Căn của iđêan trong vành đa thức và ứng dụng

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ---------------------- Lê minh tùng Căn của iđêan trong vành đa thức và ứng dụng Luận văn thạc sĩ toán Vinh 2007 37 mục lục Trang lời nói đầu 1 Chơng 1 các khái niệm cơ sở 3 1.1. Iđêan trong vành đa thức nhiều biến 3 1.2. Iđêan căn trong vành đa thức 11 Chơng 2 Một số dạng iđêan căn đặc biệt 20 2.1. Căn của iđêan chính 20 2.2. Căn của iđêan chiều không 23 2.3. Định lý Hinber về không điểm và ứng dụng 27 Chơng 3 ứng dụng của iđêan căn 30 3.1. Nghiệm của hệ phơng trình đa thức 30 3.2. Thực hiện một số tính toán căn của iđêan trong vành đa thức 37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo Mở đầu Iđêan là khái niệm quan trọng nhất để nghiên cứu vành. Nó đóng vai trò nh nhóm con chuẩn tắc trong lí thuyết nhóm. Dùng khái niệm này có thể trả lời trọn vẹn đợc vấn đề đặc trng hạt nhân của đồng cấu vành Tập con I của vành R là iđêan của vành R khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu vành :f R S từ vành R vào một vành S nào đó. Dùng công cụ iđêan chúng ta cũng thu đợc điều kiện 38 cần và đủ để một miền nguyên X là trờng, thể hiện qua định lí sau: Miền nguyên X là trờng nếu và chỉ nếu X chỉ có hai iđêan là 0 và X . Cũng chính nhờ công cụ iđêan mà chúng ta lí giải đợc một vấn đề có ý nghĩa về phơng pháp nghiên cứu trong toán học sau đây: Một hệ phơng trình đại số tuỳ ý n-ẩn trên trờng K luôn tơng đơng với hệ hữu hạn phơng trình đại số n-ẩn trên K. Với những lí do trên, luận văn này tập trung nghiên cứu, tìm hiểu lí thuyết iđêan căn và tìm tòi các ứng dụng của chúng về các phơng diện Đại số, Số học và Hình học. Căn của iđêan là một khái niệm quan trọng trong toán học, vì lý do sau đây: Xét hệ phơng trình đa thức n biến: ( ) 0, ,f x i m i = ( ) 1 trong đó ( ) 1 , ., n x x x= và [ ] .f K x i Gọi I là iđêan sinh bởi 1 2 ,, .,f f f n . Rõ ràng, hệ trên tơng đơng với hệ: ( ) 0, .f x f I= Các hệ này cũng tơng đơng với hệ: ( ) 0,f x f I= . Trong nhiều trờng hợp căn của iđêan đợc xác định đơn giản hơn. Khi đó, dĩ nhiên nghiên cứu tập nghiệm của hệ phơng trình ( ) 1 thông qua căn của iđêan I cũng đơn giản hơn. Chẳng hạn, nếu I là iđêan đơn thức thì căn của nó sinh bởi các đơn thức không chứa bình phơng, và số phần tử sinh ít hơn. Nh vậy, việc nghiên cứu căn của iđêan gắn chặt với nghiên cứu nghiệm của hệ phơng trình đa thức. Mục đích chính của luận văn là ứng dụng các khái niệm và kết quả cơ sở Groebner, để nghiên cứu một số căn iđêan đặc biệt đó là: Căn của iđêan chính, căn của iđêan chiều 0. Từ đó chỉ ra những ứng dụng của nó trong các bài toán giải hệ ph- ơng trình đa thức. Trên cơ sở đó nội dung luận văn gồm: phần mở đầu, ba chơng và phần kết luận. Chơng 1 của luận văn nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong đại số giao hoán làm cơ sở cho các phần sau đó là lý thuyết iđêan trong vành đa thức. Một trong những kết quả cơ bản về vành đa 39 thức đó là nội dung của định lý Hilbert về cơ sở, nói rằng mọi iđêan của vành đa thức trên trờng là hữu hạn sinh. Cũng trong chơng 1, luận văn nghiên cứu một lớp