BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC VINH
BUI TRONG THANG
MOT SO VAN DE VE CAN NGUYEN TO CUA
VÀNH CHUÔI LUỸ THỪA HÌNH THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
BÙI TRỌNG THẮNG
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CĂN NGUYÊN TỐ CỦA
Trang 3LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các phần tử đặc biệt và iđêan của 1.2 Một số lớp vành thường gặ << =<s< e 1.3 Căn của vành -s-ssc<se<ssessessessessssssssssssessee CHƯƠNG 2
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CĂN NGUYÊN TỐ CỦA
VÀNH CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC
2.1 Vành chuỗi luỹ thừa hình thức 2.2 Căn nguyên tố của vành đa thức và vành chuỗi luỹ thừa
2.3 Căn nguyên tố của vành chuỗi Laurent
Trang 4Có hai hướng nghiên cứu vành thường được sử dụng phổ biến: nghiên cứu
qua cấu trúc nội tại của vành và nghiên cứu thông qua các môđun trên vành Luận văn này chủ yếu tìm hiểu một số vấn đề liên quan đến hướng nghiên cứu thứ
nhất
Các lớp iđêan và các phép toán về iđêan của vành đã được sử dụng nhiều trong việc mô tả cấu trúc của vành Dựa vào lớp iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và các phần tử luỹ linh của vành người ta định nghĩa các khái niệm căn nguyên tố, căn Jacoson, căn luỹ linh của các vành Những khái niệm này có vai trò quan trọng trong việc phản ánh tính chất của vành
Với một vành cho trước người ta đã định nghĩa khái niệm vành đa thức,
vành chuỗi luỹ thừa hình thức, vành chuỗi Laurent Nhiều tính chất của các vành này liên hệ mật thiết với vành cơ sở đã cho Trong những năm gần đây có nhiều công trình nghiên cứu về căn nguyên tố và căn luỹ linh của các vành chuỗi
luỹ thừa hình thức, vành chuỗi Laurent và vành chuỗi Laurent lệch, về căn Jacoson của vành chuỗi luỹ thừa lệch Những công trình nghiên cứu đó đã góp
phần làm sáng tỏ các tính chất của các lớp vành này
Luận văn này có mục đích hệ thống hoá, tìm hiểu các tính chất căn nguyên tố của lớp vành chuéi luỹ thừa hình thức và một số lớp vành có liên quan
Nội dung chính của luận văn gồm hai chương ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo
Chương1 Các kiến thức cơ sở
Chương2 Một số vấn đề về căn nguyên tố của vành chuỗi luỹ thừa hình
thức
Một số kết quả chính được trình bày trong luận văn gồm: - Tìm hiểu mối liên hệ giữa các iđêan của vành
- Hệ thống hoá một số tính chất về căn nguyên tố của một số lớp vành
Trang 5tố của vành chuỗi luỹ thừa hình thức
- Tìm hiểu mối liên hệ giữa căn nguyên tố và căn luỹ linh của vành cơ sở và vành chuỗi luỹ thừa hình thức
- Bước đầu tìm hiểu căn nguyên tố của vành chuỗi Laurent lệch
Các kết quả trình bày trong luận văn này chủ yếu được hệ thống hoá từ các
bài báo [7], [8], [9] và sắp xếp theo những chủ đề được nói đến trong cấu trúc của luận văn
Luân văn này hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Chu Trọng Thanh Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã dành cho tác giả sự hướng
dẫn chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận
văn
Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới các thầy giáo: PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Nguyễn Thành Quang, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn Tư và các thầy cô giáo trong tổ Đại số, khoa Toán đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập cũng như trong việc hoàn thành luận văn
này
Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng nhưng do hiểu biết còn hạn chế của bản thân nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của quý thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp
Vinh, thang 02 năm 2009
Trang 6CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong suốt luận văn nếu không giả thiết gì thêm thì chúng tôi xét vành kết hợp, có đơn vị là 1 và điều kiện (*) là P(R) luỹ linh
1.1 Các phần tử đặc biệt và iđêan của vành 1.1.1 Một số phần tử đặc biệt trong vành
1.1.1.1 Định nghĩa Phần tử x e R, được gọi là lũy đẳng nếu x? = x 1.1.1.2 Mệnh đề Phần tử xeR là luỹ đẳng khi và chỉ khi 1-x là luỹ đẳng
Các phần tử luỹ đẳng có vai trò quan trọng trong việc phân tích một vành thành tổng trực tiếp các iđêan phải hay trái Mệnh đề sau đây cho một sự phân
tích như vậy
1.1.1.3 Mệnh đề Nếu e là một luỹ đẳng của vành R thì R phân tích được thành tổng trực tiếp các iđêan phải eR và (I-e)R
Chứng mình: Rõ ràng eR và (I-e)R là những iđêan phải của R Ta chứng minh eR (1-e)R = 0 Thật vậy, giả sử zeeR M(1-e)R Khi đó, tồn tại các phần tử r, s thuộc R sao cho z = er = (1-e)s = s - es Nhân các vế của dãy đẳng thức này
với e về bên trái ta có ez = eer = es - ees Vì e là luỹ đẳng nên suy ra Z = er =es - es = 0 Cuối cùng, ta chứng minh R = eR + (I-e)R Thật vậy, hiển nhiên có eR +
(1-e)RCR Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy phần tử x bất kỳ thuộc
R Khi đó, ta có sự phân tich x = ex + (x - ex) = ex + (1-e)xeeR + (1-e)R Do dé
RceR + (1-e)R Vay R = eR + (1-e)R LH
1.1.1.4 Định nghĩa Phan tt x e R, được gọi là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên n
sao cho x" =0
Trang 7luỹ linh thì ta nói a có chỉ số luỹ linh vô hạn, nếu a là phần tử luỹ linh với bậc luỹ linh n thì ta nói a có chỉ số luỹ linh n
1.1.1.5 Định nghĩa Cho R vành, A là tập hợp con của R Khi đó, A được gọi là
tập luỹ linh nếu tồn tại tự nhiên n khác không sao cho A" = 0
Số nguyên dương bé nhất n sao cho A" = 0 được gọi là bậc luỹ linh của A Một iđêan I(một phía hay hai phía) của R được gọi là luỹ linh nếu nó là
một tập hợp luỹ lĩnh
1.1.3.6 Định nghĩa lđêan I của vành R được gọi là nil- iđêan(hay còn gọi là iđêan linh) nếu mọi phần tử của I đều là lũy linh
Hiển nhiên rằng mọi iđêan luỹ linh là iđêan linh nhưng chiều ngược lại
không đúng trong trường hợp tổng quát
Chỉ số lũy linh của tập con A của vành R là cận trên của tập tất cả các chỉ số lũy linh của các phần tử trong A Nếu cận trên hữu hạn ta nói tập A có chỉ số luỹ linh bị chặn Trong trường hợp này chỉ số luỹ linh trùng với bậc luỹ linh của
A và ta dùng thuật ngữ bậc luỹ linh
1.1.3.7 Định nghĩa Vành R được gọi là thu gọn nếu nó không có phần tử luỹ linh khác 0
