Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 42 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ---------------------- Lê minh tùng Căncủaiđêantrongvànhđathứcvàứngdụng Luận văn thạc sĩ toán Vinh 2007 37 mục lục Trang lời nói đầu 1 Chơng 1 các khái niệm cơ sở 3 1.1. Iđêantrongvànhđathức nhiều biến 3 1.2. Iđêancăntrongvànhđathức 11 Chơng 2 Một số dạng iđêancăn đặc biệt 20 2.1. Căncủaiđêan chính 20 2.2. Căncủaiđêan chiều không 23 2.3. Định lý Hinber về không điểm vàứngdụng 27 Chơng 3 ứngdụngcủaiđêancăn 30 3.1. Nghiệm của hệ phơng trình đathức 30 3.2. Thực hiện một số tính toán căncủaiđêantrongvànhđathức 37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo Mở đầu Iđêan là khái niệm quan trọng nhất để nghiên cứu vành. Nó đóng vai trò nh nhóm con chuẩn tắc trong lí thuyết nhóm. Dùng khái niệm này có thể trả lời trọn vẹn đợc vấn đề đặc trng hạt nhân của đồng cấu vành Tập con I củavành R là iđêancủavành R khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu vành :f R S từ vành R vào một vành S nào đó. Dùng công cụ iđêan chúng ta cũng thu đợc điều kiện 38 cầnvà đủ để một miền nguyên X là trờng, thể hiện qua định lí sau: Miền nguyên X là trờng nếu và chỉ nếu X chỉ có hai iđêan là 0 và X . Cũng chính nhờ công cụ iđêan mà chúng ta lí giải đợc một vấn đề có ý nghĩa về phơng pháp nghiên cứu trong toán học sau đây: Một hệ phơng trình đại số tuỳ ý n-ẩn trên trờng K luôn tơng đơng với hệ hữu hạn phơng trình đại số n-ẩn trên K. Với những lí do trên, luận văn này tập trung nghiên cứu, tìm hiểu lí thuyết iđêancănvà tìm tòi các ứngdụngcủa chúng về các phơng diện Đại số, Số học và Hình học. Căncủaiđêan là một khái niệm quan trọngtrong toán học, vì lý do sau đây: Xét hệ phơng trình đathức n biến: ( ) 0, ,f x i m i = ( ) 1 trong đó ( ) 1 , ., n x x x= và [ ] .f K x i Gọi I là iđêan sinh bởi 1 2 ,, .,f f f n . Rõ ràng, hệ trên tơng đơng với hệ: ( ) 0, .f x f I= Các hệ này cũng tơng đơng với hệ: ( ) 0,f x f I= . Trong nhiều trờng hợp căncủaiđêan đợc xác định đơn giản hơn. Khi đó, dĩ nhiên nghiên cứu tập nghiệm của hệ phơng trình ( ) 1 thông qua căncủaiđêan I cũng đơn giản hơn. Chẳng hạn, nếu I là iđêan đơn thức thì căncủa nó sinh bởi các đơn thức không chứa bình phơng, và số phần tử sinh ít hơn. Nh vậy, việc nghiên cứu căncủaiđêan gắn chặt với nghiên cứu nghiệm của hệ phơng trình đa thức. Mục đích chính của luận văn là ứngdụng các khái niệm và kết quả cơ sở Groebner, để nghiên cứu một số căniđêan đặc biệt đó là: Căncủaiđêan chính, căncủaiđêan chiều 0. Từ đó chỉ ra những ứngdụngcủa nó trong các bài toán giải hệ ph- ơng trình đa thức. Trên cơ sở đó nội dung luận văn gồm: phần mở đầu, ba chơng và phần kết luận. Chơng 1 của luận văn nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong đại số giao hoán làm cơ sở cho các phần sau đó là lý thuyết iđêantrongvànhđa thức. Một trong những kết quả cơ bản về vànhđa 39 thức đó là nội dungcủa định lý Hilbert về cơ sở, nói rằng mọi iđêancủavànhđathức trên trờng là hữu hạn sinh. Cũng trong chơng 1, luận văn nghiên cứu một lớp iđêan quan trọng là lớp iđêan đơn thức, là ví dụ cho nhiều vấn đề trong đại số giao hoán và hơn nữa lý thuyết cơ sở Groebner cho phép xấp xỉ một iđêan tuỳ ý bằng iđêan đơn thức. Chuơng 2 của luận văn nghiên cứu ứngdụng định lý Hilbert về không điểm để xét cấu trúc củaiđêantrongvànhđa thức: Căncủaiđêan chính, Căncủaiđêan chiều không. Chơng này còn ứngdụng định lý Hinber về không điểm để kiểm tra một hệ phơng trình đathức có nghiệm hay không, thông qua tính chất của cơ sở Groebner củaiđêan sinh bởi các đathức tham gia trong hệ phơng trình. Chơng 3, trình bày một số ứngdụngcủa lý thuyết cơ sở Groebner trongvànhđa thức. Trong chơng này, luận văn sử dụng các kết quả của mục trớc, nghiên cứu nghiệm của hệ phơng trình đathức trên trờng đóng đại số. Thông qua một số thuật toán, luận văn chứng tỏ việc tính toán hình thức trên các iđêan có thể thực hiện đợc với những thuật toán mà có thể lập trình hoá và có thể tính toán với sự trợ giúp của các phần mềm tin học Maple hoặc Macaulay. Chơng 3 luận văn còn trình bày ứngdụngcủaiđêancăn để xây dựng thuật toán giải hệ phơng trình đồng d đa thức. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọngvà biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã dành cho tác giả sự hớng dẫn chu đáo và nghiêm túc trong qúa trình học tập, nghiên cứu vàthực hiện luận văn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Tổ Đại số Khoa Toán Tr ờng Đại học Vinh đã hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên và học sinh Trờng THPT Lê Hồng Phong Sở Giáo dục 40 và Đào tạo Nghệ An đã động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập. Mặc dù đã hết sức cố gắng, bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự góp ý của quý thầy cô và bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả Lê Minh Tùng 41 CHƯƠNG 1 các khái niệm cơ sở 1.1. Iđêantrongvànhđathức nhiều biến Mục này sẽ nêu định nghĩa và một số tính chất cơ bản củavànhđathức nhiều biến, đó là đối tợng nghiên cứu chính trong luận văn này. 1.1.1. Định nghĩa, ký hiệu. Cho R là một vành (giao hoán có đơn vị) và 1 2 , , ., ( 1) n x x x n là các biến. Ta gọi đơn thức là một biểu thức có dạng 1 2 1 2 . n a a a n X x x x= , 1 2 ( , , ., ) n n a a a a= Ơ đợc gọi là bộ số mũ của đơn thức. Nếu = = = =L 1 2 0 n a a a thì đơn thức đợc kí hiệu là 1. Phép nhân trên tập các đơn thức đợc định nghĩa nh sau: 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( . )( . ) . n n n n a b a b a a b b a b a b n n n x x x x x x x x x + + + = . Mỗi từ là một biểu thức có dạng 1 2 1 2 . n a a a n x x x , trong đó R đợc gọi là hệ số của từ. Để tiện lợi, ta ký hiệu 1 2 1 2 . n a a aa n X x x x= . Đathức n biến 1 2 , , ., n x x x trên vành R là một tổng hình thức các dạng của các từ: ( ) n a a a f X X = Ơ , trong đó chỉ có một số hữu hạn hệ số 0 a . Từ a a X với 0 a đợc gọi là từ củađathức ( )f X và mỗi a X là đơn thứccủa ( )f X . Hai đathức ( ) n a a a f X X = Ơ , ( ) n a a a g X X = Ơ đợc xem là bằng nhau nếu a a = , với mọi n a Ơ . Đathức không, ký hiệu bởi 0 , là đathức có tất cả các hệ số đều bằng 0 . Phép cộng và nhân đathức đợc định nghĩa nh sau: 42 n n n a a a a a