Để đo "độ lớn" của một vành Noether ngời ta dùng khái niệm chiều. Đối với vành thơng của vành đa thức ta dùng định nghĩa sau đây. Nh thờng lệ, kí hiệu K x[ ] =K x[ 1,...,xn]. Với mỗi iđêan I của K x[ ] và tập con y={y1,...,yr}
của tập các biến {x1,...,xn} , kí hiệu
[ ]
y
I = ∩I K y
làiđêan khử của I đối với các biến không thuộc y.
2.2.1. Định nghĩa. Cho I là iđêan thực sự của vành K x[ ] =K x[ 1,...,xn] và
{ y1,...,yr} là tập con của tập {x1,...,xn} . Tập { y1,...,yr} đợc gọi là tập độc lập modulo I nếu Iy =0. { y1,...,yr} đợc gọi là tập độc lập cực đại moduloI nếu nó là độc lập modulo I và không thực sự chứa trong một tập khác độc lập modulo I. Chiều của K x I[ ]/ là số
[ ]/ {# / { 1,..., n}
dimK x I max= y y⊆ x x độc lập modulo I }.
Ta cũng gọi dimK x I[ ]/ là chiều của iđêan I và kí hiệu là dim I . Iđêan
I đợc gọi là iđêan chiều d nếu dim I d= .
2.2.2. Bổ đề. Cho I là iđêan thực sự của vành K x[ ]. Khi đó:
(i )I là iđêan chiều 0 nếu và chỉ nếu với mọi i n≤ , I chứa đa thức một biến xi khác đa thức hằng. Trong trờng hợp này đa thức đơn của biến xi và có bậc nhỏ nhất thuộc I là phần tử của tập hợp G K xI [ ]i , trong đó G là một cơ sở Grobner tối tiểu của I đối với thứ tự từ thỏa mãn
{ 1,..., ,...,ˆ }.
i i n
x = x x x
(ii) Nếu I ⊆ ⊂J K x[ ] thì dim J dim I≤ . Nói riêng, nếu dim I =0
(iii) Nếu dim I =0, thì với mọi y⊆{x1,...,xn}, Iy là iđêan chiều 0
trongK y[ ].
2.2.3.Bổ đề. Cho I là iđêan trong vànhK x[ ]. Giả sử rằng f g, ,...,1 gr∈K x[ ]1
sao cho f =g g1... r và g1,...,gr đôi một nguyên tố cùng nhau (tức là
,
( i j) 1 )
UCLN g g = ∀ ≠ ≤i j r . Khi đó ( , ) r 1( , ).
i i
I f =I = I g
Chứng minh. Bao hàm thức " "⊆ là tầm thờng . Ta chứng minh "⊇”. Cho h là phần tử tùy ý bên vế phải. Với mỗi i r≤ , tồn tại pi∈K x[ ] và
i
S ∈I sao cho h= p gi i +si. Đặt fi =g g g1... ...ˆi r. Khi đó hfi∈( , )I f . Vì
1,..., r
g g đôi một nguyên tố cùng nhau, nên UCLN f( ,..., ) 11 fr = . Chú ý rằng
1,..., r