1.1.2 Idéan nguyên tố Iđêan cực đại
Xuyên suốt mục này, chúng tôi hệ thống lại các tính chất về iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và mối liên hệ giữa chúng
1.1.2.1 Định nghĩa lđêan P được gọi là iđêan nguyên tố nếu P z R và với mọi
1đêan L, J của R sao cho IJ C P suy ra được I c P hoặc J P
P được gọi là iđêan hoàn toàn nguyên tố nếu với mọi x,ye R sao cho xy e P thi xe P hoac ye P
Chú ý rằng, đối với các vành giao hoán hai khái niệm iđêan nguyên tố và iđêan hồn tồn ngun tơ được định nghĩa trên đây là trùng nhau
1.1.2.2 Định nghĩa lđêan I được gọi là iđêan cực đại nếu I z R và với mọi
Trang 8idéan cuc dai cua Z
Tính chất nguyên tố và cực đại có liên quan đến tính chất của vành thương
của R theo iđêan đó Cụ thể ta có mệnh đề sau:
1.1.2.3 Mệnh dé Cho I la idéan ctia vanh R Khi đó: (1) Inguyên tố <= RII la mién nguyén
(2) I cuc dai <=> RII la mot thé
Chú ý rằng: trong lý thuyết vành, thuật ngữ miền nguyên không đòi hỏi tính chất giao hoán Trong luận văn này chúng tôi dùng thuật ngữ miền nguyên (hay
miền) theo nghĩa này Khi áp dụng cho vành giao hoán ta có thể phát biểu lại
mệnh đề này như sau:
Cho I la idéan cua vành giao hoán R Khi đó:
(1) Inguyên tố © RII là miền nguyên (giao hoán)
(2) I cực đại © KII là một trường
Chứng mình: Chúng tôi trình bày chứng minh cho trường hợp vành giao hoán Để có chứng minh cho trường hợp tổng quát ta cần có một vài sự thay đổi nhỏ trong lập luận
(I1) Điều kiện cần Giả sử I là nguyên tố, với x+lI, y+I eR/I, (x+l)(y+D=
xy+]I= 0+[I thì xyeÏ nên xel hoặc yeI (vô lý) Vậy xy+Iz0+I nên R/I không có
ước của không và nó là vành giao hoán Do đó R/I là miền nguyên
Điều kiện đủ Giả sử R/I là miền nguyên, lấy I’, J’ 1a idéan cua R thoả mãn
UJ' c I Khi đó, (+D/I và (Jï+D/1 là các iđêan của R/I, một trong hai bằng không Từ đó suy ra (+ D/I = 0 hoặc (J°+D/I = 0 Vậy Iˆc I hoặc J*c Inén I
nguyên tố
(2) Điều kiện cần Giả sử I là cực đại Vì IzR nên R/I {0} Ta cần chứng
Trang 9khả nghịch Do đó R/I là trường
Điều kiện đủ Giả sử R/1 là trường thì 0 z x eR/I đêu khả nghịch, tức là tồn tại y €R/I sao cho x y=1 Vay lexy= xy +1 Tir dé suy ra R= xR4I, véi moi x¢I Vi
vậy T là cực đại Oo 1.1.2.4 Ménh dé Gid si I la idéan ctia vành giao hoán R, giả sử J là iđêan của R voi J Đ L, thế thì iđêan Jy cua Ry la nguyên tố khi và chỉ khi J là iđêan nguyên tố của R R Chứng minh: Ta có đẳng cấu vành ƒ: VY, > RY ⁄ (đ+D+ Jy art] ?⁄¡ Vì vậy I ⁄ là miền nguyên khi và chỉ khi R/7 là miền nguyên có nghĩa là J/I I
1a idéan nguyén t6 cua R/J khi va chi khi J 1a idéan nguyén t6 cua R Oo Áp dụng mệnh đề 1.1.2.4, ta có thể xác định các iđêan nguyên tố của vành Z/60Z = Z¿¿ gọi là vành các lớp thăng dư của tập các số nguyên theo môđun 60
như sau:
Ta có 60Z c mZc Z với m là ước của 60 và zZ60Z là iđêan của Z760Z⁄
m⁄260Z là iđêan nguyên tố của Z60Z khi và chỉ khi mZ là iđêan nguyên tố của Z Điều này xảy ra khi và chỉ khi m là số nguyên tố Vậy z vừa là số nguyên
tố, vừa là ước của 60, cho nên z = 2, 3, 5 Do đó, ta có các iđêan nguyên tố trong vanh Z/6071a 2Z/60Z, 3Z/60Zva 5Z/60Z
1.1.2.5 Dinh nghĩa Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của vành giao hốn ®
Trang 10Ví dụ Trong vành các số nguyên Z thi Spec(Z) = pZ(p = 0 hoặc p nguyên tố) 1.1.2.6 Định nghĩa Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu 0 là iđêan nguyên tố của nó 1.1.2.7 Mệnh đề Cho P là iđêan của vành R Khi đó, các điều kiện sau là tương đương (1) P' là iđêan là nguyên tố (2) _RIP là vành nguyên tố
(3) Nếu I và J là các tđêan của R sao cho LJ c P thì I c P hoặc J c P (4) Nếu x, y e R và xRy e P thì x e P hoặc y e P
Chứng minh: (1)—(2) Giả sử T và J là iđêan của R/P Khi đó tồn tại Ï, J?
iđêan của R với I 5P, J°P sao cho I/P = I, J°/P= J nếu I.J = 0 thì [J?c P và I
c Phoặc J°cP suy ra hoặc I = 0 hoặc J = 0
Vậy 0 là iđêan nguyên tố của R/P là vành nguyên tố
(2) = (1) Giả sử I, J là iđêan của R thoả mãn IJ c P khi đó (I+P)/P và (J+P)/P là các iđêan của R/P, một trong hai bằng không Từ đó suy ra (I+ P)/P = 0 hoặc
(+P)/P=0 Vậy I c Phoặc J c P
(1) © (4), (3) © (4) hiển nhiên H
Áp dụng định lý trên, mệnh đề sau đây cho ta một cách để tạo ra iđêan nguyên tố dựa vào một tập hợp đóng kín đối với phép nhân của vành
1.1.2.8 Mệnh đề Giđ sử R là một vành và X là một tập hợp con của R sao cho X
khép kín với phép nhân của R và 0 eX Khi đó, tđêan P của R tối đại trong số các
tđêan của R không giao với X là một iđêan nguyên tố
Chứng mình: Ta chứng mình R/P là vành nguyên tố Giả sử I, J là các iđêan của R chứa thực sự P Ta chứng minh IJ Z P Vì I chứa thực sự P nên do tính tối đại của P ta có I¬X # ¿ Tương tự, J ¬X # ¿ Do đó tồn tại các phần tử x, y thuộc
X sao cho xyelJ và xyeX Điều này chứng tỏ xyelJW Vậy lJ Z P Oo
1.1.2.9 Định nghĩa Idéan I của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu nó
Trang 111.1.2.10 Định lý.(Lenvizki, Nagata) lđêan P của R là nửa nguyên tố khi và chỉ
khi với mọi x e R sao cho xRx c P thì x e P (1)
Chứng mình: Điều kiện cân Giả sử P = SP, , P¡ là iđêan nguyên tố của R je
Với x e R sao cho xRx CP, ta có xRx c P, với mọi je J Vì P, là iđêan nguyên
tố nên, theo 1.1.2.7, tirxRx c P,ta có x e P, với mọi je ] Điều này suy ra xe P
Điều kiện đủ: Giả sử P là iđêan của R thoả mãn (1), tức là với mọi x thuộc R sao cho x e R, xRx c P thì x e P, ta chứng minh P là nửa nguyên tố Ta chứng minh P là giao của tất cả các iđên nguyên tố của R chứa P Giả sử x ERYP, ta chứng minh tồn tại iđêan nguyên tố I của R chứa P sao cho x không thuộc I Dat Xo = X, do (1), ta c6 xR Xy ¢ P Ta chon x, € XpRx,\P Tiép tuc 4p dung (1) đối VỚI X¡, ta có X;ex;Rxạ, Tiếp tục quá trình này, ta có dãy Xọ, Xị, Xa, .X,„
trong RMI sao cho x,,, e x;Rx;, với mọi số nguyên dương ¡ Chú ý rằng nếu J 1a iđêan, và với x¡ nào đó thuộc J thì x,e J với mọi số nguyên dương n >j Suy ra
rằng x¡£P, với mọi số nguyên dương ¡ Theo bổ đề Zorn, tồn tai idéan Ï tối đại với
Pc I va x; ¢ I, voi mọi số nguyên dương ¡ Đặc biệt x= xạ e I và I là iđêan thực
sự của R Ta chứng minh T là nguyên tố
