Đ4 bài toán phân tích iđêan
4.2. Phơng pháp giải.
Để giải bài toán trên trớc hết chúng ta cần chứng minh các bổ đề sau.
4.2.1. Bổ đề. Giả sử m,n là hai đơn thức không chứa biến chung và m1, …mr làcác đơn thức. Khi đó :(m1,,…,mr m, n) = (m1,…,mr,m) ∩ (m1,…,mr,n). các đơn thức. Khi đó :(m1,,…,mr m, n) = (m1,…,mr,m) ∩ (m1,…,mr,n).
Chứng minh: Bao hàm thức ⊆ hiển nhiên đúng. Bây giờ ta chứng minh bao hàm thức ngợc lại ⊇. Giả sử f ∈(m1,…,mr,m) ∩ (m1,…,mr,n) và u là đơn thúc xuất hiện trong biểu diễn chính tắc của f.
Do f ∈ (m1,…,mr, m) và f ∈ (m1,…,mr, n), theo Bổ đề1.2 và Bổ đề2.2.1 có hai khả năng xẩy ra.
(i) Tồn tại mi nào đó (1≤ i ≤ r) sao cho u chia hết cho mi. Khi đó theo Bổ 1.2 ta suy ra u∈(m1,…,mr, mn)
(ii) u không chia hết cho mi, với mọi i =1,…,r. Khi đó u chia hết cho m và n. Do m,n nguyên tố cùng nhau nên u chia hết cho mn.Từ đó suy ra u∈
(m1,…,mr,mn).
Tóm lại, cả hai khả năng trên thì ta đều có f ∈(m1,…,mr,mn). Vì vậy bổ đề đợc chứng minh.
áp dụng bổ đề trên nhiều lần ta có thể phân tích I thành giao của các iđêan đơn thức bất khả qui là những iđêan sinh ra bởi luỹ thừa của các biến . Loại bỏ những iđêan chứa một iđêan khác trong giao và ghép các iđêan bất khả qui có cùng chung tập biến lại, ta sẽ đợc một sự phân tích nguyên sơ tối giản của I. Tuy nhiên để có cách phân tích nhanh thì phải chú ý chọn đơn thức mn
thế nào để phân tích nhanh nhất iđêan I mà chỉ dựa vào bổ đề trên. Nhờ vào bổ đề sau đây mỗi phân tích của I đều có thể đa về dạng tối giản
4.2.2 Bổ đề. Giả sử I1,…,I r I là các iđêan đơn thức chỉ sinh bởi luỹ thừa củacác biến. Giả sử rằng I1 ⊆ I2 ⊆ …⊆ Ir⊆ I. Khi đó :I1 ∩ I2 ∩ …∩ I2⊆ I. các biến. Giả sử rằng I1 ⊆ I2 ⊆ …⊆ Ir⊆ I. Khi đó :I1 ∩ I2 ∩ …∩ I2⊆ I.
Chứng minh: Giả sử ngợc lại nghĩa là I1∩ I2∩ …∩ Ir ⊆I. Theo giả thiết với mỗi
i ≤ r tacó Ii⊆ I. Do đó trong mỗi Ii có thể chọn đơn thức dạng a1 1 j
x của Ii sao cho nó không thuộc I. Theo mệnh đề 3.2.1 ta có :
BCNN =( a1 1 j x , …, ar jr x ) ∈I1∩I2∩ …∩ Ir Nên BCNN =( a1 1 j x , …, ar jr
x ) chia hết cho một đơn thức xak nào đó của I.
Để không mất tính tổng quát ta có thể giả j1= k và a1 là số lớn nhât trong tất cả các số ai mà j1= k. Khi đó a1là luỹ thừa của các biến xk.
Trong BCNN = ( a1 1 j x , …, ar jr x ) ⇒ a1≥ a ⇒ a1 1 j
x ∈I.Trái với giả thiết :I1 ⊆ I. Vậy I1∩I2∩ …∩ Ir ⊆ I
4.3.Một số ví dụ.