iđêan quan trọng là lớp iđêan đơn thức, là ví dụ cho nhiều vấn đề trong đại số giao hoán và hơn nữa lý thuyết cơ sở Groebner cho phép xấp xỉ một iđêan tuỳ ý bằng iđêan đơn thức. Chuơng 2 của luận văn nghiên cứu ứng dụng định lý Hilbert về không điểm để xét cấu trúc của iđêan trong vành đa thức: Căn của iđêan chính, Căn của iđêan chiều không. Chơng này còn ứng dụng định lý Hinber về không điểm để kiểm tra một hệ phơng trình đa thức có nghiệm hay không, thông qua tính chất của cơ sở Groebner của iđêan sinh bởi các đa thức tham gia trong hệ phơng trình. Chơng 3, trình bày một số ứng dụng của lý thuyết cơ sở Groebner trong vành đa thức. Trong chơng này, luận văn sử dụng các kết quả của mục trớc, nghiên cứu nghiệm của hệ phơng trình đa thức trên trờng đóng đại số. Thông qua một số thuật toán, luận văn chứng tỏ việc tính toán hình thức trên các iđêan có thể thực hiện đợc với những thuật toán mà có thể lập trình hoá và có thể tính toán với sự trợ giúp của các phần mềm tin học Maple hoặc Macaulay. Chơng 3 luận văn còn trình bày ứng dụng của iđêan căn để xây dựng thuật toán giải hệ phơng trình đồng d đa thức. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã dành cho tác giả sự hớng dẫn chu đáo và nghiêm túc trong qúa trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Tổ Đại số Khoa Toán Tr ờng Đại học Vinh đã hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên và học sinh Trờng THPT Lê Hồng Phong Sở Giáo dục 40 và Đào tạo Nghệ An đã động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập. Mặc dù đã hết sức cố gắng, bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự góp ý của quý thầy cô và bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả Lê Minh Tùng 41 CHƯƠNG 1 các khái niệm cơ sở 1.1. Iđêan trong vành đa thức nhiều biến Mục này sẽ nêu định nghĩa và một số tính chất cơ bản của vành đa thức nhiều biến, đó là đối tợng nghiên cứu chính trong luận văn này. 1.1.1. Định nghĩa, ký hiệu. Cho R là một vành (giao hoán có đơn vị) và 1 2 , , ., ( 1) n x x x n là các biến. Ta gọi đơn thức là một biểu thức có dạng 1 2 1 2 . n a a a n X x x x= , 1 2 ( , , ., ) n n a a a a= Ơ đợc gọi là bộ số mũ của đơn thức. Nếu = = = =L 1 2 0 n a a a thì đơn thức đợc kí hiệu là 1. Phép nhân trên tập các đơn thức đợc định nghĩa nh sau: 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( . )( . ) . n n n n a b a b a a b b a b a b n n n x x x x x x x x x + + + = . Mỗi từ là một biểu thức có dạng 1 2 1 2 . n a a a n x x x , trong đó R đợc gọi là hệ số của từ. Để tiện lợi, ta ký hiệu 1 2 1 2 . n a a aa n X x x x= . Đa thức n biến 1 2 , , ., n x x x trên vành R là một tổng hình thức các dạng của các từ: ( ) n a a a f X X = Ơ , trong đó chỉ có một số hữu hạn hệ số 0 a . Từ a a X với 0 a đợc gọi là từ của đa thức ( )f X và mỗi a X là đơn thức của ( )f X . Hai đa thức ( ) n a a a f X X = Ơ , ( ) n a a a g X X = Ơ đợc xem là bằng nhau nếu a a = , với mọi n a Ơ . Đa thức không, ký hiệu bởi 0 , là đa thức có tất cả các hệ số đều bằng 0 . Phép cộng và nhân đa thức đợc định nghĩa nh sau: 42 n n n a a a a a a a a a X X X = ữ ữ ữ Ơ Ơ Ơ trong đó, , n