Vành các chuỗi lũy thừa hình thức và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đào Thị Thu Hường VÀNH CÁC CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đào Thị Thu Hường VÀNH CÁC CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục với đề tài: Vành chuỗi luỹ thừa hình thức ứng dụng cơng trình nghiên cứu riêng Các nội dung kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Đào Thị Thu Hường LỜI CẢM ƠN Lời nói đầu tiên, tơi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc chân thành đến với thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang, người nhận hướng dẫn tôi, người giúp đỡ rất nhiều việc làm quen với cơng việc nghiên cứu tận tình dạy, động viên tơi hồn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin trân trọng cảm ơn đến thầy TS Trần Huyên – Người cho đường yêu môn Đại số tâm theo đuổi ngành Đại số lý thuyết số Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu thầy cô tổ Tốn Trường TH, THCS, THPT Ngơ Thời Nhiệm Quận TP.HCM nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt khóa học Xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo chuyên viên Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo thuận lợi cho chúng tơi khóa học Tôi cảm ơn bạn, anh chị học Khóa 27 tơi chia sẻ buồn vui, khó khăn suốt q trình học tập, đặc biệt bạn Nguyễn Thanh Ngọc lớp LL&PPDHBM Tốn đồng hành, động viên tơi học tập Cuối tơi xin dành trọn lịng biết ơn đến bố mẹ ruột, ba mẹ chồng, chồng anh em động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Đặc biệt cảm ơn gái thức mẹ ngày mẹ ôn thi Tôi xin chân thành cảm ơn Đào Thị Thu Hường MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan  Lời cảm ơn   MỞ ĐẦU 1  Chương VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC 3  1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 3  1.2 Căn lũy thừa hữu tỷ 5  1.3 Đạo hàm hình thức 7  1.4 Một số công thức 8  1.5 Hàm sinh dãy số 9  Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC – HÀM SINH 10  2.1 Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức để nghiên cứu dãy số 10  2.2 Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức để giải tốn đếm 17  2.3 Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức việc chứng minh cơng thức tổ hợp 24  2.4 Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức để giải số tốn bậc phổ thông 27  KẾT LUẬN 32  TÀI LIỆU THAM KHẢO 33  MỞ ĐẦU Trong toán học, việc sử dụng kiến thức toán cao cấp để giải tốn phổ thơng điều quan trọng Nó khơng giúp người làm tốn có nhiều phương pháp lựa chọn lời giải, mở rộng tầm hiểu biết tốn học mà cịn phát huy thông minh sáng tạo, tầm bao quát toán, mở rộng toán theo nhiều hướng khác Như biết vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số tốn giải tích Khi tiếp cận vấn đề em học sinh giỏi, sinh viên nhiều thầy cô giáo phổ thông thường phải đối mặt với nhiều tốn khó lúng túng tìm cách giải Trong kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic toán sinh viên trường Đại học, cao đẳng, toán liên quan đến dãy số hay đề cập thường khó, địi hỏi người học, người làm tốn phải có tầm hiểu biết rộng sâu sắc kiến thức dãy số chuỗi đưa phương pháp giải tốn hay hồn thiện tốn Để phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi học tập, nghiên cứu toán dãy số, toán tổ hợp, toán lý thuyết số…Vành  chuỗi lũy thừa hình thức a x n0 n n tỏ có ích cơng cụ hữu hiệu để giải vấn đề Dưới hướng dẫn PGS TS Mỵ Vinh Quang, tác giả định