1, Cho I = (x12,x1x2,x1x22x3). Hãy phân tích I thành các iđêan bất khả qui. áp dụng bổ đề 4.2.1 nhiều lần ta có :
I = (x12,x1x2,x1x22x3) =(x12,x1,x1x22x3) ∩ (x12,x2,x1x22x3) = (x1) ∩ (x12,x2)
2, Cho I = (x1x22,x2x3,x12x34) Hãy phân tích I thành giao của các iđêan bất khả qui. áp dụng bổ đề 4.2.1 nhiều lần ta có : I=(x1x22,x2x3,x12x34) =(x1x22,x2,x12x34) ∩ (x1x22,x3,x12x34) = (x1,x2,x12x34) ∩ (x22,x2, x12 x34) ∩ (x1x22,x3) = (x1,x2) ∩ (x2, x12x34) ∩ (x1x22,x3) = (x1, x2) ∩ (x2,x12) ∩ (x2,x34) ∩ (x1,x3) ∩ (x22, x3) = (x12, x2) ∩ (x2, x34) ∩ (x22, x3) ∩ (x1, x3)
(vì (x1,x2) ⊇(x12,x2) nên ta có thể bỏ đi đợc). 3, I = (x13x24, x1x33, x2x32, x12x22x3) = (x1, x2x32) ∩ (x33, x13x24, x2x32, x12x22x3) = (x1,x2) ∩ (x1,x32) ∩ (x33,x2) ∩ (x33, x32, x13x24, x12x22x3) = (x1,x2) ∩ (x1,x32) ∩ (x33,x2) ∩ (x32, x13x24, x12x22x3) = (x1,x2) ∩ (x1,x32) ∩ (x33,x2) ∩ (x32, x13x24,x3) ∩ (x32, x13x24, x12x22) = (x1,x2) ∩ (x1,x32) ∩ (x33,x2) ∩ ( x13x24,x3) ∩ (x32, x12x22) = (x1,x2) ∩ (x1,x32) ∩ (x33,x2) ∩ ( x13,x3) ∩ (x24,x3) ∩ (x32,x12) ∩ (x32,x22) = (x1,x2) ∩ (x12 ,x32) ∩ (x33,x2) ∩ ( x13,x3) ∩ (x24,x3) ∩ (x32,x22)
Kết luận
Tóm lại luận văn đã đa ra đợc phơng pháp giải một số bài toán về iđêan trong vành đa thức trong trờng hợp iđêan đơn thức. Cụ thể là các bài toán sau: 1. Bài toán tìm phần tử sinh của iđêan trong vành đa thức một biến.
2. Bài toán thành viên : Xác định một đa thức có thuộc một iđêan hay không. 3. Bài toán tìm giao và thơng của các iđêan.
4. Bài toán phân tích một iđêan thành giao của các iđêan bất khả quy. Đặc biệt, trong luận văn này chúng tôi chỉ ra nhiều ví dụ để minh hoạ…
Tài liệu tham khảo
1. Lê Tuấn Hoa, Đại số máy tính và cơ sở Grobner – Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội – 2003
2. Nguyễn Hữu Việt Hng, Đại số đại cơng - Nhà xuất bản giáo dục –1999 3. Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cơng- Nhà xuất bản giáo dục -2000./. 4. G.Brikhoff và S.Maclane, Tổng quan về đại số hiện đại, (bản dịch sang tiếng Việt), Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1979.
mục lục
Trang
Lời nói đầu 1
Chơng1: Vành đa thức 3
Đ1. Một số kiến thức cơ bản về vành 3
Đ2. Xây dựng vành đa thức 7
Đ3. Định lý cơ sở của Hilbert 13
Đ4. Đa thức một biến 15
Chơng 2. Iđêan đơn thức 20
Đ1. Khái niệm iđêan đơn thức 20
Đ2. Bài toán thành viên 21
Đ3. Bài toán tìm giao và thơng 24
Đ4. Bài toán phân tích iđêan 28
kết luận 31