Giả sử ngược lại, I không nguyên tố thì R/I không là vành nguyên tố Suy ra
tồn tại J, K là các iđêan của R/I, J z0, K z 0 với JK = 0 (trong R/I) Khi đó có
các iđêan JƑ', K' của R chứa thực sự I và J'K'c I Vì tính cực đại của I nên 3 x, e K),xị¡ < J Chọn m= Max {k,j} thì tồn tai x„ e J¬K” và cũng có X„„¡ e X„R Xụ
c ]K cI Trai véi cach chon I
Vì thế, I là nguyên tố và P bằng giao của các iđêan nguyên tố (những iđêan nguyên tố chứa P) nên P là iđêan nửa nguyên tố Oo
1.1.2.11 Hệ quả Cho vành R I là iđêan của R Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
(1) I là iđêan nửa nguyên tố
(2) Nếu J là iđêan của R sao cho J° c Ï thì J c I
Trang 12(2)=(1) Lấy x e R, xRx c IL Do đó (RxR)? cl nên x e I Vì vậy I là iđêan nửa
nguyên tố Oo
Tir ménh dé 1.1.2.3 ta suy ra rang, moi idéan cuc dai déu 1a idéan nguyén tố Tuy nhiên khẳng định ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát,
chẳng hạn iđêan 0 của vành Z là nguyên tố nhưng 0 c 2Z Z nên 0 không phải
là iđêan cực đại của Z Mệnh đề sau đây chứng minh trực tiếp kết luận mọi iđêan cực đại đều là iđêan nguyên tố mà không sử dụng mệnh đề 1.1.2.3 ở trên
1.1.2.12 Mệnh đề Mọi iđêan cực đại M của R là iđêan nguyên tố
Chứng mình: Giả sử I và J là hai iđêan của R không bị chứa trong M Khi d6 I+M = R, J+M =R Vi vay R= (1+ M)J+M) = IJ+IM+ JM+M? c IJ + M Do
đó IJ <M Diéu nay suy ra M là iđêan nguyên tố Oo
Chiều ngược lại của mệnh đề trên không đúng trong trường hợp tổng quát Trong nghiên cứu vành lớp vành thoả mãn điều kiện mọi iđêan nguyên tổ đều là
iđêan cực đại là một đối tượng nghiên cứu được nhiều người quan tâm Ví dụ sau đây là một lớp vành như vậy
Ví dụ Trong một vành chính, các iđêan nguyên tố khác 0 là các iđêan cực đại Chứng minh: Giả sử R là vành chính, P là iđêan nguyên tố khác 0 của vành
R, thếthì P = (a) với 0 # ø e R Giả sử P C IC R, 7 là iđêan của R và P z I Vì R 1a vành chính nên mọi iđêan của R là idéan chinh, do dé J = (b) Via € P suy ra ae I hay a= be e P Ta có b ¢ (a) vinéu b € (4) khi đó (b) c (4), vô lý vì P #1, PCI Nhu vay b £ P mà P nguyên tố nên ce P = (đ), Suy ra Cc = ax, xE
R, tit dé ta c6 be = bax hay a = bax, vì vậy bx = 1, mà ï = (b) nên bx = le Ï
Vậy iđêan 7 của vành R chứa đơn vị nên 7 = R Do đó P là iđêan cực đại của R 1.1.2.13 Mệnh đề P !à iđêan cực đại của R khi và chỉ khi P là phần tử cực đại
cua Spec(R)
Chứng minh: Giả sử P là iđêan cực đại của R nhung P không phải là phần tử
Trang 13ta không xem # là iđêan nguyên tố của nó nén P’c R, P’# R Vay PCP’ CR,
P'z R mâu thuẫn với giả thiết P là iđêan cực đại của ® Vậy P là phần tử cực đại
của Spec(#)
Ngược lại, giả sử P là phần tử cực đại của Spec(R) nhưng P không phải là
iđêan cực đại của R Vi P e Spec(®) nên P z ® mà ® # 0 nên ta có P cP’ voi P’
là iđêan cực đại của R Vi moi iđêan cực đại đều là nguyên tố nên ta có P” là idéan nguyên tố, tức là P e Spec(#) Vì theo trên ta giả sử P không phải là iđêan cực đại của ® mà P' là iđêan cực đại của R nén P # P’, vay PCP’, P#P’, P’e Spec() nên trái với giả thiết P là phần tử cực đại của Spec(R) Vậy P là iđêan cực
dai cua R Oo
Lớp vành sau day được định nghĩa thông qua idéan cực đại
1.1.2.14 Định nghĩa ¡ Vành R chỉ có duy nhất một iđêan cực đại được gọi là vành địa phương
1i Vành R có hữu hạn iđêan cực đại được gọi là vành nửa địa phương
Hiển nhiên rằng mọi vành địa phương đều là vành nửa địa phương Chiều ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát
Ví dụ Một thể là vành địa phương và nó cũng là vành nửa địa phương
1.2 Một số lớp vành thường gặp 1.2.1 Vành Artin và vành Noether
Trong mục này chúng tôi hệ thống hoá một số lớp vành thường gặp trong
các tài liệu chuyên khảo về vành và môđun
1.2.1.1 Định nghĩa Vành R được gọi là vành Noether phải ( trái) nếu dãy tăng các iđêan phải (trái) 7c 11, .c17„c tồn tại số n sao cho Ï„ = Ïj„¡= 1.2.1.2 Định nghĩa Vành R được gọi là vành Artin phải (trái) nếu dãy giảm các
idéan
Trang 141.2.1.3 Định nghĩa Cho {£,}_„ là họ các vành con tuỳ ý có đơn vị Gọi
R=]]8.={G) ):
iel Ta định nghĩa các phép toán:
Cộng: (r,)¡e¡ + Sier= i+ Sdier
Nhân: (r,)(,);e¡ = (TS); er-
Khi đó, R cùng với hai phép toán trên lập thành một vành được gọi là vành tích
trực tiếp của các vành {&,} iel `
1.2.2 Vành ma trận
1.2.2.1 Dinh nghia.i Cho R là có đơn vi Ta gọi tập Mat,(R)=|(a,) ï„ jà
vành tất cả các ma trận vuông cấp n phần tử thuộc R với phép cộng và phép nhân
thông thường
ii Với mỗi phần tử r e R, 1<¡,k<» Gọi M,“® là ma trận thuộc Mat,(R) tại vi tri (1,k) là r và tại mọi vị trí khác là 0
1i Kí hiệu E là ma trận đơn vị cấp n, tức là ma trận vuông cấp n có 1(don vi
của vành R) tại các vị trí (ï, i) và 0 tại các vị trí còn lại
1.2.2.2 Mệnh đề (1) Mọi ma trận CeMat,(R), mọi a,be R ta có MC My = M,,, Trong đó c là phần tử của C tại vi tri (k, 1) (im) ¿ (2) M0 M0 = M0".E, Mom = JMC” nếu k=] 0 néuk #1 1.2.3 Vành đa thức
1.2.3.1 Định nghĩa Cho R là vành có đơn vị: Xét tập
Trang 15Phần tử đối: -a =( , -a;, ,), a, e R
Khi đó, B cùng với hai phép toán trên trở thành một vành giao hoán, có đơn vị
Xét ánh xạ: f: R>B
a a (a,0, ,)
Phần tử tổng quát của B có dạng (ap, a,, « , Ay, 0, « ) Ta ky hiéu: ay + a,x + 4.a,x"
Khi đó, vành B= R[x] được gọi là vành đa thức một ẩn trên R
Hệ tử ao được gọi là hệ tử tự do hay hạng tử tự do
Nếu a, z 0 thì a, được gọi là hệ tử cao nhất và n được gọi là bậc của đa
thức Ký hiệu n = deg(f(x))
1.2.3.2 Dinh nghia Néu f(x), g(x) # 0, f(x), g(x) e R[x]
Khi đó: deg[f(x) + g(x)]< Max{deg(f(x)), deg( g(x))} (1)
deg[f(x)g(x)]< deg(f(x)) + deg(g(x)) (2)
Khi R là một miền nguyên ta có R[x] cũng là một miền nguyên Trong trường hợp đó (2) có dấu đẳng thức Đặc biệt, khi R là một trường ta có R[x] là
một vành Ơclit
1.2.3.3 Định nghĩa Đa thức f e R[x] được gọi là đa thức bất khả quy nếu f z 0
và f không khả nghịch trong R[x], không có ước thực sự
Trong trường hợp R là một trường mỗi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 luôn phân tích được thành tích các nhân tử bất khả quy và sự phân tích là duy nhất Một cách tổng quát hơn, nếu vành R có tính chất mọi phân tử khác 0, không khả nghịch phân tích được một cách duy nhất thành tích các phân tử bất khả quy