chọn đề tài luận văn :” Vành chuỗi lũy thừa hình thức ứng dụng ” Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Vành chuỗi lũy thừa hình thức Trình bày định nghĩa số tính chất vành chuỗi lũy thừa hình thức hàm sinh Chương Một số ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức hàm sinh Trình bày cách ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức để giảiquyết toán dãy số, toán tổ hợp, toán lý thuyết số, toán sơ cấp… Mặc dù cố gắng nhiều, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp từ q thầy đọc giả Chương VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC 1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức Ký hiệu vành chuỗi lũy thừa hình thức biến trường  là:       x   a0  a1 x  a2 x      xi     i 0     Mỗi phần tử f    x  , f   x i với x  , gọi chuỗi lũy i 0 thừa hình thức biến x với hệ tử thuộc  Để biến   x thành vành giao hốn có đơn vị ta cần phép toán sau: n n Cho f   an x , g   bn x    x  ta định nghĩa n n f  g  an  bn , n  0;1; f  g    an  bn  x n n   fg   cn x n  cn   ak bn  k  n k   1.1.1 Để thuận tiện, ta kí hiệu cho chuỗi luỹ thừa với tất hệ số cho chuỗi luỹ thừa  0.x  0.x  gọi chúng tương ứng (chuỗi luỹ thừa) “không” “đơn vị” Một cách tổng quát hơn, với số    , ta giữ kí hiệu cho chuỗi luỹ thừa hình thức   0.x  0.x  Cuối cùng, ta kí hiệu  A cho chuỗi luỹ thừa nhận từ A cách đổi dấu hệ số Nói   x  vành giao hốn có đơn vị, có nghĩa phép toán ” + “ ” “   x  có tính chất sau việc kiểm tra đơn giản: với A  A  x  , B  B  x  , C  C  x     x  , 1 A    A  A  2 A  B  B  A  3 A    A     A   A    A  B   C  A   B  C    A.1  A  A   A.B  B A   A.B  C  A  B.C  8  A  B  C   A.B  A.C   A.0  A  Lưu ý đẳng thức (4), (7) nói phép tốn ‘’+, “ có tính kết hợp, đẳng thức (2), (6) nói phép tốn “+” “ “ giao hốn Tất tính chất mà nêu lên tính chất quen thuộc vành đa thức   x  Giống với   x  , đẳng thức (9) có phát biểu đảo sau Mệnh đề 1.1.1 Nếu A, B    x  cho A.B  A  B  Chứng minh Thật vậy, giả sử A  0, B  Gọi a , b tương ứng hệ số khác với số nhỏ A B Thế a b  hệ số  AB với số nhỏ Nói riêng AB  Định nghĩa 1.1.2 Ta nói A    x  khả nghịch tồn B    x  cho AB  Phần tử B tồn gọi nghịch đảo A Ta cịn kí hiệu nghịch đảo A A1 hay A Nói riêng, A khả nghịch A  Mặt khác, A nghịch đảo B B nghịch đảo A Mệnh đề 1.1.3 Với phép toán trên,   x lập thành vành giao hốn có đơn vị Chứng minh Việc kiểm tra tiên đề vành thoả mãn   i Định lý 1.1.4 Chuỗi lũy thừa hình thức f   x khả nghịch i 0 a0  Chứng minh    Giả sử f có nghịch đảo, nghĩa   bn x n f n0 Khi f 1 / f   theo (1.1.1) ta có c0   a0 b0 a0  Hơn nữa, trường hợp n  1, cn    ak bn  k , từ (1.1.1) cho ta ta biết tìm với k  1  bn     ak bn  k  a0  k 1  n  1 1.1.2  Điều xác định b1 , b2 ,    Ngược lại, giả sử a0  Khi ta xác định b0 , b1 , từ (1.1.2), kết chuỗi b x n n nghịch đảo f  n 1.2 Căn lũy thừa hữu tỷ Cho A  x     x  có hệ số tự m , n số nguyên với n dương Ta định nghĩa luỹ thừa A  x  n hay n A  x  chuỗi luỹ thừa B  x  với hệ số tự cho B  x   A  x  Một cách tổng quát hơn, ta định n 19 Tiếp theo, ta trình bày ứng dụng hàm sinh để nghiên cứu số “mất trật tự” Ví dụ 2.2.3 Định nghĩa số trật tự Cho trước tập có n phần tử Ta định nghĩa số trật tự Dn số hốn vị khơng có điểm bất động tập n phần tử cho trước Một phần tử gọi điểm bất động hoán vị bị cố định hốn vị cho Ví dụ 2.2.4 Số trật tự tính công thức n   Dn  n !1  1!    