a b c b c b c a + = = Ơ , ( ) n n n a a a a a a a a a a X X X + = + ữ ữ Ơ Ơ Ơ . Với hai phép toán cộng và nhân đa thức nêu trên, ta có thể kiểm tra tập tất cả các đa thức lập thành một vành giao hoán với phần tử đơn vị 1. Vành này đợc ký hiệu là 1 [ , ., ] n R x x và đợc gọi là vành đa thức n biến trên vành R . Tơng tự, có thể xây dựng vành đa thức vô hạn biến [ : ] i R x i I . Tuy nhiên mỗi đa thức của vành này vẫn là một đa thức của hữu hạn biến. Bậc tổng thể (bậc) của đa thức ( )f X là số: { } 1 2 ( ) . | 0 n a deg f X max a a a = + + + Cho S là một tập con các đa thức nào đó trong vành đa thức 1 2 [ ] [ , , ., ] n K X K x x x= của các biến 1 2 , , ., n x x x trên trờng K .Ta gọi tập hợp ( ) { | ( ) 0, } n Z S a K f a f S= = là tập nghiệm của S hay là tập đại số đợc xác định bởi S . Nếu S chỉ có một số hữu hạn các đa thức 1 2 , , ., s f f f thì ta dùng ký hiệu 1 2 ( , , ., ) s Z f f f .Ta gọi tập đại số dạng ( )Z f là một siêu mặt của n K . Nếu f là một đa thức tuyến tính (bậc 1) thì ( )Z f đợc gọi là siêu phẳng của n K . Theo định nghĩa, mọi tập đại số đều là giao của các siêu mặt. 1.1.2. Định lý Hilbert về cơ sở. Cho R là vành Noether và X là tập n biến. Khi đó, vành [ ]R X cũng là vành Noether. Chứng minh. Quy nạp theo số biến, ta chỉ cần chứng minh cho vành một biến [ ]R x . Cho 0 1 . . j I I I là một dãy tăng các iđêan của [ ]R x . Với mỗi iđêan I của R và i Ơ , ta đặt 43 1 0 0 ( ) | , ., : i j i i i j j L I a R a a R a x I = = . Rõ ràng ( ) i L I là iđêan của R . Ta có 1 2 ( ) ( ) . ( ) . i i i j L I L I L I và với j Ơ : 0 1 ( ) ( ) . ( ) . j j i j L I L I L I . Vì R là vành Nother, nên tồn tại ,p q Ơ sao cho ( ) p q L I là phần tử cực đại của họ iđêan { } ( ) | , i j L I i j Ơ . Từ các dãy tăng nói trên, suy ra với mọi i p và j q , ta có: ( ) ( ) ( ) i j p q i q L I L I L I= = . Xét dãy tăng thứ nhất ở trên, tồn tại 'q sao cho với mỗi 0,1, ., 1i p= cũng có: ' ( ) ( ) i j i q L I L I= , với 'j q . Đặt { } max , 't q q= , có: ( ) ( ); , i j i t L I L I j t i= Ơ . Ta sẽ chứng tỏ , j t I I j t= . Giả sử ngợc lại, t j I I , khi đó trong số các đa thức khác 0 của phần bù \ j t I I chọn đa thức có bậc nhỏ nhất, chẳng hạn 0 0 ( ) . ; , ., , 0 m m m m f x a a x a a R a= + + . Vì ( ) ( ) m m j m t a L I L I = nên tồn tại đa thức 1 0 1 ( ) . m m m m t g x b b x a x I = + + + Rõ ràng có \ j t f g I I nhng deg( ( ) ( )) deg ( )f x g x f x < , mâu thuẫn với cách chọn f . Vậy j t I I= , với j t , hay [ ]R x là vành Noether. 1.1.3. Hệ quả. Mọi iđêan của vành đa thức n biến [ ]K X trên trờng K là hữu hạn sinh. Nói khác đi, vành đa thức [ ]K X trên trờng K là vành Noether. Chứng minh. Vì trong trờng K chỉ có hai iđêan là 0 và K (iđêan 0 sinh bởi 0 và K sinh bởi 1) cho nên trờng K là vành Noether. Do đó, áp dụng Định lý Hilbert về cơ sở, chúng ta suy ra điều phải chứng minh. 1.1.4. Định lý (Định lý về phép chia có d các đa thức một biến). Cho K là một trờng và ( )g x là đa thức khác 0 của [ ]K x . Khi đó, mọi đa thức ( ) [ ]f x K x 44 có thể viết duy nhất dới dạng: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + trong đó, ( ), ( ) [ ]q x r x K x và ( ) ( )deg r x deg g x< nếu ( ) 0r x . 