TẬP hội tụ của các CHUỖI lũy THỪA HÌNH THỨC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ THU HẠNH TẬP HỘI TỤ CỦA CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ: TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Quang Diệu HÀ NỘI, NĂM 2016 Lời cảm ơn Lời luận văn này, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến GS.TS Nguyễn Quang Diệu, người thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn Đồng thời gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung thầy mơn Lý thuyết hàm nói riêng tạo điều kiện cho học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để hồn thành nhiệm vụ Chúng tơi hồn thành luận văn cách tốt Tuy nhiên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý kiến Thầy cô độc giả để luận văn hoàn chỉnh Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Đỗ Thu Hạnh Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm điều hòa Hàm đa điều hòa 1.2 1.1.1 Hàm điều hòa 1.1.2 Hàm đa điều hòa Đường kính siêu hạn dung tích siêu hạn 13 1.3 Tập đa cực Cn 14 Tập hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức 24 Tập hội tụ khơng gian Cn 24 2.2 Tập hội tụ không gian xạ ảnh 29 2.1 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Một chuỗi lũy thừa hình thức f (x1 , x2 , , xn ) với hệ số C gọi hội tụ hội tụ tuyệt đối lân cận gốc tọa độ Cn Một kết cổ điển Hartogs nói chuỗi f hội tụ hội tụ với ξ ∈ Pn−1 , tức fξ (t) := f (ξ1 t, ξ2 t, , ξn t) hội tụ, chuỗi theo t, với ξ ∈ Pn−1 Điều tương tự Định lý Hartogs hàm chỉnh hình tách biến Theo Abyankar- Moh, ta định nghĩa tập hội tụ chuỗi lũy thừa phân kỳ f tập ξ ∈ Pn−1 thỏa mãn fξ (t) hội tụ Trong trường hợp n = 2, P LeLong chứng minh vào năm 1951, tập hội tụ chuỗi lũy thừa phân kỳ f (x1 , x2 ) tập đa cực loại Fσ P1 Hơn A.Sathaye chứng minh vào năm 1976 khẳng định ngược lại tập đa cực loại Fσ P1 tập hội tụ chuỗi lũy thừa phân kỳ f (x1 , x2 ) Vấn đề miêu tả tập hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức vấn đề quan tâm Giải tích phức hệ động lực địa phương Để hiểu sâu sắc vấn đề chọn đề tài nghiên cứu "Tập hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức" Mục đích luận văn trình bày lại số kết Daowei Ma Tejinder S Neelon Đó tập đếm tập đa cực tồn cục đóng Pn−1 tập hội tụ chuỗi phân kỳ Đây kết mở rộng số định lý nói phần P LeLong, Levenberg Molzon A.Sathaye Nhiệm vụ luận văn nghiên cứu tập hội tụ chuỗi lũy thừa có dạng f (s, t) = j Pj (s)tj với hệ số Pj (s) đa thức có bậc nhỏ j Đây kết gần J.Ribon R.Pérez-Macor Định lý 2.1.5 Định lý 2.2.15 hai định lý Chúng tơi