a a a a X X X = ữ ữ ữ Ơ Ơ Ơ trong đó, , n a b c b c b c a + = = Ơ , ( ) n n n a a a a a a a a a a X X X + = + ữ ữ Ơ Ơ Ơ . Với hai phép toán cộng và nhân đathức nêu trên, ta có thể kiểm tra tập tất cả các đathức lập thành một vành giao hoán với phần tử đơn vị 1. Vành này đợc ký hiệu là 1 [ , ., ] n R x x và đợc gọi là vànhđathức n biến trên vành R . Tơng tự, có thể xây dựngvànhđathức vô hạn biến [ : ] i R x i I . Tuy nhiên mỗi đathứccủavành này vẫn là một đathứccủa hữu hạn biến. Bậc tổng thể (bậc) củađathức ( )f X là số: { } 1 2 ( ) . | 0 n a deg f X max a a a = + + + Cho S là một tập con các đathức nào đó trongvànhđathức 1 2 [ ] [ , , ., ] n K X K x x x= của các biến 1 2 , , ., n x x x trên trờng K .Ta gọi tập hợp ( ) { | ( ) 0, } n Z S a K f a f S= = là tập nghiệm của S hay là tập đại số đợc xác định bởi S . Nếu S chỉ có một số hữu hạn các đathức 1 2 , , ., s f f f thì ta dùng ký hiệu 1 2 ( , , ., ) s Z f f f .Ta gọi tập đại số dạng ( )Z f là một siêu mặt của n K . Nếu f là một đathức tuyến tính (bậc 1) thì ( )Z f đợc gọi là siêu phẳng của n K . Theo định nghĩa, mọi tập đại số đều là giao của các siêu mặt. 1.1.2. Định lý Hilbert về cơ sở. Cho R là vành Noether và X là tập n biến. Khi đó, vành [ ]R X cũng là vành Noether. Chứng minh. Quy nạp theo số biến, ta chỉ cần chứng minh cho vành một biến [ ]R x . Cho 0 1 . . j I I I là một dãy tăng các iđêancủa [ ]R x . Với mỗi iđêan I của R và i Ơ , ta đặt 43 1 0 0 ( ) | , ., : i j i i i j j L I a R a a R a x I = = . Rõ ràng ( ) i L I là iđêancủa R . Ta có 1 2 ( ) ( ) . ( ) . i i i j L I L I L I và với j Ơ : 0 1 ( ) ( ) . ( ) . j j i j L I L I L I . Vì R là vành Nother, nên tồn tại ,p q Ơ sao cho ( ) p q L I là phần tử cực đại của họ iđêan { } ( ) | , i j L I i j Ơ . Từ các dãy tăng nói trên, suy ra với mọi i p và j q , ta có: ( ) ( ) ( ) i j p q i q L I L I L I= = . Xét dãy tăng thứ nhất ở trên, tồn tại 'q sao cho với mỗi 0,1, ., 1i p= cũng có: ' ( ) ( ) i j i q L I L I= , với 'j q . Đặt { } max , 't q q= , có: ( ) ( ); , i j i t L I L I j t i= Ơ . Ta sẽ chứng tỏ , j t I I j t= . Giả sử ngợc lại, t j I I , khi đó trong số các đathức khác 0 của phần bù \ j t I I chọn đathức có bậc nhỏ nhất, chẳng hạn 0 0 ( ) . ; , ., , 0 m m m m f x a a x a a R a= + + . Vì ( ) ( ) m m j m t a L I L I = nên tồn tại đathức 1 0 1 ( ) . m m m m t g x b b x a x I = + + + Rõ ràng có \ j t f g I I nhng deg( ( ) ( )) deg ( )f x g x f x < , mâu thuẫn với cách chọn f . Vậy j t I I= , với j t , hay [ ]R x là vành Noether. 1.1.3. Hệ quả. Mọi iđêancủavànhđathức n biến [ ]K X trên trờng K là hữu hạn sinh. Nói khác đi, vànhđathức [ ]K X trên trờng K là vành Noether. Chứng minh. Vì trongtrờng K chỉ có hai iđêan là 0 và K (iđêan 0 sinh bởi 0 và K sinh bởi 1) cho nên trờng K là vành Noether. Do đó, áp dụng Định lý Hilbert về cơ sở, chúng ta suy ra điều phải chứng minh. 1.1.4. Định lý (Định lý về phép chia có d các đathức một biến). Cho K là một trờngvà ( )g x là đathức khác 0 của [ ]K x . Khi đó, mọi đathức ( ) [ ]f x K x 44 có thể viết duy nhất dới dạng: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + trong đó, ( ), ( ) [ ]q x r x K x và ( ) ( )deg r x deg g x< nếu ( ) 0r x . 