Cơ sở chuẩn tắc của iđêan trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THANH THIỆN CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THANH THIỆN CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS PHẠM THÙY HƯƠNG i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 1.2 Iđêan đơn thức 1.3 Thứ tự đơn thức CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC 14 2.1 Định lý chia Grauert 15 2.2 Cơ sở chuẩn tắc số tính chất sở chuẩn tắc 22 2.3 Một áp dụng sở chuẩn tắc 30 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Lý thuyết sở chuẩn tắc vành chuỗi lũy thừa hình thành từ cơng trình Hironaka (1964) Grauert (1972) Lý thuyết đóng vai trị quan trọng, sở cho tính tốn hình học giải tích địa phương, có nhiều áp dụng lĩnh vực hình học đại số lý thuyết kỳ dị Do đó, việc tìm hiểu lý thuyết sở chuẩn tắc vành chuỗi lũy thừa cần thiết tiền đề cho việc nghiên cứu toán liên quan lĩnh vực Luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo bao gồm gồm hai chương Chương trình bày số kiến thức liên quan đến vành chuỗi lũy thừa hình thức, iđêan đơn thức thứ tự đơn thức dùng luận văn Chương tìm hiểu trình bày Định lý chia Grauert, sở chuẩn tắc số tính chất sở chuẩn tắc, áp dụng sở chuẩn tắc vấn đề tính tốn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến TS.Phạm Thùy Hương, cô trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Toán học trường đại học Quy Nhơn quý thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số khóa 21, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý quý thầy giáo, cô giáo độc giả để luận văn hoàn thiện Ngày 10 tháng năm 2020 Học viên thực Võ Thanh Thiện Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức vành chuỗi lũy thừa hình thức, iđêan đơn thức thứ tự đơn thức, sở cho việc nghiên cứu sở chuẩn tắc iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức chương luận văn Trong toàn luận văn, K[x] = K[x1 , , xn ] ký hiệu vành đa thức n biến trường K Ký hiệu x = (x1 , , xn ) biến α = (α1 , , αn ) ∈ Nn Với α = (α1 , , αn ) ∈ Nn , ta viết xα = xα1 · · xαnn gọi đơn thức n biến Ký hiệu M onn = {xα | α ∈ Nn } tập hợp đơn thức n biến K[x] Ký hiệu x = x1 , , xn ⊂ K[x] 1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức Mục trình bày số kiến thức vành chuỗi lũy thừa hình thức Các kết mục trích dẫn từ [3] [5] aα xα , aα ∈ K, Định nghĩa 1.1.1 (1) Một biểu diễn α∈Nn gọi chuỗi lũy thừa hình thức Một chuỗi lũy thừa hình thức ∞ ký hiệu |α|=0 aα xα aα x α aα xα | aα ∈ K, α ∈ Nn } tập tất (2) Ký hiệu K[[x]] = { α∈Nn chuỗi lũy thừa hình thức n biến với hệ số K Trên K[[x]] ta định nghĩa phép toán cộng nhân sau α∈Nn α∈Nn α∈Nn aα x α α∈Nn (aα + bα )xα , bα xα := aα xα + bα xα aα bβ xγ := α∈Nn γ∈Nn α+β=γ Khi K[[x]] với hai phép toán vành giao hốn có đơn vị, gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến trường K Ký hiệu m = x1 , , xn ⊂ K[[x]] Mệnh đề 1.1.2 K[[x]] vành địa phương với iđêan cực đại m Chứng minh Xem [[5], Bổ đề 6.1.2] ∞ Bổ đề 1.1.3 ∩ mk = k=1 Chứng minh Xem [[5],Bổ đề 6.1.5] Định nghĩa 1.1.4 (1) K[[x]] với tập hợp F = {mk | k ∈ N} không gian tơpơ, F hệ lân cận Tôpô gọi tôpô m-adic (2) Một dãy {fν }ν∈N , fν ∈ K[[x]], gọi dãy Cauchy với k ∈ N, tồn l ∈ N cho fν − fm ∈ mk với ν, m ≥ l (3) Một dãy {fν }ν∈N , fν ∈ K[[x]] gọi dãy hội tụ tồn f ∈ K[[x]] cho với k ∈ N, tồn l ∈ N thỏa mãn f − fν ∈ mk với ν ≥ l Khi f xác định ta viết f = lim fν ν→∞ ∞ (4) Một chuỗi fν K[[x]] hội tụ dãy tổng riêng ν=0 hội tụ Chú ý 1.1.5 Nếu {fν }ν∈N , {gν }ν∈N dãy hội tụ lim (fν + gν ) = lim fν + lim gν ν→∞ ν→∞ ν→∞ lim (fν gν ) = lim fν · lim gν ν→∞ ν→∞ ν→∞ Định lý 1.1.6 K[[x]] đầy đủ, nghĩa dãy Cauchy K[[x]] hội tụ, Hausdorff tôpô m-adic Chứng minh Xem [[5], Định lý 6.1.8] ∞ fν K[[x]] hội tụ tôpô m-adic Mệnh đề 1.1.7 Một chuỗi ν=0 lim fν = ν→∞ Chứng minh Xem [[3], Mệnh đề 4.4.8] 1.2 Iđêan đơn thức Trong mục này, ta nhắc lại định nghĩa số tính chất iđêan đơn thức Các kết trích dẫn từ [1], [5] [7] Sau đó, ta đưa tính chất tương tự cho iđêan sinh đơn thức vành chuỗi lũy thừa hình thức Từ sau tồn luận văn R ký hiệu vành K[[x]] = K[[x1 , , xn ]] chuỗi lũy thừa hình thức n biến trường K, trừ có khẳng định khác Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan I ⊂ K[x] gọi iđêan đơn thức I có hệ sinh tập đơn thức Cho xα , xβ ∈ M onn Ta nói xβ chia hết cho xα hay xα chia hết xβ , ký hiệu xα |xβ , tồn γ ∈ Nn cho β = γ + α, tức βi ≥ αi , với i = 1, , n Bổ đề 1.2.2 Cho I = A iđêan đơn thức, A ⊂ M onn xβ ∈ M onn Khi xβ ∈ I tồn xα ∈ A cho xβ chia hết cho xα Chứng minh Xem [[1], Bổ đề 2] Bổ đề 1.2.3 (Bổ đề Gordan-Dickson) Một tập hợp khác rỗng M đơn thức K[x] chứa tập hữu hạn E ⊂ M cho đơn thức M bội đơn thức E E thường gọi sở Dickson M Chứng minh Xem [[5], Bổ đề 1.2.6] Từ Bổ đề 1.2.2 Bổ đề 1.2.3 ta suy hệ sau Hệ 1.2.4 Mọi iđêan đơn thức I ⊂ K[x] có hệ sinh gồm hữu hạn đơn thức Chứng minh Gọi I = M | M ⊂ M onn ⊂ K[x] Theo Bổ đề GordanDickson, tồn tập hữu hạn E = {m1 , , mr } ⊂ M cho với m ∈ M , m chia hết cho mi0 với i0 ∈ {1, , r} Khi đó, áp dụng Bổ đề 1.2.2 ta có I = m1 , , mr Bổ đề 1.2.5 Cho I J hai iđêan đơn thức Khi I ∩ J I : J iđêan đơn thức Hơn nữa, I = m1 , , mr J = n1 , , ns , mi , nj đơn thức, (1) I ∩ J = BCN N (mi , nj ) | ≤ i ≤ r, ≤ i ≤ j (2) I : nj = mi /U CLN (mi , nj ) | ≤ i ≤ r s Do I : J tính theo cơng thức I : J = ∩ (I : nj ) (1) j=1 Chứng minh Xem [[7], Mệnh đề 4.7] Một iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức sinh đơn thức có tính chất tương tự iđêan đơn thức, thể qua bổ đề sau Bổ đề 1.2.6 Cho I = M | M ⊂ M onn ⊂ R iđêan Cho m ∈ M onn Khi m ∈ I tồn m0 ∈ M cho m chia hết cho m0 Chứng minh Lập luận chứng minh Hệ 1.2.4, tồn sở Dickson E = {m1 , , mr } ⊂ M M Khi đó, rõ ràng I = E ⊂ R r Giả sử m ∈ I Khi m = mi gi , với g1 , , gr ∈ R Đặt hi = i=1 r hi nên tồn i0 ∈ mi gi , i = 1, , r Vì m đơn thức i=1 {1, , r} cho m đơn thức hi0 Vì đơn thức hi0 chia hết cho mi0 nên m chia hết cho mi0 Ngược lại, giả sử tồn m0 ∈ M cho m chia hết cho m0 , tức tồn m ∈ M onn cho m = m m0 Suy m ∈ M | M ⊂ M onn = I 24 Mệnh đề 2.2.5 Cho I iđêan khác không R Cho S = {f1 , , fr } sở chuẩn tắc I Khi I = f1 , , fr r Chứng minh Với g ∈ I ta có g = r Suy N F (g|S) = g − gi fi + N F (g|S) với g1 , , gr ∈ R i=1 gi fi ∈ I Nếu N F (g|S) = i=1 LT (N F (g|S)) ∈ L(I) = LT (f1 ), , LT (fr ) Theo Bổ đề 1.2.6, LM (N F (g|S)) chia hết cho LM (fi ) với i ∈ {1, , r} đó, điều mâu thuẫn với định nghĩa N F (g|S) Do N F (g|S) = Vậy g ∈ f1 , , fr Mệnh đề 2.2.6 Cho I iđêan khác không R Cho S = {f1 , , fr } T = {h1 , , hs } sở chuẩn tắc I Khi với g ∈ R ta có N F (g|S) = N F (g|T ) Chứng minh Với g ∈ R, ta có r g= s i=1 ∼ ∼ gj hj + N F (g|T ), gi fi + N F (g|S) = j=1 ∼ với g1 , , gr , g1 , , gs ∈ R Suy s N F (g|S) − N F (g|T ) = j=1 ∼ gj hj r − gi fi ∈ I i=1 Nếu N F (g|S) = N F (g|T ) LM (N F (g|S) − N F (g|T )) ∈ L(I) Mặt khác, LM (N F (g|S) − N F (g|T )) đơn thức xuất N F (g|S) N F (g|T ) Điều mâu thuẫn với định nghĩa dạng chuẩn Do N F (g|S) = N F (g|T ) Định nghĩa 2.2.7 Cho I ⊂ R iđêan khác không S sở chuẩn tắc I Khi đó, với g ∈ R ta định nghĩa N F (g|I) := N F (g|S) dạng chuẩn g I 25 Mệnh đề 2.2.8 Cho I ⊂ R iđêan khác không S = {f1 , , fr } sở chuẩn tắc I Cho g ∈ R Khi (1) g ∈ I N F (g|S) = (2) g − N F (g|I) ∈ I Chứng minh Vì S = {f1 , , fr } sở chuẩn tắc I nên I = f1 , , fr Với g ∈ R ta có r g= gi fi + N F (g|S) i=1 với g1 , , gr ∈ R r (1) Giả sử g ∈ I Khi N F (g|S) = g − gi fi ∈ I Nếu N F (g|S) = i=1 LM (N F (g|S)) ∈ L(I), điều mâu thuẫn với định nghĩa N F (g|S) Do N F (g|S) = Ngược lại, N F (g|S) = g = r gi fi ∈ I i=1 r (2) Ta có g − N F (g|S) = gi fi ∈ I i=1 Định nghĩa 2.2.9 Cho Z vành giao hốn có đơn vị, M Z-mơđun Cho f1 , , fr ∈ M Một xoắn f1 , , fr phần tử hạt nhân Kerφ đồng cấu φ : Z r −→ M, εi −→ fi , i = 1, , r, {ε1 , , εr } sở tự nhiên Z r Khi đó, Kerφ gọi môđun xoắn f1 , , fr , ký hiệu syz(f1 , , fr ) Sau ký hiệu {e1 , , er } sở tự nhiên K[x]r ⊂ Rr Định nghĩa 2.2.10 Cho f1 , , fr ∈ R\{0} Khi thứ tự mơđun cảm sinh >1 K[x]r định nghĩa xα ei >1 xβ ej ⇔ xα LM (fi ) > xβ LM (fj ), 26 (xα LM (fi ) = xβ LM (fj ) i > j) Cho f1 , , fr ∈ R\{0} Với i ∈ {1, , r}, gọi LM (fi ) = xαi , LC(fi ) = ci , αi = (αi1 , , αin ) ∈ Nn Với i, j ∈ {1, , r}, i = j, ký hiệu mji = xγ−αi , γ = (max{αi1 , αj1 }, , max{αin , αjn }) ∈ Nn Khi mji = BCNN(LM (fj ), LM (fi ))/LM (fi ) Định nghĩa 2.2.11 Cho f1 , , fr ∈ R\{0} Với ký hiệu trên, với i = j, S-đa thức fi fj , ký hiệu S(fi , fj ), định nghĩa S(fi , fj ) = mji fi − ci mij fj cj Chú ý S(fi , fj ) = −S(fj , fi ) với i = j Với i = 2, , r, đặt Mi = LM (f1 ), , LM (fi−1 ) : LM (fi ) ⊂ K[x] Khi theo Bổ đề 1.2.5, Mi sinh đơn thức mji , j < i Hơn nữa, Mi có hệ sinh sở Dickson E ⊂ {mji | j < i} Với i phần tử sinh xα ∈ E Mi , chọn j = j(i, α) < i cho mji = xα Gọi hi,α = N F (S(fi , fj )|G), G = {f1 , , fr } Định lý sau cho ta tiêu chuẩn để kiểm tra hệ sinh iđêan sở chuẩn tắc 27 Định lý 2.2.12 (Tiêu chuẩn Buchberger) Cho I = f1 , , fr ⊂ R iđêan, f1 , , fr ∈ R\{0} Với ký hiệu trên, G = {f1 , , fr } sở chuẩn tắc I hi,α = với i, α Chứng minh Giả sử G sở chuẩn tắc I Vì S(fi , fj ) ∈ I với i = j nên áp dụng Mệnh đề 2.2.8(1) ta suy hi,α = với i, α Ngược lại, giả sử hi,α = với i, α Khi theo Định lý chia Grauert, với i, α ta có mji fi − ci (ij) mij fj = S(fi , fj ) = g1 f1 + + gr(ij) fr + 0, cj j = j(i, α) < i chọn Đặt ci (ij) (ij) (ij) (ij) G(i,α) := (−g1 , , − mij −gj , −gj+1 , , mji −gi , , −gr(ij) ) ∈ Rr cj Khi G(i,α) xoắn f1 , , fr Trên K[x]r ⊂ Rr ta xét thứ tự môđun cảm sinh Ta chứng minh thứ tự này, đơn thức dẫn đầu G(i,α) LM (G(i,α) ) = mji ei Thật vậy, ta có mji LM (fi ) = mij LM (fj ) với k = 1, , r mji LM (fi ) = max{LM (mji fi ), LM (mij fj )} (ij) > LM (S(fi , fj )) = max{LM (gk fk )} k=1,r (ij) ≥ LM (gk )LM (fk ) (ij) Vì i > j nên từ suy mji ei > mij ej , mji ei > LM (gk )ek Do LM (G(i,α) ) = mji ei 28 Lấy g ∈ I, g = Khi tồn a1 , , ar ∈ R cho g = a1 f + + ar f r Ta chứng minh tồn biểu diễn g g = g1 f1 + + gr fr với g1 , , gr ∈ R cho với l > k, khơng có đơn thức gl LM (fl ) chia hết cho LM (fk ) Khi LM (g) = max{LM (gi fi )} = LM (gi0 fi0 ) = LM (gi0 )LM (fi0 ), i=1,r với i0 ∈ {1, , r} Suy LT (g) ∈ LT (f1 ), , LT (fr ) ta có điều cần chứng minh Thật vậy, xét A = (a1 , , ar ) ∈ Rr áp dụng Định lý 2.1.4 cho A G(i,α) với i, α (các G(i,α) xếp theo thứ tự đó), tồn H = (g1 , , gr ) ∈ Rr phần dư phép chia Vì G(i,α) xoắn f1 , , fr với i, α nên ta g = a1 f1 + + ar fr = g1 f1 + + gr fr Giả sử phản chứng tồn l > k cho có đơn thức gl LM (fl ) chia hết cho LM (fk ) Suy có đơn thức m gl thuộc vào iđêan Ml = LM (f1 ), , LM (fl−1 ) : LM (fl ) Vì Ml iđêan đơn thức sinh E ⊂ {mhl | h < l} nên tồn đơn thức mh0 l ∈ E, h0 < l, cho m chia hết cho mh0 l Do đó, đơn thức mel H chia hết cho đơn thức mh0 l el , mâu thuẫn Mệnh đề 2.2.13 Cho