1.1.5. Hệ quả. Vành đa thức một biến [ ]K x trên trờng K tuỳ ý là vành chính, nghĩa là mọi iđêan của [ ]K x đều sinh bởi một đa thức. Chứng minh. Cho I là một iđêan tuỳ ý của vành [ ]K x . Nếu 0I = thì (0)I = là iđêan chính sinh bởi đa thức 0 . Giả sử 0I . Chọn 0h là một đa thức có bậc bé nhất trong I . Cho f I , theo định lý về phép chia có d tồn tại , [ ]q r K x để f qh r= + sao cho 0r = hoặc gdeg r de q< nếu 0r . Vì I là iđêan nên qh I và r f qh I= . Nếu 0r thì xảy ra mâu thuẫn với cách chọn h . Vậy, f qh= tức I h< > . Ngợc lại, vì h I nên h I< > . Do đó I h=< > là iđêan sinh bởi đa thức h . 1.1.6. Mệnh đề. Nếu vành đa thức n biến 1 [ ] [ , ., ] n R X R x x= là vành Nother thì vành R cũng là Nother. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh với 1n = . Giả sử I là một Iđêan khác 0 của vành R . Xét tập các đa thức hệ tử thuộc I : 0 [ ] | , m i i i i J I x a x a I m = = = Ơ Do I là iđêan của vành R , nên [ ]J I x= là một iđêan của vành [ ]R x . Theo giả thiết, [ ]R x là vành Noether nên [ ]J I x= là iđêan hữu hạn sinh. Giả sử 1 2 [ ] , , ., p I x f f f= trong đó, 0 1 ( ) . k k i i i i i f x a a x a x= + + + , j i a I . Xét đa thức hằng a I , tồn tại 1 , ., [ ] p g g R x sao cho 1 1 2 2 . p p a f g f g f g= + + + suy ra 1 1 2 2 (0) (0) (0) (0) . (0) (0) p p a f g f g f g= + + + , hay 0 0 0 1 1 2 2 (0) (0) . (0) p p a a g a g a g= + + + . 45 Do đó 0 0 0 1 2 , , ., p a a a a P I = . Vậy, I P I hay I P= là iđêan hữu hạn sinh. 1.1.7. Mệnh đề. Vành đa thức vô hạn biến trên trờng không phải là vành Noether. Chứng minh. Xét vành đa thức vô hạn biến 1 [ , ., , .] n K x x . Giả sử 1 2 [ , ., , .] n K x x x là vành Noether, khi đó mọi dãy tăng vô hạn các iđêan của vành này đều dừng. Xét dãy các iđêan: 1 1 2 1 2 , . , , ., . n x x x x x x Dãy trên là một dãy tăng thật sự không dừng trong vành 1 [ , ., , .] n K x x . Ta gặp phải một mâu thuẫn. 1.1.8. Định lí. Vành đa thức R[X] là vành chính khi và chỉ khi vành R là trờng và số biến là 1. Do đó, vành [ ]x không phải là vành chính. Chứng minh. Giả sử vành R là trờng, ta chứng minh vành đa thức một biến R[x] trên trờng R là vành chính. Thật vậy, giả sử I là iđêan tuỳ ý của R[x]. Nếu I = 0 thì I = <0> là iđêan chính sinh bởi 0. Giả sử I khác iđêan 0. Chọn trong I một đa thức khác không g(x) có bậc bé nhất. Theo định lí phép chia đa thức, với mọi đa thức ( )f x thuộc I, ta có thể viết ( ) ( ) ( ) ( ),deg ( ) deg ( )f x g x q x r x r x g x= + < nếu ( ) 0r x . Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) ( )r x f x g x q x I= . Do tính chất của g(x) suy ra r(x) = 0 hay f(x) thuộc iđêan chính <g(x)> sinh bởi g(x). Vì vậy, I = <g(x)>. Ngợc lại, giả sử vành đa thức R[X] là vành chính và có nhiều hơn 1 biến. Khi đó, iđêan <x 1 , x 2 > là iđêan chính sinh bởi đa thức h R[X] . Từ 1 x h f= suy ra 1 h x= hoặc 1 f x= . Nếu 1 f x= thì 1h = suy ra <x 1 , x 2 > = R[X]. Điều này vô lí với 1 <x 1 , x 2 >. Nh vậy, 1 h x= hay <x 1 , x 2 > = <x 1 >. Ta lại gặp mâu thuẫn với 2 1 x x< > . Vậy R[X] phải là vành đa thức 1 biến. 46