1  2! n!    2.2.1 Chứng minh Ta sử dụng phương pháp hàm sinh để chứng minh công thức Cố định tập S với n phần tử Dễ thấy hốn vị S có k điểm bất động với k  0,1, , n Như vậy, tập hốn vị S phân hoạch thành tập hoán vị với k điểm bất động với k  0,1, , n Với  k  n , ta đếm số hoán vị S với k điểm bất động Việc cho hoán vị S với k điểm bất động tương ứng với việc chọn tập k phần tử A S (tập điểm bất động) hoán vị khơng có điểm bất động tập S \ A Có n   k cách chọn A Dn  k hốn vị khơng có điểm bất động tập S \ A Việc phân hoạch hoán vị thành tập hoán vị với k điểm bất động  k  n với dẫn tới n n n !    Dn  k k 0  k  Bằng cách chia hai vế cho n! ta thu n Dn  k  k !  n  k !  k 0 20 Dễ thấy vế trái hệ số thứ n tích  n 0 n x với n! Dn n     x x x n vế phải rõ ràng hệ số thứ  n0 n ! 1 x xn Đặt e   n0 n ! x Thế ta có  D  ex   n xn    xn  n0 n !  n0 Nhận xét ta có cơng thức quen thuộc  1 x x   e  n ! ex n0 n n Suy Dn  n! x n   e x  x  x  n0  n   1 x n  x         x  x   1!  n!    Từ ta thu  2.2.1   Để tiếp tục, ta giới thiệu cách sử dụng hàm sinh để nghiên cứu số Catalan Ví dụ 2.2.5 Gọi Cn số cách chia hình  n    giác lồi cho trước n  đường chéo nó, đơi khơng cắt bên đa giác, thành tam giác Một cách phân chia gọi tam giác phân Ta Cn   2n    n 1 n  Chứng minh quy ước C0  Ta có  2.2.2  với n  0, 21 Trước hết, ta xác định công thức truy hồi cho số Catalan Cn Gọi đa giác cho A1 A2 An  Trong tam giác phân, cạnh A1 An  phải thuộc tam giác, chẳng hạn A1 Ai An  , i  2, , n  Tương ứng với i  2, , n  Việc tam giác phân A1 An  nhận A1 Ai An  làm tam giác tương ứng với việc tam giác phân đa giác A1 A2 , Ai A1 Ai An  Số tam giác phân A1 Ai Ci 2 A1 Ai An  Cn 1i Từ suy  2.2.3  C n  C0 C n 1   Cn 1C0 Chú ý rằng, ta khơng sử dụng hàm sinh khó để suy (2.2.2) từ (2.2.3) Ta sử dụng hàm sinh dễ dàng Đặt f  x   C0  C1 x   Cn x n  Thế quan hệ (2.2.3) dẫn đến f  x   x f  x   hay 1  xf  x     x Như vậy,  xf  x     x Thế nhưng, cách để ý đến hệ số tự hai vế, ta thấy đẳng thức phải xảy với dấu” +” Cuối cùng, cách sử dụng công thức (1.4.9) cho biểu thức ta thu đẳng thức Cn   2n    n 1 n   Để kết thúc phần này, xin giới thiệu ứng dụng hàm sinh để nghiên cứu số Stirling Số Stirling đóng vai trị quan trọng lý thuyết số, đặc biệt việc xây dựng hàm số số học Số Stirling định nghĩa sau: Định nghĩa 2.2.6 Số Stirling 22 n  Cho n, k số tự nhiên  k  n Ký hiệu   số cách phân hoạch tập k  1, 2, , n n  thành k lớp Số   gọi số Stirling loại Sử dụng công k  cụ hàm sinh ta tìm cơng thức tính số Stirling loại Ví dụ 2.2.7 Phân hoạch 1, 2, 3, 4, 5 thành lớp 12345; 21345; 31245; 41235 ; 51234 12345 ; 13245 ; 14235; 15234 23145 ; 24135; 25134 34125 ; 35145 45123 5  2  Vậy có    15 cách phân hoạch Mệnh đề 2.2.8 Với hai số nguyên dương n, k thoả mãn  k  n ta có n  k rn k r      1 k ! ! r k r     r   (2.2.4) Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh công thức n  n  1 n  1   k   k  k  1  k   0    n, k    0,  ;    1 0    2.2.5 Ta xét loại: Loại 1: Số cách phân hoạch  n  thành k lớp n lớp  n  1 Dễ thấy số cách phân hoạch loại là:    k  1 Loại 2: Số cách phân hoạch  n  thành k lớp không loại Nghĩa lớp chứa n có phần tử 23  n  1 Do có tất k   cách phân hoạch tập  n  thành k lớp loại  k  n  n  1 n  1 k  Vậy ta có:      k k k       Bây ta xét hàm sinh : n  Bk  x      x n n k   2.2.6 Nhân hai vế (2.2.5) với x n tính tổng n, ta có  k  1; B  x   1 Bk  x   xBk 1  x   kxBk  x   Bk  x   x Bk 1  x   kx Và cuối ta đánh giá n  n xk Bk  x      x  1  x 1  x 1  3x  1  kx  n k   k    2.2.7  Suy tồn  j , j  1, , k thỏa: 1  x 1  x  3x  1  kx  k  j 1 j 1  jx  Ta tìm  , cố định r ,1  r  k , nhân hai vế với  rx đặt x  Ta r thu kết r  1  / r 1  / r  1   r  1 / r  1   r  1 / r  1  k / r    1 k r r k 1  r  1! k  r ! 