Quạt groebner của iđean trong vành đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN NGUYN TH HNH DUNG ă QUT GROBNER CA IấAN TRONG VÀNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ HẠNH DUNG ¨ QUẠT GROBNER CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH ĐA THỨC Chuyên ngành : Mã số : Đại số lí thuyết số 46 01 04 Người hướng dẫn: TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU Mục lục Lời nói đầu i Một số ký hiệu 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1 , , xn ] 1.2 Thuật toán chia K [x1 , , xn ] 1.3 Iđêan đơn thức 2 ă QUT GROBNER CA MT IấAN 11 2.1 Tớnh hu hn ca hp cỏc c s Grăobner iđêan 11 2.2 Nón sở Grăobner c ỏnh du 15 2.3 Qut Grăobner ca mt iờan 19 ă ĐƯỜNG ĐI GROBNER 3.1 Băng qua nón 3.2 Chuyn i cỏc c s Grăobner 3.3 Thuật toán 21 22 24 28 Kết luận 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 Lời nói đầu Trong luận văn chúng tơi trình bày sở Grăobner ca mt iờan, qut Grăobner ca iờan, ng dng ca qut Grăobner vic xõy dng ng i Grăobner Cụ thể, luận văn chia thành chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày khái niệm c bn ca lý thuyt c s Grăobner, nh: Vnh đa thức thứ tự đơn thức, Thuật toán chia K [x1 , , xn ], Iđêan đơn thức, Bổ đề Dickson, Định lý sở Hilbert, C s Grăobner, B Shape, Chng 2: Qut Gră obner ca mt iờan Trỡnh by khỏi nim qut Grăobner ca mt iờan v thut toỏn tỡm qut Grăobner ca iờan Mụ t qut Grăobner qua mt s vớ d Chng 3: ng i Gră obner Trỡnh by mt ng dng ca qut Grăobner, ú l ng i Grăobner, cng nh thut toỏn cho phộp chuyn i c s Grăobner t mt th t n thc ny sang thứ tự đơn thức khác Tôi xin chân thành cảm ơn trường Đại học Quy Nhơn khoa Toán giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Luận văn thực hướng dẫn Thầy Ngô Lâm Xuân Châu Tôi xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tâm Thầy suốt thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Thầy Nhân dịp xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy, cô Khoa Tốn, Đại Học Quy Nhơn dày cơng giảng dạy suốt MỤC LỤC ii năm qua tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Mặc dù có tơi cố gắng q trình hồn thành luận văn, chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Một số ký hiệu N Q R K K [x1 , , xn ] M = {xα |α ∈ Nn } (Rn )+ tập số tự nhiên, tập số hữu tỷ, tập số thực, R C, vành đa thức n biến với hệ số trường K, tập tất đơn thức K [x1 , , xn ] góc phần dương (positive orthant) Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1, , xn] Định nghĩa 1.1 ([1]) Cho K trường, n số tự nhiên khác Một đa thức theo n biến x1 , , xn K biểu thức có dạng cα1 ,α2 ,··· ,αn xα1 xα2 · · · xαnn f (x1 , , xn ) = α1 +···+αn ≤d d số tự nhiên đó, cα1 ,α2 ,··· ,αn ∈ K Mỗi tích xα = xα1 xα2 xαnn gọi đơn thức theo n biến x1 , , xn tổng α1 + · · · + αn gọi bậc đơn thức xα1 xα2 · · · xαnn Các phần tử cα1 ,α2 ,··· ,αn gọi hệ số đa thức Đa thức không đa thức mà hệ số đa thức khơng Mỗi phần tử c ∈ K xem đa thức