. Khi đó ta nói f có bậc n, và viết là deg(f) = n. Phần tử a i đợc gọi là hệ tử cao nhất. Bậc của đa thức 0 th- ờng đợc ký hiệu bằng -. Vành đa thức R[X 1 ,,X n ] của n ẩn X 1 ,X 2 ,,X n đợc định nghĩa bằng quy nạp nh sau : 2.1.2. Định nghĩa. R[X 1 ,,X n ] = R[X 1 ,,X n-1 ] [X n ]. Nói cách khác, R[X 1 ,,X n ] là vành đa thức của ẩn X n với các hệ tử trong R [X 1 ,,X n-1 ]. 2.1.3. Chú ý. (i) Cho R là một vành và x 1 ,x 2 ,,x n (n 1) là các biến. Ta gọi đơn thức là một biểu thức có dạng 1 a 1 x ,, n a n x , trong đó a 1 ,a 2 ,,a n N, (a 1 ,,a n ) N n gọi là bộ số mũ của đơn thức. Nếu a 0 = a 1 = = a n = 0 thì đơn thức đó đợc kí hiệu là 1. (ii) Giả sử cho f(x 1 ,,x n ) R [x 1 ,,x n ] là một đa thức khác 0. f(x 1 ,,x n ) = c 1 11 a 1 x . n1 a n x ++c m 1m a 1 x mn a n x , với các c i 0, i =1, , m và (a i1 , ,a in ) (a j1 ,,a jn ) khi i j. Ta gọi là bậc của đa thức f(x 1 , ,x n ) đối với ẩn x i số mũ cao nhất mà x i có đợc trong các hạng tử của đa thức Nếu trong đa thức f(x 1 ,, x n ) ẩn x i không có mặt thì bậc của f(x 1 ,,x n ) đối với nó bằng 0. Ta gọi bậc của hạng tử c i 1i a 1 x in a n x tổng các mũ a i1 ++ a in của các ẩn. 9 Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó Ví dụ: Đa thức f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 2x 1 x 2 3 x 3 5 - 3x 3 9 - 5x 1 x 2 5 x 3 4 + 6 có bậc là 10, nhng đối với x 1 nó có bậc là 1. 2.2. Xây dựng trực tiếp. Cho R là một vành và x 1 ,x 2 ,,x n (n 1) là các biến. Biểu thức có dạng 1 a 1 x n a n x trong đó a 1 , a 2 ,a n N đợc gọi là một đơn thức, bộ số (a 1 ,a 2 ,,a n ) N n gọi là bộ số mũ của đơn thức. Nếu a 1 = = a n = 0 thì đơn thức đó đợc kí hiệu là 1. Phép nhân trên tập các đơn thức đợc định nghĩa nh sau ( ) ( ) nn11n1n1 ba n ba 1 b n b 1 a n a 1 x .xx .xx .x ++ = Nh vậy, nếu ta đồng nhất x 1 với đơn thức x 1 1 x 2 0 . x n 0 ,, x n với đơn thức x 1 0 x n-1 0 x n 1 thì đơn thức là tích của các biến. Chú ý rằng phép nhân đơn thức t- ơng ứng với phép cộng các bộ số mũ trong nhóm N n . Để xác định phép cộng và nhân trên đa thức ta định nghĩa một số khái niệm sau. Từ là một biểu thức có dạng 1 a 1 x n a n x với R, gọi là hệ số của từ. Thông thờng phần tử của vành cơ sở R đựoc gọi là phần tử vô hớng. Hai từ khác không 1 a 1 x n a n x và 1 a 1 x n a n x với , R gọi là đồng dạng với nhau. Nh vậy có thể xem 1 a 1 x n a n x là một từ với hệ số là 1, và các vô hớng là từ 1. Để tiện cho việc nghiên cứu từ nay ta kí hiệu x = (x 1 x n ), a = (a 1 ,,a n ) N n và x a = 1 a 1 x n a n x . Đa thức n biến x 1 ,, x n trên vành R là một tổng hình thức của các từ f(x) = a x a , (aN n ) trong đó chỉ có một số hữu hạn hệ số a 0. Từ a x a với a 0 gọi là từ của đa thức f(x) và x a gọi là đơn thức của f(x). Hai đa thức f(x) = a x a , (a N n ) và g(x) = a x a , (aN n ) bằng nhau nếu với mọi a N n ta có a = a . Phép cộng đa thức đợc định nghĩa nh sau : ( a x a ) +( a x a ) = ( a + b )x a , a N n vì a + a 0 nếu a 0 hoặc a 0 nên trong biểu thức ở vế phải cũng chỉ có hữu hạn hệ số khác không và nó đúng là đa thức. Ta sẽ đồng nhất từ x a với đa thức b x b , (bN n ) trong đó a =a và b = 10