1  r  k  n Cho f  x    an x Ta kí hiệu ak   x k  hệ số x k khai triển f  x   2.2.8 24 Từ (2.2.7) (2.2.8) ta thu được, cho n  k   n  xk n    x        1  x 1  x  1  kx   k    =  x nk     1  x 1  x  1  kx   r k =  x nk   r 1  k  1  rx k =  r  x nk   rx r 1 k =  r r nk r 1 k =   1 k r r 1 k =   1 k r r 1 r k 1 r nk  r  1! k  r ! rn r ! k  r !  n, k    2.3 Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức việc chứng minh cơng thức tổ hợp Ví dụ 2.3.1 Chứng minh   F k 0 k nk n 1 , n = 0,1, 2, Bài giải  k   k 0  n  k  Đặt f  n     Nhân hai vế  2.3.1 với x n cộng lại, ta được:  k  F  x    xn    n k 0  n  k   k  n  F  x     x k 0 n  n  k   2.3.1 25  k  nk F  x    xk   x k 0 n n  k  Đặt r  n  k , ta được: k  F  x    xk    xr k 0 r r  Chúng ta nhận bên tổng trực tiếp 1  x  Do k F  x    x k 1  x     x  x   k k k 0 k 0 1  x  x2 Hàm sinh bên vế phải quen thuộc, hàm Fibonacci theo cơng thức (2.1.3) Do f  n   Fn 1 thu  k  n  k   F k 0   n 1  n  0,1, 2,   Ví dụ 2.3.2 Chứng minh  m  n  k   m  n  k  k  k  m  k  k  n         m, n    2.3.2  Bài giải Nhân vế trái (2.3.2) với x n , tính tổng n  ta  m   k  n  k  nk  m  k xm x x  x k  k   k  k   x m1   n0  m        xm  1  1  m 1  1  x   x  m 1  x   m 1  x   m Nhân vế phải (2.3.2) với x n , tính tổng n  ta 26 m n n  m   2x    k  k  2k    x  1  x  k  k   1  x     n0  k   2x   1  1  x    x  k m 1  x   m 1 1  x  m Cho hai tổng ta có điều phải chứng minh  Ví dụ 2.3.3  n  k  nk Tính tổng f n    2 k   2k  n  n  0  2.3.3 Bài giải Đặt F hàm sinh dãy,nhân vế  2.3.3  với x n , tính tổng n  , hoán vị hai tổng bên vế phải ta n  k  n n F   2 k   2 x k n 0  2k  n  k  k nk   2 k  x     2x k n   2k   2 k k  2x  2x k 2k 1  x    x     x k 0  1  x 2    1  x  2x 1 1  x  k 1 k   2x 1  x 1  x   2 n n     4x    x 1  x  1  x  3 27 Bây dễ để đọc hệ số x n hai vế ta có kết sau n  n  k  n  k 22 n 1  fn    2  k   2k   n  0  2.4 Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức để giải số tốn bậc phổ thơng Hàm sinh cịn cơng cụ hữu ích việc giải tốn sơ cấp bậc trung học phổ thơng, kỳ thi học sinh giỏi Dưới chúng tơi xin giới thiệu số tốn Ví dụ 2.4.1 (PTNK 2009) Cho trước số tự nhiên n  Có số tự nhiên chia hết cho 3, có n chữ số chữ số thuộc 3; 4;5; 6 ? Bài giải Gọi số cần tìm có dạng 1  n ,  i  S  3; 4;5;6 Đặt ak số có n chữ số thuộc 3; 4;5; 6 có tổng chữ số k Suy ak số 1 , ,  n  ,  i  S  3; 4;5;6 ,   k i Và hệ số x k khai triển f  x    x  x  x  x  n k 6n Nghĩa f  x   a0  a1 x  ak x   a6 n x Hay f  x  hàm sinh dãy a k  Khi số số chia hết cho a0  a3    6n Vậy ta cần tìm T   a3k k 0 Đặt   cos 2 2  i sin 3  k  k chia hết cho a 3k  3k  6n 28  k  k không chia hết cho   k   2k    3k  với k không chia hết cho 1  k Ta có f 1  a0  a1  a2   am f     a0  a1  a2    am  m   f   a0  a1  a2    am  m       a   3T f 1  f     f        f 1  f     f   3a0  a1       am   m   m  3k T  n  Ví dụ 2.4.2 (VMO 2015) Cho số nguyên dương k Tìm số số tự nhiên n  10 k thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a) n chia hết cho b) chữ số biểu diễn thập phân n thuộc tập 2; 0;1;5 Bài giải Gọi số cần tìm có dạng 1  k ,  i  S  2;0;1;5 Đặt am số  10k có chữ số thuộc 2; 0;1;5 có tổng chữ số m Suy am số số 1 , ,  k  ,  i  S  2;0;1;5 ,   i  m Và hệ số x k khai triển f  x   1  x  x  