Một số vấn đề về cân bằng tiệm cân của phương trình vi phân

MỤC LỤC Trang Mục lục……………………………………………………………………….1 Lời mở đầu………………………………………………………………. ….2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị………………………………………….… .4 1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert… 4 1.2. Toán tử tuyến tính và toán tử tuyến tính bị chặn……………… .… 4 1.3. Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính …………………… 7 Chương 2. Cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân ………….… .16 2.1. Cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân………………….….16 trong không gian Banach. 2.2. Cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân………………….….27 tuyến tính trong không gian Hilbert. 2.3. Cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân…………………… 33 tuyến tính trong không gian ℝ n . Kết luận………………………………………………………………… .35 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… … 36 1 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Nghiên cứu tính cân bằng tiệm cận của nghiệm phương trình vi phân trong không gian Banach, Hilbert là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyÕt ph¬ng tr×nh vi ph©n. Vấn đề này đang được nhiều tác giả quan tâm như: A.Wintner; L.Cezari; Nguyễn Thế Hoàn; Nguyễn Minh Mẫn; Nguyễn Sinh Bảy, . Trên cơ sở tham khảo các tài liệu về lý thuyết phương trình vi phân và lý thuyết ổn định của tác giả Hoàng Hữu Đường [3], Nguyễn Thế Hoàn, Nguyễn Minh Mẫn [5], Ph¹m Ngäc Béi [2],…dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội, tác giả đã chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề về cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân". Nội dung của đề tài được thể hiện trong hai chương như sau: Chương 1 chúng tôi trình bày một số khái niệm và một số định lý cơ bản của giải tích hàm được sử dụng trong chương 2. Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày các phần như sau: Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày khái niệm và chứng minh các tính chất về sự cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân trong không gian Banach. Trong mục 2.2, chúng tôi trình bày khái niệm và chứng minh các tính chất về sự cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert. Trong mục 2.3, chúng tôi trình các tính chất của sự cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian ℝ n . Các kết quả của luận văn đã được trình bày trong các tài liệu tham 2 kho (ch yu trong ti liu tham kho [2], [3], [5], hoc ch l cỏc kt qu c vit di dng gi ý ca cỏc ti liu tham kho). Tỏc gi ó tp hp, chng minh chi tit cỏc kt qu ú v tp hp cỏc vn ú theo mt h thng phự hp vi ch ó chn. Lun vn c hon thnh ti trng i hc Vinh di s hng dn tn tỡnh ca thy giỏo PGS.TS. Phm Ngc Bi. Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc n thy. Tỏc gi cng xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo trong khoa Toỏn trng i hc Vinh, c bit l PGS.TS. inh Huy Hong, PGS.TS. T Khc C, PGS.TS. Trn Vn n v cỏc thy cụ giỏo trong khoa Sau i hc trờng Đại học Vinh, cỏc thy cụ trong Phũng Qun lý Khoa hc - Sau i hc trng i hc Vinh, cỏc bn hc viờn Cao hc 15 Gii tớch ó quan tõm v to iu kin thun li cho tỏc gi trong quỏ trỡnh hc tp v lm lun vn. Tỏc gi cng xin chõn thnh cm n n S giỏo dc v o to Ngh An, Phòng giáo dục Nam Đàn và trng thcs Hng Thái Nghĩa v cỏc ng nghip ó quan tõm, to iu kin thun li tỏc gi tham gia khúa hc ny. Vinh, thỏng 12 nm 2009 Nguyn ỡnh Ngha 3 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUÈN VÀ KHÔNG GIAN BANACH 1.1.1. Định nghĩa. Một tập hợp L được gọi là một không gian định chuẩn thực (phức) nếu 1). L là một không gian tuyến tính trên trường số thực (phức). 2). Với mỗi vectơ x ∈ L được xác định một số thực không âm x , được gọi là chuẩn của x, khi có các tính chất sau a). 0x = khi và chỉ khi x = 0, với mọi x ∈ L ; b). x x α α = , với mọi x ∈ L , α ∈ K (K = ℝ hay K= ℂ); c). x y x y + ≤ + , với mọi ,x y ∈ L . 1.1.2. Chú ý. Hàm ( , )x y x y ρ = − trong không gian định chuẩn L xác định một metric để L là một không gian metric. 1.1.3. Định nghĩa. Cho L là một không gian định chuẩn, dãy { } n x ⊂ L được gọi là dãy Cauchy nếu , lim 0. n m n m x x →∞ − = 1.1.4. Định nghĩa. Một không gian định chuẩn L được gọi là kh«ng gian Banach nếu L là đầy đủ theo metric ( , ) .x y x y ρ = − 1.1.5. Định nghĩa. Một dạng Hermite trên không gian tuyến tính L là hàm ϕ : L × L → K thỏa mãn các điều kiện 1) ),(),(),( 2121 yxyxyxx ϕϕϕ +=+ ; 2) ),(),(),( 2121 yxyxyyx ϕϕϕ +=+ ; 3) ),(),( yxyx λϕλϕ = ; 4) ),(),( yxyx ϕλλϕ − = ; 5) ),(),( xyyx ϕϕ = . 4 Mỗi dạng Hermite xác định dương trên không gian tuyến tính L gọi là tích vô hướng. Không gian tuyến tính L cùng với một tích vô hướng trên L gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không gian Hilbert. 1.2. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH VÀ TOÁN TỬ TUYÕN TÍNH BỊ CHẶN 1.2.1. Định nghĩa. Cho B 1 và B 2 là các không gian Banach. Một ánh xạ A: B 1 → B 2 được gọi là một toán tử tuyến tính nếu A(ax+by)= aAx+bAy với mọi số a, b ∈ K và với mọi ,x y ∈ B 1 . 1.2.2. Chú ý. 1). Một toán tử tuyến tính là liên tục nếu nó liên tục tại 0. 2). Tính liên tục tương đương với tính bị chặn của toán tử A, nghĩa là có số hữu hạn 2 1 1 sup , 0 . Ax A x x Ax     = ∈ ≠       B { } 1 2 1 sup , 1 .Ax x x = ∈ = B (1.1) 1.2.3. Nhận xét. 1) Tập hợp tất cả các toán tử bị chÆn A: B → 1 B 2 được ký hiệu bëi [ B 1 ,B 2 ]. Tập này là một không gian Banach với chuẩn (1.1) với phép cộng toán tử, phép nhân một toán tử với một số được định nghĩa như sau (A+ B)x = Ax+ Bx,(aA)x= a(Ax), với mọi x∈ B 1 , a ∈ K. Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ một không gian B vào chính nó được ký hiệu bởi [ B ]. 5 2). Hai không gian Banach B 1 và B 2 được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại ánh xạ một - một f liên tục sao cho 1 f − cũng liên tục. 1.2.4. Định lý (Banach). Giả sử toán tử A ∈ [ B 1 ,B 2 ] là ánh xạ một - một từ không gian Banach B 1 lên không gian Banach B 2 . Khi đó toán tử ngược 1 A − là tuyến tính và bị chặn A 1− ∈ [ B 1 ,B 2 ] và như vậy các không gian B 1 và B 2 là đẳng cấu. 1.2.5. Hệ quả. Giả sử đã cho trong không gian tuyến tính L hai chuẩn 1 x và 2 x sao cho ứng với hai không gian Banach B 1 và B 2 và có bất đẳng thức 1 2 1 ( )x c x x≤ ∈ L với c 1 là hằng số dương. Khi đó tồn tại một hằng dương c 2 sao cho 2 1 2 x c x≤ và các chuẩn 1 x và 2 x tương đương. 