nghiên cứu luận văn dựa việc nghiên cứu tập hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức sở báo "On convergence sets of formal power series" tác giả Daowei Ma Tejinder S Neelon Đồng thời kết hợp với tổng hợp kiến thức giải tích phức đa vị học Bố cục luận văn ngồi lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo, chia làm hai chương Đó là: • Chương trình bày lại kiến thức sở lý thuyết đa vị để đến trình bày kết chương sau Các nội dung chương : Hàm điều hòa; Hàm đa điều hòa; Đường kính siêu hạn dung tích siêu hạn; Tập đa cực • Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày lại nội dung báo "On convergence sets of formal power series" tác giả Daowei Ma Tejinder S Neelon có chứng minh hai Định lý 2.1.5 Định lý 2.2.15 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày tóm tắt kiến thức lý thuyết đa vị phức 1.1 1.1.1 Hàm điều hòa Hàm đa điều hòa Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u: X→ [−∞, +∞) gọi nửa liên tục trên X với α ∈ R, Xα := {x ∈ X : u(x) < α} mở X Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Ω tập mở C Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi điều hòa Ω nửa liên tục trên Ω, u thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với w ∈ Ω tồn > cho với ≤ r < u(w) ≤ 2π 2π u(w + reit dt) (1) ta có Kí hiệu tập hàm điều hòa Ω SH(Ω) Sau ví dụ đáng ý hàm điều hòa Ví dụ 1.1.3 Nếu f : Ω → C hàm chỉnh hình Ω log |f | hàm điều hòa Ω Trường hợp f ≡ kết rõ ràng Giả sử f ≡ Ω Khi rõ ràng log |f | hàm nửa liên tục Ω Giả sử w ∈ Ω, f (w) = chọn > cho f = B(w, ) = {z ∈ Ω : |z − w| < } Khi log |f | hàm điều hòa B(w, ) = {z ∈ Ω : |z − w| < } nên (1) thỏa mãn với dấu đẳng thức Trường hợp f (w) = 0, log |f (w)| = −∞ (1) ln Mệnh đề 1.1.4 Giả sử Ω tập mở C u : Ω → [a, b) hàm điều hòa Ω, −∞ ≤ a < b ≤ +∞ Giả sử ψ : (a, b) → R hàm lồi tăng Khi ψ ◦ u hàm điều hòa Ω Mệnh đề 1.1.5 Giả sử u, v hàm điều hòa tập mở Ω C Khi đó: (i) max(u, v) hàm điều hòa Ω (ii) Tập hàm điều hòa Ω nón lồi, nghĩa u, v ∈ SH (Ω) α, β > αu + βv thuộc SH (Ω) Định lý 1.1.6 Giả sử u hàm điều hòa miền bị chặn Ω C Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại tồn thể điểm Ω u số Ω (ii) Nếu lim sup u (z) ≤ ζ ∈ ∂Ω u ≤ Ω z→ζ Định lý 1.1.7 Giả sử Ω tập mở C u hàm nửa liên tục Ω Khi phát biểu sau tương đương (i) u hàm điều hòa Ω ¯ (w, ρ) ⊂ Ω với (ii) Với w ∈ Ω, tồn ρ > cho ∆ ≤ r < ρ, ≤ t < 2π ta có 2π u w + re it ≤ 2π ρ2 − r u w + reiθ dθ, 2 ρ − 2ρr cos (θ − t) + r ¯ (w, ρ > 0) = {z ∈ Ω : |z − w| ≤ ρ} ∆ đĩa đóng tâm w bán kính ρ (iii) Với miền D compact tương