thì vành R[x] cũng có tính chất đó Các vành thoả mãn điều kiện này được gọi là
vành Gauss Vành Gauss là một đối tượng được nghiên cứu nhiều trong lý thuyết
vành cổ điển và ứng dụng vào giải quyết vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử Người ta mở rộng cách xây dựng vành đa thức cho trường hợp có nhiều ẩn
Trong cách xây dựng tổng quát ta không cần đến tính giao hoán của vành R mà
Trang 16giản, sau đây chúng tôi nhắc lại cách xây dựng vành đa thức nhiều ẩn trên các
vành giao hoán có đơn vị như trong các giáo trình đại số bậc đại học
1.2.3.4 Định nghĩa Giả sử R vành giao hoán, có đơn vị Ta đặt R, =RIx,] R,=R, [x] R, = Ra] Vành R„= R„„[x„] ký hiệu RỊx;, .x„] gọi là vành đa thức n an x,, X,, , X, lay hệ tử trong vành R Một phần tử của R„ được gọi là đa thức n ẩn x¿, x¿ , x„ lấy hệ tử trong vành R
Có một số tính chất liên hệ giữa vành cơ sở và vành đa thức trên vành đó Định lý cơ sở của Hilbert cho khẳng định về tính Noether của vành đa thức trên
một vành Noether
1.2.3.5 Định lý Nếu R là vành Noether thì vành R[x] cũng là vành Noether
Từ định lí này ta suy ra vành RỊx;, x;, x„] cũng là vành Noether nếu R là vành Noether Trong ví dụ sau đây chúng tôi lấy lại một dãy tăng ngặt các
idéan của vành đa thức trên một trường
Ví dụ Giả sử K là một trường và ® = K[x,, x„] là vành đa thức trên K với các
ẩn xị, , x„ và đ, , đ„ K Khi đó
<Ú> C <X\ - đ¡> C <X( - đị, X; - đy> C C <XI - đị, , X„ Ÿ đự>
là một dãy tăng ngặt các iđêan nguyên tố của #, trong đó <x; - đi, , X„ - đ„> là idéan cuc dai cla R
1.2.3.6 Mệnh đề Cho Ñ là vành giao hoán có đơn vị, P là iđêan nguyên tố của R, R[x] vanh đa thức Khi đó, tập hợp các đa thức với hệ tử trong P là iđêan
nguyên tố của RỊA]
Trang 17Định nghĩa Cho R vành, M là R-môđdun Ta ký hiệu S = End(M) Với hai phép toán:
Phép cộng: (f+g)(x) = f(x)+ g(x), V xe M,f,ge S
Phép nhân: (f.g)(x) = g[f(x)], v xe M,f,ge S
Khi đó, S cùng với hai phép toán trên lập thành một vành được gọi là vành các tự
đồng cấu của R-môđun M
Tập hợp các tự đồng cấu (vành) của vành R với 2 phép toán trên cũng làm thành một vành Vành này cũng được kí hiệu là End(R)
1.3 Căn của vành
1.3.1 Căn nguyên tố
1.3.1.1 Dinh nghĩa Giao của tất cả các iđêan nguyên tố của vành R được gọi là căn nguyên tố của vành R, ký hiệu là P(R)
1.3.1.2 Định nghĩa Vành R được gọi là nửa nguyên tố nếu P(R) = 0
1.3.1.3 Định lý R !à vành nửa nguyên tố khi và chỉ khi R đẳng cấu với một tích
trực tiếp con của một họ những vành nguyên tố
Chứng minh: Điều kiện cần Giả sử R là vành nửa nguyên tố, họ {A/¡ e I} là các iđêan nguyên tố của vành R Ta có [ 4 =0
iel
datS=[] R/A,
iel
p: S — R/A; là phép chiếu chính tắc của tích trực tiếp
q;: R —R/A; là phép chiếu chính tắc trên vành thương R/A;
Theo tính chất đại số phổ dụng của tích trực tiếp thì tồn tại duy nhất đồng cấu vành q: R +S sao cho q, = pq, voi V ie I
Ta có: Ker(q) = { x e R/ 0=q(x)=q,(x), i € I}
={xeR/ 0=q(x), Vie I}
=] ker(qg)= [ 4=0
Trang 18Do đó, q đơn cấu Hơn nữa q, đều là toàn cấu nên thu hẹp của mỗi p, trên Im(q) cũng là toàn cấu
Vậy R>Im(q) là tích trực tiếp con của vành S
Điều kiện đủ Giả sử có đơn cấu q:R > S=[]S, mapgq:R >S, la iel toan can vdi moi s6 nguyén i ¢ I, trong đó S, là vành nguyên tố Khi đó: 0 = Ker(q) = [ ker(p,q) iel R/Ker(p,q) =S, 14 vanh nguyén té nén Ker(p,q) 14 idéan nguyén t6 suy ra P(R) = ¬ Ker(p.q) = 0
Vậy R là vành nửa nguyên tố Oo 1.3.1.4 Mệnh đề Căn nguyên tố của vành R là idéan nhỏ nhất trong số các idéan A của R sao cho RỊA là vành nửa nguyên tố
Chứng mình: Giả sử A là iđêan sao cho R/A nửa nguyên tố Khi đó, P(R/A)= P, P chạy khắp iđêan nguyên tố
Xét phép chiếu chính tác p: R -› R/A thì p = p'(P) là iđêan nguyên tố của R That vay:
R/P=(R/A)/(P/A) = (R/A)/ P là vành nguyên tố vì P là iđêan nguyên tố
Cũng nhờ đẳng cấu trên mà mỗi iđêan nguyên tố P của R mà A c P đều có ảnh P= P(P) là iđêan nguyên tố Từ đó suy ra, P) cP= ¬ pl(P)=p'(aP)= P'Œ(/0)) = p'(0) = A, trong đó P chạy khắp iđêan nguyên tố Suy ra căn nguyên tố của vành R là iđêan nhỏ nhất Oo
1.3.1.5 Ménh dé Néu R la vanh Noether phdi thi P(R) la idéan phai lu§ linh lớn nhất và cũng là idéan lu¥ linh lén nhdt
Chứng minh: Vì R là vành Noether nên tập tất cả các iđêan luỹ linh có phần
tử cực đại Chẳng hạn là A Khi đó A là iđêan hai phía và là iđêan luỹ linh lớn
nhất Vì A luỹ linh, mọi phần tử của A là luỹ linh suy ra A c P(R)
Trang 191.3.1.6 Mệnh đề Nếu R là vành Noether phải thì căn nguyên tố P(R) là nỉl- tđêan trái lớn nhất của R
1.3.2 Căn Jacobson
1.3.2.1 Dinh nghĩa Căn Jacoson của vành R là giao của iđêan cực đại của vành đó Ký hiệu là Rad(R)
1.3.2.2 Định nghĩa Vành R được gọi là vành nguyên thuỷ nếu Rad(R) = 0 1.3.2.3 Dinh ly Moi vành R thì Rad(R;) = Rad(,R)
1.3.2.4 Dinh ly Moi nil- iđêan của vành R đêu chứa trong Rad(R)
Chứng mình: Giả sử A là nïl- iđêan của R,a e A > 3 ne N sao cho a"=0,
suy ra 1=1-a" =(I-a)(I+a+ 4a"") nên 1-a kha nghich Vi thé ac Rad(R).0
1.3.2.5 Định lý Nếu R là vanh Artin thi Rad(R) = P(R)
Ching minh: Dat J= Rad(R) vi R 1a Artin nên dãy các iđêan J ¬ J” ¬ ¬ J"
> dimg Chan han: J" = J", véi moi sé nguyén duong i, gia sử J" z 0 Xét tập
T={A c (R;/A)z 0, AJ= A} thì T z ø vì J" e T Vì R Artin suy ra trong T tồn
tại phần tử cực đại Chẳng hạn, iđêan đó là B Do B z 0 nên tồn tai b e B sao cho bJ" z 0, do đó bJ" c bJc R và bJ" = bJ"” = bJ"J nên bJ"e T Vì B cực tiểu trong
T nên bJ°= B, vì thế b cé dang b = bx, x € J" c ] = b(1-x) = 0 Nhưng xe J =
Rad(R) suy ra I- x khả nghịch Do đó b = 0, dẫn đến vô lý vì b z 0
Vậy J"= 0 L1
1.3.2.6 Định lý Nếu R vành địa phương thì Rad(R)= P(R) là iđêan cực đại duy
nhất
Chứng mình: Vì R là vành địa phương nên Rad(R) là iđêan cực đại
Giả sử B là iđêan cực đại của R Nếu be B/Rad(R) thì » e R/Rad(R) khả nghịch nên tồn tại c sao cho ở c= 1 hay I- be e Rad(R) Suy ra be = I- (-be) khả nghịch
nhưng bc e B, do đó B = R vô lý Vậy B c Rad(R), mà Rad(R)c B, do đó B= Rad(R) Vì vậy Rad(R) là iđêan cực đại duy nhất của R