cách viết c = cx01 · · · x0n Nói riêng = x01 · · · x0n Bậc đa thức f = bậc lớn đơn thức với hệ số khác không f Ta quy ước đa thức khơng có bậc −∞ Chú ý 1.2 ([1]) Chú ý K[x1 , , xn ] cịn K-khơng gian vectơ Vì tập tất đơn thức sở K-không gian vectơ nên K[x1 , , xn ] có chiều vơ hạn xét K[x1 , , xn ] 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1 , , xn ] Định nghĩa 1.3 ([1]) Một tập I ⊂ K[x1 , , xn ] gọi iđêan I thỏa mãn tính chất sau (i) ∈ I, (ii) Nếu f, g ∈ I f + g ∈ I, (iii) Nếu f ∈ I h ∈ K[x1 , , xn ] hf ∈ I Định nghĩa 1.4 ([1]) Cho I iđêan vành K[x1 , , xn ] I gọi hữu hạn sinh tồn đa thức f1 , , fn ∈ I cho với g ∈ I ta có g = h1 f1 + · · · + hs fs , với h1 , , hs ∈ K[x1 , , xn ] Khi f1 , , fs gọi sở I hay tập sinh I, ký hiệu I = f1 , , fs Ví dụ 1.1 Iđêan không sinh đa thức Vành K[x1 , , xn ] sinh đa thức Đây hai ví dụ đơn giản iđêan vành K[x1 , , xn ] Mệnh đề 1.5 ([1]) Vành đa thức biến K[x] vành chính, tức iđêan K[x] sinh phần tử Mệnh đề 1.6 ([1]) Giả sử K trường vô hạn f ∈ K[x1 , , xn ] Khi f đa thức không f hàm không Định nghĩa 1.7 ([1]) Mối quan hệ thứ tự tập M đơn thức K [x1 , , xn ] gọi thứ tự đơn thức thỏa mãn điều kiện sau (i) > quan hệ thứ tự toàn phần, (ii) xα > xβ ⇒ xα+γ > xβ+γ với γ ∈ Nn , (iii) > quan hệ tốt tập M, tức tập khác rỗng M có phần tử bé 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1 , , xn ] Bổ đề 1.8 ([1]) Một quan hệ thứ tự > M thứ tự tốt dãy giảm thực M dừng Mệnh đề 1.9 ([1]) Chỉ có thứ tự đơn thức vành đa thức biến K[x], thứ tự bậc > xn+1 > xn > > x2 > x > Định nghĩa 1.10 (Thứ tự từ điển) ([1]) Cho đơn thức xα , xβ ∈ M Ta nói xα >lex xβ phần tử khác khơng bên trái vectơ α − β dương Định nghĩa 1.11 (Thứ tự từ điển phân bậc) ([1]) Ta nói xα >grlex xβ |α| > |β| |α| = |β| xα >lex xβ , |α| = α1 + + αn Định nghĩa 1.12 (Thứ tự từ điển ngược phân bậc) ([1]) Ta nói xα >grevlex xβ |α| > |β| |α| = |β| phần tử khác không bên trái vectơ α − β âm Mệnh đề 1.13 Các thứ tự >lex , >grlex >grevlex thứ tự đơn thức K[x1 , , xn ] Ví dụ 1.2 Trong vành đa thức K[x, y, z] với x > y > z ta có x3 y z >lex x2 y z 12 , x3 y >lex x3 y z Hay, x2 y z 12 >grevlex x3 y z, xy z >grevlex x2 y z Một phương pháp tổng quát để xây dựng thứ tự đơn thức K[x1 , , xn ] mô tả sau Giả sử M ma trận thực cỡ m × n Ký hiệu hàng M w1 , w2 , , wm Khi ta so sánh đơn thức xα xβ cách trước tiên so sánh trọng chúng theo w1 , tức α.w1 β.w1 Nếu α.w1 > β.w1 β.w1 > α.w1 ta xếp đơn thức tương ứng với thứ tự trọng w1 Nếu α.w1 = β.w1 ta tiếp tục tới hàng phía sau Q trình xác định thứ tự >M 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1 , , xn ] Mệnh đề 1.14 ([1]) (i) Nếu Ker(M ) ∩ Zn = {0} thứ tự >M tồn phần (ii) Nếu M có tất hệ số khơng âm >M thứ tự tốt Mệnh đề 1.15 ([1]) (i) Cho >M thứ tự ma trận với hàng w Khi w ∈ (Rn )+ = {(a1 , · · · , an ) : ≥ 0, với i} Ta gọi (Rn )+ góc phần dương (Rn )+ (ii) Mọi vectơ khác không w ∈ (Rn )+ hàng ma trận M cho >M thứ tự đơn thức (iii) Đặt M M ma trận cho thứ tự ma trận >M >M Khi hàng chúng thỏa mãn w = λw với λ > 0, Mệnh đề suy thứ tự đơn thức xác định tia góc phần dương (Rn )+ , thứ tự đơn thức khác tia Hệ 1.16 ([1]) Tất thứ tự đơn thức xác định thứ tự >M với ma trận M (i) Thứ tự lex với x > y > z xác định ma trận   100   M = 0 0 001 tương tự K[x1 , , xn ] với n ≥ (ii) Thứ tự grevlex với x > y > z xác định ma trận   111   M = 1 0 100 3.2 Chuyn i cỏc c s Grăobner 3.2 24 Chuyn i cỏc c s Gră obner Khi ó i từ Cold đến Cnew , ta cần phải chuyển đổi c s Grăobner c ỏnh du Gold thnh c s Grăobner cho I i vi th t n thc >new wnew biểu diễn Điều thực sau Điểm mấu Mt chốt wnew nằm đường biên Cold , số bất đẳng thức xác định Cold trở thành đẳng thức Điều có nghĩa từ dẫn đầu vài g ∈ Gold có wnew trọng số số số từ khác g Cho vectơ trọng số w góc phần dương (Rn )+ đa thức f ∈ K[x1 , , xn ] Dạng dẫn đầu f w ký hiệu inw (f ), tổng tất số hạng f có w-trọng lớn Mặt khác, cho tập S đa thức, đặt inw (S) = {inw (f ) : f ∈ S} Sử dụng ký hiệu này, ta thành lập iđêan inwnew (Gold ) bao gồm dạng wnew -dẫn đầu phần tử Gold Chú ý wnew ∈ Cold đảm bảo hạng tử đánh dấu g ∈ Cold xuất inwold (g) Trong trường hợp thuận lợi, inwold (g) bao gồm chủ yếu đơn thức, với số lượng đa thức (trường hợp thuận lợi có nhị thức với tập hợp đơn thức) Từ suy việc tỡm kim mt c s Grăobner thu gn H = {h1 , , hs } inwnew (Gold ) >new thường thực nhanh Và tất nhiên có H, việc chuyển đổi Gold thành sở Grăobner mong mun tng i d dng Mnh 3.3 t Gold l c s Grăobner c ỏnh du ca iđêan I đối wnew với >old Tương tự đặt >new biểu diễn , wnew Mt 3.2 Chuyn i cỏc c s Grăobner 25 bt kỳ vectơ trọng số Cold , đặt H l c s Grăobner thu gn ca inwnew (Gold ) >new Mỗi hj ∈ H biểu diễn hj = pj,g inwnew (g) (3.4) g∈Gold Khi việc thay dạng dẫn đầu g, đa thức hj = pj,g g, ≤ j ≤ s, (3.5) g∈Gold lập thành sở Grăobner ca I i vi >new Trc a chứng minh, cần số nhận xét sơ vectơ trọng số thứ tự đơn thức Một đa thức f w-thuần f = inw (f ) Nói cách khác, tất số hạng f có trọng số w Hơn nữa, đa thức viết dạng tổng đa thức w-thuần thành phần w-thuần Chúng ta nói vectơ trọng số w tương thích với thứ tự đơn thức > LT> (f ) xuất inw (f ) với đa thức khác khơng f Khi đó, ta có kết sau Bổ đề 3.4 Cố định w ∈ (Rn )+ \ {0} v t G l c s Grăobner đánh dấu iđêan I với thứ tự đơn thức > (i) Nếu w tương thích với > LT> (I) = LT> (inw (I)) = LT> ( inw (I) ) (ii) Nếu w ∈ CG inw (G) l mt c s Grăobner ca inw (I) vi > Đặc biệt, inw (I) = inw (G) Chứng minh (i) Đẳng thức LT> (I) = LT> (inw (I)) hiển nhiên từ dẫn đầu f ∈ K[x1 , , xn ] xuất inw (f ) Đẳng thức thứ hai, ta chứng minh LT> (f ) ∈ LT> (inw (I)) với f ∈ inw (I) Cho f biểu diễn t f= pi inw (fi ), i=1 pi ∈ K[x1 , , xn ], fi ∈ I 3.2 Chuyển đổi c s Grăobner 26 Mi bờn l tng ca cỏc thành phần w-thuần Vì inw (fi ) wthuần nhất, nên điều chứng tỏ t inw (f ) = qi inw (fi ), i=1 ta giả sử qi w-thuần f qi fi có w-trọng số với i Từ suy t qi fi ) ∈ inw (I) inw (f ) = inw ( i=1 Do LT> (f ) = LT> (inw (f )) ∈ LT> (inw (I)) (ii) Đầu tiên giả sử w tương thích với > Khi LT> (I) = LT> (G) = LT> (inw (G)) , đẳng thức thứ xảy G sở Grăobner i vi th t > ng thc th hai xảy w tương thích với > Kết hợp điều với phần (i), thấy LT> ( inw (I) ) = LT> (in> (G)) Do ú inw (G) l mt c s Grăobner ca inw (I) >, kết thúc chứng minh bổ đề Ta cịn phải xem xét xảy w ∈ CG , điều không thiết w tương thích với > Xét thứ tự trọng số > với so sánh w-trọng số phân định tiếp cách sử dụng > Chú ý w tương thích với > Mấu chốt vấn đề w ∈ CG nên từ dẫn đầu g ∈ G > số hạng đánh dấu Theo G l c s Grăobner c ỏnh du ca I vi > Vì w tương thích với > , phần trước có ý nghĩa inw (G) c s Grăobner ca inw (I) vi > Tuy nhiên, với g ∈ G , inw (g) có t 3.2 Chuyn i cỏc c s Grăobner 27 dn đầu giống > > Ta kt lun rng inw (G) l mt c s Grăobner inw (I) với > Tiếp theo chứng minh mệnh đề Chứng minh Mệnh đề 3.3 Ta chia phép chứng minh thành ba bước Bước thứ nhất, >new biểu diễn wnew Mt nên wnew tương thích với >new Do Bổ đề 3.4, thấy LT>new (I) = LT>new ( inwnew (I) ) Bước thứ hai, ý wnew ∈ Cold , khẳng định cuối phần (ii) Bổ đề 3.4 có nghĩa inwnew (I) = inwnew (Gold ) Bước thứ ba, ta chứng minh inwnew (Gold ) = LT>new (H) = LT>new (H) , với H = {h1 , , ht } l c s Grăobner ca inwnew (Gold ) H = {h1 , , ht } tập hợp đa thức mô tả mệnh đề Đẳng thức hiển nhiên, đẳng thức thứ hai, ta cần chứng minh với j, LT>new (hj ) = LT>new (hj ) Vì inwnew (g) wnew nên điều tương tự với hj qj,g Do với g, tất số hạng qj,g (g − inwnew (g)) nhỏ wnew -trọng số so với dạng dẫn đầu Trong (3.5) để có hj cộng số hạng có w-trọng nhỏ Vì >new tương thích với wnew nên số hạng thêm vào nhỏ theo thứ tự mới, >new -từ dẫn đầu hj giống với từ dẫn đầu hj Kết hợp ba bước, có LT>new (I) = LT>new (H) 3.3 Thuật toán 28 Từ hj ∈ I với I, ta kết luận H l c s Grăobner ca I i vi >new C s Grăobner ca H t Mnh 3.3 l cực tiểu, không thiết thu gọn Do đó, việc rút gọn đa thức thường cần thit cú c c s Grăobner c ỏnh du Gnew tương ứng với hình nón Trong thực hành, q trình tương đối nhanh chóng Để sử dụng Mệnh đề 3.3, cần tìm đa thức pj,g (2.5) biểu diễn phần tử c s Grăobner hj da vo cỏc phn t sinh inwnew (Gold ) Điều thực theo hai cách: Đầu tiên, pj,g tính tốn với H thuật tốn Buchberger mở rộng Thứ hai, từ inwnew (Gold ) c s Grăobner ca inwnew (Gold ) i vi >old phần (ii) Bổ đề 3.4 , pj,g nhận cách chia cho inwnew (Gold ) sử dụng >old Quá trình thay dạng dẫn đầu g g để từ (3.4) đến (3.5) gọi "nâng" dạng dẫn u lờn c s Grăobner mi 3.3 Thut toỏn Thut toỏn sau õy l mt ng i Grăobner c bn, theo đoạn thẳng từ ws đến wt Định lý 3.5 Ta đặt (i) "Nón kế tiếp" (Nextcone) thủ tục tính tốn ulast từ (3.2) Nhớ lại wnew = (1 − ulast )wold + ulast wt vectơ trọng số cuối dọc theo đường nm hỡnh nún Cold ca c s Grăobner Gold trước đó; (ii) "Nâng" (Lift) thủ tục nâng c s Grăobner ca cỏc dng wnew dn u ca c s Gră