x  k 29 m 5k Nghĩa f  x   a0  a1 x  am x   a5 k x Hay f  x  hàm sinh dãy am  Khi số số chia hết cho a0  a3    a l l3 Vậy ta cần tìm T   al l3 Đặt   cos 2 2  i sin 3  k  k chia hết cho  k  k không chia hết cho 1    k 2k   3k   với k không chia hết cho 1  k f 1  a0  a1  a2   am f     a0  a1  a2    am  m   f   a0  a1  a2   am  m      f 1  f     f   3a0  a1       am   m   m  3T T     f 1  f     f   k 2k k Vậy 4k  T k chia hết cho 3 4k  k không chia hết cho Hoặc T    30 Ví dụ 2.4.3 (Leningrad 1991) Một dãy số nguyên a1 , a2 , , an gọi p-cân tổng ak  ak  p  ak  p  với k  1, 2, , p (Chẳng hạn dãy a1  1, a2  2, a3  3, a4  4, a5  3, a6  cân bằng) Giả sử dãy a1 , a2 , , a50 p – cân với p  3, 5, 7,11,13,17 , chứng minh a1   a50  Bài giải n Gọi f  x   a1 x   an x  hàm sinh dãy an  Cho p số nguyên tố Đặt  k  cos k k  i sin p p Với k  1, , p    kp  m Nếu m khơng chia hết cho p  k  1,      m k m  p 1 k   kmp  0   km a b Hơn nữa, a  b  modp  b  a  kp  k   k Ta có f p – cân a1  a1 p   a2  a2 p    a p  a2 p   S Khi 31 f   k   a1 k   an k n  a1 k  a1 p k1 p  a1 p k1 p   a2 k  a2 p k 2 p    a p k p  a2 p k p    k  a1  a1 p  a1 p    k  a2  a2 p      k p 1  a p 1  a p 1 p     k p  a p  a2 p      S  k   k    k p 1   k p  Vậy a1 , a2 , , an p – cân f   k    k  1, , p   f  x  p – cân với p  3, 5, 7,11,13,17  f  x  có   1    1    1  11  1  13  1  17  1  50 nghiệm khác Ngoài f    Suy f  x  có 51 nghiệm nên f  x   Vậy a1   a50   32 KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày vấn đề vành chuỗi lũy thừa hình thức số ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức – hàm sinh Tơi nghiên cứu tìm ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức – hàm sinh Cụ thể là: Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức để nghiên cứu dãy số Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức để giải toán đếm Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức việc chứng minh cơng thức tổ hợp Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức để giải số tốn bậc phổ thơng Với ứng dụng giúp giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi trường phổ thơng Đại học, cao đẳng tìm đáp số tốn khó dãy số, toán tổ hợp…một cách hiệu 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục Đào tạo Sách giáo khoa Giải tích 11, nâng cao Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Bộ Giáo dục Đào tạo Sách giáo khoa Giải tích 11, Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Võ Giang Giai, Nguyễn Ngọc Thu Một số toán dãy số Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Herbert S Wilf (1992) Philadelphia, PA, Generatingfunctionology May 21 [5] The American Mathematical Monthly Formal Power Series vol 76, No (Oct., 1969), pp 871 – 889 ... đề vành chuỗi lũy thừa hình thức số ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức – hàm sinh Tơi nghiên cứu tìm ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức – hàm sinh Cụ thể là: Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa. .. thừa hình thức để nghiên cứu dãy số Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức để giải toán đếm Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức việc chứng minh công thức tổ hợp Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình. .. Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC – HÀM SINH 10  2.1 Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức để nghiên cứu dãy số 10  2.2 Ứng dụng vành chuỗi lũy thừa hình thức để giải