I ⊂ R iđêan khác khơng Khi I có sở chuẩn tắc thu gọn S = {f1 , , fm } Cơ sở chuẩn tắc 29 Chứng minh Trước hết ta chứng minh tồn sở chuẩn tắc thu gọn I Gọi T = {g1 , , gm } sở chuẩn tắc I Giả sử LM (gi ) | LM (gj ) với i = j Khi {g1 , , gj−1 , gj+1 , , gm } sở chuẩn tắc I Do giả sử LM (gi ) LM (gj ) với i = j Hơn nữa, chia gi cho LC(gi ) ta giả sử LC(gi ) = với i = 1, , m Đặt fi := LT (gi ) + N F (T ail(gi )|I), i = 1, , m Ta chứng minh f1 , , fm sở chuẩn tắc thu gọn I Thật vậy, với i ∈ {1, , m} m gi = LT (gi ) + T ail(gi ) = LT (gi ) + qiν gν + N F (T ail(gi )|T ), ν=1 với qi1 , , qim ∈ R nên fi ∈ I với i = 1, , m Vì LT (gi ) = LT (fi ) với i = 1, , m nên ta có S := {f1 , , fm } sở chuẩn tắc I Hơn nữa, với i = 1, , m, LM (fi ) LM (fj ) với j = i theo định nghĩa dạng chuẩn, khơng có đơn thức T ail(fi ) chia hết cho LM (g1 ) = LM (f1 ), , LM (gm ) = LM (fm ) Do f1 , , fm sở chuẩn tắc thu gọn I Ta chứng minh tính sở chuẩn tắc thu gọn Giả sử S = {f1 , , fm } T = {g1 , , gs } hai sở chuẩn tắc thu gọn I Ta có L(I) = LM (f1 ), , LM (fm ) = LM (g1 ), , LM (gs ) Mặt khác LM (fi ) LM (fj ) với i = j LM (gk ) LM (gl ) với k = l nên m = s {LM (f1 ), , LM (fm )} = {LM (g1 ), , LM (gm )} Do với i ∈ {1, , m} tồn j ∈ {1, , m} cho LM (fi ) = LM (gj ) Vì fi −gj ∈ I S sở chuẩn tắc I nên N F (fi −gj |S) = 30 Do theo Định lý chia Grauert tồn hk ∈ R, k = 1, , m cho m f i − gj = hk fk k=1 Giả sử phản chứng fi = gj Khi đó, LM (fi ) = LM (gj ), đơn thức fi −gj đơn thức T ail(fi ) T ail(gj ) Vì S sở chuẩn tắc thu gọn I, khơng có đơn thức T ail(fi ) T ail(gj ) chia hết cho số LM (f1 ), , LM (fm ) Do fi − gj = N F (fi − gj |S) Suy fi − gj = 0, mâu thuẫn Vậy S = T 2.3 Một áp dụng sở chuẩn tắc Kết mục khẳng định sở chuẩn tắc iđêan sinh đa thức vành chuỗi lũy thừa hình thức tính tốn máy tính Một áp dụng sở chuẩn tắc tính toán số bất biến lý thuyết kỳ dị đưa mục Các kết mục trích dẫn từ [3], [5] [6] Định nghĩa 2.3.1 Cho I iđêan khác không R cho > thứ tự đơn thức địa phương K[x] ⊂ R Một đơn thức chuẩn tắc I thứ tự đơn thức > đơn thức không thuộc L(I) Mệnh đề 2.3.2 Cho > thứ tự đơn thức địa phương K[x] Cho I ⊂ R iđêan khác khơng Khi (1) Các đơn thức chuẩn tắc I đại diện cho phần tử K-độc lập tuyến tính R/I, lớp thặng dư chúng sinh không gian R/I trù mật tơpơ mR/I -adic, mR/I iđêan cực đại R/I 31 (2) Nếu dimK R/I < ∞ đơn thức chuẩn tắc đại diện cho sở K-không gian vectơ R/I Chứng minh (1) Đặt B := {m ∈ R/I | m đơn thức chuẩn tắc I >} Với s ∈ N\{0}, m1 , , ms đơn thức chuẩn tắc I >, a1 , , as ∈ K, giả sử a1 m1 + + as ms = ∈ R/I Suy g = a1 m1 + + as ms ∈ I Giả sử g = 0, tồn i0 ∈ {1, , s} cho LT (g) = ai0 mi0 Vì LT (g) ∈ L(I) nên mi0 ∈ L(I), mâu thuẫn Do