obner Gold trc ú i vi >new thnh c s Gră obner Gnew theo Mnh 3.3; 3.3 Thuật toán 29 (iii) "Rút gọn lẫn nhau" (Interreduce) thủ tục lấy tập hợp đa thức định rút gọn chúng lẫn thứ tự đơn thức định Khi đó, thuật toỏn sau s tớnh toỏn chớnh xỏc c s Grăobner cho I >t kết thúc sau hữu hạn bước: Input : Ms Mt biểu diễn cho thứ tự bắt đầu kết thúc với hàng u tiờn ws Gs l c s Gră obner i với >Ms Output : Giá trị cuối Gnew = c s Grăobner i vi >Mt Mold := Ms Gold := Gs wnew := ws wnew Mnew := Mt done := f alse W HILE done = f alse DO In := inwnew (Gold ) InG := gbasis(In, >Mnew ) Gnew := Lif t(InG, Gold , In, Mnew , Mold ) Gnew := Interreduce(Gnew , Mnew ) u := N extCone(Gnew , wnew , wt ) IF wnew = wt T HEN done := true ELSE Mold := Mnew Gold := Gnew wnew := (1 − u)wnew + uwt 3.3 Thuật toán Mnew := 30 wnew Mt RET U RN (Gnew ) Chứng minh Chúng ta dịch chuyển theo đoạn thẳng từ ws đến wt Để chứng minh tớnh dng, nhn xột rng qut Grăobner ca I = Gs có hữu hạn hình nón, hình nón có hữu hạn siêu phẳng bao quanh Loại bỏ siêu phẳng có chứa đoạn thẳng từ ws đến wt , siêu phẳng lại xác định tập hợp hữu hạn điểm đặc biệt đoạn thẳng Bây ta xét ulast = N extCone(Gnew , wnew , wt ) thuật toán Điều sử dụng (3.2) với wold thay giá trị wnew Hơn nữa, lưu ý thứ tự đơn thức xuất ws phát từ ma trận có dạng Theo đó, giả thuyết Bổ đề 3.2 Mt thỏa mãn Nếu ulast = 1, giá trị wnew wt , thuật toán kết thúc sau lần qua vịng lặp Mặt khác, ulast = uj < 1, giá trị wnew nằm siêu phẳng w.vj = 0, số hữu hạn siêu phẳng Tuy nhiên, (3.2) ngụ ý wt vj < w.vj ≥ 0, để siêu phẳng giao với đoạn thẳng điểm Do giá trị wnew điểm đặc biệt Hơn nữa, Bổ đề 3.2 ngụ ý ulast > đó, wnew khác với wt , phải chuyển sang điểm đặc biệt khác xa hơn, dọc theo đoạn thẳng Do cuối phải đạt wt , thời điểm thuật toán kết thúc Để chứng minh tính đắn, nhận xét lần qua vịng lặp chính, giả thuyết Mệnh đề 3.3 thỏa mãn Hơn nữa, giá trị wnew đạt đến wt , lần qua vịng lặp tính tốn wt c s Grăobner ca I cho th t n thức biểu thị Theo Mt giá tr cui cựng ca Gnew l c s Grăobner c đánh dấu cho >t 3.3 Thuật toán 31 Độ phc ca ng i Grăobner ph thuc nhiu vo số lượng hình nón qua dọc theo đường ca qut Grăobner v s hỡnh nún cú cha im wnew bước Chúng ta tìm hiểu rõ điều ví dụ Ví dụ 3.1 Chúng ta bắt đầu với ví d n gin v ng i Grăobner Xột iờan I = x2 − y, xz − y + yz ⊂ Q[x, y, z] Chúng ta tính tốn tồn b qut Grăobner cho I trờn (xem Hỡnh 2.2) Giả sử ta biết Gs = G(1) = x2 − y, y − xz − yz Đây c s Grăobner ca I i vi>(5,4,1),grevlex (trong s nhiu thứ tự khác) Giả sử muốn xác định c s Grăobner i vi >(6,1,3),lex (l G(6) ) Chỳng ta tiến hành sau Đặt     Ms = 1 1 1 ws = (5, 4, 1) Chúng ta sử dụng ma trận vuông xác định thứ tự thay ma trận × với hàng (5, 4, 1) ba hàng từ ma trận × xác định thứ tự grevlex Tương tự vậy,     Mt = 1 0 wt = (6, 1, 3) Chúng ta chọn ma trận vng xác định thứ tự thích hợp tất tính tốn sau cách xóa hàng phụ thuộc tuyến tính thích hợp Chúng