Trang 20Chứng mình: Giả sử x e Rad(R) nên tồn tại e luỹ đẳng sao cho xR= eR Do đó e e Rad(R) vì thế 1- e kha nghịch vì e(I-e)= 0, suy ra e= 0 nên x=0 Do đó
Rad(R)= 0 L]
1.3.2.8 Định lý Với mọi vành R thì Rad(R) là giao của tất cả các tđêan nguyên thuỷ bên phải của R
1.3.2.9 Dinh ly Voi moi vành R, thì Rad( R/Rad(R)= 0
Chiing minh: Xét phép chiéu p: Rạ ->R/ Rad(R) Theo định nghĩa căn
Jacoson ta có:
Rad(R/Rad(R))= ¬ 4, 4 chạy khắp iđêan cực đại của vành R = R/Rad(R) đặt A= p†!(4) thì A là iđêan cực đại của Rạ; ngược lại, Rad(R) c A, với mỗi
iđêan cực đại A của Rạ Suy ra p(A) cũng là iđêan cực đại của & Từ đó ta có:
Rad(R)=[ A=] pÖEp(I 4) ACR acR ACR
= pp '( Rad(R/Rad(R))
A chạy khắp các iđêan cực đại của Rạ, vì P toàn cấu nên
Rad(R/Rad(R)) = Rad(R/Rad(R)) > (R/ Rad(R)
= pp" (Rad(R)/Rad(R))
= p (Rad(R))= 0 Oo
1.3.2.10 Dinh ly Voi moi vanh R, thi vanh thuong R/Rad(R) la vanh nua nguyén thuy
Chứng minh: Theo định lý 1.3.2.9 thì Rad( R/Rad(R)) = 0 LH 1.3.3 Căn luỹ linh
1.3.3.1 Định nghĩa Tập tất cả các phần tử luỹ linh của vành R được gọi là căn
luỹ linh của vành R, ký hiéu N(R)
1.3.3.2 Mệnh đề Cño R là vành giao hoán, có đơn vị Khi đó, ta luôn có:
Trang 21Chứng minh: Giả sử x e N() và P là iđêan nguyên tố tuỳ ý của R suy ra
tồn tại số tự nhiên n sao cho x"= 0 e N(R) Từ đây suy ra, dựa vào tính nguyên tố của P, x e P Tức là ta chứng minh được xe P(R) Vậy N(R)c P(R)
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta chỉ ra rằng, với một phần tử 0# xeR
cho trước
xe N(R) >xz P(R)
Thật vậy, gọi B là tập tất cả các iđêan J của R có tính chất x" z ], với mọi số tự nhiên n Lúc đó, B z ø vì {0} € B(do x không luỹ linh) Suy ra trong B có quan hệ thứ tự bao hàm Giả sử quan hệ bao hàm đó là: J, c];c ]; c c , va nd là xích trong B Rõ ràng J =Ú”, là một iđêan của R Hơn nữa Je B Vì nếu tồn tại
i=l
số tự nhiên n dé x"eJ, thi ciing t6n tai sO tu nhién k để x"ea, Vay, moi xích
trong B đều bị chặn, nên theo Bổ để Zorn thì trong B có phần tử cực đại ta ký hiệu là P Nếu là iđêan P nguyên tố, thì ta suy ra x£ P(R) và mệnh đề được chứng minh xong Giả sử ngược lại rằng, P không phải là iđêan nguyên tố Khi đó, tồn tại hai phần tử a,bzP mà abeP Điều này chứng tỏ P nằm thực sự trong các idéan
aR + P va bR + P, nghia 1a hai idéan nay không thuộc B Vậy tồn tai hai số tự
nhién n, m sao cho x"eaR +P va x" ebR + P Từ đây ta suy ra x""<(aR +P)(bR + P) = abR + P=P Điều này mâu thuẫn với tính chất PeB Mệnh đề được chứng minh xong LÏ Từ mệnh đề trên và định lý 1.3.2.5 ta có hệ quả: 1.3.3.3 Hệ quả Nếu R là vành Artin phải, giao hoán thì Rad(R)= P(R)= N(R) 1.3.3.4 Mệnh đề Co R vành, khi đó các điều kiện sau là tương đương (1) R là thoả mấn (*)
(2) _P(R) là iđêan luỹ linh lớn nhất một phía trong R
Trang 22(4) R chứa iđêan luỹ linh nửa nguyên tố
1.3.3.5 Bổ đề Cho R là vành Khi đó, các điều kiện sau là tương đương (1) R thỏa mãn (*)
(2) RII thoa mãn (*), v6i moi idéan lity linh I
(3) RII théa man (*), voi méi idéan lity linh I
(4) Mọi ảnh đông cấu khác không của R thỏa mãn (*), với Ker Ia lity linh (5) Môi ảnh đông cấu khác không của R thỏa mãn (*), với Ker là lũy linh Ching minh: (1) > (2) > (3) > (1),(2) > (4) = (5) > (1)
(1) > (2) Gia st Jc P(R), vdi I lity linh và vì P(R/) = P(R)/I
Vay R/I thoa man (*) vi R thoa mãn (*)
(2) => (3) Gia stt v6i moi idéan I lily linh mà R/I thỏa mãn (*) thì tồn tai idéan I lũy linh để R/I thỏa mãn (*)
(2) (4) Chú ý rằng, mọi ảnh đồng cấu khác không của R đẳng cấu với R/K, K là hạt nhân của đồng cấu, vì từ (2) và K là luỹ linh nên mọi ảnh đồng cấu khác không của R thoả mãn (*) (4)=().Tacó:PR/D= Ị zir| I i Jespec(R),J>I1 Jespec(R),J>1 Vi R/I thoa mãn (*), P(R) lũy linh và | J ) c1,VneN mà Ï lũy linh nên Jespec(R),J21 I /làlũy linh Dođó ] ⁄ là lũy linh, nửa nguyên tố trong R Jespec(R),J21 Jespec(R),J2I
Vậy R thỏa mãn (*) bởi mệnh đề 1.3.3.4
(5)=> (1) Hạt nhân đồng cấu K là luỹ linh thì R/K thoã mãn (*) oO
1.3.3.6 Ménh dé Cho R la vanh với e° = e e R với e # 0 và e # 1 Khi đó, ta có
các khẳng định sau:
(1) P(eRe) = eP(R)e
Trang 23Chứng minh: (1) Với mọi iđêan nguyên tố P của R, chú ý rằng ePe = eRe
hoặc ePe là iđêan nguyên tố của eRe Vì vậy ta có, P(eRe)Í[ eP(R)e vì eP(R)e =
e((C al spec( Nà C i ve ay (ePe) Tiếp theo cho a e P(R) thì eae là luỹ linh
trong R và cũng luỹ linh trong eRe; do đó eae e P(eRe) và eP(R)eIl P(eRe)
Vậy P(eRe) = eP(R)e
(2) Nếu R là nửa nguyên tô thì P(R) = 0 nên eP(R)e = 0, với mọi e” = e e R Vậy
eRe là nửa nguyên tố O 1.3.3.7 BO dé Gid sit R la vanh thod man điêu kiện (*) Khi đó, ta có các khẳng
dinh sau:
(1) eRe thoả mãn điều kiện (*) với mọi phần tử luỹ đẳng e e R
(2) Vành ma trận vuông Mat,(R) với các phần tử thuộc R thoả mãn (*) với mọi số nguyên dương n
Chứng mình: (1) Cho S là iđêan luỹ linh nửa nguyên tố của R Thì rõ ràng
rang, eSe @ eRe Cho eae Reae I eSe,ac R
Ta có eae e S và do đó eae e eSe Vì eSe là iđêan luỹ linh nửa nguyên tố của
eRe, theo mệnh dé 1.3.3.6 thì eRe thoả mãn (*)
(2) Lưu ý ring, P(Mat,(R)) = Mat,(P(R))
Do d6, Mat,(R) thoa man (*) Oo
1.3.3.8 Hé qua Gid sit R la vanh thod man diéu kién (*) Khi dé, moi R médun phải xạ ảnh P hữu hạn sinh thi End,(P) thod man diéu kién (*)
Chứng minh: Chú ý rằng End,(P)@ eMat,(R)e với e? =e ~ Mat,(R), voi
mọi số nguyên dương n Vì vậy theo Bổ đề 1.3.3.7 thì Mat,(R) thoả mãn (*) nên
eMat,(R)e thoả mãn (*), do đó End,(P) thoả mãn (*) ñ
1.3.3.9 Mệnh đề Cho R, là vành con của R, với mọi i= 1,n và R = ®"_,R,„ Khi
đó, R thoả mãn (*) khi và chỉ khi R, thoả mãn (*), với mọi ỉ
Chứng minh: Ta có, P(R) = @"_,P(R,) do đó R thoả mãn (*) khi và chỉ khi
Trang 241.3.3.10 Bổ đề Cho R là một vành, e = e? e R, e # 0 và e z 1 Khi đó, Ñ thoả
mãn (*) khi và chỉ khi cả eRe và (1-e)R(1-e) thoả mãn (*)
Chứng minh: Điều kiện cần Nếu R thoả mãn (*) thì P(eRe)= eP(R)e, suy ra
eRe thoả mãn (*) và P((1-e)R(1-e))=(1-e)P(R)(1-e) nên (1-e)R(1-e) thoả mãn (*)
Điều kiện đủ Đặt Q = P(R), ta có eQe = P(eRe) và (I-e)Q(1-e) = P((1- e)R(1-e)) theo mệnh dé 1.3.3.6 Do đó eQe và (1-e)Q(1-e) thoả mãn điều kiện luỹ linh Điều đó dẫn theo eQ và (1-e)Q cũng luỹ linh, lúc đó (eQ)" = 0 = ((1-e)Q)"