g = Suy = 0, i = 1, , s Vậy B hệ độc lập tuyến tính Ta chứng minh tính trù mật Ký hiệu B khơng gian R/I sinh B Lấy f ∈ R/I, ta chứng minh f ∈ B , B bao đóng B tơpơ mR/I -adic Với k ∈ N, ta chứng minh f + mkR/I ∩ B = ∅ Gọi S = {f1 , , fr } ⊂ I sở chuẩn tắc I Đặt h = N F (f |S) Khi đó, f = h ∈ R/I, khơng có đơn thức h chia hết cho đơn thức số LM (fi ), i = 1, , r Gọi h = bα xα ∈ R, ta có bα xα ∈ mk h− |α|, gọi m1 , , ms Theo Mệnh đề 2.3.2(2) B = {m1 , , ms } ⊂ R/I K-cơ sở R/I 33 Ta chứng minh B = {m1 , , ms } ⊂ R/L(I) K-cơ sở R/L(I) Gọi S = {f1 , , fr } sở chuẩn tắc I > Giả sử c1 , , cs ∈ K cho s ci mi ∈ L(I) = LM (f1 ), , LM (fr ) i=1 Do mi , i = 1, , s, không chia hết cho đơn thức số LM (fj ), j = 1, , r nên ci = với i = 1, , s Do đó, B hệ độc lập tuyến tính Hơn nữa, với g ∈ R, rõ ràng R/L(I) ta có g tổ hợp tuyến tính m1 , , ms Do đó, B hệ sinh R/L(I) Chú ý Hệ 2.3.3, dimK R/I < ∞ tương đương với dimK R/L(I) < ∞ Bây giờ, cố định > thứ tự đơn thức địa phương K[x] Xét vành K[x] x địa phương hóa K[x] iđêan cực đại x Ta có K[x] ⊂ K[x] x ⊂ R Với f ∈ K[x] x , LM (f ) đơn thức lớn f R Ta định nghĩa sở chuẩn tắc iđêan vành K[x] x Định nghĩa 2.3.4 Cho I iđêan K[x] x Một tập hợp S = {f1 , , fr } ⊂ I\{0} gọi sở chuẩn tắc I L(I) = LT (f1 ), , LT (fr ) ⊂ K[x], L(I) := LT (f ) | f ∈ I\{0} ⊂ K[x] Chú ý 2.3.5 (1) Nếu S = {f1 , , fr } sở chuẩn tắc iđêan I ⊂ K[x] x I = f1 , , fr (Xem [[5], Bổ đề 1.6.7]) 34 (2) Nếu I iđêan K[x] x sinh đa thức I có sở chuẩn tắc gồm đa thức sở tính tốn thuật toán sở chuẩn tắc (xem [[5], Thuật toán 1.7.8]) Định lý sau sở cho việc tính tốn hình học giải tích địa phương Nó khẳng định iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức sinh đa thức sở chuẩn tắc tính Định lý 2.3.6 Cho > thứ tự bậc địa phương K[x] ⊂ R Cho I iđêan K[x] S ⊂ K[x] sở chuẩn tắc IK[x] x Khi S sở chuẩn tắc IR Chứng minh Gọi S = {f1 , , fr } ⊂ K[x] sở chuẩn tắc IK[x] x Lấy g ∈ IR, g = Khi tồn g1 , , gr ∈ R cho r gi fi g= i=1 c Chọn c ∈ N cho LM (g) ∈ / x đơn thức x LM (g) Với i = {1, , r}, chọn hi ∈ K[x] cho gi − hi ∈ x c Đặt r f= hi f i i=1 Khi f ∈ IK[x] x r (hi − gi )fi ∈ x c f −g = i=1 Do LM (f ) = LM (g) c nhỏ 35 Vì f ∈ IK[x] x nên LM (f ) ∈ L(IK[x] x ) = LM (f1 ), , LM (fr ) Suy LM (g) ∈ LM (f1 ), , LM (fr ) Cuối cùng, ta đưa áp dụng sở chuẩn tắc tính tốn số bất biến lý thuyết kỳ dị Định nghĩa 2.3.7 Cho f ∈ m\{0} (1) Số µ(f ) := dimK R ∂f ∂f , , ∂x1 ∂xn gọi số Milnor f (2) Số τ (f ) := dimK R f, ∂f ∂f , , ∂x1 ∂xn gọi số Tjurina f Với f ∈ m\{0}, đặt j(f ) := ∂f ∂f , , ∂x1 ∂xn ⊂ R, Chọn thứ tự đơn thức địa phương > K[x] ⊂ R Theo Mệnh đề 2.2.4, tồn S = {f1 , , fr } sở chuẩn tắc j(f ) > Do L(j(f )) = LM (f1 ), , LM (fr ) ⊂ R, iđêan R sinh đơn thức Nếu dimK R/L(j(f )) < ∞ 36 áp dụng Hệ 2.3.3, ta có µ(f ) = dimK R/j(f ) = dimK R/L(j(f )) Tương tự ta tính τ (f ) Sau minh họa cho việc tính tốn số Milnor số Tjurina trường hợp f đa thức Ví dụ 2.3.8 Cho f = x3 + xy ∈ C[[x, y]] Khi j(f ) = ∂f ∂f , ∂x ∂y = 3x2 + y , 3xy ⊂ C[x, y] Trên C[x, y] chọn thứ tự đơn thức >ds với x > y, thứ tự bậc địa phương Theo Chú ý 2.3.5, sở chuẩn tắc iđêan j(f ) ⊂ C[x, y] x,y tính thuật tốn Dùng hệ đại số máy tính SINGULAR [4], ta tính sở chuẩn tắc j(f ) ⊂ C[x, y] x,y >ds S = {3x2 + y , xy , y } Theo Định lý 2.3.6, S sở chuẩn tắc j(f ) ⊂ C[[x, y]] Do ta có L(j(f )) = x2 , xy , y ⊂ C[[x, y]] Áp dụng Hệ 2.3.3, ta µ(f ) = dimC C[[x, y]]/j(f ) = dimC C[[x, y]]/L(j(f )) = dimC C[[x, y]]/ x2 , xy , y = Vì f ∈ j(f ) nên τ (f ) = µ(f ) = 37 Kết luận Trong luận văn thực cơng việc sau Trình bày kiến thức vành chuỗi lũy thừa hình thức, iđêan đơn thức thứ tự đơn thức Các kết trình bày Chương Chứng minh chi tiết phiên hình thức Định lý chia Grauert, trình bày lại cách có hệ thống số khái niệm kết sở chuẩn tắc iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức, tìm hiểu áp dụng sở chuẩn tắc vấn đề tính tốn Các kết trình bày Chương 38 Tài liệu tham khảo [1] David A Cox, John Little, Donal O’Shea, Ideals, varieties and Algorithms, Springer International Publishing Switzerland, 1998 [2] Wolfram Decker and Christoph Lossen, Computing in Algebraic Geometry, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Hindustan Book Agency New Delhi, 2006 [3] Wolfram Decker, Frank-Olaf Schreyer, Varieties, Grăobner Bases, and Algebraic Curves, 2009 [4] Wolfram Decker, Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister, Hans Schoennemann, Singular 4.0.2-A Computer Algebra System for Polynomial Computations, 2015, http:// www.singular.uni-kl.de [5] Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister, A SINGULAR Introduction to Commutative Algebra, Springer-Verlag, Heidelberg, 2008 [6] Theo de Jong, Gerhard Pfister, Local Analytic Geometry, Springer Fachmedien Wiesbaden, 2000 [7] Lê Tuấn Hoa, Đại số mỏy tớnh-C s Grăobner, Nh xut bn i hc Quc gia Hà Nội, 2003 ... Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức vành chuỗi lũy thừa hình thức, iđêan đơn thức thứ tự đơn thức, sở cho việc nghiên cứu sở chuẩn tắc iđêan vành chuỗi lũy thừa hình thức chương... nghĩa cách tương tự Định nghĩa 1.3.13 14 Chương CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC Chương trình bày số khái niệm kết lý thuyết sở chuẩn tắc vành chuỗi lũy thừa hình. .. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 1.2 Iđêan đơn thức 1.3 Thứ tự đơn thức CƠ SỞ CHUẨN TẮC CỦA IĐÊAN TRONG VÀNH CÁC CHUỖI