ta bắt đầu cách xem xét thứ tự xác định     Mnew = 6 3 0 (sử dụng vectơ trọng số wnew = (5, 4, 1) trước, sau tinh chỉnh theo thứ tự đích) Các dạng wnew -dẫn đầu ca a thc c s Grăobner i vi th t 3.3 Thuật toán 32 giống dạng Gs , sở khơng thay đổi lần qua vịng lặp Sau đó, ta gọi thủ tục NextCone với wnew thay cho wold Hình nón >Mnew xác định ba bất đẳng thức thu cách so sánh x2 so với y y so với xz yz Theo (3.2), ulast u lớn cho (1 − u)(5, 4, 1) + u(6, 1, 3) nằm hình nón tính sau: x2 y : v1 = (2, −1, 0), wt v1 = = → u1 = y xz : wnew v2 v2 = (−1, 2, −1), wt v2 = −7 < → u2 = wnew v2 −(−7) = y yz : wnew v3 v2 = (0, 2, −1), wt v3 = −2 < → u3 = wnew v3 −(−2) = Giá trị u nhỏ ulast = 92 Do vectơ trọng số 2 wnew = (1 − )(5, 4, 1) + (6, 1, 3) = 9 Mold  47 10 13 47 10 13 , , , 9    Mnew =   0 cập nhật cho lần thơng qua vịng lặp Trong đường chuyền thứ hai, In = {y − xz, x2 } Chúng ta tính tốn sở Grăobner cho In i vi >new (i vi th t này, từ dẫn đầu phần tử xz) tìm H = {−y + xz, x2 , xy , y } Biểu diễn theo phần tử sinh In , ta có −y + xz = −1.(y − xz) + 0.(x2 ) x2 = 0.(y − xz) + 1.(x2 ) xy = x.(y − xz) + z.(x2 ) 3.3 Thuật toán 33 y = (y + xz).(y − xz) + z (x2 ) Vì vậy, theo Mệnh đề 3.3, để có sở Grăobner tip theo, chỳng tụi nõng lờn 1.(y xz − yz) + 0.(x2 − y) = xz + yz − y 0.(y − xz − yz) + 1.(x2 − y) = x2 − y x.(y − xz − yz) + z.(x2 − y) = xy − xyz − yz (y + xz).(y − xz − yz) + z (x2 − y) = y − y z − xyz − yz Rút gọn lẫn >new , ta cú c c s Grăobner c ỏnh du Gnew cho {xz + yz − y , x2 − y, xy − y + y z − yz, y − 2y z + y z − yz } G(5) Nhắc tới N extCone lượt này, sử dụng tham số 10 13 (1 − u)( 47 , , ) + u(6, 1, 3) Sử dụng (3.2) trên, thu 17 11 11 ulast = 35 , wnew = ( 28 , , ) Trong lần thứ ba qua vịng lặp chính, s Grăobner khụng thay i nh mt Tuy nhiờn, từ dẫn đầu dạng ban đầu đa thức cuối y 2y z + y z yz >Mnew y z kể từ   28 11 12   Mnew =   0 Sử dụng Mệnh đề 3.3 nh bỡnh thng tớnh toỏn c s Grăobner Gnew , {xz + yz − y , x2 − y, xy − y + y z − yz, y z − 2y z + y − yz } (3.6) G(6) Nhắc lại N extCone trả ulast = 1, khơng có cặp số đạt trọng số cho điểm đoạn đường tham số hóa 28 11 11 (1 − u)( , , ) + u(6, 1, 3) 5 3.3 Thuật toán 34 Do wnew = wt Sau lần vượt qua vịng lặp chính, Gnew khơng thay đổi, thuật tốn kết thúc Do đó, đầu cui cựng l (3.6), l c s Grăobner c ỏnh dấu I thứ tự đích Ví dụ 3.2 p dng ng i Grăobner chuyn i c sở G(3) cho iđêan cho sở G(4) Lấy >s = >(2,7,1), grevlex >t = >(3,1,6), grevlex Nhiều ưu đường bị có nhiều số hạng wnew -dẫn đầu Điều có xu hướng xảy phần đường nằm mặt hình nón đó, đường qua điểm có nhiều hình nón giao Ví dụ ứng dng ca thut toỏn ng i Grăobner cho mt đề tìm phương trình ẩn lấy cảm hứng từ ví dụ nghiên cứu thiết kế robot thiết kế có hỗ trợ máy tính Đặt C1 C2 hai đường cong R3 Mặt phân giác C1 C2 quỹ tích điểm P có khoảng cách với C1 C2 Phân giác sử dụng, ví dụ, kế hoạch chuyển động để tìm đường tránh chướng ngại vật môi trường xung quanh