đối Ω h hàm điều ¯ thỏa mãn hòa D, liên tục D lim sup (u − h) (z) ≤ (ζ ∈ ∂D) z→ζ ta có u ≤ h D Hệ 1.1.8 Nếu u hàm điều hòa tập mở Ω ¯ (w, ρ) ⊂ Ω ∆ u (w) ≤ 2π 2π u w + ρeiθ dθ Định lý 1.1.9 Giả sử u ∈ C (Ω) Khi u điều hòa Ω ∆u ≥ Ω, ∆u = u ∂2u ∂x2 + ∂∂yu2 Laplace Định lý 1.1.10 Giả sử u hàm điều hòa tập mở Ω1 v hàm điều hòa tập mở Ω2 ⊂ Ω1 Giả thiết lim sup v (z) ≤ u (ζ) , ∀ζ ∈ Ω1 ∩ ∂Ω2 z→ζ Khi hàm u˜ xác định Ω1 :   max (u, v) Ω2 u˜ = u Ω \Ω điều hòa Ω1 Định lý 1.1.11 Giả sử {un } dãy giảm hàm điều hòa tập mở Ω C u = lim un Khi u hàm điều hòa Ω Định lý 1.1.12 Nếu u hàm điều hòa miền Ω Khi u khả tích địa phương Ω, nghĩa với K Ω ta có |u|dV < +∞ K Bổ đề 1.1.13 Giả sử u hàm điều hòa miền Ω ⊂ C cho u ≡ −∞ Ω Khi tập E = {z ∈ Ω : u (z) = −∞} có độ đo Lebesgue Định lý 1.1.14 (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử −∞ ≤ a < b ≤ +∞ ψ : (a, b) → R hàm lồi Nếu (Ω, µ) không gian đo với µ (Ω) = f : Ω → (a, b) hàm khả tích ta có bất đẳng thức:   f dµ ≤ ψ Ω ψ ◦ f dµ Ω Hệ 1.1.15 Nếu u hàm điều hòa tập mở Ω ⊂ C eu điều hòa Ω Định lý 1.1.16 Giả sử f : Ω1 → Ω2 ánh xạ chỉnh hình hai tập mở C Nếu u hàm điều hòa Ω2 u ◦ f hàm điều hòa Ω1 Định lý 1.1.17 Giả sử u, v hàm điều hòa tập mở Ω ⊂ C cho u = v ( tương ứng u ≥ v ) hầu khắp nơi Ω Khi u = v ( tương ứng u ≥ v ) Ω 1.1.2 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.1.18 Giả sử Ω ⊂ Cn tập mở, u : Ω → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên, không đồng −∞ thành phần liên thông Ω Hàm u gọi đa điều hòa Ω (viết u ∈ P SH(Ω)) với a ∈ Ω b ∈ Cn , hàm λ → u(a+λb) hàm điều hòa −∞ thành phần liên thông tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω} Ta kí hiệu tập hàm đa điều hòa Ω P SH(Ω) Định lý 1.1.19 Giả sử u : Ω → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên, không đồng −∞ thành phần liên thông Cho E tập đa cực compact khác rỗng Cn Ta xét hàm cực trị ΦE : Cn → [0, +∞] cho ΦE (x) := sup{|p(x)| k : (p, k) ∈ Q(Cn ), |(p, k)|E ≤ 1} Ta định nghĩa Eˆ G := {x ∈ Cn : ΦE (x) < ∞} Nếu E = ∅ Eˆ G := ∅ Ta có Eˆ G := ∪k {x ∈ Cn : ΦE (x) ≤ k} nên Eˆ G tập Fσ đa cực Một tập đa cực gọi G-đầy bao G tập compact đa cực Một tập compact đa cực đầy K Cn G- đầy, ˆ G = K (theo [5]) K 23 Chương Tập hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Ta trình bày số kết cấu trúc tập hội tụ không gian Cn sau khơng gian xạ ảnh 2.1 Tập hội tụ không gian Cn Cho chuỗi f ∈ C[s1 , ,sn ] [[t]] có dạng f (x, t) = ∞ j j=0 Pj (s)t với Pj (s) = Pj (s1 , , sn ) đa thức n biến Ta định nghĩa Conv(f ) = {s ∈ Cn : f (s, t) chuỗi lũy thừa hội tụ theo t} Giả sử A, B số nguyên không âm với A > Chuỗi f (s, t) = j Pj (s)t gọi thuộc lớp (A, B) deg(Pj ) ≤ Aj + B Rõ ràng lớp (1,0) tập lớp (A, B) Giả sử E = Conv(f ) với f thuộc lớp (A, B) Ta viết f (s, t) = j Pj (s)tj Đặt g(s, t) = tN f (s, tN ), với N = A + B , Khi g thuộc lớp (1,0) Conv(g) = Conv(f ) Vậy tập hội tụ lớp (A, B) hiển 24 nhiên hội tụ lớp (1,0) Giả sử f (s, t) = ∞ j j=0 Pj (s)t thuộc lớp (1,0) Conv(f ) = Cn Theo định lí Hartogs cổ điển, f (s, t) hội tụ chuỗi lũy thừa theo n + hệ số bất định s t tức f (s, t) hội tụ tuyệt đối theo (s, t) lân cận gốc Cn × C Trong trường hợp nói f chuỗi hội tụ Ngược lại Conv(f ) = Cn , f (s, t) phân kỳ chuỗi lũy thừa theo s t tức f (s, t) hội tụ tuyệt đối miền lân cận gốc Cn+1 Trong trường hợp nói f chuỗi phân kỳ Định nghĩa 2.1.1 Một tập E Cn gọi tập hội tụ Cn E = Conv(f ) với chuỗi phân kỳ f thuộc lớp (1,0) Định lý 2.1.2 Cho E tập hội tụ Cn Khi E hợp đếm tập G- đa cực đầy Hơn E tập đa cực loại Fσ ∞ j j=1 Pj (s)t thuộc lớp Em = {s ∈ Cn : |s| ≤ m, |Pj (s)| j ≤ m, với j = 1, 2, } (2.1) Chứng minh Lấy chuỗi phân kỳ f (s, t) = (1,0) cho E = Conv(f ) Cho m = 1, 2, 3, , Khi E = ∪Em Giả sử với vài số nguyên dương m, c(Em ) > Khi theo bất đẳng thức Bernstein’s (Bổ đề 1.2.2), hệ số bjα Pj (s) = bjα sα thỏa mãn |bjα | ≤ (CEm m)j với CEm số phụ thuộc Em Khi chuỗi f (s, t) hội tụ Điều mâu thuẫn giả thiết, nên với Em 25 đa cực E tập đa cực Fσ G Khi γ := Φ (s) < ∞ Khi Cố định Em = ∅ s ∈ Eˆm Em G ⊂ E, ∀m Do E = |Pj (s)| j ≤ γm, ∀j s ∈ Conv(f ) Vì Eˆm G E hợp đếm tập đa cực G- đầy ∪Eˆm Định lý 2.1.3 Mỗi tập G-đa cực đầy Cn tập hội tụ Chứng minh Cho E tập G-đa cực đầy khác ∅ Cn Khi ˆ G , K tập đa cực compact, Km = ∅ Giả sử FK E = K tập hợp tất cặp (p, k) ∈ Q(Cn ) cho k ≥ 1, p hệ số hữu tỉ |(p, k)|K ≤ Giả sử {(pj , kj )} dãy phần tử FK Chọn dãy {rj } số nguyên dương cho {rj kj } tăng nghiêm ngặt Đặt ∞ pj (s)rj trj kj f (s, t) = j=1 Khi f thuộc lớp (1,0) Giả sử s ∈ E Khi α := ΦK (s) < ∞ Kéo theo |pj (s)rj | ≤ αrj kj , ∀j s ∈ Conv(f ), E ⊂ Conv(f ) Giả sử có điểm s ∈ / E Khi ΦK (s) = ∞ với số nguyên dương m có cặp (p, k) ∈ Q(Cn ) cho |(p, k)|K ≤ |(p(s), k)| > m, tồn jm cho |(pjm , kjm )|K ≤ |(pjm (s), kjm )| > m nên dãy {|(pj (s)rj , rj kj )|} không bị chặn s ∈ / Conv(f ) Khi E = Conv(f ) Định lý 2.1.4 Cho E hợp đếm tập J-đa cực đầy Cn Khi E tập hội tụ 26 Chứng minh Mỗi tập E viết E = ∪Em , với {Em }là dãy tăng tập J -đa cực đầy Với m nguyên dương ta xây dựng dãy n {(hmk , qmk )}∞ k=1 Q(C ) cho: (i) |(hmk , qmk )|B m ∩Em ≤ 1, (ii) ||(hmk , qmk )|| ≤ m, n (iii) ∪∞ k=1 {x : |(hmk (x), qmk ) > m/2} ⊃ C \Em , với B m hình cầu đóng Cn tâm 0, bán kính m Cố định m giả sử y ∈ Cn \Em Thế TL (x, Em ∩ B m ) > Tồn < r < cho inf{|(p, v)|B m ∩Em : (p, v) ∈ Q(Cn ), |(p(y), v)| ≥ r, ||(p, v)|| ≤ 1} = Chọn số hữu tỉ dương β = a/b < 1, với a, b ∈ Z+ cho (r/m)β > 1/2 Khi tồn (p, v) ∈ Q(Cn ) thỏa mãn : |(p, v)|Em ∩B m < m−1/β , |(p(y), v)| ≥ r, ||(p, v)|| ≤ Ký hiệu h(y) (x) = p(x)a mv(b−a) q(y) = bv Khi (h(y) , q(y) ∈ Q(Cn ), |(h(y) (x), q(y))| = |(p(x), v)|β m1−β Ta có ∀x ∈ Cn : |(h(y) (x), q(y) )| ≤ (1 + |x|2 )β/2 m1−β ≤ m(1 + |x|2 ) , |(h( y), q( y))|Em ∩B m < m−1 m1−β = m−β ≤ 1, |(h(y) (y), q(y) )| ≥ rβ m1−β = (r/m)β m > m/2 27 Đặt Uy = {x : |(h(y) (x), q(y) )| > m/2} Khi Uy lân cận mở y Vì Cn \Em mở nên phủ mở {Uy : y ∈ Cn \Em } Cn \Em chứa phủ đếm {Uyk : k = 1, 2, } Ta viết (hmk , qmk ) = (h(yk ) , q(yk ) ) Khi dãy {(hmk , qmk )}∞ k=1 thỏa mãn (i), (ii), (iii) Cho {(Pv , qv )} dãy tạo thành từ việc xếp {(hmk , qmk )} thành dãy đơn Bằng cách tăng {(Pv , qv )} đến lũy thừa phù hợp, ta giả sử {qv } dãy tăng Đặt f (s, t) = v Pv (x)tqv Khi f thuộc lớp (1, 0) Ta E = Conv(f ) Giả sử x ∈ E v ∈ Z+ ∗ x ∈ B m0 ∩Em0 với vài số nguyên dương m0 Đặt (Pv , qv ) = (hmk , qmk ) với vài m, k Nếu m ≥ m0 , |(Pv (x), qv )| ≤ 1; m < m0 , 1 |(Pv (x), qv )| ≤ m(1 + |x|2 ) < m0 (1 + |x|2 ) Suy {|(Pv (x), qv )|} dãy bị chặn x ∈ Conv(f ) Giả sử x ∈ / E với m ∈ Z+ ∗ có số nguyên dương k(m) cho |(hm,km (x), qm,k(m) )| > m/2 Dãy {|(hm,km (x), qm,k(m) )|}∞ m=1 không bị chặn dãy xếp lại dãy {|(Pv (x), qv )|} Từ dãy {|(Pv (x), qv )|} dãy không bị chặn x ∈ / Conv(f ) Vậy E = Conv(f ) E tập hội tụ Định lý 2.1.5 Mỗi hợp đếm tập đóng đa cực đầy Cn tập hội tụ 28 Chứng minh Theo Định lý 1.3.11 Mọi tập đóng đa cực đầy Cn tập J -đa cực đầy Theo Định lý 2.1.4 hợp đếm tập J -đa cực đầy tập hội tụ nên ta có điiều phải chứng minh Hệ 2.1.6 Mỗi hợp đếm đại lượng đại số siêu việt Cn tập hội tụ Hệ 2.1.7 Mọi tập đếm Cn tập hội tụ Hệ 2.1.8 Một tập C tập hội tụ tập có cực Fσ Chứng minh Đây hệ Định lý 2.1.4 Bởi tập cực đóng C tập cực đầy 2.2 Tập hội tụ khơng gian xạ ảnh Cho chuỗi lũy thừa hình thức f (x1 , , xn ) = f (x) ∈ C[[x1 , ,xn ]] x ∈ Cn Và kí hiệu fx (t) = f (x1 (t), , xn (t)) ∈ C[[t]] Với λ ∈ C, λ = 0, chuỗi fx fλx hội tụ phân kỳ, tập hội tụ f (hay tập giá trị x mà fx hội tụ) đồng với tập không gian xạ ảnh Pn−1 Với x = 0, x ∈ Cn , [x]: ảnh x Pn−1 Với E tập Pn−1 , đặt E˜ = {x ∈ Cn : [x] ∈ E} Tập hội tụ f định nghĩa Convp (f ) = {[x] ∈ Pn−1 : fx hội tụ} Định nghĩa 2.2.1 Tập E Pn−1 gọi tập