1.1.5. Hệ quả. Vànhđathức một biến [ ]K x trên trờng K tuỳ ý là vành chính, nghĩa là mọi iđêancủa [ ]K x đều sinh bởi một đa thức. Chứng minh. Cho I là một iđêan tuỳ ý củavành [ ]K x . Nếu 0I = thì (0)I = là iđêan chính sinh bởi đathức 0 . Giả sử 0I . Chọn 0h là một đathức có bậc bé nhất trong I . Cho f I , theo định lý về phép chia có d tồn tại , [ ]q r K x để f qh r= + sao cho 0r = hoặc gdeg r de q< nếu 0r . Vì I là iđêan nên qh I và r f qh I= . Nếu 0r thì xảy ra mâu thuẫn với cách chọn h . Vậy, f qh= tức I h< > . Ngợc lại, vì h I nên h I< > . Do đó I h=< > là iđêan sinh bởi đathức h . 1.1.6. Mệnh đề. Nếu vànhđathức n biến 1 [ ] [ , ., ] n R X R x x= là vành Nother thì vành R cũng là Nother. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh với 1n = . Giả sử I là một Iđêan khác 0 củavành R . Xét tập các đathức hệ tử thuộc I : 0 [ ] | , m i i i i J I x a x a I m = = = Ơ Do I là iđêancủavành R , nên [ ]J I x= là một iđêancủavành [ ]R x . Theo giả thiết, [ ]R x là vành Noether nên [ ]J I x= là iđêan hữu hạn sinh. Giả sử 1 2 [ ] , , ., p I x f f f= trong đó, 0 1 ( ) . k k i i i i i f x a a x a x= + + + , j i a I . Xét đathức hằng a I , tồn tại 1 , ., [ ] p g g R x sao cho 1 1 2 2 . p p a f g f g f g= + + + suy ra 1 1 2 2 (0) (0) (0) (0) . (0) (0) p p a f g f g f g= + + + , hay 0 0 0 1 1 2 2 (0) (0) . (0) p p a a g a g a g= + + + . 45 Do đó 0 0 0 1 2 , , ., p a a a a P I = . Vậy, I P I hay I P= là iđêan hữu hạn sinh. 1.1.7. Mệnh đề. Vànhđathức vô hạn biến trên trờng không phải là vành Noether. Chứng minh. Xét vànhđathức vô hạn biến 1 [ , ., , .] n K x x . Giả sử 1 2 [ , ., , .] n K x x x là vành Noether, khi đó mọi dãy tăng vô hạn các iđêancủavành này đều dừng. Xét dãy các iđêan: 1 1 2 1 2 , . , , ., . n x x x x x x Dãy trên là một dãy tăng thật sự không dừngtrongvành 1 [ , ., , .] n K x x . Ta gặp phải một mâu thuẫn. 1.1.8. Định lí. Vànhđathức R[X] là vành chính khi và chỉ khi vành R là trờngvà số biến là 1. Do đó, vành [ ]x không phải là vành chính. Chứng minh. Giả sử vành R là trờng, ta chứng minh vànhđathức một biến R[x] trên trờng R là vành chính. Thật vậy, giả sử I là iđêan tuỳ ý của R[x]. Nếu I = 0 thì I = <0> là iđêan chính sinh bởi 0. Giả sử I khác iđêan 0. Chọn trong I một đathức khác không g(x) có bậc bé nhất. Theo định lí phép chia đa thức, với mọi đathức ( )f x thuộc I, ta có thể viết ( ) ( ) ( ) ( ),deg ( ) deg ( )f x g x q x r x r x g x= + < nếu ( ) 0r x . Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) ( )r x f x g x q x I= . Do tính chất của g(x) suy ra r(x) = 0 hay f(x) thuộc iđêan chính <g(x)> sinh bởi g(x). Vì vậy, I = <g(x)>. Ngợc lại, giả sử vànhđathức R[X] là vành chính và có nhiều hơn 1 biến. Khi đó, iđêan <x 1 , x 2 > là iđêan chính sinh bởi đathức h R[X] . Từ 1 x h f= suy ra 1 h x= hoặc 1 f x= . Nếu 1 f x= thì 1h = suy ra <x 1 , x 2 > = R[X]. Điều này vô lí với 1 <x 1 , x 2 >. Nh vậy, 1 h x= hay <x 1 , x 2 > = <x 1 >. Ta lại gặp mâu thuẫn với 2 1 x x< > . Vậy R[X] phải là vànhđathức 1 biến. 46