3.1. Nghiệm của hệ phơng trình đa thức
Trong mục này, ta sử dụng kết quả của các mục trớc, nghiên cứu nghiệm của hệ phơng trình đa thức trên trờng đóng đại số.
Từ đinh lý Hilbert yêú về không điểm ta có ngay các hệ quả sau đây để kiểm tra xem một phơng trình đa thức có nghiệm hay không thông qua cơ sở Grobner .
3.1.1. Hệ quả. Cho K là trờng đóng đại số và f1,..., fm∈K x[ ] . Các điều
kiện sau tơng đơng:
( )i Hệ phơng trình f x1( ) = =... f xm( ) =0 vô nghiệm.
( )ii Tồn tại cơ sở Grobner của I =( f1,...,fm) (đối với thứ tự nào đó ) chứa một đa thức hằng.
( )iii Mọi cơ sở Grobner của I =( f1,..., fm) chá một đa thức hằng .
3.1.2. Hệ quả. Cho f1,..., fm∈K x[ ] là các đa thức thuần nhất khác hằng,
trong đó K là trờng đóng đại số. Các điều kiện sau tơng đơng :
( )i Hệ phơng trình f x1( ) = =... f xm( ) =0 chỉ có nghiệm tầm thờng
( )ii Tồn tại một cơ sở Grobner G của I =( f1,..., fm) sao cho với mỗi
0≤ ≤i n, tồn tại g G∈ để ( ) ai, 0
i i
lm g =x a > .
( )iii Mọi cơ sở Grobner G của I =( f1,..., fm) có tính chất: Với mỗi
0≤ ≤i n, tồn tại g G∈ sao cho ( ) ai, 0
i i
lm g =x a > .
3.1.3.Hệ quả. Cho I là iđêan thực sự của vành K x[ ]. Các điều kiện sau t-
ơng đơng:
( )i dim I =0.
( )ii Với mỗi i, 1≤ ≤i n, I có một đa thức khác 0 chỉ chứa biến xi .
( )iii Với mỗi 1≤ ≤i n, I có một đa thức khác 0 mà từ khởi đầu của nó chỉ chứa biến xi .
,
( )iii Mọi cơ sở Grobner G của I có tính chất: Với mỗi 1≤ ≤i n, G có một đa thức mà từ khởi đầu của nó chỉ chứa biến xi.
( )iv I chỉ có hữu hạn không điểm trong n K
A .
3.1.4. Định lí. Giả sử dim I =0 . Khi đó số không điểm củaI trong AnK nhỏ
hơn hoặc bằng dim K x IK [ ]/ . Nếu K là trờng hoàn hảo và I là iđêan căn thì ta có dấu bằng .
Chứng minh. Cho G là cơ sở Grobner của I(đối với một thứ tự nào đó ). Kí hiệu J là iđêan sinh bởi G trong vànhK x[ ]. Rõ ràng tập nghiệm của I và J
trong n K
A trùng nhau . Vì tiêu chuẩn Buchberger không thay đổi khi mở rộng trờng, nên G cũng là cơ sở Grobner của J. Hơn nữa theo định lý Macaulay