hội tụ Pn−1 E = Convp (f ) với chuỗi phân kỳ f (x1 , , xn ) 29 Cho E tập đóng khác ∅ Pn−1 Ta định nghĩa ΨE : Pn−1 → [0, ∞] cho ΨE ([x]) = sup{|h(x)|1/q /|x| : (h, q) ∈ Γ(Cn ), ||(h, q)||E˜ ≤ 1} Bao G E Eˆ G := {u ∈ Pn : ΨE (u) < ∞} Bao G tập ∅ tập ∅ Nếu E tập đa cực Eˆ G = Pn−1 Nếu E tập đa cực Eˆ G tập đa cực Fσ Định nghĩa 2.2.2 Tập đa cực E Pn−1 gọi đầy có hàm h ∈ H(Cn ) cho E = {[x] ∈ Pn−1 : h(x) = 0} Một tập đa cực F Pn−1 gọi G- đa cực đầy F = Eˆ G với tập đóng đa cực E Chứng minh hai định lý sau đơn giản suy từ hai định lý 2.1.2 2.1.3 Định lý 2.2.3 Cho E tập hội tụ Pn−1 Khi E hợp đếm tập G- đa cực đầy Hơn E tập đa cực Fσ Định lý 2.2.4 Mọi tập G- đa cực đầy Pn−1 tập hội tụ Ta gọi Π tập tất siêu phẳng Pn−1 Mỗi Ω ∈ Π đẳng cấu với Pn−2 phần bù Pn−1 đẳng cấu với Cn−1 Với hai siêu phẳng Pn−1 , ln có phép biến đổi 1-1 biến siêu phẳng thành siêu phẳng 30 Cố định số dương M Đặt S1 = {[1, 0, , 0]}, Sk = {[x] : |x1 |2 + +|xk−1 |2 ≤ M |xk |2 , xk+1 = = xn = 0}, với ≤ k ≤ n Đặt n KM = SK k=1 Khi {Km } dãy tăng dần tập đóng với Pn−1 = ∪∞ m=1 Km Định nghĩa 2.2.5 Tập E Pn−1 gọi vị trí tổng quát tồn siêu phẳng Ω ∈ Π cho E ∩ Ω = ∅ Bổ đề 2.2.6 Nếu K vị trí tổng quát đồng thời tập đóng Pn−1 u ∈ Pn−1 K ∪ {u} vị trí tổng quát Chứng minh Ký hiệu R = {V ∈ Π : V ∩ K = ∅} S = {V ∈ Π : u ∈ V } Khi R tập mở khác ∅ S siêu phẳng Π Suy R\S khác ∅ Vậy K ∪ {u} vị trí tổng quát Bổ đề 2.2.7 Với M > 0, tập KM vị trí tổng quát Chứng minh Gọi e1 , , en sở tắc Cn Với ε số dương đủ nhỏ, lấy vj = ej +ε ej+1 , ∀j = 1, , n−1 Đặt Vj = span(v1 , , vj ), ∀j = 1, , n − 1, V = Vn−1 đồng thời lấy Wj = span(e1 , , ej ) Chú ý V ∩ Wj ⊂ Vj−1 , ∀j ≥ Từ Sj ⊂ Wj , suy V ∩Sj ⊂ Vj−1 , ∀j ≥ Rõ ràng V ∩S1 = ∅, ∀j ≥ với ε đủ nhỏ , Wj−1 ∩ Sj = ∅ Vj−1 đóng Wj−1 31 ta thấy Vj−1 ∩ Sj = ∅ Suy V ∩ KM = ∪nj=1 (V ∩ Sj ) ⊂ ∪nj=2 (Vj−1 ∩ Sj ) = ∅ Vậy KM khơng giao với siêu phẳng V Do KM vị trí tổng quát Định nghĩa 2.2.8 Tập đa cực E Pn−1 gọi J - đa cực đầy với siêu phẳng V, E/V J - đầy Pn−1 \V Tập E ˜ > gọi J - đầy toàn cục [x] ∈ Pn−1 \E, TH (x, E) Rõ ràng tập J - đa cực đầy đóng Và tập đóng J - đa cực đầy tồn cục tập J - đầy Chứng minh mệnh đề sau tương tự Mệnh đề 1.3.9 Mệnh đề 2.2.9 Giao tập J - đa cực đầy (toàn cục) Pn−1 J - đầy (toàn cục) Một hợp hữu hạn tập J - đa cực đầy (toàn cục) Pn−1 J - đầy (toàn cục) Mệnh đề 2.2.10 Cho E ⊂ Pn−1 không điểm hàm liên tục h ∈ H(Cn ) Khi E tập J -đa cực đầy toàn cục Pn−1 Chứng minh Đây hệ trực tiếp Bổ đề 1.3.4 Định lý 2.2.11 Mỗi tập đóng đa cực đầy Pn−1 tập J - đa cực đầy Chứng minh Chứng minh định lý suy