với mọi số nguyên dương n Chú ý rằng Q”"*? = (eQ+ (1-e)Q)””*? là tổng của
(eo ((1-e)o)' -(eØ)”((I—e)9}” với 3" _(¡+j,) =2n+2 và mỗi hạng tử của tổng
này sinh ra (eQ)"?' của ((-e)Q)"?' Do vậy Q = eQ + (1-e)Q là luỹ linh — [] 1.3.3.11 Hệ quả Cho R là vành, n là số nguyên dương Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(1) R thoả mấn (*)
(2) Mat,(R) thoả mãn (*)
(3) Vành ma trận tam giác nửa trên, phần tử thuộc R thoả mấn (*)
(4) Vành ma trận tam giác nửa dưới thoả mấn (*)
Trang 25Do đó, thoả mãn (*) theo mệnh đề 1.3.3.4 Ngược lại, ta xét
a 0 06
0 0‡
e= “¿thì R @eUe
0 0ö
Bởi vậy, R thoả mãn (*) theo Bổ đề 1.3.3.7
(1) © (4) Ta chứng minh tương tự (I) © (3) Oo
Trang 26CHUONG 2
MOT SO VAN DE VE CAN NGUYEN TO CUA VANH CHUOI LUY THUA HiINH THUC
2.1 Vành chuỗi luỹ thừa hình thức 2.1.1 Vành chuỗi luỹ thừa hình thức một ẩn
2.1.1.1 Định nghĩa Cho R vành tuỳ ý, có đơn vị và x là ẩn Xét tập hợp tất cả các chuỗi luỹ thừa hình thức có dạng
Ÿ= ag+ a;X + +a,X" + = Say" (1)
n=0
với hệ tử trong R, giả sử
g= b,x" (2)
n=0
Khi đó ta định nghĩa các phép toán
Phần tử: f= g a„= b„, với mọi n= 0, I, 2, n? Phép cong: f+ g = Sa, +b,)x" n=0 Phép nhan: fg = ¥°c,x," v6i c,= ¥ ab,, n=0 với mọi n= 0, 1, 2, Khi đó, ta có vành được gọi là vành chuỗi luỹ thừa hình thức với ẩn x, hệ tử trong R, kí hiệu R[[x]] Phần tử đơn vị của R[[x]] là chuỗi luỹ thừa hình thức f = Yia,x" voi a) = 1, a, = m0 a;= =a,= 0
Trang 27Chứng minh: Điều kiện cân Giả sử f =Š`a,x”g = Ÿ'ø,x” Khi đó: fg = gf = I
„=0 n=0
© áyb, =hyay =1 và bạ e R Suy ra bạ là nghịch đảo của a,
Điều kiện đủ Giả sử ay có phần tử nghịch đảo là ay' ta chứng minh rằng f có phần tử nghịch đảo là ø thuộc R[[x]] Ta cho bạ, bạ , b„„ thuộc R thoả mãn:
a,b, =1 ab, + a,b, =0 a,b, + a,b, +.a,b, =0
vi thé bo, b;, ., b,, .thudc R hoan toan duoc xác định Do đó g = eR[[x]] m0
là phần tử nghịch đảo của f Oo
2.1.1.3 Dinh ly Cho K là một thể được với phân tử đơn vị I lđêan phải (trái) cua K[[x]] cé dang (0), (x°) = K[[x]], (x), Dac biét moi idéan cua K[[x]] la
idéan chính, và (x) là iđêan cực đại (trái, phải) duy nhất
Chứng minh: Cho A là iđêan tuỳ ý khác không của K[[x]] Mỗi phần tử khác không của A co dang: f = a) + a,x + + a,x" + trong đó luỹ thừa với hệ tử khác
không có bậc bé nhất trong f là kŒ& z 0) nên f = xÍt, với t e K[[x]], có dạng:
t= Ya,x." VGi a, # 0
n=0
Theo dinh ly 2.1.1.2, thi ton tai g e K[[x]] sao cho tg = 1, suy ra f.g = x‘tg = x* Vay A = x*K[[x]] = (x9 QO
2.1.1.4 Hé qua Néu K la mot thé thi K[[x]] (x) =K
2.1.2 Vanh chuỗi luỹ thừa hình thức nhiều ẩn
Trang 28R,=RIx.]] Rạ= R.[[x;]l
R„= R,.[[x,,.lÌ
Khi đó, vành R„= R„.,[[x,.,]] và ký hiệu: R[[x; , x„ ]]= R[IX]] được gọi là vành
chuỗi luỹ thừa hình thức n ẩn lấy hệ tử trong R
Xét trường các ẩn làm thành một tập hợp X(không nhất thiết hữu hạn) ta có
định nghĩa sau
2.1.2.2 Định nghĩa Ta gọi vành R[[X]] là hợp tất cả các vành R[[Y]] với Y là tập con hữu hạn nào đó của X Hơn thế nữa với Y,, Y; là các tập hữu hạn trong X
và Y, c Y;, thì có đồng cấu tự nhiên từ RỊ[Y,]] vào R[[Y;]] Ta suy ra được rằng
mỗi phần tử của R[[X]] là một chuỗi luỹ thừa hình thức hữu hạn ẩn
2.1.3 Vành chuỗi Laurent
2.1.3.1 Định nghĩa Cho R vành bất kỳ, và R[[x]] vành chuỗi luỹ thừa hình thức
Ta xét tập các chuỗi Laurent có dạng:
m m+l
AâmX +amn.¡X + e R)
với m là số nguyên dương, hệ tử trong R Ta định nghĩa phép toán cộng và phép
(âm; Amel
toán nhân tương tự như vành chuỗi lũy thừa hình thức Khi đó, ta được vành gọi là vành chuỗi Laurent Ký hiệu R<x>
Trang 29m+l
Chứng mình: Dat f = a,x™'+ a„ x"+ là phần tử khác không trong
K<x> Khi đó, tồn tai je N sao cho a, #0 va a, =0, với mọi i<j Khi đó, ta có: xife K[[x]] theo dinh ly 2.1.1.2 thì phần tử x†f có nghịch đảo trong K[[x]], giả sử x”g
là nghịch đảo của f trong K<x> Vậy K<x> là một thể Oo
Cách phát biểu tương tự định lý 2.1.3.3 cho vành R<X> với X là tập hợp hữu hạn các ẩn, ta có định lý:
2.1.3.4 Định lý Nếu K là một thể thì K<X> cũng là một thể
Với X là tập của các ẩn bất kỳ(không nhất thiết hữu hạn), ta có định nghĩa sau:
2.1.3.5 Định nghĩa Vành R<X> được gọi là vành chuỗi Laurent nhiều ẩn nếu nó là hợp của tất cả R<Y> với Y là tập hợp hữu hạn của X Chú ý rằng, mỗi chuỗi Laurent của R<X> chỉ lấy hữu hạn ẩn trong tập X
2.2 Căn nguyên tố của vành đa thức
và vành chuỗi luỹ thừa hình thức
2.2.1 Căn nguyên tố của vành đa thức
Giữa vành cơ sở và vành đa thức có tính chất nguyên tố và nửa nguyên tố tương tự như nhau định lý sau nói lên vấn đề đó
2.2.1.1 Định lý Cho R vành, các điều kiện sau là tương đương
(1) R là vành nửa nguyên tố
(2) RỊx] là vành nửa nguyên tố
Chứng mình: (1) = (2) Vì P(R[x]) = P(R)[xI] Oo
2.2.1.2 Dinh ly Cho R vanh, cdc diéu kién sau la tuong duong
(1) R la vanh nửa nguyên tố (2) R[X] la vanh nita nguyén to
Chứng minh: (1) © (2) Vì P(R[XỊ) = P(R)[XI n
Trang 30Tương tự như vành đa thức, vành chuỗi luỹ thừa hình thức và vành cơ sơ cũng có quan hệ đó, ta có định lý sau: 2.2.2.1 Định lý Cho R vành, các điều kiện sau là tương đương (1) _R là vành nửa nguyên tố (2) RỊIAI] là vành nửa nguyên tố Chứng mình: ([)© (2)
(1)=(2).Trước hết ta đưa vào các ký hiệu và thuật ngữ để cho đơn giản Giả sử
X= {x,/aeA } và ta giả thiết A là tập sắp thứ tự tốt, là tập số tự nhiên và với
bất kỳ tập không rỗng hữu hạn I= {(@,,m,),(@,,m,), (@,,m,)} cla Ax¥ Ta định nghĩa đơn thức XI như sau:
XT = xX XZ (d <ứ,< <ø,)Và XẾ=1„và bậc của Ï xác định như sau:
deg() = m, + m; + .+ m, nếu |/| = r là số phần tử của I
Tiếp theo cho hai tap khong réng I= {(a,,m,).(@,,m,) -(@,,m, )} Và
J= {(8,.m,).(8;.m,) (/8,,m,)} và ta viết được <I néu (1) deg(I) < deg(J)
(II) deg(I)= deg(J) va |/|< |2|,
(IID) deg(I) = deg(J),|/|= |J| va cé hé sé tu nhién k sao cho a,= Ö,,
m=n, với mọi i£ k va a,,,< b,,, va
(IV) deg(I) = deg(J), J\= |J| va c6 hé sé tu nhién k sao cho a,= 5,,
m„=n, với mọi i£ k và đ,,¡= P,,¡ Với mự,¡ > Nyy
Với bất kỳ tập con hữu hạn T và J của Ax¥ thi tap I + J là tập con hữu hạn với
X= XIX!