Chúng ta xem xét trường hợp C1 C2 hoàn toàn trơn tru đường cong đại số giao C1 = V (f1 , g1 ) C2 = V (f2 , g2 ) (Điều bao gồm hầu hết trường hợp quan tâm đến mơ hình kiểu khối, chẳng hạn đường thẳng, vòng tròn hình nón khác, v.v.) P = (x, y, z) nằm đường phân giác C1 C2 tồn Q1 = (x1 , y1 , z1 ) ∈ C1 Q2 = (x2 , y2 , z2 ) ∈ C2 cho khoảng cách từ P đến Ci tối thiểu Qi , i = 1, khoảng cách từ P đến Q1 khoảng cách từ P đến Q2 Thay nhấn mạnh vào mức tối thiểu tuyệt đối hàm khoảng cách từ P đến Ci Qi , đơn giản hàm khoảng cách đơn giản có điểm tới hạn Dễ dàng thấy điều kiện tương đương với việc nói đoạn thẳng từ P đến Qi trực giao với đường tiếp tuyến với Ci Qi Ví dụ 3.3 Chứng minh khoảng cách từ Ci đến P có điểm tới hạn Qi đoạn thẳng từ P đến Qi trực giao với đường tiếp tuyến với Ci Qi , điều tương đương với (∇fi (Qi ) × gi (Qi )).(P − Qi ) = 3.3 Thuật tốn 35 Trong ∇fi (Qi ) biểu thị vectơ độ dốc fi Qi × phép nhân R3 Bằng tập này, tìm thấy phân giác sau Đặt (xi , yi , zi ) điểm chung Qi Ci P = (x, y, z) Xét hệ phương trình = f1 (x1 , y1 , z1 ) = g1 (x1 , y1 , z1 ) = f2 (x2 , y2 , z2 ) = g2 (x2 , y2 , z2 ) = (∇f1 (x1 , y1 , z1 ) × ∇g1 (x1 , y1 , z1 )).(x − x1 , y − y1 , z − z1 ) = (∇f2 (x2 , y2 , z2 ) × ∇g2 (x2 , y2 , z2 )).(x − x2 , y − y2 , z − z2 ) (3.7) = (x−x1 )2 +(y −y1 )2 +(z −z1 )2 −(x−x2 )2 −(y −y2 )2 −(z −z2 )2 Đặt J ⊂ R[x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x, y, z] iđêan tạo bảy đa thức Khi đó, phân giác chứa V (I), I iđêan khử I = J ∩ R[x, y, z] Chứng minh tiến hành sau P = (x, y, z) nằm phân giác C1 C2 tồn Qi = (xi , yi , zi ) cho Qi ∈ Ci , Qi giá trị nhỏ hàm khoảng cách đến P, bị giới hạn đến Ci P Q1 = P Q2 Do đó, P nằm phân giác phương trình (3.7) thỏa mãn cho số (xi , yi , zi ) ∈ Ci Do đó, P hình chiếu số điểm V (J), nằm V (I) Lưu ý (3.7) chứa bảy phương trình với chín ẩn số, chúng tơi hy vọng V (J) phép chiếu V (I) có hai chiều nói chung Chẳng hạn, C1 khối xoắn V (y − x2 , z − x3 ) C2 đường thẳng V (x, y − 1), J iđêan J = y1 − x21 , z1 − x31 , x2 , y2 − 1, x − x1 + 2x1 (y − y1 ) + 3x21 (z − z1 ), z − z2 , (x − x1 )2 + (y − y1 )2 + (z − z1 )2 − (x − x2)2 − (y − y2 )2 − (z − z2 )2 (3.8) p dng ng i Grăobner vi >s l th t grevlex với x > y1 > z1 > x2 > y2 > z2 > x > y > z >t theo thứ tự >w,grevlex , w = 3.3 Thuật toán 36 (1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0), có thuộc tính khử mong muốn để tính J ∩ R[x, y, z] Sử dụng khai triển ng i Grăobner, chỳng ta ó tớnh toỏn c s >w,grevlex cho J (3.8) Như mong đợi, iđêan khử tạo đa thức nhất: J ∩ R[x, y, z] = 5832z y − 729z − 34992x2 y − 14496yxz − 14328x2 z + 24500x4 y − 23300x4 y + 3125x6 + 5464z − 36356z y + 1640xz + 4408z + 63456y xz + 28752y x2 z − 201984y − 16524z y − 175072y z + 42240y xz − 92672y zx + 99956z y + 50016yz + 90368y + 4712x2 + 3200y x3 z + 6912y xz + 13824y zx + 19440z xy + 15660z x3 y + 972z x2 y + 6750z x4 y − 61696y z x + 4644yxz − 37260yz x2 − 