1.2.6. Định lý (nguyên lý bị chặn đÒu). Giả sử U là một tập hợp các toán tử của [ B 1 ,B 2 ]. Nếu với mọi 1 x∈ B { } sup ,Ax A U ∈ <∞ (1.2) thì U bị chặn, nghĩa là { } sup ,A A U ∈ <∞ (1.3) 1.2.7. Nhận xét. Định lý này chỉ ra rằng nếu dãy toán { } n A ⊂ [ B 1 ,B 2 ], n=1,2,…hội tụ tại mỗi phần tử x∈ B 1 , đẳng thức lim n Ax A x n →∞ = xác định một toán tử tuyến tính liên tục A ∈ [ B 1 ,B 2 ]. 1.2.8. Định nghĩa. Cho B là một không gian Banach phức. Một phần tử λ của mặt phẳng phức được gọi là phần tử chính quy của toán tử A ∈ [ B ] nếu [ B ] chứa toán tử 1 ( ) .R A λ λ − = − Ι 1.2.9.Định nghĩa. Tập hợp tất cả các phần tử chính qui của toán tử 6 A được gọi là giải thức của toán tử A, kí hiệu là ρ (A). 1.2.10. Định nghĩa. Phần bù của ( )A ρ được gọi là phổ của toán tử A, kí hiệu là σ (A). 1.2.11. Nhận xét. 1). Tập hợp ( )A ρ mở. 2). Phổ σ (A) là tập luôn khác rỗng, đóng và nằm trong hình tròn A λ ≤ . Một cách chính xác hơn là phổ σ (A) nằm trong phần hình tròn bán kính lim . n n n r A Α →∞ = 1.2.12. Định nghĩa (¸nh xạ co). Giả sử M là một tập con đóng bất kỳ của không gian Banach B . Giả sử S là toán tử (không nhất thiết tuyến tính ) ánh xạ M vào chính nó. S được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại q < 1 sao cho với mọi ,x y ∈Μ , thì .Sx Sy q x y − ≤ − (1.4) 1.2.13. Định lý ([7]). Giả sử S, M là các đối tượng nói trong Định nghĩa 1.2.12 và giả sử toán tử n S là toán tử co với n là số tự nhiên, 1n ≥ . Khi đó, ở trong M tồn tại một và chỉ một điểm bất động duy nhất x φ của toán tử :S S x φ φ = . 1.3. NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYÕN TÍNH 1.3.1. Các khái niệm mở đầu Đầu tiên ta xây dựng toán tử giải ( , )U t τ , mà nhờ nó ta giải được phương trình vi phân tuyến tính. Ta xét phương trình vi phân tuyến tính trên một khoảng hữu hạn hay vô hạn J ( ) ( ), dx A t x f t dt = + (t J∈ ) (1.5) với hàm toán tử biến thiên A(t) và các hàm vectơ ( )f t phụ thuộc vào một tham số thực t. 7 Để đơn giản về mặt lý thuyết chúng ta chỉ xét các phương trình có hệ số đo được mạnh và khả tích theo nghĩa Bochner. Sau đây là một số định nghĩa cơ bản (xem[9]). 1.3.1.1. Định nghĩa. Một hàm vectơ ( )x t trên một khoảng hữu hạn hay vô hạn J [ ] ,a b= với giá trị trong không gian Banach B được gọi là có giá trị đếm được nếu nó lấy trên J [ ] ,a b= không lớn hơn một số đếm được x k 0≠ ( 1,2 .)k = các tập { } ( ) ( 1, 2 .) k k E t x t x k= = = là đo được Lebesgue. 1.3.1.2. Định nghĩa. Một hàm có giá trị đếm được khả tích Bochner trên [ ] ,a b nếu hàm số ( )x t khả tích Lebesgue trên [ ] ,a b . Tích phân Bochner của hàm có giá trị đếm được được xác định bởi công thức 1 ( ) , b k k k a x t dt x mE ∞ = = ∑ ∫ trong đó k mE là độ đo Lebesgue của tập k E . 