Như vậy rõ ràng rằng đối với bất kỳ các tập con hữu hạn không rỗng I, J va K của Axy
() Nếu I< J và J < K thì I< K và
Trang 312I=I+I<J Chú ý rằng, mọi chuỗi luỹ thừa hình thức khác không f e R[[X]] có dạng ¥ f=a,+ Q a,X” n=]
với ao, a, eR và I, là tập hợp con của AxY với l„ < Ij„¡ với mọi n` I Bây giờ
ta chứng minh fRf z 0 Điều này hiển nhiên đúng nếu a„ z 0, vì R là vành nửa
nguyên tố, bởi vậy ta giả thiết aạ = 0 Không mất tính tổng quát ta có thể cho a, z 0 Chú ý rằng, 2l, < 1; + 1 Với mọi số nguyên dương p, q với p+q_> 2, do đó
hệ tử X” trong fuf, với mọi ue R, a, ua, Từ đó, ta có: fRf z 0
Cho feR[[X]] voi f R[[X]]f = 0, thì rõ ràng fRf = 0 Từ chứng minh trên ta có: f
=0 Vì vậy R[[X]] là vành nửa nguyên tố
(2)>(1) Cho a e R và aRa = 0 Thì rõ ràng: aR[[X]]a = 0, nhưng theo giả thiết
thì R[[X]] là nửa nguyên tố và ta nhận được a = 0 Do vậy R là nửa nguyên tố.L] 2.2.2.2 Hé qua Cho vanh R, ta cé: P(R[[X]]) 1 P(R)[[X]]
Chứng mình: Ta có : R/ P(R) là vành nửa nguyên tố và theo định lý 2.2.2.1 thì (R/P(R))[[X]] là vành nửa nguyên tố và từ đẳng cấu
R/ P)[[XII @ RỊI[X]] / P(R)[IXI
và P(R[[X]]) là nhỏ nhất sao cho vành R[[X]] là nửa nguyên tố, nên ta có: P(R[XII) I P(®)XI Ũ
Chú ý Điều ngược lại chưa chắc đúng, ta xét ví dụ sau:
2.2.2.3 Ví dụ Cho F là trường và V là không gian vectơ vô hạn chiều trên trường
F với cơ sở {vị, va, }, cho vành A= End,(v), ta ký hiệu
J={feA/rank(f)< ¥ va five A Fy, }
ci
Trang 32cũng luỹ linh trong R[[x]] do đó P(R)[x] I P(R[x]) Cho Cụ là phần tử ma trận
vô hạn trên F với (, j) là 1 và còn các vị trí còn lại khác thì bằng 0 Cho
F(X) = Cy + ©¿X + €oncbonyaX” + Và Ø(X) = ©;; + €¿;X + † €onayan¿aX” +
vi f(x), g(x) e R[[x]] và f(x)*=0= g()°; nhưng hệ tử của (f(x) + @(x)) là yas
+ Cq42) 9 v3 ngàn > + VỚI k= 2, 3, và vì vậy nó không luỹ linh suy ra f(x)Ï P(R[[x]]) hoặc g(x) Ï P(RỊ[x]I), do đó P)[[x]] zP(R[[x]]) 2.2.2.4 Hệ quả Cho R vành P(R) là luỹ linh khi và chỉ khi P(RỊ[X]]) cũng luỹ linh va P(R[[X]]) = P(R)[[X]] Chứng minh: Điều kiện đủ Nếu P(R[[X]]) luỹ linh và P(R[[XID = P(R)[IXI
thì P(R) là luỹ linh (hiển nhiên)
Điều kiện cần Vì P(R) là luỹ linh ta chứng minh P(R[X]]) là luỹ linh Thật vậy, theo hệ quả 2.2.2.2 ta có: P(R[[X]]) I P(R)I[X]I Vì P(R) luỹ linh nên P(R)[[X]] cũng luỹ linh Vì vậy P(R){[X]]I P(R[[X]]), do đó
P(RIIXI]) = P(R)IXII U
2.2.2.5 Định lý Cho R là vành, ta có các khẳng định sau:
(1) R thỏa mãn (*) khi và chỉ khi RỊX] thỏa mãn (*) (2) R thỏa mấn (*) khi và chỉ khi R[[X]] thỏa man (*) va
P(R[[X]]) = P(R)[[X]]
Chứng minh: (1) Ta có: P(R[X]) = P(R)[XI
(2) Trước hết ta xét trường hợp cua R[[x]] voi |X|= I, vì P(R) lãy linh nên
P(R)[[x]] cũng lũy linh và P(R)[[x]]cP(R[[x]]) Lấy
Í(x) = aạ + a¡X + a;Xx” + e P(RÍ[x]])
Xét đồng cấu z:R[[x]] — R xác định bởi z(z(x))=g(0) Với mỗi P là idéan nguyên tố của R, z"'(P) là iđêan nguyên tố của R[[x]] và bởi vậy z'(P) chứa g(x) Vì z(/(x)) = aeP, ta có
Trang 33Từ đó, a,x + a;x? + e P(R[[x]]) và suy ra a, +a„x + e P(R[[x]] Tương tự như trên ta chứng minh được a, e P(R) và a; + a;x + e P(R[[x]])
Tổng quát ta chứng minh được a,e P(R) và a, + a,¡x + e P(R[[x]] va P(R[[x]])c PŒ)([x]] suy ra P(R[[x]]) = P(R)[[x]] vì thế RỊ[x]] thỏa man (*)
Tiếp theo ta xét trường hợp tổng quát |Y| = n, ta làm tương tự và ta có
P(R)IIXII = P(R[[XI]) và R[[X]] thỏa mãn (*)
Vì P(R) lũy linh, P(R[[X]]) cũng vậy và vì vây P(R)[[X]] < P(R[[X]]) Đặt
f(X) = &,+axux, v„ +a,xaxs, x,„ + e P(R[[X]]), với ae R
Ta xét dang cau p:R[[X]] > R với p(g(Œ)) là giới hạn liên tục của øg(X) Cho S là Iđêan nguyên tố của R thì pˆ(S) là iđêan nguyên tố của RỊ[[X]] và bởi vây pˆ(S)
sinh bởi f(X) vì p(f(X) = au e S Ta có a;e P(R) c P(R)[[X]] c P(R[[X]] suy ra axiX Xu, +;x;¡x2; x;„ + 6 P(R[[X])) Đặt Y =X- [Xịii,Xị;, ,xụ, } thi R[[XI = R[lx,¡ x;; x„ ]HUYT Định nghĩa đẳng cấu khác II: R[[XI]>R[lx : x;; , x„ ]Ì xác định bởi HỆ, +BY Vio Vim Vor Vom, + ) = bụ với mọi y¡ e Y và bụ 6 R[[X¡¡, Xị;, , x„ ÌÌ
Vì vậy, với mỗi iđêan nguyên tố Q của R[[X,, , Xj, + x,, ]], 1" (Q)1a idéan
nguyên tố của R[[X]] và bởi vậy IT"(@) sinh bởi aiXi¡Xị; .xụ„ + 2X¿iX¿; xụ, + Chú ý rằng,
P(RIlx,i x„ ]])= P(R)[[x, x„„ II
Theo chứng minh trước Từ
TH(a,%.X2 %y +4Xz|X;; Xa, + ) =aXiiXi; X„ €Ó
Ta có:
Trang 34Do đó, a, cũng nằm trong P(R) tiếp theo ta xét
R[>,,.x;; x;„ ]], R[[x;¡,x;s xạ, 1]
và tiếp tục như thế Tiến hành theo phương pháp này ta đưa ra một cách tổng quát
rằng moi a; e P(R) và f(X)e P(R)[[X]] suy ra
P(R)IXI] = P(R[IXI])
Từ đó R[[X]] thỏa mãn (*)
Ngược lại, nếu R[[X]] thỏa mãn (*) và P(R)[[X]] = P(R[[X]]) thì P(R) thỏa
mãn (*) là hiển nhiên ñ 2.2.2.6 Hệ quả Cho R là vành, ta có các khẳng định sau:
(1) R nửa nguyên tố khi và chỉ khi RỊXỊ nửa nguyên tố khi và chỉ khi RỊIIAI] nửa nguyên tố
(2) P(RI[X]]) c P(R)HAI
Chứng minh: (1) Theo định lý 2.2.2.1 với P(R) = 0, và hệ quả 2.2.2.2.L1
2.2.2.7 Định nghĩa Tập I con của vành R được gọi là T- lũy linh trái (phải) nếu mọi phần tử a,, a,, trong I thì tồn tại số nguyên dương n sao cho a,a, a, = 0
(a„ a› a, = 0)
Chú ý Các tập con luỹ linh của một vành R là luỹ linh cả hai phía Nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng, ví dụ 2.2.2.3 chứng minh cho ta điều đó Các tập con T- luỹ linh trái (phải) là nil nhưng nil- iđêan thì không nhất thiết trái( hoặc phải) T- luỹ linh và T- luỹ linh cũng không đối xứng trái (phải) Ví dụ sau đây chỉ ra rằng định lý 2.2.2.5 không tổng quát đối với T- luỹ linh
Ví dụ Ta sử dụng vành R trong ví dụ 2.2.2.3 chú ý rằng P(R) là T- luỹ linh phải
và P(R)[[x]] øP(R[[x]]) bởi các khẳng định được nêu trong ví dụ
2.2.2.8 Hé qua Gid sit R là vành thỏa mấn điêu kiện chuỗi tăng đối với linh
hoán tứ Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(1) P(R) là T- lãy linh phải khi và chỉ khi R thỏa mấn (*)
(2) P(R) là T- lãy linh phải khi và chỉ khi RỊx] thỏa man (*)
Trang 35P(R[[X]]) = P(R)[TX]] Ching minh: Dinh ly 2.2.2.5
2.2.2.9 Bổ đề Giả sử R là vành có chỉ số lñy linh bị chặn
(1) Nếu môi phần tử lũy linh sinh ra nil- iđêan phải (hoặc trái) của R thì P(R) = N(R)
(2) Nếu R thỏa mãn (*) và mỗi phần tử lũy linh sinh ra nil- idéan phải của R thi R[X]/ P(R[X]) va R[[X]]/P(R[[X]]) la cdc vanh thu gon
Chứng mình: (1) Thứ nhất chú ý rằng vì R có tập các chỉ số lũy linh bị chặn và P(R) - nil, R/P(R) cũng có tập các chỉ số lũy linh bị chặn Vì thế ta có thể giả sử rằng R nửa nguyên tố