85992y x2 z + 5552x4 − 7134xz + 64464yz x2 − 5384zyx3 + 2960zy x3 − 151z + 1936 + 29696y + 7074z y + 18381z x2 − 2175z x4 + 4374xz + 1120zx + 7844x3 z − 139264y − 2048y − 1024y z − 512y x2 − 119104y x2 − 210432y z + 48896y z − 104224y z + 28944y z + 54912y x2 − 20768y + 5832z x3 − 8748z x2 + 97024y x2 + 58560y zx + 240128y + 286912y z + 10840xyz + 1552x3 z − 3750zx5 (3.9) Rõ ràng hình nón tương ứng với hai đơn thứ tự đơn thc >s , >t rt gn qut Grăobner J mmong đợi Các dạng dẫn đầu wnew bước thứ hai đường chứa số lượng lớn số hạng riêng biệt Theo kinh nghiệm, việc tăng tốc độ, đường Grăobner cng cú xu hng s dng ớt b nh để lưu trữ đa thức trung gian so với thuật toán Buchberger với thứ tự khử Điều có nghĩa việc đường i Grăoebner mt nhiu thi gian hon thnh, thỡ thường thực thành cơng ví dụ phức tạp khơng khả thi s dng cỏc gúi c s Grăobner ca cỏc h thống đại số máy tính tiêu chuẩn Các kết tương tự báo cáo số lập trỡnh th nghim ca ng i Grăobner cỏc ti tiệu khác Kết luận Trong luận văn đạt số kết sau • Trỡnh by khỏi nim qut Grăobner v mt s nh lý quan trng c s Grăobner, cng nh nhng tớnh cht quan trng ca qut Grăobner c bit l Định lý 2.1 với iđêan I ⊂ K[x1 , · · · , xn ], tập hợp M on(I) hữu hạn Từ ta nhận Hệ 2.3 Hay Ví dụ 2.1, kết từ Định lý 2.5 để làm sở cho ví dụ phn qut Grăobner ca mt iờan, v thụng qua Vớ d 2.1 ta mụ t qut Grăobner tng ng vi c s Grăobner c ỏnh du ã ng dng ca qut Grăobner, s dng thut toỏn vic xõy dng ng i Grăobner tớnh c s Grăobner ca mt iờan mt cỏch hiu qu ng i Grăobner bao gm hai bước bản: (i) Băng từ hình nón sang hỡnh nún khỏc (ii) Tớnh toỏn c s Grăobner I tương ứng với hình nón Trong phần có mệnh đề, bổ đề quan trọng Mệnh đề 3.1, Bổ đề 3.2, Mệnh đề 3.3, Bổ đề 3.4 Và đặt biệt Định lý 3.5 trình by thut toỏn ng i ca c s Grăobner Tài liệu tham khảo [1] D Cox, J Little and D O’Shea Ideals, Varieties, and Algorithms 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1997 [2] D Cox, J Little, D O’Shea Using algebraic geometry Springer (2005) [3] T Mora, L Robbiano The Grăobner fan of an ideal Journal of Symbolic Computation (1988) 6, 183-208 [4] B Huber, R.R Thomas Computing Grăobner fans of toric ideals Experimental Mathematics (2000), Vol 9(3), 321-331 [5] K Fukuda, A.N Jensen, R.R Thomas Computing Grăobner fans Mathematics of Computation (2007), Vol 76 (260), 2189-2212 ... xαnn gọi đơn thức theo n biến x1 , , xn tổng α1 + · · · + αn gọi bậc đơn thức xα1 xα2 · · · xαnn Các phần tử cα1 ,α2 ,··· ,αn gọi hệ số đa thức Đa thức không đa thức mà hệ số đa thức không... Ví dụ 1.1 Iđêan khơng sinh đa thức Vành K[x1 , , xn ] sinh đa thức Đây hai ví dụ đơn giản iđêan vành K[x1 , , xn ] Mệnh đề 1.5 ([1]) Vành đa thức biến K[x] vành chính, tức iđêan K[x] sinh... thực, R C, vành đa thức n biến với hệ số trường K, tập tất đơn thức K [x1 , , xn ] góc phần dương (positive orthant) Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đa thức thứ tự đơn thức K [x1,