A trùng nhau Vì tiêu chuẩn Buchberger không thay đổi khi mở rộng trờng, nên G cũng là cơ sở Grobner của J Hơn nữa theo định lý Macaulay
3.2.5. Thuật toán tìm căn của iđêan chiều 0.
Tìm hệ sinh CAN f( ,..., ) :1 fr ={ f1,..., fr n+ } của ( ,..., )f1 fr Input : f1,..., fr: Các đa thức trong K x[ 1,...,xn]
Ouput: f1,..., fr n+ các đa thức trong K x[ 1,...,xn]
S:=r FOR 1 1 1 1 : ( ,..., ; ,..., . ,..., ) : 1 ( ). r i i n s i n Do h IDEALKHU f f x x x x s s f PHIBT h − − ≤ = = + = Kết luận
Xét hệ phơng trình đa thức n biến :
f xi( ) =0,i≤m, ( )1
trong đó x=(x1,...,xn) và fi∈K x[ ]. Gọi I là iđêan sinh bởi f f1, 2,..., fn. Rõ ràng, hệ trên tơng đơng với hệ:
( ) 0, .
f x = f ∈I
Các hệ này cũng tơng đơng với hệ:
( ) 0,
f x = f ∈ I .
Trong nhiều trờng hợp căn của iđêan đợc xác định đơn giản hơn. Khi đó, dĩ nhiên nghiên cứu tập nghiệm của hệ phơng trình ( )1 thông qua căn của iđêan I
cũng đơn giản hơn. Chẳng hạn, nếu I là iđêan đơn thức thì căn của nó sinh bởi các đơn thức không chứa bình phơng, và số phần tử sinh ít hơn. Nh vậy, việc nghiên cứu căn của iđêan gắn chặt với nghiên cứu nghiệm của hệ phơng trình đa thức.
Mục đích chính của luận văn là ứng dụng các khái niệm và kết quả cơ sở Groebner, để nghiên cứu một số căn iđêan đặc biệt đó là: Căn của iđêan chính, căn của iđêan chiều 0. Từ đó chỉ ra những ứng dụng của nó trong các bài toán giải hệ phơng trình đa thức. Luận văn thu đợc các kết quả:
■ Sử dụng định lý Hilbert về không điểm để xét cấu trúc của iđêan trong vành đa thức: Căn của iđêan chính, Căn của iđêan chiều không.
■ Kiểm tra một hệ phơng trình đa thức có nghiệm hay không, thông qua tính chất của cơ sở Groebner của iđêan sinh bởi các đa thức tham gia trong hệ ph- ơng trình.
■ Trình bày một số ứng dụng của lý thuyết cơ sở Groebner trong vành đa thức; nghiên cứu nghiệm của hệ phơng trình đa thức trên trờng đóng đại số.
■ Thông qua một số thuật toán, luận văn chứng tỏ việc tính toán hình thức trên các iđêan có thể thực hiện đợc với những thuật toán mà có thể lập trình hoá và có thể tính toán với sự trợ giúp của các phần mềm tin học Maple hoặc Macaulay.