1.3.1.3. Định nghĩa. Một hàm liên tục ( )x t được gọi là đo được mạnh trên [ ] ,a b nếu nó là giới hạn của một dãy hội tụ hầu khắp nơi các hàm ( ) n x t có giá trị đếm được ở trên đoạn đó. Nếu một hàm ( )x t đo được mạnh trên [ ] ,a b thì hàm ( )x t là đo được theo nghĩa Lebesgue. 1.3.1.4. Định nghĩa. Nếu hàm ( )x t đo được mạnh trên [ ] ,a b và ( )x t cũng khả tích trên [ ] ,a b , thì hàm ( )x t được gọi là khả tích theo nghĩa Bochner (hay khả tích mạnh) trên [ ] ,a b . Hàm ( )x t khả tính theo nghĩa Bochner trên [ ] ,a b khi và chỉ khi ( )x t là giới hạn hầu khắp nơi của dãy hàm ( ) n x t có giá trị đếm được trên sao 8 cho tồn tại giới hạn lim ( ) b n n a x t dt →∞ ∫ , hơn nữa giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn dãy hàm ( ). n x t Khi đó ta gọi lim ( ) b n n a x dt τ →∞ ∫ là tích phân theo nghĩa Bochner của hàm ( )x t và viết là ( ) ( ) b a x t dtΒ ∫ (hay đơn giản hơn là ( ) b a x t dt ∫ ). 1.3.1.5. Chú ý. 1). Các tính chất của tích phân Bochner hoàn toàn tương tự như tính chất của tích phân Lebesgue (tính tuyến tính, đếm được, cộng tính .). 2). Nếu ( )x t khả tích Bochner thì hệ thức 0)()( 1 lim 0 =− ∆ ∫ ∆+ →∆ ττ dtxx t tt t t là đúng với hầu hết tất cả các giá trị [ ] ,t a b∈ và trong trường hợp đặc biệt, hàm ( ) ( ) t y t x d a τ τ = ∫ , (*) là liên tục và khả vi hầu khắp nơi trên [ ] ,a b . Từ nay về sau ta gọi hàm ( )y t biểu diễn được dạng (*) là khả vi theo nghĩa Bochner. Tương tự như vậy đối với hàm toán tử khả vi theo nghĩa Bochner. 1.3.2. Sự tồn tại nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Ta xét phương trình vi phân (1.5) trong không gian Banach B trong đó t thuộc khoảng hữu hạn hay vô hạn J. Nghiệm của phương trình (1.5) được hiểu là một hàm liên tục ( )x t khả vi theo nghĩa Bochner và tháa mãn (1.5) hầu khắp nơi. Do đó, 9 theo định nghĩa về nghiệm, nghiệm của phương trình (1.5) là nghiệm của phương trình tích phân sau đây 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , t t t t x t x x d f d τ τ τ τ τ = + Α + ∫ ∫ (1.6) trong đó 0 0 ( ).x x t = Từ nay về sau ta xét phương trình (1.5) với giả thiết ( )f t liên tục và A(t) là liên tục mạnh (nghĩa là hàm vectơ A(t) là liên tục với bất kì x∈ B , mỗi nghiệm của phương trình (1.5) là khả vi liên tục tại mỗi điểm t ∈ J và hệ thức (1.5) được tháa mãn khắp nơi trong J. 1.3.2.1. Định lý. Với giả thiết về ( )A t và ( )f t như trên, trong mỗi đoạn [ ] ,a b ⊂ J, phương trình (1.5) có nghiệm duy nhất. Chứng minh. Thay cho phương trình (1.3.2) ta sẽ xét phương trình tổng quát hơn 0 ( ) ( ) ( ) ( ) t t x t g t A x d τ τ τ = + ∫ (1.7) với một hàm vectơ liên tục ( )g t trên J và suy ra rằng ở trên mỗi khoảng hữu hạn bất kì [ ] ,a b ⊂ J nó có một nghiệm liên tục. Gọi [ ] ( ; , )C a b B kí hiệu không gian Banach của các hàm liên tục trên [ ] ,a b nhận giá trị trong B và chuẩn [ ] ( ) , ax t a b x m x t ∈ = . Trong không gian này, ta xét toán tử ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t t Sx t g t A x d τ τ τ = + ∫ , ®ược xác định bởi vế phải của phương trình(1.7). Toán tử này tác động C( B ) vào chính nó. Từ đó, hiển nhiên hàm ( ) ( ) Sx t là liên tục. Không khó khăn khi thử lại tính đúng đắn các hệ thức 10