trực tiếp từ Bổ đề 1.3.11 Mệnh đề 2.2.12 Mọi tập đại số thực Pn−1 tập J - đa cực đầy toàn cục 32 Chứng minh Cho E tập đại số riêng biệt Pn−1 Khi phần tử (hj , qj ) ∈ Γ(Cn ), j = 1, , k thỏa mãn E = {[x] ∈ Pn−1 : h1 (x) = = hk (x) = 0} Cho h = k qj j=1 |hj | Khi h ∈ H(Cn ), h liên tục E = {h = 0} Theo 2.2.10 E tập J - đầy toàn cục Cho [x] ∈ Pn−1 ˜ Nếu W siêu S ⊂ Pn−1 , ta định nghĩa TH ([x], S) TH (x, S) phẳng Pn−1 z S nằm Pn−1 \W ∼ = Cn−1 ta thấy TH (z, S) = ⇔ TL (z, S) = Mệnh đề 2.2.13 Cho E tập J - đầy Pn−1 , K tập đóng khơng vị trí tổng quát Pn−1 , [y] ∈ Pn−1 \E m số thực lớn Khi tồn (h, q) ∈ Γ(Cn ) cho: ||(h, q)|| ≤ m, ||(h, q)||E∩K ≤ 1, ||(h(y), q)|| > m/2 Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.6, K ∪ {[y]} vị trí tổng quát, nhiên có siêu phẳng V thỏa mãn Ω := Pn−1 \V ⊃ (K ∪ {[y]}) Vì E ∩ Ω tập J - đa cực đầy Ω ta thấy TL ([y], E ∩ K) > Suy TH ([y], E ∩ K) > Vì có số dương < r < : τH ([x], F, r) = tức inf{||(p, v)||E∩K : (p, v) ∈ Γ(Cn ), ||(p(y), v)|| ≥ r, ||(p, v)|| ≤ 1} = Chọn số hữu tỉ < β = a/b < với a, b ∈ Z+ cho (r/m)β > 1/2 Có số (p, v) ∈ Γ(Cn ) thỏa mãn : −1 ||(p, v)||E∩K < m β , ||(p(y), v)|| ≥ r, ||(p, v)|| ≤ 33 Lấy u = y/|y| Với u véc tơ đơn vị , < y, u >:= u1 y1 + + un yn = |y| Đặt h(x) = p(x)a (m < x, u >)v(b−a) q = bv Khi (h, q) ∈ Γ(Cn ), ||(h(x), q)|| = ||(p(x), v)||β m1−β Ta có ∀x ∈ Cn : ||(h(x), q)|| ≤ m1−β ≤ m, ||(h, q)||E∩K < m−1 m1−β = m−β ≤ ||(h(y), q)|| ≥ rβ m1−β = (r/m)β m > m/2 Vậy mệnh đề chứng minh Định lý 2.2.14 Cho E hợp đếm tập J - đa cực đầy Pn−1 Khi E tập hội tụ Chứng minh Theo chứng minh Định lí 2.1.4, ta đủ điều kiện để xác n định dãy {(Pv , qv )}∞ v=1 Γ(C ) với {qv } dãy tăng ngặt, thỏa mãn [x] ∈ E {||(Pv (x), qv )||} bị chặn Bởi E tập hội tụ f (x) = v Pv (x) Theo Mệnh đề 2.2.9 hợp số hữu hạn tập J - đa cực đầy J - đa cực đầy Ta giả sử E = ∪Em với {Em } dãy tăng tập tập J - đa cực đầy Pn−1 Đặt Pn−1 = ∪Km với Km , m = 1, 2, 3, dãy tăng tập đóng vị trí tổng qt Pn−1 định nghĩa (2.2) Với số nguyên dương m ta n xây dựng chuỗi {(hmk , qmk )}∞ k=1 Γ(C ) thỏa mãn (i) ||(hmk , qmk )||Km ∩EM ≤ 1, (ii) ||(hmk , qmk )|| ≤ m, (iii) ∞ k=1 {[x] ∈ Pn−1 : ||(hmk (x), qmk )|| ≥ m/2} ⊃ Pn−1 \Em Cố định m giả sử [y] ∈ Pn−1 \Em Theo Bổ đề 2.2.13 tồn 34 (h[y] , q[y] ) ∈ Γ(Cn ) cho ||(h[y] , q[y] )|| ≤ m, ||(h[y] , q[y] )||Em ∩Km ≤ 1, ||(h[y] (y), q[y] )|| > m/2 Đặt U[y] := {[x] : ||(h[y] (x), q[y] )|| > m/2} Khi U[y] lân cận mở [y] Vì Pn−1 \Em mở, nên phủ mở {U[y] : [y] ∈ Pn−1 \Em } Pn−1 \Em chứa phủ đếm {U[yk ] : k = 1, 2, } Đặt (hmk , qmk ) = (h[yk ] , q[yk ] ) {(hmk , qmk )}∞ k=1 thỏa mãn (i),(ii) (iii) Điều chứng tỏ {qv } dãy tăng nghiêm ngặt Từ (i),(ii) (iii) ta suy {||(Pv (x), qv )||} bị chặn [x] ∈ E Định lý 2.2.15 Mọi hợp đếm tập đóng đa cực đầy Pn−1 tập hội tụ Chứng minh Theo Định lí 2.2.11 hợp đếm tập đóng đa cực đầy Pn−1 hợp đếm tập J - đa cực đầy Áp dụng Định lí 2.2.14 ta có điều phải chứng minh Từ kết ta có hai hệ trực tiếp sau Hệ 2.2.16 Mọi hợp đếm tập đại số thực Pn−1 tập hội tụ Hệ 2.2.17 Mỗi tập đếm Pn−1 tập hội tụ 35 Kết luận Luận văn "Tập hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức" nghiên cứu đạt số kết sau: Trình bày đầy đủ hệ thống khái niệm tính chất hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa Đường kính siêu hạn dung tích siêu hạn Tập đa cực tập L- đa cực Các kiến thức cần thiết cho việc nghiên cứu nội dung trình bày chương 2 Trình bày cụ thể kết đạt tập hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cụ thể tập hội tụ chuỗi lũy thừa không gian Affin chuỗi lũy thừa khơng gian xạ ảnh Sau tập trung chứng minh số định lý quan trọng luận văn 36 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải (2014), Cơ sở lý thuyết đa vị, NXB ĐHSP Hà Nội [2] Abhyankar S.S, Moh T.T (1970), A reduction theorem for divergent power series, J.Reine Angew Math., 241 ,pp 27-33 [3] Daowei Ma and Tejinder S N (2015), On convergence sets of formal power series, Complex Analysis and its Synergies,1,pp.1-21 [4] LeLong.P (1951), On a problem of M.A Zorn ,Proc Amer Math Soc., 2, pp 11-19 [5] Levenberg N, and Molzon R (1988), Convergence sets of formal power series, Math Z., 197, pp 411-420 [6] Sicicak.J (1982), Extremal phurisubharmonic funtions and capacities in Cn , Sophia Kokyuroku Math., 14, Sophia University, Tokyo [7] Zaharjuta V.P (1975), Tranfinite diameter, Chebyshev constan, and capacity for compacta in Cn , Math USSR Sbornik ., 25, pp 350364 37 ... Tập hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức 24 Tập hội tụ không gian Cn 24 2.2 Tập hội tụ không gian xạ ảnh 29 2.1 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Một chuỗi lũy thừa hình. .. đề miêu tả tập hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức vấn đề quan tâm Giải tích phức hệ động lực địa phương Để hiểu sâu sắc vấn đề chọn đề tài nghiên cứu "Tập hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức" Mục đích... -đa cực đầy tập hội tụ nên ta có điiều phải chứng minh Hệ 2.1.6 Mỗi hợp đếm đại lượng đại số siêu việt Cn tập hội tụ Hệ 2.1.7 Mọi tập đếm Cn tập hội tụ Hệ 2.1.8 Một tập C tập hội tụ tập có cực