Giả thiết ngược lại rằng có a e N(R), az0 thì aR là nil- iđêan trái, tập I= aR Tiếp theo vì R có tập các chỉ số lũy linh bị chặn theo giả thiết, tập chỉ số lũy linh bị
chan cia I ta gia sit n Ta cé6: b"'Rb"! = 0, véi moi b el, suy ra (Rb"'RY = 0
Do d6 Rb"'R là iđêan lũy linh khác không với b e I Ngược lại thì P(R) = N(R) Trường hợp idéan trái cũng được chứng minh tương tự
(2) Vi R[X] / P(R[X])=P/(R)[X] và RỊ[X]/ P(R[IX]]) = R/P(R)[[XI], ta có được các kết quả theo định lý 2.2.2.5 (1) Oo
2.2.2.10 Nhận xét Cho R là vành thỏa mãn điều kiện (*), hiển nhiên rằng mọi
ảnh đồng cấu của nó cũng thỏa mãn (*) Nhưng xét một cách tổng quát thì nó lại
nó không đúng trong ví dụ sau:
Ví dụ Cho K là một trường và X = { x, /n=1, 2,3 .} là tập hợp các phần tử giao hoán không hữu hạn trên trường E Tập R„ = K[x,] với mọi n và I, là iđêan
Trang 36Vì ®R,x, /T,là lũy linh Nhưng Pq] R„/1„) không lũy linh Do đó R/I không thỏa mãn (*)
2.3 Căn nguyên tố của chuỗi Laurent lệch
2.3.1 Một số khái niệm cơ sở
2.3.1.1 Định nghĩa Cho R là vành kết hợp với phần tử đơn vị 1, ö là tự đẳng cấu của vành R Khi đó:
i Mot iđêan trái(hoặc phải, hai phía) I của Rđược gọi là ö- iđêan (hoặc phải, hai phía) nếu ở () = I
ii Một iđêan P của R được gọi là ö- iđêan nguyên tố nếu Pz # với hai ở - iđêan
I, J cua R sao cho cP thi IcP hoac JcP
iii Mot idéan Q cua R được gọi là ö- iđêan nửa nguyên tố nếu voi 6 - idéan I của R sao cho cP thì I<Q
¡v Vành R được gọi là ö- nguyên tố(hoặc ö- nửa nguyên tố) nếu (0) là ö- idéan nguyén t6( 6 -iđêan nửa nguyên tố)
Chú ý Mọi 5- iđêan nguyên tố của R là 5- iđêan nửa nguyên tố và mọi vành nguyên tố(hoặc nửa nguyên tố) là ö- nguyên tố(hoặc ở - nửa nguyên tố) £ NAY , c ZZ), a ở Vi du (1) Cho Z là vành các số nguyên, R = ( 7) tập tất cả các ma trận tam a giác vuông cấp hai trên Zvà ổ:R->® cho bởi of » -(¢ Cc —b , V6i moi ae : €
(¢ 2) eR thi ổ là tự đẳng cấu của R và I= ( 9] là ø- iđêan của R
(2) Cho F là trường và R = F[x] là tập tất cả các đa thức trên trường F,
ở:R—›R xác định bởi ở (f(x)) = f(-x), với mọi f(x) eR thì ở là tự đẳng cấu của R va xR 1a ở - nguyên tố của R
Trang 372.3.1.2 Định nghĩa Cho R là vành với ở là tự đẳng cấu, I là ổ - iđêan của R và tự đồng cấu ở: R/I -› R/I được xác định bởi đ(a+ I) = ổ(a) + I, với mọi a +
IeR/I Khi đó, ø được gọi là tự đẳng cấu của R/I
2.3.1.3 Mệnh dé Gid sit R là vành với tự đẳng cấu ö và K, ï là các iđêan của R
sao cho R¬K S1 Khi đó, K là ö - iđêan của R khi và chỉ khi KII là ö -iđêan của
RII
2.3.1.4 Mệnh đề Giả sử R là vành với tự đẳng cấu 5va I la cdc idéan cia R Khi đó, I là ö -iđêan nửa nguyên tố khi và chỉ khi RỊI là ö - nửa nguyên tố
Chứng minh: Điều kiên cần Giả sử T là ø - iđêan nửa nguyên tố của R Nếu K/Ilà ổ- iđêan của R/I sao cho (K/I)’ = (0) là iđêan không của R/I thì K? = I Theo mệnh đề 2.3.1.3, K là ø -iđêan của R Vì I là đ- iđêan nửa nguyên tố, K=l vì thế K/I = (0) Vậy R/I là ö vành nửa nguyên tố
Điều kiện đủ Giả sử R/I là ø vành nửa nguyên tố Nếu Q là ø -iđêan của R sao cho Q’cI thi (0)= Q?/1 = (Q/DỶ Vì R/I là ø vành nửa nguyên tố, Q/I = (0) nên Q =1 Như vậy I là ở - iđêan nửa nguyên tố của R Oo
2.3.2 Vành chuỗi luỹ thừa Laurent lệch
2.3.2.1 Định nghĩa Vành chuỗi luỹ thừa lệch R[x; ở ] là tập tất cả các chuỗi luỹ
thừa hình thức có dạng >_z„x' ẩn x, hệ tử trong R sao cho xa = ổ(a)x với mọi a ¡=0
thuộc R
2.3.2.2 Định nghĩa Vành chuỗi Laurent lệch là tập hợp tất cả các chuỗi luỹ thừa
hình thức có dạng > a,x', với hữu hạn phần tử khác không và ký hiệu R[x, x!; 6]
Trang 38R[x, x'; 6 ]/I[x, x'; 6] =(RID[ x, x36] Chứng mình: Ta định nghĩa ø: R[x, x'; ø] —> (R/Đ[ x, x”;ð ] fox) a ØŒ@))= S'ø(a)x với V f&x)= Yaxe RỊ[x,x”; ở] Ta chứng minh 2 là đồng cấu vành Thật vậy, với V f(x) = Nay e R[x, x'; 6], g(x) => hy! e R[x, x's 6] i=m j=m
Tacó: 6(f(x) + g(x)) = Yo(a +h) = Yaa +e),
= Yo(a)x'+Yo(b)x = of) + 2(g)) i=m i=m n 8 (fx)g(x)) = O(Yex'), Vic = D ad, i=m i=k+j n = Sela)e = (Sela)y Sela i=l = 0())0(g()) Vậy ø đồng cấu vành Với y =»ø(a)z =ä3fx)= Ya,’ < k[+x,x, | sao cho Ø(f(x)) = y, suy ra Ø là toàn el i=m cau va Kero = {f(x) e RỊx, x"; ø]/ >'2(a}x =(ø)) i=m = (fx) = Yar’ e RIx,x”; ð]/ Lola} =(0)} ism =I[x, x1; 5]
Trang 39Chứng minh: Điều kiện cần Giả sử R là ø- nửa nguyên tố Gọi J là iđiên
của A sao cho J? = (9) xét iđêan của R, J; là tập tất cả các hệ tử đầu tiên của f(x) c J thì Jạ là ø iđêan của R Khi đó với nửa f e J, Đặt f(x) = a,x" +{terms of
lower depreer } với a,e J và xétg =xfe J (hoặc h =x'fe J ) Ta có: g=
ö(a,)x"?" +{terms of lower degreer } hoặc h = ø '(a,)x”! + {terms of lower degreer } và vì vậy đ(a,) e J (hoặc øơ'(a,) e J) vì J” = (0) vì thế J, = (0), theo
giả thiết Tiếp tục điều này, mọi hệ tử của f(x) bằng 0 với mọi f(x) e J Do đó J= (0) vậy nên A là nửa nguyên tố
Điều kiện đủ Giả sử A là nửa nguyên tố Cho I là ø -iđêan khác không của R thì IA là ø -iđêan khác không của A Vì A nửa nguyên tố, (A)” = A z (0) thì Ứ z (0) vậy R là ø- nửa nguyên tố Oo
2.3.3 Can nguyên tố của chuỗi Laurent lệch
2.3.3.1 Định nghĩa ö -căn nguyên tố(ở -nil căn) của R là giao của tất cảö- iđêan nguyên tố của R và ký hiệu Pở (R)
Chúng ta chỉ ra rằng căn nguyên tố của chuỗi Laurent lệch RỊx, x'; đ] bằng Pø(R) [x, x"; ø]
2.3.3.2 Định lý Giả sử R là vành với tự đẳng cấuö Khi đó, căn nguyên tố của
R[x, x'; 5] bang P{R)[x, x'; 6] hay P(R[x,x'; 5]) = PAR)[x, x'; 6]
Chứng minh: Giả sử I= Pø (R) thì [là 6 - iđêan nửa nguyên tố nhỏ nhất của
R và R/Ilà ø- nửa nguyên tố Theo mệnh đề (2.3.2.3): do đó (R/D[x, x'; 6] 1a ở -nửa nguyên tố của R[x, x"; ø ] theo mệnh đề (2.3.2.4), do đó ta có
I[x, x'; 6] > PRIX, x; 6))
Ngược lại, ta chứng minh P(RỊx, x'; ø]) c I[x, x"; 6]
Giả sử P là iđêan nguyên tố của RỊx, x'; ø] thì R¬P làø -iđêan nguyên tố của
Rvi RoP là ø-iđêan nguyên tố của R, I c RAP c P kéo theo I[x, x'; ø]c P
Trang 40Chúng ta có thể có câu trả lời cho câu hỏi này Chú ý rằng mệnh đề (2.3.2.3)
đúng với vành chuỗi luỹ thừa lệnh R[x, ø]và RỊx, 6] /I[x, 6] = (R/D[x, 6] Nam 1974, AW Goodle và G.O Michder đã chỉ ra vành Noether R; I- ở
idéan của R khi và chỉ khi ö[I] c I theo kết quả này, chúng ta chú ý với vành
Noether R thì mệnh đề(2.3.2.4) cũng đúng với vành chuỗi luỹ thừa lệnh RỊx, ở ]
và R - ở nửa nguyên tốc A = R[x,ở ] nửa nguyên tố Điều này dễ dàng suy ra từ
định lý (2.3.3.2) Ta có vành Noether R với tự đẳng cấu ở thì P(R[x : đ]) =
Ps(R)[x; đ]